隨機(jī)性存儲模型

1、運(yùn)籌學(xué)運(yùn)籌學(xué)第第13章章 存貯論存貯論第第3節(jié)節(jié) 隨機(jī)性存儲模型隨機(jī)性存儲模型第第13章章 存貯論存貯論 第第3節(jié)節(jié) 隨機(jī)性存儲模型隨機(jī)性存儲模型 第第4節(jié)節(jié) 其他類型存貯問題其他類型存貯問題 第第3節(jié)節(jié) 隨機(jī)性存儲模型隨機(jī)性存儲模型 隨機(jī)性存儲模型的重要特點(diǎn)是需求為隨機(jī)的，其概率或分布為已知。在這種情況下，前面所介紹過的模型已經(jīng)不能適用了。例如商店對某種商品進(jìn)貨500件，這500件商品可能在一個月內(nèi)售完，也有可能在兩個月之后還有剩余。商店如果想既不因缺貨而失去銷售機(jī)會，又不因滯銷而過多積壓資金，這時必須采用新的存儲策略 可供選擇的策略主要有三種 (1) 定期訂貨，但訂貨數(shù)量需要根據(jù)上一個周期

2、末剩下貨物的數(shù)量決定訂貨量。剩下的數(shù)量少，可以多訂貨。剩下的數(shù)量多，可以少訂或不訂貨。這種策略可稱為定期訂貨法。 (2) 定點(diǎn)訂貨，存儲降到某一確定的數(shù)量時即訂貨，不再考慮間隔的時間。這一數(shù)量值稱為訂貨點(diǎn)，每次訂貨的數(shù)量不變，這種策略可稱之為定點(diǎn)訂貨法。 (3) 把定期訂貨與定點(diǎn)訂貨綜合起來的方法，隔一定時間檢查一次存儲，如果存儲數(shù)量高于一個數(shù)值s，則不訂貨。小于s時則訂貨補(bǔ)充存儲，訂貨量要使存儲量達(dá)到S，這種策略可以簡稱為(s,S)存儲策略。與確定性模型不同的特點(diǎn)還有： 不允許缺貨的條件只能從概率的意義方面理解，如不缺貨的概率為0.9等。存儲策略的優(yōu)劣通常以贏利的期望值的大小作為衡量的標(biāo)準(zhǔn)。

3、 為了講清楚隨機(jī)性存儲問題的解法，先通過一個例題介紹求解的思路。例例7 某商店擬在新年期間出售一批日歷畫片，每售出一千張可贏利700元。如果在新年期間不能售出，必須削價處理，作為畫片出售。由于削價，一定可以售完，此時每千張賠損400元。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，市場需求的概率見表13-1。表13-1每年只能訂貨一次，問應(yīng)訂購日歷畫片幾千張才能使獲利的期望值最大?解解 如果該店訂貨4千張，我們計算獲利的可能數(shù)值訂購量為4千張時獲利的期望值： EC(4)=(-1600)0.05 +(-500)0.10+6000.25 +17000.35+28000.15 +28000.10 =1315(元)上述計算法及結(jié)果

4、列于表13-2獲利期望值最大者標(biāo)有(*)記號，為1440元?？芍摰暧嗁?000張日歷畫片可使獲利期望值最大。 從相反的角度考慮求解 當(dāng)訂貨量為Q時，可能發(fā)生滯銷賠損(供過于求的情況)，也可能發(fā)生因缺貨而失去銷售機(jī)會的損失(求過于供的情況)。把這兩種損失合起來考慮，取損失期望值最小者所對應(yīng)的Q值。訂購量為2千張時，損失的可能值：當(dāng)訂貨量為2千張時，缺貨和滯銷兩種損失之和的期望值 EC(2)=(-800)0.05 + (-400)0.10+00.25 +(-700)0.35+(-1400)0.15 +(-2100)0.10 = 745(元) 按此算法列出表13-3。表13-3比較表中期望值以-4

