信號(hào)與系統(tǒng)6(全)

1、連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的S域分析 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的模擬連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域分析 從傅立葉變換到拉普拉斯變換從傅立葉變換到拉普拉斯變換 單邊拉普拉斯變換及其存在的條件單邊拉普拉斯變換及其存在的條件 常用信號(hào)的拉普拉斯變換常用信號(hào)的拉普拉斯變換 拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系 拉普拉斯變換反變換拉普拉斯變換反變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換s1f (t)=etu(t) 0的傅里葉變換？將將f(t)乘以衰減因子乘以衰減因子e- tdteetf

2、etfFtjtt)()(dteetjt)(00)(dtetsjs令若 不存在!推廣到一般情況推廣到一般情況令s= +jdteetfetfFtjtt)()(dtetftj)()()()(sFdtetfstdtetfsFst)()(定義：定義：對(duì) f(t)e-t求傅里葉反變換可推出dsesFjtfjjst)(21)(拉普拉斯正變換拉普拉斯反變換拉普拉斯變換符號(hào)表示及物理含義)()(tfLsF)()(sFtfL符號(hào)表示：)()(1sFLtf物理意義：物理意義：信號(hào)f(t)可分解成復(fù)指數(shù)est的線性組合F(s)為單位帶寬內(nèi)各諧波的合成振幅，是密度函數(shù)。s是復(fù)數(shù)稱為復(fù)頻率，F(xiàn)(s)稱復(fù)頻譜。關(guān)于積分下限

3、的說(shuō)明：關(guān)于積分下限的說(shuō)明：二、單邊拉普拉斯變換及其二、單邊拉普拉斯變換及其存在的條件存在的條件積分下限定義為積分下限定義為零的左極限零的左極限，目的在于分析，目的在于分析 和計(jì)算時(shí)可以直接利用起始給定的和計(jì)算時(shí)可以直接利用起始給定的0 0- -狀態(tài)。狀態(tài)。0)()(dtetfsFstjjstdsesFjtf)(21)(單邊拉普拉斯變換單邊拉普拉斯變換單邊拉普拉斯變換存在的條件 Cdtetft| )(|對(duì)任意信號(hào)f(t) ，若滿足上式，則 f(t)應(yīng)滿足0)(limttetf(0)充要條件為：0稱收斂條件稱收斂條件收 斂 區(qū)j00稱絕對(duì)收斂坐標(biāo)稱絕對(duì)收斂坐標(biāo)S平面右半平面左半平面例例 計(jì)算下列

4、信號(hào)拉普拉斯變換的收斂域)()() 1 (tutu)()2(tu)()3(3tuet)()4(tutn2,)5(ttet Cdtetft| )(|0)(limttetf或分析：求收斂域即找出滿足的取值范圍。收斂域?yàn)槿玈平面030不存在（1 1）指數(shù)型函數(shù)）指數(shù)型函數(shù)e t u(t)三、三、 常用信號(hào)的拉普拉斯變換常用信號(hào)的拉普拉斯變換sdteetueLsttt1)(0stuet1)(01)(0jstuetj)(1)(00)(00jstuetj同理：00正弦信號(hào))(2)(cos000tueetuttjtj20200)11(21ssjsjs)(2)(sin000tujeetuttjtj202000

5、)11(21sjsjsj00(2) (2) 階躍函數(shù)階躍函數(shù)u(t)stueLtuLt1)(lim)(00)Re(0s或)(),()3()(ttndtettLst0)()(1)Re(sdtettLst0)()(0)(tstedsdsdtettLstnn0)()()()(0)() 1(tstnnnedsdns(4) (4) t的正冪函數(shù)的正冪函數(shù)t n, ,n為正整數(shù)為正整數(shù)dtetsnestdtettutLstnstnstnn0100)()()(dtetsnstn01)(1tutLsnn根據(jù)以上推理,可得)(1)()(21tutLsnsntutLsntutLnnn)(12210tutLsssn

