泰勒公式與極值問題ppt課件

1、第四節(jié)二、中值定理與泰勒公式二、中值定理與泰勒公式 三、極值問題三、極值問題 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 二元函數(shù)的泰勒公式 第十七章 一、高階偏導(dǎo)數(shù)一、高階偏導(dǎo)數(shù) 一、高階偏導(dǎo)數(shù)一、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在延續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx假設(shè)這兩個偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy那么稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù) . 按求導(dǎo)順序不同, 有以下四個二階偏導(dǎo)22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx機動 目錄 上頁 下頁 前往

2、 終了 數(shù):類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，例如，z = f (x , y) 關(guān)于關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù)為為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階) (yyxznn1機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 偏導(dǎo)數(shù)為11nnxzyxe22例例1. 求函數(shù)求函數(shù)yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz留意留意: :此處此處,22xyzyxz但這一結(jié)論并不總成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 的二階偏導(dǎo)

3、數(shù)及 0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 證證: :令令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx那么),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx ),()

4、,(010010yxyyxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00連續(xù)都在點和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx那么)()(00 xxx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定理定理.令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf同樣)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030) 1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx, 0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yy

5、xxfyx在點)(00yx ，延續(xù),得機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 0y證明 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例如例如, 對三元函數(shù)對三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx闡明闡明:本定理對本定理對 n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是延續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx由于初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點 (x , y , z) 延續(xù)時, 有而初等復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的

6、高階偏導(dǎo)數(shù)例例2. 證明函數(shù)證明函數(shù)222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證：證：xu22xu利用對稱性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 為簡便起見 , 引入記號,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例3. 設(shè)設(shè) f 具有二階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxf

7、zy那么zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 (當(dāng) 在二、三象限時, )xyarctan例例4. 設(shè)設(shè)二階偏導(dǎo)數(shù)延續(xù),求以下表達式在),(yxfu 222222)2(,)()() 1 (yuxuyuxu解解: 知知sin,cosryrxuryxyx極坐標系下的方式xrruxu(1), 那么xyyxrarctan,22rxru,rxxr x2xy2)(1xy22yxy機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xu2ryururusincosyuyrru2221)(1,yxxyryyrxy

8、xrurucossinyu22222)(1)()()(urruyuxu標題 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ryru2rxuuryxyx 知rsin) (rurusincos)(xux 22)2(xururuxusincosuryxyx) (rxu) (xururusincos222cosru2cossinrucosrsinxurrucossin22222sinru2rru2sin2cos) (r留意利用留意利用已有公式已有公式機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 22yu2222yuxu21r22xu22222222sincossin2cosrurrururruru22sincossin2rru

9、ru22coscossin2同理可得22ru2221urrur 122)(ururrr22222222coscossin2sinrurruru標題 目錄 上頁 下頁 前往 終了 二、中值定理與泰勒公式二、中值定理與泰勒公式一元函數(shù))(xf的泰勒公式: 20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)(10) 1(!) 1()(nnhnxxf) 10(推行多元函數(shù)泰勒公式 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 記號記號 (設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)延續(xù)): ),()(00yxfykxh),()(002yxfykxh),()(00yxfykxhm),(),(0000yxfkyxfh

10、yx表示),(),(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx),(C000yxyxfkhpmpmpmpmppm 普通地, 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 表示表示定理定理1.1.),(),(00yxyxfz在點設(shè)的某一鄰域內(nèi)有直到 n + 1 階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,),(00kyhx為此鄰域內(nèi)任 一點, 那么有),(),(0000yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx),()(00!1yxfkhnyxn),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn) 10(nR其中 稱為f 在點(x0 , y0 )的 n 階泰勒公式, 稱

11、為其拉格朗日型余項朗日型余項 .機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 證證: : 令令),10(),()(00tktyhtxft那么 ),() 1 (, ),()0(0000kyhxfyxf利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么可得: ),(),()(0000t kyt hxfkt kyt hxfhtyx),()()0(00yxfkhyx),()(002t kyt hxfhtxx ),(200t kyt hxfkhyx),(002t kyt hxfkyy),()()0(002yxfkhyx 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ),(C)(000)(t kyt hxyxfkhtpmpmpmpmppmm普通地,

12、 ),()()0(00)(yxfkhmyxm由 )(t的麥克勞林公式, 得 ) 1 ()() 1(! ) 1(1nn) 10(將前述導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式. )0()0()0()0()(!1!21nn 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn闡明闡明: :(1) 余項估計式. 因 f 的各 n+1 階偏導(dǎo)數(shù)延續(xù), 在某閉鄰域其絕對值必有上界 M , ,22kh 令那么有1)(! ) 1(nnkhnMRsincoskh11)sincos(! ) 1(nnnM)1(max2 1 , 0 xx利用11)2(! ) 1(nnnM)(no2機

13、動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 (2) 當(dāng) n = 0 時, 得二元函數(shù)的 拉格朗日中值公式:),(),(0000yxfkyhxf),(00kyhxfhx),(00kyhxfky) 10(3) 假設(shè)函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域D 上的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)恒為零, .),(常數(shù)yxf由中值公式可知在該區(qū)域上 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例5. 求函數(shù)求函數(shù))0 , 0()1ln(),(在點yxyxf解解: yxyxfyxfyx11),(),(的三階泰勒公式. 2)1 (1),(),(),(yxyxfyxfyxfyyyxxx333)1 (!2yxyxfpp)3,2, 1 ,0(p444)1 (