5、85最大，即485為損失最小值。該店訂購3000張日歷畫片可使損失的期望值最小。這結(jié)論與前邊得出的結(jié)論一樣，都是訂購3000張。這說明對同一問題可從兩個不同的角度去考慮：一是考慮獲利最多，一是考慮損失最小。這是一個問題的不同表示形式。3.1 模型五：需求是隨機(jī)離散的模型五：需求是隨機(jī)離散的 報童問題：報童每日售報數(shù)量是一個隨機(jī)變量。報童每售出一份報紙賺k元。如報紙未能售出，每份賠h元。每日售出報紙份數(shù)r的概率P(r)根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)是已知的，問報童每日最好準(zhǔn)備多少份報紙? 這個問題是報童每日報紙的訂貨量Q為何值時，賺錢的期望值最大?反言之，如何適當(dāng)?shù)剡x擇Q值，使因不能售出報紙的損失及因缺貨失去銷

6、售機(jī)會的損失，兩者期望值之和最小?，F(xiàn)在用計算損失期望值最小的辦法求解。解解 設(shè)售出報紙數(shù)量為r，其概率P(r)為已知 設(shè)設(shè) 報童訂購報紙數(shù)量為Q。 供過于求時(rQ)，這時報紙因不能售出而承擔(dān)的損失，其期望值為： 供不應(yīng)求時(rQ)，這時因缺貨而少賺錢的損失，其期望值為：綜合，兩種情況，當(dāng)訂貨量為Q時，損失的期望值為：要從式中決定Q的值，使C(Q)最小。 由于報童訂購報紙的份數(shù)只能取整數(shù)，r是離散變量，所以不能用求導(dǎo)數(shù)的方法求極值。為此設(shè)報童每日訂購報紙份數(shù)最佳量為Q，其損失期望值應(yīng)有： C(Q)C(Q+1) C(Q)C(Q-1)從出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)有 由出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)有 hkk) r (P1 -Q0

7、r報童應(yīng)準(zhǔn)備的報紙最佳數(shù)量Q應(yīng)按下列不等式確定：)2513() r (Phkk) r (PQ0r1 -Q0r從贏利最大來考慮報童應(yīng)準(zhǔn)備的報紙數(shù)量。設(shè)報童訂購報紙數(shù)量為Q， 獲利的期望值為C(Q)，其余符號和前面推導(dǎo)時表示的意義相同。此時贏利的期望值為： 當(dāng)需求rQ時，報童因?yàn)橹挥蠶份報紙可供銷售，贏利的期望值為 無滯銷損失。 由以上分析知贏利的期望值： 為使訂購Q贏利的期望值最大，應(yīng)滿足下列關(guān)系式： C(Q+1)C(Q) C(Q-1)C(Q) 從式推導(dǎo)，經(jīng)化簡后得同理從推導(dǎo)出 用以下不等式確定Q的值，這一公式與(13-25)式完全相同?，F(xiàn)利用公式(13-25)解例7的問題。 已知：k=7, h

8、=4, P(0)=0.05， P(1)=0.10，P(2)=0.25，P(3)=0.35知該店應(yīng)訂購日歷畫片3千張。例8某店擬出售甲商品，每單位甲商品成本50元，售價70元。如不能售出必須減價為40元，減價后一定可以售出。已知售貨量r的概率服從泊松分布(=6為平均售出數(shù)) 問該店訂購量應(yīng)為若干單位?解解 該店的缺貨損失，每單位商品為70-50=20。滯銷損失，每單位商品50-40=10，利用(15-13)式，其中k=20，h=10 因)7(F667. 0hkk6)(F故訂貨量應(yīng)為：7單位，此時損失的期望值最小。 例例9 上題中如缺貨損失為10元，滯銷損失為20元。在這種情況下該店訂貨量應(yīng)為若干

9、? 解解 利用(15-13)式，其中k=10,h=20查統(tǒng)計表，找與0.3333相近的數(shù) F(4)0.3333F(5)，故訂貨量應(yīng)為甲商品5個單位。 答答 該店訂貨量為5個單位甲商品。 模型五只解決一次訂貨問題，對報童問題實(shí)際上每日訂貨策略問題也應(yīng)認(rèn)為解決了。 但模型中有一個嚴(yán)格的約定，即兩次訂貨之間沒有聯(lián)系，都看作獨(dú)立的一次訂貨。 這種存儲策略也可稱之為定期定量訂貨。 3.2 模型六：需求是連續(xù)的隨機(jī)變量模型六：需求是連續(xù)的隨機(jī)變量 設(shè)設(shè) 貨物單位成本為K，貨物單位售價為P，單位存儲費(fèi)為C1，需求r是連續(xù)的隨機(jī)變量，密度函數(shù)為(r)，(r)dr表示隨機(jī)變量在r與r+dr之間的概率，其分布函數(shù)

10、 生產(chǎn)或訂購的數(shù)量為Q，問如何確定Q的數(shù)值，使贏利的期望值最大?解解 首先我們來考慮當(dāng)訂購數(shù)量為Q時，實(shí)際銷售量應(yīng)該是minr,Q。也就是當(dāng)需求為r而r小于Q時，實(shí)際銷售量為r；rQ時，實(shí)際銷售量只能是Q贏利的期望值： 常量值因滯銷受到損失的期望失的期望值因缺貨失去銷售機(jī)會損常量（平均盈利）KQdr) r (r)-(QCdr) r ()Qr (P) r (PE(r)drr)-Q(CKQdr) r (PQdr) r (Prdr) r (Pr(r)drr)-Q(CKQdr) r (PQdr) r (Pr)Q(WEQ01QQ01QQ0Q01QQ0記 為使贏利期望值極大化，有下列等式： KQdr) r

11、 () rQ(Cdr) r ()Qr (P)Q(CEQ01Q)2713() r (PE)Q(CminE)Q(WmaxE)2613()Q(CminE) r (PE)Q(WmaxE (13-26)式表明了贏利最大與損失極小所得出的Q值相同。 (13-27)式表明最大贏利期望值與損失極小期望值之和是常數(shù)。 從表13-2與表13-3中對應(yīng)著相同的Q，去掉13-3表中數(shù)據(jù)的負(fù)號后， 兩者期望值之和皆為19.25，稱為該問題的平均盈利。求贏利極大可以轉(zhuǎn)化為求EC(Q)(損失期望值)極小。 當(dāng)Q可以連續(xù)取值時，EC(Q)是Q的連續(xù)函數(shù)?？衫梦⒎址ㄇ笞钚?。Q0dr) r ()Q(F, 0dQ)Q(CdE記從

12、此式中解出Q，記為Q*，Q*為EC(Q)的駐點(diǎn)。又因知Q*為EC(Q)的極小值點(diǎn)，在本模型中也是最小值點(diǎn)。 令 若P-K0 顯然由于F(Q)0，等式不成立，此時Q*取零值。即售價低于成本時，不需要訂貨(或生產(chǎn))。式中只考慮了失去銷售機(jī)會的損失，如果缺貨時要付出的費(fèi)用C2P時，應(yīng)有按上述辦法推導(dǎo)得模型五及模型六都是只解決一個階段的問題。從一般情況來考慮，上一個階段未售出的貨物可以在第二階段繼續(xù)出售。這時應(yīng)該如何制定存儲策略呢?假設(shè) 上一階段未能售出的貨物數(shù)量為 I，作為本階段初的存儲，有式相同與常量28)-(13KQdr) r () rQ(Cdr) r ()Qr (CminKIdr) r ()

