word格式論文原稿】有關(guān)組合投資優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

1、有關(guān)組合投資優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型田立坤 中國礦業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，江蘇 徐州221008 Email：tianlikun1111126 摘要：組合投資是經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的投資形式之一，在現(xiàn)在社會(huì)經(jīng)濟(jì)中有重要的現(xiàn)實(shí)意義。 本文根據(jù)某公司投資情況進(jìn)行了數(shù)學(xué)模型建立。模型建立過程中分別采用了三次樣條插值、 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法兩種方法建立預(yù)測模型，然后在模型的改良的討論中，又運(yùn)用 GM1，1灰 色預(yù)測法進(jìn)行預(yù)測求解.為企業(yè)獲得最正確投資效益提供決策依據(jù)。 關(guān)鍵字：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；灰色預(yù)測法；三次樣條插值中圖分類號：O220. 引言開展經(jīng)濟(jì)、增加生產(chǎn)是每個(gè)公司都在不懈追求的目標(biāo)，也是每個(gè)公司能夠在不斷加大的 競爭市場中取勝的手

2、段；而公司要實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，一個(gè)重要的因素就是增加投資、合理投資。 投資過程中，資金預(yù)期收益的不確定性，導(dǎo)致它的風(fēng)險(xiǎn)特性，要使投資者的凈收益盡可能大， 而風(fēng)險(xiǎn)損失盡可能小，一個(gè)解決方法就是進(jìn)行組合投資，分散風(fēng)險(xiǎn)，以獲得較高的收益。本 文中就以組合投資為例對某公司的投資和風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的建立，模型的目的在于求解最 優(yōu)投資組合。1. 問題的提出某公司現(xiàn)有一筆資金可作為未來 5 年內(nèi)的投資資金，市場上有 8 個(gè)投資工程如股票、 債券、房地產(chǎn)、可供公司作投資選擇。其中工程 1、工程 2 每年初投資，當(dāng)年年末回收 本利本金和利潤；工程 3、工程 4 每年初投資，要到第二年末才可回收本利；工程 5、 工程

3、 6 每年初投資，要到第三年末才可回收本利；工程 7 只能在第二年年初投資，到第五年 末回收本利；工程 8 只能在第三年年初投資，到第五年末回收本利。公司財(cái)務(wù)分析人員收集 了 8 個(gè)工程近 20 年的投資額與到期利潤數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)：在具體對這些工程投資時(shí)，實(shí)際還會(huì) 出現(xiàn)工程之間相互影響等情況。試根據(jù)往年數(shù)據(jù)，預(yù)測今后五年各工程獨(dú)立投資及工程之間 相互影響下的投資的到期利潤率、風(fēng)險(xiǎn)損失率.2. 數(shù)學(xué)模型的建立2.1 三次樣條函數(shù)預(yù)測構(gòu)造滿足插值條件及相應(yīng)邊界條件三次樣條插值函數(shù) S(x)的表達(dá)式可以有多種方法1， 例如，可以直接利用分段三次埃爾米特插值，只要假定：S ( xi )= xi (j=0,

4、1,2,.n)，根據(jù)定義可以知道：ns( x) = y j a j ( x) + m j j ( x),j =0式 1-1其中 a j ( x) ， j (x)是表示的插值函數(shù)，利用條件及響應(yīng)自然邊界條件那么可得到關(guān)于 m jj=0,1,n的三角方程組，求出 m j 那么得到所求的三次樣條函數(shù) S(x). 下面我們利用 S(x)的二階導(dǎo)數(shù) S = m j (j=0,1,n)表達(dá) S(x), 由于 S(x)在區(qū)間 x j , x j +1 上是三次多項(xiàng)式，故 S (x)是在 x j , x j +1 上的線形函數(shù)，可表示為：S ( x ) = M jx j +1 x + Mh jj +1x x

