安全車距問題

1、青島工學院數(shù)學建模競賽隊員1：XXX 2013級通信1班隊員2：XXX 2013級電信1班隊員3：XXX 2014級通信1班安全車距問題摘要 本文分析了公路上交通事故發(fā)生的主要因素是與駕駛員的操作有關(guān)。通過對駕駛員的反應(yīng)能力、速度判斷和公路上汽車的行駛特性進行分析，從既可避免發(fā)生追尾碰撞事故，又不影響道路通行能力兩個方面著手，給出了公路上行車的安全距離的計算方法，并且根據(jù)國內(nèi)公路的實際情況給出了具體的計算結(jié)果，建立了安全車距的數(shù)學模型。 針對問題一，我們在基本安全車距模型的基礎(chǔ)上，對其進行了優(yōu)化，采用了一種可以實施混合學習算法的的自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)（ANFIS）結(jié)構(gòu)，對車輛縱向運動跟車間距

2、控制問題進行了研究，設(shè)計了基于自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)的公路臨界安全車距模型。 針對問題二，經(jīng)分析表格給出的時間與速度關(guān)系。數(shù)據(jù)給出的是時間間隔較大的散點，不能直接得出被積函數(shù)，所以采用MATLAB中 Curve Fitting Tool擬合出函數(shù)曲線。通過對該曲線進行積分運算，得出路程的函數(shù)表達式。對數(shù)據(jù)進行二分法 得出t=60，即上午9點到達B地。關(guān)鍵詞：臨界安全車距，ANFIS，線性擬合，二分法1、 問題重述 問題一：根據(jù)駕駛員行車時的情況，采用自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)，分析確定行車時的安全車距，由此判別“3秒車距”經(jīng)驗方法的合理性。建立A、B行車途中的安全車距的數(shù)學模型。分析行駛在同一車道

3、的A、B兩車之間為保證交通安全而必須保持的安全車距，通過所得模型來確定當速度分別為100km/h、80km/h和60km/h時對應(yīng)的A、B兩車的安全車距，并利用所得結(jié)果與“3秒車距”的說法進行對比，判斷該方法是否合理。問題二：根據(jù)A車行駛過程中的速度記錄，建立數(shù)學模型來確定A、B兩地距離為80km時，如果這輛車在t=0（上午8點）從A地出發(fā)，會在什么時間到B地。2、 問題分析問題的本質(zhì)： 問題一：建立安全車距的數(shù)學模型，找出臨界的安全車距，并根據(jù)實際情況，判斷模型的合理性。 問題二：由所給數(shù)據(jù)擬合出函數(shù)曲線，找出路程與時間的映射關(guān)系，從而確定與題設(shè)路程相對應(yīng)的時間值。解決問題的難點和關(guān)鍵：1.

4、前車的運動狀態(tài)情況眾多，故無法確定2. 模糊集的設(shè)定需根據(jù)經(jīng)驗得出3. 擬合后偏離曲線的點較多，增大誤差三、模型假設(shè) 為獲得兩車之間的臨界安全車距，進行理論分析，必須對高速公路上的這一過程作一具體分析，并進行必要的簡化。主要采取的簡化措施有如下4條： 1）將在公路上汽車短時間內(nèi)的運動簡化為一勻速運動。設(shè)公路上某一瞬間，前車A以速度勻速前進，后車B以速度前進。此時，前車A與后車B之間的距離為S。 2）隨著時間的推移，前車A與后車B之間的距離狀況有兩種變化趨勢，一種情況是兩車之間的距離越來越大，這顯然不存在安全車距問題，不是所要討論的過程；我們所關(guān)心的是另一種情況，即前后兩車之間的距離越來越小，如

5、不采取措施就會發(fā)生追尾碰撞。其中，最危險的莫過于前車制動、后車加速或者前車制動、后車仍以原速高速前進這兩種情況。但這兩種情況也不是在這里所要討論的，那種情形只可能是后車試圖超越前車，或者兩車并不在同一車道上，或者是人為的碰撞行為。顯然，所討論的情況是：公路上前后兩車在同一車道上同向運動，后車尚無意超前車，只是跟隨前車在運動，某一時刻前車A突然制動，經(jīng)過一定反應(yīng)時間后，后車B發(fā)現(xiàn)兩車之間的距離在不斷減少，于是馬上進行制動以避免兩車之間的碰撞（假設(shè)沒有采取操縱方向盤進行躲避的可能或行為）。在這種后車采取制動的情況下，前后兩車仍不至于發(fā)生碰撞，我們定義這種情形下在前車制動前瞬間兩車必須保持的最小距離

6、即為臨界安全車距。 3）忽略制動力波動、空氣阻力及地面附著系數(shù)的變化。4）假設(shè)前后兩車車型和車況相同，駕駛員狀況一致。即假設(shè)兩車制動時的有關(guān)參數(shù)相同且駕駛員的反應(yīng)狀況也一樣。四、符號說明：A、B兩車行駛途中的安全距離：A、B兩車行駛途中的臨界安全距離：路面間的附屬條件：前車制動減速度：后車制動減速度：制動操作反應(yīng)時間：制動傳遞延遲時間：制動力增長時間：制動完成后A、B兩車的距離：與的相對速度：安全系數(shù)：為A車開始制動到B車駕駛員發(fā)現(xiàn)前車速度慢下來所經(jīng)歷的時間：B車采取制動執(zhí)行時間（同A）：B車減速度增長階段的時間（制動系協(xié)調(diào)時間）：B車勻減速階段的時間：B車制動前的初速度：B車在時刻的末速度（

7、時刻的初速度）（與A相同）：B在時刻的末速度：B車的最大制動減速度（與A相同）：B車行駛的距離：B車在發(fā)現(xiàn)A車速度慢下來所經(jīng)歷的時間內(nèi)行駛的距離，：B車在采取制動動作時間內(nèi)行駛的距離：B車在減速度增長階段時間內(nèi)行駛的距離：B車在勻減速階段時間內(nèi)行駛的距離：反應(yīng)時間：動作時間：A車的反應(yīng)及動作時間：A車減速度增長階段的時間：A車勻減速階段的時間：A車制動前的初速度：A車在時刻的末速度（時刻的初速度）（與B相同）：A在時刻的末速度：A車的最大制動減速度（與B相同）：A車行駛的距離：A車在反應(yīng)及動作時間內(nèi)行駛的距離：A車在減速度增長階段時間內(nèi)行駛的距離：A車在勻減速階段時間內(nèi)行駛的距離5、 模型的建

8、立與求解第一部分：前期分析 安全車距：即安全行車間距，指行駛在高速公路上同一車道的后車B與前車A之間為保證交通安全而必須保持的行車間距，如果前、后兩車行車間距保持在此距離以上，則不會發(fā)生追尾碰撞類交通事故。臨界安全車距：即臨界安全行車間距，是指為保證安全而兩車之間必須保持的最小行車間距。臨界安全車距的計算模型 同一車道前后跟隨兩車在行駛，當前車制動時，其制動信號燈可能被后車及時發(fā)現(xiàn)，也可能未被后車及時發(fā)現(xiàn)，在這兩種情況下的行車安全距離肯定是不一樣的。在計算行車安全距離時，筆者認為駕駛員都是在注意力集中的情況下駕駛車輛的。如果前車突然制動停車，后車及時發(fā)現(xiàn)前車制動信號燈亮后隨之制動，并以不撞上前

9、車、且停車后與前車保持5m間距為前提來確定其安全車距。建立汽車臨界安全車距的計算模型，當后車駕駛員及時發(fā)現(xiàn)前車制動信號燈亮時隨之制動直至停車，需要經(jīng)過三段時間，即后車駕駛員制動反應(yīng)時間、后車制動協(xié)調(diào)時間和持續(xù)制動時間，在這三段時間內(nèi)汽車所行使的距離分別為、和，它們的和則是后車的制動距離。當車速以km/h為單位，距離以m為單位時，則可用勻速公式求出（忽略空氣阻力和滾動阻力）為：1 式中：為后車駕駛員的制動反應(yīng)距離（m）；為后車制動前的初速度（km/h）；為后車駕駛員制動反應(yīng)時間。制動系協(xié)調(diào)時間由制動傳遞延遲時間和制動力增長時間組成，主要取決于駕駛員踩踏板的速度和制動器的結(jié)構(gòu)形式，在制動傳遞延遲時