14、!3yxyxfpp)4,3,2, 1 ,0(p因此,)0, 0()(fkhyx)0, 0()0, 0(yxfkfhkh機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )0, 0()(2fkhyx)0, 0()(3fkhyx)0, 0()0, 0(2)0, 0(22yyyxxxfkfkhfh)0 , 0(C333303ppppppyxfkh2)(kh3)(2kh,0)0, 0(f又代入三階泰勒公式得將ykxh,)1ln(yxyx2)(21yx 33)(31Ryx其中),()(43khfkhRyx44)1 ()(41yxyxykxh) 10(機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xyz三、三、 多元函數(shù)的極值問

15、題多元函數(shù)的極值問題 定義定義: 假設(shè)函假設(shè)函數(shù)數(shù)那么稱函數(shù)在該點獲得極大值(極小值).例如例如 :在點 (0,0) 有極小值;在點 (0,0) 有極大值;在點 (0,0) 無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值, 使函數(shù)獲得極值的點稱為極值點.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在點的某鄰域內(nèi)有xyzxyz機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 闡明闡明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點稱為駐點的點稱為駐點 或穩(wěn)定點或穩(wěn)定點. 例如,定理定理1 (必要條件必要條件) 函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理

16、結(jié)論成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx獲得極值 ,獲得極值獲得極值 但駐點不一定是極值點.有駐點( 0, 0 ), 但在該點不取極值.且在該點獲得極值 , 那么有),(),(00yxyxfz在點存在),(),(00yxyxfz在點因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 時, 具有極值極值的充分條件極值的充分條件的某鄰域內(nèi)具有一階和二階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令那么: 1) 當(dāng)A 0 時取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.假設(shè)函數(shù)的在點),(),(00yxyxfz 0),(,0),(00

17、00yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02 BAC02BAC定理定理2 (充分條件充分條件)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 證證: 由二元函數(shù)的泰勒公式由二元函數(shù)的泰勒公式, 并留意并留意0),(,0),(0000yxfyxfyx那么有),(),(0000yxfkyhxfz20021),(hkyhxfxxkhkyhxfyx),(200),(200kkyhxfyy,),(),(00連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)在點由于yxyxf所以Akyhxfxx),(00Bkyhxfyx),(00Ckyhxfyy),(00機動 目錄 上頁 下頁 前往 終

18、了 22221kCkhBhA其中其中 , , 是當(dāng)是當(dāng)h 0 , k 0 時的無窮時的無窮小量小量 ,于是z),(21khQ)(22kh ,很小時因此當(dāng)kh.),(確定的正負號可由khQz(1) 當(dāng) ACB2 0 時, 必有 A0 , 且 A 與C 同號, )()2(),(222221kBACkBkhBAhAkhQA2221()()AAhBkACB k可見 ,0),(,0khQA時當(dāng)從而z0 , 因此),(yxf;),(00有極小值在點yx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )(2o22221kkhh,0),(,0khQA時當(dāng)從而 z0,在點因此),(yxf;),(00有極大值yx(2) 當(dāng)

19、ACB2 0 時, 假設(shè)A , C不全為零, 無妨設(shè) A0, 那么 )(),(221kkBhAkhQA)(2BAC ),(0)()(),(0000yxyyBxxAyx接近沿直線當(dāng)時, 有,0kBhAAkhQ與故),(異號;),(yx當(dāng),),(0000時接近沿直線yxyy,0k有AkhQ與故),(同號.可見 z 在 (x0 , y0) 臨近有正有負, 在點因此),(yxf;),(00無極值yxxy),(00yxo機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 +xy),(00yxo假設(shè) AC 0 , 那么必有 B0 , 無妨設(shè) B0 , 此時 222),(kCkhBhAkhQ),(00kyhx對點,同號時當(dāng)

20、kh,0),(khQ,異號時當(dāng)kh,0),(khQ可見 z 在 (x0 , y0) 臨近有正有負, 在點因此),(yxf;),(00無極值yxkhB2,0z從而,0z從而(3) 當(dāng)ACB2 0 時, 假設(shè) A0, 那么21)(),(kBhAkhQA假設(shè) A0 ,那么 B0 ,2),(kCkhQ可能),(khQ為零或非零機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 此時)(),(221okhQz因此 第十節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ,)(,0),(2確定的正負號由時因為ozkhQ不能斷定 (x0 , y0) 能否為極值點 . 例例1.1. 求函數(shù)解解: : 第一步第一步 求駐求駐點點. .得駐點:

21、(1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 在點(3,0) 處不是極值;在點(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,

22、0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(1,2) 處不是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例2.討論函數(shù)討論函數(shù)及能否獲得極值.解解: 顯然顯然 (0,0) 都是它們的駐點都是它們的駐點 ,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此,022時當(dāng) yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值.正正負負033yxz222)(yxz在點(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02BAC33yxz能夠為0)()0 , 0()0 , 0(222yxz機動 目錄 上頁 下頁

23、前往 終了 最值運用問題最值運用問題函數(shù) f 在閉域上延續(xù)函數(shù) f 在閉域上可到達最值 最值可疑點 駐點邊境上的最值點特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只需一個極值點且只需一個極值點P 時時, )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值( (大大) )( (大大) )根據(jù)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例3.3.解解: 設(shè)水箱長設(shè)水箱長,寬分別為寬分別為 x , y m ,那么高那么高為為那么水箱所用資料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實踐問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才干運用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可斷定此獨一駐點就是最小值點. 即當(dāng)長、寬均為高為時, 水箱所用資料最省.3m)2,2(33323222233機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例4. 有一寬為有一寬為 24cm 的長方形鐵板的長方形鐵板 , 把它折起來做成解解: 設(shè)折起來的邊長為設(shè)折起來的邊長為 x cm,那么斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsinc