線性代數(shù)課件方陣的特征值與特征向量

1、第第5章章 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量1 、方陣的特征值與特征向量的定義及計算 2、相似矩陣的定義與性質(zhì) 3、方陣的對角化 4、用正交矩陣化實對稱矩陣為對角矩陣的方法 本章主要介紹方陣的特征值與特征向量、相似矩陣、實對稱矩陣的對角化。通過本章的學(xué)習(xí)，我們應(yīng)該掌握以下內(nèi)容：一、特征值與特征向量的定義一、特征值與特征向量的定義二、特征值與特征向量的性質(zhì)二、特征值與特征向量的性質(zhì)三、特征值與特征向量的求法三、特征值與特征向量的求法引例引例設(shè)設(shè)矩陣2112A問為何值時，線性方程組有非零解？ XAX 使得 成立.XAX 問題實質(zhì)：問題實質(zhì)：設(shè)設(shè)A是是 n階方陣，階方陣，尋求常數(shù)與非零向

2、量尋求常數(shù)與非零向量X一、特征值與特征向量的定義一、特征值與特征向量的定義注意注意A（1） 是方陣是方陣（2）特征向量）特征向量 是非零列向量是非零列向量X（4）一個特征向量只能屬于一個特征值）一個特征向量只能屬于一個特征值（3）方陣）方陣 的與特征值的與特征值 對應(yīng)的特征向量不唯一對應(yīng)的特征向量不唯一A 定義定義1設(shè)設(shè) 是是 階方陣，階方陣，An若數(shù)若數(shù) 和和 維非零列向量維非零列向量 ，使得，使得 nX AXX 成立，則稱成立，則稱為方陣為方陣 的對應(yīng)于特征值的對應(yīng)于特征值 的一個的一個特征向量。特征向量。X A 是方陣是方陣 的一個的一個特征值，特征值，A10,01EXO例：1,EXX

3、分析分析Axx 0AE x 或或 0EA x 已知已知0,x 所以齊次線性方程組有非零解所以齊次線性方程組有非零解0AE 或或0EA 111212122212nnnnnnaaaaaaAEaaa 是關(guān)于是關(guān)于 的一個多項式，稱為矩陣的一個多項式，稱為矩陣 的的特征多項式。特征多項式。 A定義定義2 2 已知已知 (),n nijn nAa 數(shù)數(shù) ，則，則EA 為為A的的特征矩陣特征矩陣 1112121222120nnnnnnaaaaaafAEaaa 稱為矩陣稱為矩陣 的的特征方程。特征方程。A特征方程特征方程| 0AE 的根即為的根即為A的特征值。的特征值。 由代數(shù)基本定理，特征方程在復(fù)數(shù)范圍恰

4、有由代數(shù)基本定理，特征方程在復(fù)數(shù)范圍恰有 n 個根個根(重根按重根按重數(shù)計算重數(shù)計算)。因此，。因此，n 階方陣在復(fù)數(shù)范圍恰有階方陣在復(fù)數(shù)范圍恰有 n 個特征值。個特征值。 本章關(guān)于特征值、特征向量的討論永遠假設(shè)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)本章關(guān)于特征值、特征向量的討論永遠假設(shè)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)進行。進行。定理定理5.1.2設(shè)設(shè) 是方陣是方陣 A 的特征值，對應(yīng)的一個特征向量的特征值，對應(yīng)的一個特征向量 xxkxkAxAx)()()1( xxAxxAAxAxA22)2( 證明證明 (1) 是是 kA 的特征值，對應(yīng)的特征向量仍為的特征值，對應(yīng)的特征向量仍為 x. k(2) 是是 的特征值，對應(yīng)的特征向量仍為的特征值

5、，對應(yīng)的特征向量仍為 x.2 2A(3) 當(dāng)當(dāng) A 可逆時，可逆時， 是是 的特征值，對應(yīng)的的特征值，對應(yīng)的1 1 A特征向量仍為特征向量仍為 x.證證 xxAxAxAAxA 1)3(1111 性質(zhì)性質(zhì)1二、特征值與特征向量的性質(zhì)二、特征值與特征向量的性質(zhì) 設(shè)設(shè) 是方陣是方陣 A 的特征值，的特征值， 則則 是是 的特征值。的特征值。k kAmmaaaa 2210)(mmAaAaAaEaA 2210)( 的特征值的特征值。如果如果 A 可逆，則可逆，則mmkkaaaaa 1011)(mmkkAaAaEaAaAaA 1011)( 的特征值。的特征值。是是是是推廣推廣性質(zhì)性質(zhì)3：矩陣矩陣 和和 的

6、特征值相同。的特征值相同。TAA1212,ssAP PPP PP，且線性無關(guān)，1 1221( ,sssAk Pk Pk P kk則不全為零）A證明：設(shè) 是 的特征值| 0AE則, 0|)( |TEA| 0TAE即TA所以 是的特征值反之，亦然。注意：特征值相同并不意味著特征向量相同。注意：特征值相同并不意味著特征向量相同。1210,0323TAA反例，1有同一特征值11,01 但對應(yīng)的特征向量分別為性質(zhì)2定理定理5.1.1nnnaaa 221121)1( An 21)2()()()(21nAEf 設(shè)設(shè) n 階方陣階方陣 特征值為特征值為)(ijaA n ,21, 則則nnnnn 21121)1

7、()( Aaaannnnn)1()(12211 又又定理定理5.1.3 若方陣若方陣A可逆，則可逆，則A的所有特征值均不為零的所有特征值均不為零12,2A 設(shè)是 的 個不同特征值，21,PP是對應(yīng)于 的特征向量，21, 線性無關(guān)。線性無關(guān)。則則21,PP121 122,0(1)k kk Pk P1 122()0A k Pk P11 1222kPkP11 1 1212(1)0kPkP乘 ：2212()0k P12又20k10k兩邊左乘A，證 設(shè)有一組數(shù)12121212 ,.,mmmmAmpppppp 定理設(shè)是方陣 的 個特征值依次是與之對應(yīng)的特征向量 如果各不相等 則線性無關(guān)性質(zhì)性質(zhì)5注意.屬于

8、不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的.屬于同一特征值的特征向量的非零線性 組合仍是屬于這個特征值的特征向量.矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而 言的，一個特征值具有的特征向量不唯一； 一個特征向量不能屬于不同的特征值設(shè)設(shè)3階矩陣階矩陣A的三個特征值為的三個特征值為2 , 1, 1 求求EAA23 解解 A的特征值全不為零，故的特征值全不為零，故A可逆?？赡?。112 AAAA, 2321 AEAAEAAA23223)(1 的三個特征值為的三個特征值為)3 , 2 , 1(232)(1 iiii 計算得計算得3)2(, 3)1(, 1)1( 93)3()1(23 EAA因此，因此，例例1三、特征值

9、與特征向量的求法三、特征值與特征向量的求法(1) 0AE 求出求出 即為特征值即為特征值;i 2()0iAE X （ ）由由iA 對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量()0iAE X 設(shè)設(shè)的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為irn ,1，()iirr AE iA 對對應(yīng)應(yīng)的的全全部部特特征征向向量量為為11iinrnrkk ，Rkkirn,1，1,0inrkk 且且，不不全全為為例例2 2 求求3113A解解 的特征值與特征向量的特征值與特征向量.31|24013EA4,221當(dāng)當(dāng)2時時, ,02XAE解解00111121xx同解方程組同解方程組21xx 特征值為特征值為01111kkX是是2時全部特征向量。時全

10、部特征向量。得基礎(chǔ)解系為得基礎(chǔ)解系為11,1P 當(dāng)當(dāng)4時時, ,40,EA X解解121 101 10 xx 同解方程組同解方程組12xx 2220Xk P k是是4時全部特征向量。時全部特征向量。得基礎(chǔ)解系為得基礎(chǔ)解系為2(1, 1) ,P T解解第一步：寫出矩陣第一步：寫出矩陣A的特征方程，求出特征值的特征方程，求出特征值.的特征值和全部特征向量的特征值和全部特征向量.AE 特征值為特征值為第二步：對每個特征值第二步：對每個特征值代入齊次線性方程組代入齊次線性方程組 0,AE x 求非零解。求非零解。314020112A3140201123412)2() 1()2(2. 2, 1321例例

11、3齊次線性方程組為得基礎(chǔ)解系是對應(yīng)于的全部特征向量.當(dāng) 時，232OXEA)2(1140001142EA000000114,1102P.4013P223323(,k Pk P k k不全為零）232系數(shù)矩陣自由未知量:3x令 得基礎(chǔ)解系:31x 111(0k p k 常數(shù))是對應(yīng)于12 的全部特征向量.齊次線性方程組為當(dāng) 時，11OXEA)(414030111EA0000101011011P,232OEAA設(shè)證明A 的特征值只能取1或2.證：證：，有特征值設(shè)AEAA232則2322320,AAE又因為 只能取0，232012.或者例例4、232,2AA 設(shè)設(shè)證明A 的特征值只能取1或0.練習(xí)練

12、習(xí)(1) 向量 滿足 , 0 A0 是 A 的特征向量嗎？(2) 實矩陣的特征值(特征向量)一定是實的嗎?(3) 矩陣 A 可逆的充要條件是所有特征值_.nAAE 210 或或，A 有一個特征值為_.0 EA(4) ，A 有一個特征值為_.0 AEA 可逆, A 的特征值一定不等于_.回答問題(5) 一個特征值對應(yīng)于幾個特征向量?一個特征向量對應(yīng)幾個特征值?(后面證明)(6) A 的各行元素之和均等于2,則 A 有一個特征值是_, 它對應(yīng)的特征向量是_。 1112222111333231232221131211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa特征向量的個

13、數(shù)=_。 是 的一個特征值，它對應(yīng)的最大無關(guān)的0 nnA )r(0AEn 一、單選題一、單選題可逆矩陣可逆矩陣與矩陣（與矩陣（ ）有相同的特征值）有相同的特征值 ； ； 2 2； 為為n 階方陣，則（階方陣，則（ ）結(jié)論成立）結(jié)論成立 可逆，則矩陣可逆，則矩陣屬于特征值屬于特征值的特征向量的特征向量 也是也是屬于屬于的特征向量；的特征向量； 的特征向量既為方程的特征向量既為方程( () )的全部解；的全部解； 特征向量的線性組合仍是特征向量特征向量的線性組合仍是特征向量 與與特征向量相同特征向量相同 課堂練習(xí)課堂練習(xí)一、單選題一、單選題答案：答案： ； ; 3. ; 3. 設(shè)設(shè)是一個可逆矩陣，

14、則其特征值中（是一個可逆矩陣，則其特征值中（ ） 有零特征值有零特征值 有二重特征值零有二重特征值零 可能有也可能無零特征值可能有也可能無零特征值 無零特征值無零特征值4AA1 -1-1、如如果果方方陣陣 的的任任一一一一行行的的n n個個元元素素之之和和都都為為a ,a ,則則 有有一一個個特特征征值值（ ） a (2) -a (3) 0 (4)aa (2) -a (3) 0 (4)a二、填空題二、填空題已知三階方陣的三個特征值為，則已知三階方陣的三個特征值為，則|A|A|（ ），），的特征值為（的特征值為（ ），），的特征值為（的特征值為（ ），），的特征值為（的特征值為（ ）設(shè)設(shè)k=0，

15、k是正整數(shù)，則的特征值為（是正整數(shù)，則的特征值為（ ） 若若，則的特征值為（，則的特征值為（ ） ，-1/2, 1/3，4, 1, 1600, 1二、填空題二、填空題4設(shè)設(shè)A是是3階方陣，已知方陣，階方陣，已知方陣，都不可逆，則的特征值為（都不可逆，則的特征值為（ ）已知三階矩陣已知三階矩陣A的特征值為，的特征值為，則（則（ ）。）。1, -1, 3-726E 、單單位位矩矩陣陣 的的特特征征值值，特特征征向向量量（）7( )AA*、的的特特征征值值是是28An0 E) AAAAE * *、設(shè)設(shè) 為為 階階方方陣陣， ，為為伴伴隨隨矩矩陣陣為為n n階階單單位位矩矩陣陣，若若 有有特特征征值值

16、 ，則則( (必必有有特特征征值值：（） 122113221B 966636663A求矩陣求矩陣 A，B 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。練習(xí)：練習(xí)：966636663 AE解解 （對矩陣（對矩陣A） 1016366633 100630663331 cc 0332 30363666313 rr3, 3321 A 的特征值為的特征值為對于對于 ，解方程組，解方程組31 0)(1 xAE 000110101126660666031AEAE 3231xxxx同解方程組為同解方程組為 ，令，令 ，得基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系13 xT)1, 1 , 1(1 因此，對應(yīng)于特征值因此，對應(yīng)于特征值 的所

17、有特征向量為的所有特征向量為1 )0(111 kk 966636663A對于對于 ，解方程組，解方程組332 0)(2 xAE 00000011166666666632AEAE 同解方程組為同解方程組為 ，令，令321xxx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系 10,0132xx,)0 , 1, 1(2T T)1, 0 , 1(3 因此，對應(yīng)于特征值因此，對應(yīng)于特征值 的所有特征向量為的所有特征向量為332 3322 kk ),(32不同時為零不同時為零kk 966636663A（對矩陣（對矩陣B） 122113221B122113221 BE123113223321 ccc 30013022131211112213 0332 3, 3321 B 的特征值為的特征值為對于對于 ，解方程組，解方程組31 0)(1 xBE 00011010142214322431BEBE 3231xxxx同解方程組為同解方程組為 ，令，令 ，得基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系13 xT)1 , 1 , 1(1 因此，對應(yīng)于特征值因此，對應(yīng)于特征值 的所有特征向量為的所有特征向量為1 )0(111