13、rQ(Cdr) r ()Qr (C) IQ(K)Q(CminEQ01Q2Q01Q2定期訂貨，訂貨量不定的存儲策略 3.3 模型七：模型七：(s,S)型存儲策略型存儲策略 1. 需求為連續(xù)的隨機(jī)變量 設(shè)設(shè) 貨物的單位成本為K,單位存儲費(fèi)用為C1，每次訂購費(fèi)為C2，需求r是連續(xù)的隨機(jī)變量 ，密度函數(shù)為， 分布函數(shù)， 期初存儲量為I，定貨量為Q，此時期初存儲達(dá)到S=I+Q。問如何確定Q的值，使損失的期望值最小(贏利的期望值最大)? 本階段需訂貨費(fèi) 本階段所需訂貨費(fèi)及存儲費(fèi)、缺貨費(fèi)期望值之和S2S013S2I013dr) r ()Sr (Cdr) r () rS(CI)-K(SCdr) r ()Sr

14、(Cdr) r () rS(CKQC)S(C)QI (CQ可以連續(xù)取值，C(S)是S的連續(xù)函數(shù)。本階段的存儲策略：當(dāng)sS時 不等式右端存儲費(fèi)用期望值大于左端存儲費(fèi)用期望值，右端缺貨費(fèi)用期望值小于左端缺貨費(fèi)用期望值；一增一減后仍然使不等式成立的可能性是存在的。 如有不止一個s的值使下列不等式成立， 則選其中最小者作為本模型(s,S)存儲策略的s。相應(yīng)的存儲策略是： 每階段初期檢查存儲，當(dāng)庫存Is時，需訂貨，訂貨的數(shù)量為Q，Q=S-I。當(dāng)庫存Is時，本階段不訂貨。這種存儲策略是：定期訂貨但訂貨量不確定。訂貨數(shù)量的多少視期末庫存I來決定訂貨量Q，Q=S-I。對于不易清點(diǎn)數(shù)量的存儲，人們常把存儲分兩堆

15、存放，一堆的數(shù)量為s，其余的另放一堆。平時從另放的一堆中取用，當(dāng)動用了數(shù)量為s的一堆時，期末即訂貨。如果未動用s的一堆時，期末即可不訂貨，俗稱兩堆法。2需求是離散的隨機(jī)變量時本階段所需的各種費(fèi)用：本階段所需的各種費(fèi)用：本階段所需的各種費(fèi)用：求解(3) 求S的值使C(S)最小。因?yàn)檫x出使C(Si )最小的S值，由可推導(dǎo)出因 即 由同理可推導(dǎo)出 綜合以上兩式，得到為確定Si的不等式其中i2Sri21iSri2Sri1iSri2Sri1ii1iSC) r (pS)CC(SK) r (p1SC) r (pSCSK) r (pSC) r (pSCKS)S(C)S(Ciiiii綜合上面兩式， 例例10 解

16、解 ： 下面對答案進(jìn)行驗(yàn)證 分別計算S為30，40，50所需訂貨費(fèi)及存儲費(fèi)期望值、缺貨費(fèi)期望值三者之和。比較它們看是否當(dāng)S為40時最小(見表13-4)。計算s的方法：考查不等式(13-31)分別將30，40代人(13-31) 將30作為s值代入(13-31)式左端得 80030+1015(40-30)0.2+(50-30)0.4+(60-30)0.2 =40240 將40代入(13-31)式左端得 60+80040+40(40-30)0.2+1015(50-40)0.4+(60-40)0.2 =40260解答 即左端數(shù)值為40240，右端數(shù)值為40260，不等式成立，30已是r的最小值故s=3

17、0。 例10 的存儲策略為 每個階段開始時檢查存儲量I，當(dāng)I30箱時不必補(bǔ)充存儲。當(dāng)I30箱時補(bǔ)充存儲量達(dá)到40箱。例11 某廠對原料需求量的概率為 P(r=80)=0.1，P(r=90)=0.2，P(r=100)=0.3 P(r=110)=0.3，P(r=120)=0.1 訂貨費(fèi)C3=2825元，K=850元 存儲費(fèi)C1=45元(在本階段的費(fèi)用) 缺貨費(fèi)C2=1250元(在本階段的費(fèi)用) 求該廠存儲策略。：求解 求解答 該廠存儲策略每當(dāng)存儲I80時補(bǔ)充存儲，使存儲量達(dá)到100， 每當(dāng)存儲I80時不補(bǔ)充。 例12 某市石油公司，下設(shè)幾個售油站。 石油存放在郊區(qū)大型油庫里，需要時用汽車將油送至各

18、售油站。該公司希望確定一種補(bǔ)充存儲的策略，以確定應(yīng)儲存的油量。該公司經(jīng)營石油品種較多，其中銷售量較多的一種是柴油。因之希望先確定柴油的存儲策略。 經(jīng)調(diào)查后知每月柴油出售量服從指數(shù)分布，平均銷售量每月為一百萬升。其密度為： 柴油每升2元，不需訂購費(fèi)。由于油庫歸該公司管轄，油池灌滿與未灌滿時的管理費(fèi)用實(shí)際上沒有多少差別，故可以認(rèn)為存儲費(fèi)用為零。如缺貨就從鄰市調(diào)用，缺貨費(fèi)3元/升。求柴油的存儲策略。解 根據(jù)例12中條件知C1=0，C3=0，K=2，C2=3，計算臨界值。利用(13-31)式,由觀察，它有唯一解s=S，3.4 模型八：需求和備貨時間都是隨機(jī)離散的模型八：需求和備貨時間都是隨機(jī)離散的 (

19、僅通過具體例題介紹求解法僅通過具體例題介紹求解法) 若若t時間內(nèi)的需求量時間內(nèi)的需求量r是隨機(jī)的，其概率是隨機(jī)的，其概率t(r)已知，已知，單位時間內(nèi)的平均需求為單位時間內(nèi)的平均需求為也是已知的，則也是已知的，則t時間時間內(nèi)的平均需求為內(nèi)的平均需求為t。備貨時間。備貨時間x是隨機(jī)的，其概是隨機(jī)的，其概率率P(x)已知。已知。 設(shè)設(shè) 單位貨物年存儲費(fèi)用為單位貨物年存儲費(fèi)用為C1，每階段單位貨物，每階段單位貨物缺貨費(fèi)用為缺貨費(fèi)用為C2，每次訂購費(fèi)用為，每次訂購費(fèi)用為C3，年平均需求，年平均需求為為D。由于需求、備貨時間都是隨機(jī)的，應(yīng)有緩。由于需求、備貨時間都是隨機(jī)的，應(yīng)有緩沖沖(安全安全)存儲量存

20、儲量B，以減少發(fā)生缺貨現(xiàn)象。，以減少發(fā)生缺貨現(xiàn)象。 L：訂貨點(diǎn)，：訂貨點(diǎn)，B：緩沖存儲量，：緩沖存儲量，x1,x2,備貨時間備貨時間 (見圖見圖13-11)。圖13-11 問如何確定緩沖存儲量B，訂貨點(diǎn)L，以及訂貨量Q0，使總費(fèi)用最小?對這種類型問題的解法 PL的計算很繁，簡化計算例例13 (模型八)某廠生產(chǎn)中需用鋼材，t 時間內(nèi)需求的概率服從泊松分布：例13例 13 年存儲費(fèi)用每噸為50元，每次訂購費(fèi)用為1500元，缺貨費(fèi)用每噸為5000元，問每年應(yīng)分多少批次?又訂購量Q，緩沖存儲量B，訂貨點(diǎn)L，各為何值才使費(fèi)用最少? 解： )(1465036515002CD2CQ13o噸)(5 . 2146356QDnoo次下面計算L及B，各步算出的數(shù)值列于表13-5。續(xù) 表13-5續(xù) 表13-5根據(jù)表13-5算出PL、B和費(fèi)用的數(shù)值見表13-6。說明: 備貨時間小于13，或大于18者，因?yàn)樗鼈兊母怕屎苄?，故略去?L的選值可以多一些，如保證可以選到最小值，L選值也可少一些。由表中可以看到當(dāng)L=25，B=10費(fèi)用588*為最小。據(jù)此