5、jh j式 1-2對 S (x)積分兩次并利 S( x j , )= y j 及 S( x j +1 )= y j +1 可定出積分常數(shù)，于是得三次樣條表 達(dá)式：3S ( x ) = M j( x j +1 x )6 h j2+ M j +1( x x j )6 h j32+ ( y jM h+j j6x xj2)j +1 + ( yh jMhj +1 j26x x)jh j式 1-3這里 M j , j=0,1,2n 是未知的，為了確定 M j , j=0,1,2n, 對 S ( x) 求導(dǎo)得：jS ( x ) = M( x j + 1 x )2 h j+ M j + 1( x x j )2

6、 h j+ y j + 1 y jh jM Mj + 1j h6j式 1-4類似地可以求出 S(x)在區(qū)間 x j , x j +1 上的表達(dá)式，從而得S ( x j + 0) = S ( x j 0)式 1-5 j M j 1 + 2M j + j M j +1 = d j=1,2,n-1式 1-6 j =hh j 1 , =h j+ hjh+ h其中j 1 jj 1j ,j=0,1,nh+ hi 1jd = 6 f xi , xi +1 f xi 1 , xi = 6 f xj 1 j, x j , xj +1式 1-7對第一種邊界可導(dǎo)出兩個(gè)方程：2M 0+ M 1 =0,6 ( f x

7、h0x1 f 0 ),M n 1+ 2M n=6hn 1( f n6 f xn 1, x n ).式 1-8如果令 0 =1,d0 = hn 1( f x0, x1 f 0 ) ,n =1,d n = h6n 1( f n f xn 1, x n )那么可將方程寫成矩陣形式： 20 M 0 d 0 1 21 M 1 d1 n 12 n 1 M n 1 d n 1 2Mn = d n 式 1-9對第二種邊界條件直接得端點(diǎn)方程：M 0 = f 0 , M n = f n對 0 = n =0,d0 =2 f 0 , d n = f n式 1-10對第三種邊界條件可得：M 0 = M n n M1 +

8、 n M n1 + 2M n = dnn hd = f x0 , x1 f xn 1 , xn 式 1-11n其中 =h0 , = 1 =n 1 ，nh+ hh+nn1h0hn 1+ h0n 1 0可以寫成距陣的形式 2 0 M 0 d 0 1 2 1 M 1 d 1 n 12 n 1 M n 1 d n 1 2Mn = d n 上式是關(guān)于 M j ( j = 0,1,., n) 的三對角方程組,M j 在力學(xué)上解釋為西梁在截面處的彎距,稱為 S j 的距，方程組稱為三彎距方程。它的系數(shù)矩陣中元素 j , j 已完全確定，并且滿足 j , j 0, j + j = 1因此系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角，有

9、唯一的解。既而曲線的軌跡可以明顯地預(yù)測出來，從而到達(dá)預(yù)測的目的。2.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法預(yù)測2.2.1 神經(jīng)元模型神經(jīng)元是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最根本的組成局部，一般一個(gè)有 R 個(gè)輸入的神經(jīng)元模型如圖1所示。 其中P為輸入向量，W 為權(quán)向量，b 為閾值，f 為傳遞函數(shù)，a 為神經(jīng)元輸出。所有輸入P 通過一個(gè)權(quán)重 W 進(jìn)行加權(quán)求和后加上閾值 b 再經(jīng)傳遞函數(shù) f 的作用后即為該神經(jīng)元的 輸出a。傳遞函數(shù)可以是任何可微的函數(shù)，常用的有Sigmoid型和線性型。22.2.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是指神經(jīng)元之間的互連結(jié)構(gòu)。圖2是一個(gè)三層的 BP 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。BP網(wǎng)絡(luò)由輸入層、輸出層以及一個(gè)或多個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)