6、snsn0)Re(,!)(1ssntutnLn)Re(1 )(sstueLt)Re( 1)(sstueLt0)Re( 1 )(0 0sjstueLtj0)Re( 1 )(0 0sjstueLtj0)Re( )( cos202 0ssstutL-Re(s) 1 )(Lt0)Re( )( sin20200sstutL-Re(s) )()(nLnst0)Re( s1 )(stuL0Re(s) s1 )(2 Lttu0Re(s) ! )(1 nLnsntut-Re(s) )(1 )(2stuteLt0202000-Re(s) )( )( cos0sstuteLt0202000-Re(s) )(s )(

7、sin0Ltttue0Re(s) )(s )(cos22022020sttutL0Re(s) )(2 )(sin220200ssttutL四、拉普拉斯變換與傅里葉四、拉普拉斯變換與傅里葉變換變換的關(guān)系的關(guān)系例計(jì)算下列信號(hào)的拉普拉斯變換與傅里葉變換)(3tuet)(3tuet)(2costut解：時(shí)域信號(hào)傅里葉變換 拉普拉斯變換)(3tuet)(3tuet)(2costut31j331s不存在331s)2()2(24)(2jj0412s結(jié)論：結(jié)論：（1）當(dāng)收斂域包含軸時(shí)，拉普拉斯變換和傅里葉 變換均存在。jssFjF)()(（2）當(dāng)收斂域不包含軸時(shí)，拉普拉斯變換存在而 傅里葉變換不存在。（3）當(dāng)

8、收斂域的收斂邊界位于軸時(shí)，拉普拉斯變換 和傅里葉變換均存在。)()()(nnnjsKsFjF例 由F(s)求F(j )4)4(2ss0)9(12ss解：1)收斂域-4包含j 軸2)4()()(jjsFjFjs2）收斂域的收斂邊界位于j 軸sjsjssF1913118131181)()(9)3() 3(18)9(1)(2jjF)()()(nnnjsKsFjF五、拉普拉斯變換的性質(zhì)1 1、線性特性、線性特性若若則則111)Re()()(ssFtfL222)Re()()(ssFtfL)()()()(22112211sFasFatfatfaL),max()Re(21s2 2、展縮特性、展縮特性若若則則

9、0)Re()()(ssFtfL0)(1)(asFaatfL0)Re(as3 3、時(shí)移特性、時(shí)移特性若若0)Re()()(ssFtfL0)()()(0000tsFettuttfstL0)Re(s則則4 4、卷積特性、卷積特性111)Re()()(ssFtfL222)Re()()(ssFtfL)()()(*)(2121sFsFtftfL),max()Re(21s5 5、乘積特性、乘積特性111)Re()()(ssFtfL222)Re()()(ssFtfL)(*)(21)()(2121sFsFjtftfL21)Re(s0)()(sFtfeLt0)Re(s0)Re()()(sdssdFttfL0)Re

10、()()(ssFtfL乘積性質(zhì)兩種特殊情況：乘積性質(zhì)兩種特殊情況：1. 指數(shù)加權(quán)性質(zhì)若則2.線性加權(quán)性質(zhì)6 6、微分特性、微分特性0)Re()()(ssFtfL0)Re()0()()(sfssFdttdfL證明0)()(dtedttdfdttdfLstdtsetfetfstst)()(000)()0(dtetfsfst)0()(fssF重復(fù)應(yīng)用微分性質(zhì)，求得：)0( )0()()(222fsfsFsdttfdL)0(.)0( )0()()(121nnnnnnffsfssFsdttfd101)0()(nrrrnnfssFs若f(t)=0, t0, 則有f r(0 ) = 0，r=0,1,2,.)

11、()(sFsdttfdnLnn7 7、積分特性、積分特性0)Re()()(ssFtfLsfssFdfLt)0()()(1)0,max()Re(0s若f 1(0)， 則有ssFdfLt)()(ttdfLdfLdfL00)()()(證明證明其中， 右邊第一項(xiàng)sfdfL)0()(10第二項(xiàng)按部分分式，得dtedfdfLsttt000)()(000)(1)(dtetfsdfsesttstssF)(8 8、初值定理和終值定理、初值定理和終值定理0)Re()()(ssFtfL)()0()(limlim0ssFftfst)()()(limlim0ssFftfst六、拉普拉斯反變換六、拉普拉斯反變換部分分式展