10、間內(nèi)，因汽車尚未產(chǎn)生制動力，所以仍以制動前的初速度勻速運動，故其間所走的距離為：在制動力增長時間內(nèi)，制動力成線性型增長為變減速運動，經(jīng)積分變換后可求得該段時間內(nèi)所走距離為：制動系協(xié)調(diào)時間內(nèi)汽車所走的距離為：2 式中：為后車制動協(xié)調(diào)距離（m）；為后車制動減速度（）。在持續(xù)制動時間內(nèi)，汽車作勻減速運動，根據(jù)勻減速運動規(guī)律，可求得該時間內(nèi)汽車所走的距離為：3 式中：為后車持續(xù)制動距離（m）。后車的制動非安全距離為式、的和，略去二次微分可得4 式中：為后車的制動距離（m）。同理可得前車的持續(xù)制動距離簡化公式5式中為前車持續(xù)制動距離（m）；為前車制動減速度（）；為前車制動前的初速度（km/h），因高速公

11、路為穩(wěn)定交通流，可認為前后兩車制動前的初速度是相等的。為簡化起見，令，稱為制動操作反應(yīng)時間，因僅為零點幾秒，其1/2會更小，故可忽略不計。則前后兩車的行車安全距離為：6 第二部分：建立模型及求解問題一模型建立： 目標函數(shù)： 約束條件：模型求解： 同一車道前后跟隨兩車在行駛，當前車制動時，其制動信號燈可能被后車及時發(fā)現(xiàn)，也可能未被后車及時發(fā)現(xiàn)，在這兩種情況下的行車安全距離肯定是不一樣的。在計算行車安全距離時，筆者認為駕駛員都是在注意力集中的情況下駕駛車輛的。如果前車突然制動停車，后車及時發(fā)現(xiàn)前車制動信號燈亮后隨之制動，并以不撞上前車、且停車后與前車保持=5m間距為前提來確定其安全車距。根據(jù)中國當

12、前公路的實際情況，我們?nèi)。浩囆旭偟某跛俣葹?0130km/h，停車后引導車與跟隨車間的安全距離；后車駕駛員制動反應(yīng)時間=0.560s；制動協(xié)調(diào)時間取其平均值。下面分兩種情況進行計算： 考慮一般情況，即后車與前車的制動強度大致相等，即假設(shè)，則后車B的安全距離為：當時，當時，當時，（1） 考慮最不利的情況：后車的制動強度小于前車的制動強度，采用文獻提供的數(shù)據(jù)，取前車制動減速度，而后車的制動減速度，后車B的安全距離為：當時，當時，當時，3秒車距的計算結(jié)果為：當時，當時，當時，由上述討論可得：當后車與前車的制動強度大致相等時，后車速度為100時，安全距離為34.44；后車速度為80時，安全距離為28

13、.55；后車速度為60時，安全距離為22.66。當后車的制動強度小于前車的制動強度時，后車速度為100時，安全距離為63.89；后車速度為80時，安全距離為45.60；后車速度為60時，安全距離為30.06。與3秒車距的經(jīng)驗說法相比較：當后車速度為100時，當后車速度為80時，當后車速度為60時，綜合得出3秒車距的安全距離說法是正確的。模型分析： 由公式可以看出影響行車安全距離的因素主要有前后兩車的制動初速度、后車的制動操作反應(yīng)時間、前后兩車的制動強度、，即，其中制動強度受到輪胎與路面間的附屬條件的限制，因而可用值表征、。值受天氣與路面情況的影響，制動操作反應(yīng)時間則因不同駕駛員而異。其值均不易

