圓的證明與計(jì)算專(zhuān)題

1、2012中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)圓的證明及計(jì)算專(zhuān)j圓的證明及計(jì)算是中考中的一類(lèi)重要的問(wèn)題，此題完成情況的好壞對(duì) 解決后面問(wèn)題的發(fā)揮有重要的影響，所以解決好此題比較關(guān)鍵。一、考點(diǎn)分析：1.圓中的重要定理：(1)圓的定義:主要是用來(lái)證明四點(diǎn)共圓.(2)垂徑定理:主要是用來(lái)證明一一弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等.(3)三者之間的關(guān)系定理：主要是用來(lái)證明一一弧相等、線段相等、 圓心角相等.(4)圓周角性質(zhì)定理及其推輪：主要是用來(lái)證明一一直角、角相等、 弧相等.(5)切線的性質(zhì)定理:主要是用來(lái)證明一一垂直關(guān)系.(6)切線的判定定理：主要是用來(lái)證明直線是圓的切線.(7)切線長(zhǎng)定理：線段相等、垂直關(guān)系、角相等.2.圓中

2、幾個(gè)關(guān)鍵元素之間的相互轉(zhuǎn)化:弧、弦、圓心角、圓周角等 都可以通過(guò)相等來(lái)互相轉(zhuǎn)化.這在圓中的證明和計(jì)算中經(jīng)常用到.二、考題形式分析：主要以解答題的形式出現(xiàn)，圓及相似 圓及面積 圓及切線 動(dòng) 態(tài)圓三、解題秘笈：1、判定切線的方法：(1)若切點(diǎn)明確，則“連半徑，證垂直”。常見(jiàn)手法有：全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時(shí)可 通過(guò)計(jì)算結(jié)合相似、勾股定理證垂直；(2)若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”。常見(jiàn)手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個(gè)層次的證明：直線所垂直的是圓的半徑(過(guò) 圓上一點(diǎn))；直線及半徑的關(guān)系是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理 好弧、弦、角之

3、間的相互轉(zhuǎn)化，要善于進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添 加的輔助線.2、及圓有關(guān)的計(jì)算：計(jì)算圓中的線段長(zhǎng)或線段比，通常及勾股定理、垂徑定理及三角形的 全等、相似等知識(shí)的結(jié)合，形式復(fù)雜，無(wú)規(guī)律性。分析時(shí)要重點(diǎn)注意觀察 已知線段間的關(guān)系，選擇定理進(jìn)行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。特別是要借助圓 的相關(guān)定理進(jìn)行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段及已知線段的 關(guān)系，從而化未知為已知，解決問(wèn)題。其中重要而常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法有:(1)構(gòu)造思想：如：構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；構(gòu)建“射影定理”基本 圖研究線段(已知任意兩條線段可求其它所有線段長(zhǎng))；構(gòu)造垂徑定理 模型：弦長(zhǎng)一半、弦心距、半徑；構(gòu)造勾股定理模型；構(gòu)造三角函數(shù).(2

4、)方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過(guò)線段之間的關(guān)系，特 別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系建立方程，解決問(wèn)題。(3)建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的線段關(guān)系，把問(wèn)題 分解為若干基本圖形的問(wèn)題，通過(guò)基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的 基本結(jié)論，進(jìn)而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān)系。四、范例講解：（一）圓及相似1.（本小題滿(mǎn)分8分）（2011山東濱州，22, 8分）如圖，直線切。0于點(diǎn)m,直線尸。交。0 于46兩點(diǎn)，弦月。/7必連接qm、6c求證：（1 ） abc s pom; （2） 2oa2=opbc.1/12、（2011山東日照）.（本題滿(mǎn)分9分）如圖，四是。的直徑，力。是弦, 是。的切線，。為

5、切點(diǎn)，ad1cd于息d.求證：（1） za0o2zacd, （2） ac = ab ad.3、（2011山東煙臺(tái)，25, 12分）已知：46是。的直徑，弦calm于點(diǎn)g, 是直線期上一動(dòng)點(diǎn)（不 及點(diǎn)從b、g重合），直線應(yīng)交。于點(diǎn)尸，直線廳交直線于點(diǎn)尸.設(shè) o0的半徑為工（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)在直徑45上時(shí)，試證明：0e01（2）當(dāng)點(diǎn)在月6（或屈1）的延長(zhǎng)線上時(shí)，以如圖2點(diǎn)的位置為例, 請(qǐng)你畫(huà)出符合題意的圖形，標(biāo)注上字母，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明 理由.3 / 17cpd（圖1）（圖2）（二）圓及面積4、（2011 東營(yíng)）如圖，已知點(diǎn)a、b、c、d均在己知圓上，adbc, bd平 分nabc,

6、 nbad=120 ,四邊形abcd的周長(zhǎng)為15.（1）求此圓的半徑；（2）求圖中陰影部分的面積.7 / 17de5. （2011山東萊蕪）（10分）如圖，相是。的直徑，弦應(yīng)垂直平分半徑oa,。為垂足，龍=3,連接被過(guò)點(diǎn)作交所的延長(zhǎng)線于 點(diǎn)m.（1）求。的半徑；（2）求證：/是。的切線；（3）若弦加及直徑力6相交于點(diǎn)尸，當(dāng)n4力=45時(shí)，求圖中陰影部 分的面積.6、（2011 臨沂）如圖.以0為圓心的圓及aaob的邊ab相切于點(diǎn)c.及20b 相交于點(diǎn) d,且 0d二bd,己知 sina=5, ackl（1）求。的,徑：（2）求圖中陰影部分的面枳.7、（2011山東棗莊）.（本題滿(mǎn)分8分）第23

7、題圖如圖，點(diǎn)。在oo的直徑a8的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)。在oo上，且力合，zacd=120 . （1）求證：cd是oo 的切線；（2）若。的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.（三）圓及切線8. （2011山東荷澤）（本題10分）如圖，6為。的直徑，止ac, ad交 反于點(diǎn)后2,吩4,求證：板（2）求相的長(zhǎng);延長(zhǎng)必到f,使得b后b0,連接網(wǎng),試判斷直線fa及。的位置關(guān)系， 并說(shuō)明理由.（第18題圖）9. （2011山東聊城）（8分）如圖，月6是半圓的直徑，點(diǎn)。是圓心，點(diǎn)。是期的中點(diǎn)，qll如交半圓于點(diǎn)，點(diǎn)是益的中點(diǎn)，連接班、0d,過(guò)點(diǎn) 作dpae交ba的延長(zhǎng)線于點(diǎn)p.（1）求/4勿的度數(shù)；（2）求證：也是半

8、圓。的切線.10. （2011山東淄博）（9分）已知：aabc是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)0在邊ab上, 。過(guò)點(diǎn)b且分別及邊ab, bc相交于點(diǎn)d, e, efac,垂足為f.（1）求證：直線ef是。的切線;半徑.（2）當(dāng)直線df及。相切時(shí)，求。0（第21題）的（四）圓及新題型11. （2011山東德州）（本題滿(mǎn)分10分）觀察計(jì)算當(dāng)a = 5,%=3時(shí)，-及的大小關(guān)系是.2當(dāng)a = 4, z? = 4時(shí)，-+及y/ab的大小關(guān)系是.2探究證明如圖所示，aa6c為圓。的內(nèi)接三角形，a8為直徑，過(guò)。作c_la8于，, 設(shè) a =。，bab.（1）分別用表示線段oc, cd；（2）探求宏及切表達(dá)式之間

9、存在的關(guān)系（用含a, b的式子表示）.歸納結(jié)論根據(jù)上面的觀察計(jì)算、探究證明，你能得出竽及口的大小關(guān)系是:實(shí)踐應(yīng)用要制作面積為1平方米的長(zhǎng)方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，求出鏡 框周長(zhǎng)的最小值.（五）圓及動(dòng)點(diǎn)12. （2011山東濟(jì)寧）（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（4, -1）的拋物線交y軸于a點(diǎn)，交x軸于8,。兩點(diǎn)（點(diǎn)8在點(diǎn)。的左側(cè)）.已 知a點(diǎn)坐標(biāo)為（0, 3 ）.（1）求此拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)b作線段a3的垂線交拋物線于點(diǎn)。，如果以點(diǎn)。為圓心的 圓及直線8。相切，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱(chēng)軸/及。c有怎樣的位置關(guān)系，并 給出證明；（3）已知點(diǎn)尸是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于a,

10、。兩點(diǎn)之間，問(wèn)： 當(dāng)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，apac的面積最大？并求出此時(shí)p點(diǎn)的坐標(biāo)和 ae4c的最大面積.13 / 17（第23題）13. （2011山東德州）（本題滿(mǎn)分12分）在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)尸 是反比例函數(shù)圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以尸為圓心的圓始終及y軸相切，設(shè)切點(diǎn) 為4（1）如圖1, o尸運(yùn)動(dòng)到及x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為，試判斷四邊形必r1 的形狀，并說(shuō)明理由.（2）如圖2,。尸運(yùn)動(dòng)到及x軸相交，設(shè)交點(diǎn)為6, c.當(dāng)四邊形板 是菱形時(shí)：求出點(diǎn)4 b,。的坐標(biāo).在過(guò)4 6,。三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)必,使.也郎的面積是菱形abcp面積的若存在，試求出所有滿(mǎn)足條件的m點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，試 2

11、說(shuō)明理由.1、【答案】證明：直線pm切。0于點(diǎn)m,，npm0=901分弦 ab 是直徑,a zacb=90 2分/. zacb=zpmo3分vacpm, .*.zcab=zp 4分aaabcapom5分(2) v aabcapom, a6分又 ab=2oa, oa=om, :.7分/. 2oa1 =opbc8分2、答案.(本題滿(mǎn)分9分)證明：（1） 以?是。的切線，az90 , 即n/辦n47390 . 2分 ： oc二。a, ：.zaco=zcao, ：.zaoo!so -2n力。0, -za0c+zaco90 .4 分2由，得：zacd- zaooo,即/4妗2/月； 52分(2)如圖，連

12、接6c.v ab 是直徑，i. z在 及req?中,d力小90口 . 6分: /a0o2/b, :./氏/acd,:、xacm xabc, 8分，即4七月6. 9分3、【解】（1）證明：連接尸。并延長(zhǎng)交。于0,連接q ;尸。是。直徑，：.4fdq=9g ./啊+n0=9o .vcdlab. ：.zp+zc=9q0 .,:乙q=：./qfd=/p.:乙foe= /pof,: mfoes xpof.絲=竺.比 op=of=f. of op（2）解：（1）中的結(jié)論成立.理由：如圖2,依題意畫(huà)出圖形，連接尸。并延長(zhǎng)交。于一,連接cm是。直徑，/凡m=90 , ：. zm+ zcfm=90 .? cd

13、lab, /.z5+zp=90 .v zm= z a ：.zcfm=ze.y /pof= /foe, :. xpofsxfoe.：2l=2l, :.oe op=o=f.of oe4、解答：解：（1）.adbc, zbad=120 ,，nabc=60 . 又tbd平分nabc, zabd=zdbc= zadb=30;.ab=ad=dcf cd二60。aab=ad=dc, zdbc=90乂在宜角abdc中，bc是圓的直徑，bc=2dc.3 bc+2bc=15abc=6 此圓的半徑為3.（2）設(shè)bc的中點(diǎn)為0,由（1）可知0即為圓心.連接0a, 0d,過(guò)0作0e_lad于e.在直角aoe 中，za0

14、e=30373.0e=0a-cos30 = 21 期期sgg=2x3x 2 = 4.607r x 32 9，寫(xiě) 37r 9/ 6/t_9j3；s 陰影二s 扇形a - saa/3 = 2/3.kijc/c ”22工圖中陰影部分的面積為-二ji.38答案、.解：證明：3后月c,n極 ：/o/d, ：/abo/d,又adb,z bae z eab, abe s3 分(2) v aabes aadb, ：, cd, 6分2結(jié)論歸納： 也. 7分實(shí)踐應(yīng)用設(shè)長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為x米,則另一邊長(zhǎng)為1米,設(shè)鏡框周長(zhǎng)為/米，則x2 .9 分當(dāng)，即x = l （米）時(shí)，鏡框周長(zhǎng)最小.此時(shí)四邊形為正方形時(shí)，周長(zhǎng)最小為4

15、米.10分12. (1)解：設(shè)拋物線為y = a(x-4)2l.拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)a (0, 3),3 = a(o 4)2-1. .， 拋 物 線 為y = l(x-4)2-l = lx2-2x + 344（2） 答： ，及。 c 相交.4分證明：當(dāng)時(shí)，玉=2,=6.； b 為（2, 0）,。為（6, 0） . a ab = a/32 +22 =713.設(shè)。及80相切于點(diǎn)e,連接ce, ubec = 90 = zaob.丁 zabd = 90 , /. zcbe = 90 - zabo.又4ao = 90。一za8o , /. zbao = zcbe .aaob sab ec.*. *. *.6分;

16、拋物線的對(duì)稱(chēng)軸/為r = 4,。點(diǎn)至ij/的距離為2.拋物線的對(duì)稱(chēng)軸/及。相交.7分解：如圖，過(guò)點(diǎn)p作平行于），軸的直線交4c于點(diǎn)q.可求出ac的解析式為. 設(shè)尸點(diǎn)的坐標(biāo)為（m ,）,則。點(diǎn)的坐標(biāo)為（胴，）.i113/. pq =+-2? + 3）= 一 1/+ ；？,* s,ac = s*八0 + sycq = x（_-/ + 孑）x6 = 一-3）2 + i,當(dāng)? = 3時(shí)，apac的面積最大為衛(wèi).（第23題）413.（本題滿(mǎn)分12分）解：（1）0尸分別及兩坐標(biāo)軸相切, pavoa, pkv0k.，/為3/690 .17 / 17又yn月游90 ,：./pao-/okp-n力好90 .四邊

17、形。瓦必是矩形.又：omok, ，四邊形。瓦必是正方形.2分(2)連接收，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為x,則其縱坐標(biāo)為2. x過(guò)點(diǎn)尸作pgibc于g.四邊形皿為菱形， ：.bopa=pb=pc.皈為等邊三角形.在 rt心g 中，z 7660 , pb-p忙x,pg-.xsinz/6,即.pb解之得：產(chǎn)2 (負(fù)值舍去).:.pg /3 , pa=bc=2 4分易知四邊形0d必是矩形，為二妗2, bgcgl,：0氏og吩l oooggo?.：.a (0, w), b (1, 0) c (3, 0). 6分設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=axbxc.據(jù)題意得：解之得：2=與,占，c=0二次函數(shù)關(guān)系式為：)，=/9分33

18、解法一：設(shè)直線外的解析式為：片x+0,據(jù)題意得： 解之得：尸/，尸-36.,直線的解析式為：yfx-36 .過(guò)點(diǎn)力作直線417心，則可得直線4的解析式為：y = 6x + q.y =遙x +邪解方程組：，出,45萬(wàn)廠 得：；.y = .v2 -x + j3i 33過(guò)點(diǎn)。作直線以/所，則可設(shè)直線的解析式為：)，= x +1.,.0=373+r.t = -3/3 .j直線的解析式為：y = x-36 .y = /3x - 3近解方程組：6 2 466得：；y=tx-x+綜上可知，滿(mǎn)足條件的必的坐標(biāo)有四個(gè)，分別為：（0, 6）, （3, 0）, （4, g）, （7, 8有）.12分解法一 ：, s*八8 = s、pbc =，力（0, 6）, c （3, 0）顯然滿(mǎn)足條件.延長(zhǎng)升交拋物線于點(diǎn)m由拋物線及圓的軸對(duì)稱(chēng)性可知，p的pa.又,：amhb3：. =sspb