12、開(kāi)法部分分式展開(kāi)法計(jì)算拉普拉斯反變換方法：計(jì)算拉普拉斯反變換方法：1. 利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理2. 采用部分分式展開(kāi)法jjstdsesFjtf)(21)(例 采用部分分式展開(kāi)法求下列的反變換sssssF342)() 1 (233) 1(2)()2(ssssF2442)()3(23sssssF解：解：sssssF342)() 1 (23F(s)為有理真分式，極點(diǎn)為一階極點(diǎn)。)3)(1(2342)(23sssssssssF31321sksksk32)3)(1(2)()(001ssssssFsk21)3(2)() 1(112ssssssFsk61) 1(2)()3(333ssssssFsk)(61

13、)(21)(32)(3tuetuetutftt解：解：3) 1(2)()2(ssssF342321) 1() 1() 1()(sksksksksF2) 1(2)(0301ssssssFk32)() 1(1134sssssFsk2)2()() 1(1133ssssdssFsdk2)2()() 1(1 12322ssssdssFsdk)()23222(2tuetteettt解：解：2442)()3(23sssssFF(s)為有理假分式,將F(s)化為有理真分式2412204)(2sssssF241220)(4)()(21sssLtttf)(6 . 0)(6 .20)(4)()(45. 045. 4

14、tuetuetttftt歸納：歸納：01110111)()()(asasasbsbsbsbsDsNsFnnnmmmm(1) F(s)為有理真分式( m n)，極點(diǎn)為一階極點(diǎn)一階極點(diǎn))()()()()()(21npspspssNsDsNsFnnpskpskpsksF2211)(nisFpskipsii, 2 , 1)()()()()(2121tuekekektftpntptpn(2) F(s)為有理真分式( m n)，極點(diǎn)為r重階極點(diǎn)重階極點(diǎn))()()()()()()(11nrrpspspssNsDsNsFnnrrrrpskpskpskpskpsk11121211)()(rjsFpsdsdjrk

15、rjrjrj, 2 , 1)()()!(11nrrisFpskipsii, 2, 1)()(3) F(s)為有理假分式有理假分式( m n )()()()()(110sDsNsBsBBsDsNsFnmnm)()(1sDsN為真分式，根據(jù)極點(diǎn)情況按(1)或(2)展開(kāi)。)(00tBBL)(11tBsBL)()(tBsBnmnmLnm例 求下列F(s)的反變換)4(1)()3(22ssesFs)4(31)()2(22sssF22)4(8)() 1 (sssF解：2)4(881)(sssF4)4(1221sksk24)88()()4(1421ssssFsk8)88()()4(422ssFsdsdks)

16、(24)(8)()(44tuetutettftt22)4(8)() 1 (sssF解：令s2=q, )4(31)()2(22sssF)4(31)(qqsF則)4(3121qkqk41)4(101qqqqk41)4(1)4(42qqqqk)4(4141(31)(22sssF于是)()2sin21(121)(tutttf解：的反變換先用部分分式求)4(1)(21sssF的反變換再利用時(shí)移特性求)4()(222ssesFs)4(1)()3(22ssesFs4)4(1)(232121sksksksssF04141321kkk)()2cos1 (41)(1tuttf)2()2(2cos1 41)(2tu

17、ttfk2, k3用待定 系數(shù)法求信號(hào)的復(fù)頻域分析小結(jié) 信號(hào)的復(fù)頻域分析實(shí)質(zhì)是將信號(hào)分解為復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合。 信號(hào)的復(fù)頻域分析使用的數(shù)學(xué)工具是拉普拉斯變換。 利用基本信號(hào)的復(fù)頻譜和拉普拉斯變換的性質(zhì)可對(duì)任意信號(hào)進(jìn)行復(fù)頻域分析。 復(fù)頻域分析主要用于線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)的分析。連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的復(fù)頻域分析連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的復(fù)頻域分析 微分方程描述系統(tǒng)的微分方程描述系統(tǒng)的S S域分析域分析 電路的電路的S S域模型域模型微分方程描述系統(tǒng)的s域分析時(shí)域差分方程時(shí)域差分方程時(shí)域響應(yīng)時(shí)域響應(yīng)y(t)s域響應(yīng)域響應(yīng)Y(s)拉氏變換拉氏變換拉氏反變換拉氏反變換解微分方程解代數(shù)方程s域代數(shù)方程域代數(shù)方程二階系統(tǒng)響應(yīng)的S

18、域求解)()(212202122tfbdtdfbdtfdbtyadtdyadtyd已知 f (t)，y(0)，y (0) ，求y(t)。(1) 經(jīng)拉氏變換將域微分方程變換為s域代數(shù)方程(2) 求解s域代數(shù)方程，求出Yx(s), Yf (s)(3) 拉氏反變換，求出響應(yīng)的時(shí)域表示式求解步驟：求解步驟：)0( )0()(2ysysYs)()0()0( )0()(21221202121sFasasbsbsbasasyaysysY)()()(2120sFbssFbsFsb)()(1sYsYLfx)()()(tytytyxfYx(s)Yf (s)y”(t)a1y(t)a2y (t)()( )( 210t

19、fbtfbtfb)0()(1yssYa)(2sYa 系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+8f(t)激勵(lì)f(t)=e-tu(t)，初始狀態(tài)y(0)=3， y(0-)=2，求響應(yīng)y(t)。例1：解解 ：對(duì)微分方程取拉氏變換可得：對(duì)微分方程取拉氏變換可得)(8)(2)(6)0()( 5)0()(2sFssFsYyssYsysYs) 65()0( )0() 5()(6582)(22ssyyssFssssY)()(sYsYxf3821165173)(2ssssssYx)()811()()(321tueesYLtyttxx)()43 ()()(321tueeesY

20、Ltytttff11) 3)(2(82116582)(2sssssssssYf)()773 ()()()(32tueeetytytytttxf) 3(12413sss電路的電路的s s域模型域模型時(shí)域時(shí)域復(fù)頻域復(fù)頻域tccLLRRdictdttdiLttRit)(1)()()()()()()(sRIsVRR)0()()(LLLLissLIsV)0(1)(1)(cccVcsIscsVR、L、C串聯(lián)形式的串聯(lián)形式的s域模型域模型RIR(s)VR(s)sL)0(LLiIL(s)VL(s)sC1)0(1cvsIC(s)VC(s) 例例2 2圖示電路初始狀態(tài)為圖示電路初始狀態(tài)為vc(0(0- -)=-)

21、=-E, , 求電容兩端電壓求電容兩端電壓 vc( (t t).).RCvC(t)i(t)Eu(t)RsE)(sIVC(s)1/sC E /s解：解：建立電路的s域模型由s域模型寫(xiě)回路方程sEsEsIsCR)()1(求出回路電流)1(2)(sCRsEsIsEsCsIsVC)()()121(RCssE0),21 ()(1teEtvtRCc電容電壓為系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)與系統(tǒng)特性與系統(tǒng)特性 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(s) 系統(tǒng)函數(shù)的定義 H(s)與h(t)的關(guān)系 s域求零狀態(tài)響應(yīng) 求H(s)的方法 零極點(diǎn)與系統(tǒng)時(shí)域特性零極點(diǎn)與系統(tǒng)時(shí)域特性 零極點(diǎn)與系統(tǒng)頻響特性零極點(diǎn)與系統(tǒng)頻響特性 連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性連

22、續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)函數(shù)H(s)(1)定義：系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，輸出的拉氏變換式 與輸入的拉式變換式之比，記為H(s)。)()()()()(sFsYtfLtyLsHff(2) H(s)與h(t)的關(guān)系： )()(thLsH)()(1sHLthh(t)(t) yf(t)= (t)*h(t)(1)()()()(thLthLtfLtyLsHf)(th一、系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)函數(shù)H(s)(3)求零狀態(tài)響應(yīng)：(4)求H(s)的方法： 由系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求解：H(s)=Lh(t)由系統(tǒng)的微分方程寫(xiě)出H(s)()()(tfLtyLsHfh(t) H(s)f(t)yf(t)=f(t)*h(t)F(s)

23、Yf(s)=F(s)H(s)由定義式二、零極點(diǎn)與時(shí)域特性二、零極點(diǎn)與時(shí)域特性 零極點(diǎn)分布圖零極點(diǎn)分布圖01110111)(asasasabsbsbsbsHnnnnmmmm)()()()(2121nmmssssssrsrsrsb極點(diǎn)零點(diǎn)j0u(t)et u(t)et u(t)11H(s)與與h(t) 的關(guān)系的關(guān)系.31111)位于 軸的單極點(diǎn)11ss111sj011sin(t) e-t u(t)sin(t) et u(t)sin(t) u(t)11)1)(1(1jsjs )(1jsjs )1)(1(1jsjs 三、零極點(diǎn)與系統(tǒng)頻響特性三、零極點(diǎn)與系統(tǒng)頻響特性 頻響特性是指系統(tǒng)在正弦信號(hào)激勵(lì)之下頻

24、響特性是指系統(tǒng)在正弦信號(hào)激勵(lì)之下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨信號(hào)頻率的變化情況。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨信號(hào)頻率的變化情況。jssHjH)()()()()(jHjH系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，令H(s)中 s =j ，則得系統(tǒng)頻響特性頻響特性幅頻特性相頻特性系統(tǒng)頻響特性系統(tǒng)頻響特性niimjjpszsKsH11)()()(對(duì)于零極增益表示的系統(tǒng)函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，令s=j，則得niimjjpjzjKjH11)()()(復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)a和和b及及a- -b的向量表示的向量表示j0aba-bj0ab|a-b|系統(tǒng)函數(shù)的向量表示系統(tǒng)函數(shù)的向量表示j0ipjzjijiDjNjjjjeNz)j (ijiieDp)j ( 11)(ssH11)()(jsHjHj

25、s-1jajj1) 1 (0D1Db050.81)(jH1510-90o0)(j例已知，求系統(tǒng)的頻響特性。11)(00DjH00)(00j211)(11DjH4510)(111tgj01)(DjH900)(0j解四、四、H(s)與系統(tǒng)的穩(wěn)定性與系統(tǒng)的穩(wěn)定性因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)在s域有界輸入有界輸出(BIBO)的充要條件是系統(tǒng)函數(shù)H(s)的全部極點(diǎn)極點(diǎn)位于的 左半左半s平面平面。連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是Shd)(例判斷下述系統(tǒng)是否穩(wěn)定。)2)(1(3)(1ssssH2220)(sssH（1）極點(diǎn)為s= -1和s= 2，都在s左半平面。)2)(1(3)()(

26、)(11sssssHsFsY22/1122/1sss)()(111sYLty)()21221(2tueett顯然輸出也有界，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。若激勵(lì)為有界輸入u(t)，則其輸出為解:（2）極點(diǎn)為j0，是虛軸上的一對(duì)共軛極點(diǎn)。22020202202022)()()()()()(ssssssHsFsY)()(212sYLty)()sin(210tutt顯然，輸出不是有界信號(hào)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。若激勵(lì)為有界輸入sin(0 t )u(t)，則其輸出為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的模擬連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的模擬 系統(tǒng)的基本聯(lián)接系統(tǒng)的基本聯(lián)接 系統(tǒng)的級(jí)聯(lián) 系統(tǒng)的并聯(lián) 反饋環(huán)路 連續(xù)系統(tǒng)的模擬框圖連續(xù)系統(tǒng)的模擬框圖 直接型結(jié)構(gòu) 級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu) 并聯(lián)型結(jié)構(gòu)1)1)系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的級(jí)聯(lián))()()(2sXsHsY)()()(12sFsHsH系統(tǒng)的基本聯(lián)接系統(tǒng)的基本聯(lián)接2)系統(tǒng)的并聯(lián))()()()()(21sXsHsXsHsY)()()(21sFsHsH3)反饋環(huán)路)()()(sKsEsY)()()()(sYssFsE)()()(1)()(sFsKssKsY)()(1)()(sKssKsH連續(xù)系統(tǒng)的模擬框圖連續(xù)系統(tǒng)的模擬框圖01110111)