14、具體量化，但可以說駕駛員的反應(yīng)慢或反應(yīng)快，路面干、較干、濕、很濕、滑等，也就是說，這些值均具有模糊性，因而能利用模糊規(guī)則處理結(jié)構(gòu)化知識的特點建立臨界安全車距模型；考慮到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處理數(shù)值化知識的特點，該文采用神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)（ANFIS）建立高速公路臨界安全車距模型。 本文所采用的是在功能上與模糊推理系統(tǒng)等價的自適應(yīng)網(wǎng)路，稱為ANFIS，它表示基于自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的模糊推理系統(tǒng)或自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)。假設(shè)所考慮的模糊推理系統(tǒng)有兩個輸入x和y，單輸出f。模糊推理系統(tǒng)采用一階Sugeno模糊模型，則具有兩條If-then規(guī)則的普通規(guī)則集如下：規(guī)則1：如果x是A1 and y是B1，那么規(guī)則2：如果x是A

15、2 and y是B2，那么則Sugeno模型的推理機制為： 式中：，分別為規(guī)則1,2的激勵強度，分別為規(guī)則1,2的歸一化激勵強度。這里的同一層結(jié)點具有相同函數(shù)。（記層1的第i結(jié)點的輸出為）層1：在這一層的每個結(jié)點i是一個有結(jié)點函數(shù)的自適應(yīng)結(jié)點：或者這里x（或y）是結(jié)點的輸入，A（或B）是與該結(jié)點有關(guān)的語言表示（如“小”或“大”）。換句話說，是模糊集的隸屬度，并且它確定了給定輸入x（或y）滿足A的程度。這里假設(shè)A的隸屬度函數(shù)為高斯函數(shù)：式中是參數(shù)集。當這些參數(shù)的值改變時，隸屬度函數(shù)隨之改變。本層參數(shù)稱為前提參數(shù)。層2：在這一層的每個結(jié)點是一個表以的固定結(jié)點，它的輸出是所有輸入信號的“與”（這里采

16、用執(zhí)行模糊“與”的T范式Min算子）：每個結(jié)點的輸出表示一條規(guī)則的激勵強度。層3：在這一層的每個結(jié)點是一個表以N的固定結(jié)點。第i個結(jié)點計算第i條規(guī)則的激勵強度與所有規(guī)則的激勵強度之和的比值：本層的輸出稱為歸一化激勵強度。層4：在這一層的每個結(jié)點i是一個有結(jié)點函數(shù)的自適應(yīng)結(jié)點：式中是從層3傳來的歸一化激勵強度，是該結(jié)點的參數(shù)集。本層的參數(shù)稱為結(jié)論參數(shù)。層5：這一層的單結(jié)點是一個表以的固定結(jié)點，它計算所有傳來信號之和作為總輸出?？傒敵?這樣，我們就建立了一個功能上與Sugeno模糊模型等價的自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)。模型優(yōu)化：基于ANFIS的高速公里汽車臨界安全車距模型模型建立：目標函數(shù)：約束條件：模型求解：對

17、于，為簡化模型，這里考慮，即兩車的最大制動減速度相同（兩車的道路附著條件相同）。高速公路汽車車速一般行駛在50120公里/小時內(nèi)，車速的基本論域，不同的路面的最大減速度限制如表1所示。表1 不同路面最大減速度路面情況值（m/S2）干路面6.0濕路面5.5冰雪路面2.0因而值的基本論域為。后車的制動反應(yīng)時間包含有駕駛員反應(yīng)時間和制動傳遞延遲時間；駕駛員反應(yīng)時間在02秒范圍內(nèi)，制動傳遞延遲時間取為0.2秒。因此，制動反應(yīng)時間的基本論域為。在最不利條件按公式計算出最大臨界安全車距為244.2米，最小臨界安全車距為20.3米，因此臨界安全車距的基本論域為。最大減速度的模糊子集設(shè)為；制動反應(yīng)時間的模糊子

18、集設(shè)為；制動初始速度的模糊子集設(shè)為；臨界安全車距的模糊子集設(shè)為。語言值的隸屬度函數(shù)選用高斯形隸屬度函數(shù)，建立如下所示的模糊推理規(guī)則，產(chǎn)生的數(shù)據(jù)做為ANFIS系統(tǒng)的訓練數(shù)據(jù)，設(shè)初始步長0.01，在MATLAB中編程訓練建立高速公路汽車追尾的ANFIS模型。模糊推理規(guī)則表： 表2速度=100km/h，=1.1s時不同路面下的臨界安全車距路面情況干路面濕路面冰路面臨界安全車距（ANFIS模型）43.2108.6188.3臨界安全車距（計算模型）41.1112.8176.0表3路面情況為濕路面（即=5.5），=1.1s時不同車速下的臨界安全車距車速（公里/小時）5060708090100110120臨

19、界安全車距(ANFIS模型)40.650.665.479.298.1115.3142.2168.4臨界安全車距（計算模型）39.651.164.278.295.5112.8132.8152.6表4路面情況為干路面（即=6），=100km/h，不同制動反應(yīng)時間下的臨界安全車距制動反應(yīng)時間t（秒）020.50.81.11.51.82.12.2臨界安全車距（ANFIS模型）16.426.434.143.252.561.569.474.5六、模型評價及推廣 上述模型我們的假設(shè)前車A的運動初速度與后車B相等，且沒有細致討論前車A的運動狀態(tài)，接下來我們給出三種前車A的運動狀態(tài)情況，并逐一分析，作為安全行車

20、距離模型的推廣。 情況1：前車A以速度勻速前進，B以速度前進，,A與B的距離為S。B車發(fā)現(xiàn)緊急情況后，經(jīng)過反應(yīng)及動作時間，減速度增長階段，以及勻減速階段，最后B車以車速停于M點，解除追尾危機。在這段時間內(nèi)： 前車A的行駛距離為：，在階段，A車行駛的距離為：，在階段，A車行駛的距離為：，在階段，A車行駛的距離為：，其中 ，因此，=設(shè)車速單位為,則在階段，B車行駛的距離為：，在階段，制動減速度線性增長，即為，故有，在t=0時，故有 ，在時，在t=0時，S=0，所以，當時，在階段，后車B以做勻減速運動。其初速度為，末速度為故：，其中，帶入得，將代入得：后車B的制動距離為：設(shè)車速單位為，故上式可化為其

21、中，若前后輛車不相撞，從行駛速度上分析，則后車B制動后與前車A首尾相近時理想情況為兩車速度相等，即（包括速度均為零），否則兩車就會相撞（）或所得計算結(jié)果并非臨界距離（）。另外，若前后兩車不相撞，從行駛距離上必須滿足，即。代入及，并化簡得：取及為1s，為0.2s，則有設(shè)為相對速度，則即得臨界安全距離為考慮到車輛不同、駕駛員不同及路面狀況、車速、天氣不同等各種情況，實際臨界安全車距應(yīng)該在上述式中乘以一個安全系數(shù)N，N的大小可以借助于高性能儀器進行實驗與實踐加以測定，則情況2：在某一時刻，前車A以勻加速行駛，為后車B發(fā)現(xiàn)有可能與前車發(fā)生追尾時前車的瞬時速度。B以速度前進，其中，且后車的加速度要比前車

22、的大。A與B的距離為S，當后車B發(fā)現(xiàn)緊急情況，經(jīng)過反應(yīng)時間及動作時間，減速度增長階段，及勻減速階段，最后以車速停于M點，解除追尾危機。在這段時間內(nèi)：前車A的行駛距離為：由上面1得到后車B的行駛距離為：其中：則安全車距為同理，乘以一個安全系數(shù)N，N的大小可以借助于高性能儀器進行實驗與實踐加以測定，情況3：在某一時刻，前車A發(fā)現(xiàn)前方有緊急情況，經(jīng)過反應(yīng)及動作時間，減速度增長階段，以及勻減速階段，最后以車速停于M點。這種情況也是最危險的情況。同理由上面1可得前車A的行駛距離為設(shè)車速單位為，上式可化為同理，后車B駛過的總距離為其中，為前車開始制動到后車駕駛員發(fā)現(xiàn)前車速度慢下來所經(jīng)歷的時間。設(shè)為反應(yīng)時間

23、，則，前后兩車制動減速度增長時間及最大持續(xù)減速度相同，則式中為后車制動后末速度。顯然，臨界安全距離為同理，乘以一個安全系數(shù)N，N的大小可以借助于高性能儀器進行實驗與實踐加以測定，問題二 經(jīng)分析表格給出的時間與速度關(guān)系。數(shù)據(jù)給出的是時間間隔較大的散點，不能直接得出被積函數(shù)，所以采用MATLAB中 Curve Fitting Tool擬合出函數(shù)曲線。通過對該曲線進行積分運算，得出路程的函數(shù)表達式。模型建立首先將數(shù)據(jù)單位統(tǒng)一：時間：h，路程：Km，速度：Km/h在MATLAB中擬合的結(jié)果如下：導出曲線函數(shù)表達式：fittedmodel(x) = P1x9 + P2x8 + P3x7 + P4x6 +

24、 P5x5 + P6x4 + P7x3 + P8x2 + P9x + P10P1 = 8.443e+04 P2 = -5.17e+05P3 = 1.324e+06 P4 = -1.84e+06P5 = 1.505e+06 P6 = -7.383e+05P7 = 2.121e+05 P8 = -3.363e+04P9 = 2666 P10 = -10.07函數(shù)擬合使用九階多項式擬合，低階擬合效果較差。模型求解首先我們對邊界情況進行討論：情況1：達到80Km的時間點未落在給出的區(qū)間內(nèi)情況2：達到80Km的時間點落在給出的區(qū)間內(nèi)對最大值t=80積分后，結(jié)果為S=109.0548，符合情況2。然后對數(shù)

25、據(jù)采用二分法進一步確定到達B的時間。將所得的擬合函數(shù)進行積分，在積分結(jié)果中搜索與路程為80km相對應(yīng)的時間點t。double result;double low,high,mid;low = 0;high = 35;while(low=high)mid =(low + high)/2;result=integral(fittedmodel,0,mid,150); /調(diào)用自定義函數(shù)integral求解積分if(result=80)return mid;if(result80)high= mid 1;得出t=60，即上午9點到達B地。再從MATLAB中驗證每個時間點對應(yīng)的路程s=ones(1,36

26、);for i=1:36; s(i)=quad(fittedmodel,0,t(i),0);end繪制時間路程函數(shù)圖如下（以上午8點為坐標0）七、參考文獻1 鐘勇，姚劍鋒.行進中車輛臨界安全車距的探討J.湖南大學學報，2001;28（6）：55-592馬俊.高速公路行車安全距離的分析與研究J.西安交通大學學報，1998；18（4）：90-943徐杰，杜文，孫宏.跟隨車安全距離的分析J.交通運輸工程學報，2002；2（1）：100-1044楊偉，徐杰，李宗平.高速公路跟隨車安全車距的一種確定方法J.四川工業(yè)大學學報，2002；21（1）：20-235陳光武，侯德藻，李曉霞等.高速公路實用安全車距

27、計算模型J.人類工效學，2001；7（1）：42-436侯志祥，吳義虎，劉振聞.基于自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)的高速公路臨界安全車距研究J.計算機工程與應(yīng)用，2004;40（8）： 200-20218附錄#include#includeusing namespace std;/計算路程誤差的限定#define eps 0.001/散點時間表double z36= 0 ,0.0333 , 0.0667 , 0.1000 , 0.1333 , 0.1667 , 0.2000 , 0.2333 , 0.2667 , 0.3000 , 0.3333 , 0.3667 , 0.4000,0.4333 , 0.4667 , 0.5000 , 0.5333 , 0.5667 , 0.6000 , 0.6333 , 0.6667 , 0.7000 , 0.7333 , 0.7667 , 0.8000,0.8333 , 0.8667 , 0.9000 , 0.9333 , 0.9667 , 1.0000 , 1.0667 , 1.1333 , 1.2000 , 1.2