10、互連而成的一種多層網(wǎng)，這種結(jié)構(gòu)使多層前饋網(wǎng)絡(luò)可在輸入和輸出間建立適宜的線性或非線性關(guān)系，又不致使網(wǎng)絡(luò)輸出限制在一1和1之間。2.2.3 基于檢測神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的建立MATEAB的NNbox提供了建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的專用函數(shù)newff()。用newff函數(shù)來確定網(wǎng)絡(luò)層 數(shù)、每層中的神經(jīng)元數(shù)和傳遞函數(shù)，其語法為：net=newf(PR，lS1，S2，SNj，TF1，TF2， I ，BTF，BLF，PF)其中: PR是一個(gè)由每個(gè)輸入向量的最大最小值構(gòu)成的Rx2矩陣 Si是第i層網(wǎng)絡(luò)的神經(jīng)元個(gè)數(shù)Ti是第i層網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)，缺省為tansig，可選用的傳遞函數(shù):tansig，logsig或purelinBTF_

11、字符串變量，為網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練函數(shù)名，可在如下函數(shù)中選擇：traingd、traingdIll、traingdx、trainbfg、tminlm等，缺省為trainlmB 字符串變量，為網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)函數(shù)名，缺省為leamgdm BF 字符串變量，為網(wǎng)絡(luò)的性能函數(shù)，缺省為均方差 nlse newff在確定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)后會(huì)自動(dòng)調(diào)用init函數(shù)用缺省參數(shù)來初始化網(wǎng)絡(luò)中的各個(gè)權(quán)重和閾值，產(chǎn)生一個(gè)可訓(xùn)練的前饋網(wǎng)絡(luò)，即該函數(shù)的返回值為net由于非線性傳遞函數(shù)對輸出 具有壓縮作用，故輸出層通常采用線性傳遞函數(shù)，以保持輸出范圍2.2.4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練 初始化后的網(wǎng)絡(luò)即可用于訓(xùn)練，即將網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出反復(fù)作用于網(wǎng)絡(luò)，不斷調(diào)

12、整其權(quán)重和閾值，以使網(wǎng)絡(luò)性能函數(shù)netpeformFen到達(dá)最小，從而實(shí)現(xiàn)輸入輸出問題的非線性映射3因此將前20年的利潤和年份輸入到BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，根據(jù)假設(shè)干次訓(xùn)練，再將21-25的年份輸入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，即可到達(dá)預(yù)測的目的。圖 1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析圖Figure 1 Neural network analysis3. 模型的進(jìn)一步優(yōu)化與求解3.1 灰色微分方程灰色系統(tǒng)理論通過對一般微分方程的深刻剖析定義了系列的灰導(dǎo)數(shù)，從而使我們能夠利 用離散數(shù)據(jù)系列建立近似的微分方程模型：dx + ax = udtdxdx式3-1其中 dt 為x的導(dǎo)數(shù)，x為 dt 的背景值,a、u為參數(shù)。3.2 GM1,1

13、模型灰色簡單模型GM1，1表示一階的、一個(gè)變量的微分預(yù)測模型，用于時(shí)間序列預(yù)測的是其離散形式的模型。4設(shè)原始系列為X (0) = ( x (0) (1), x (0) (2), x (0) (n)其1AGO系列X1為：式3-2X (1) = ( x (1) (1), x (1) (2), x (1) (n)對一階生成數(shù)列x(1)，建立GM1，1模型:(1) 式3-3dx+ ax (1) = udtdx = lim x(t + t ) x(t )式3-4由導(dǎo)數(shù)的定義有 dtt 0 t,因?yàn)橐话泐A(yù)測的系列都在時(shí)間上是離散的，所以我們以離散的形式表示，那么有：x =x (1)(k + 1) x(1)

14、(k )=x (1) (k+ 1) x (1) (k ) =x ( 0) (k + 1)t k + 1 k式3-5又由于離散的關(guān)系，我們?nèi)(1)(k)為x(1)(k)和x(1)(k-1)的均值。于是我們可以把公式微 分方程表示為如下的離散方程：x ( 0) (k ) + az (1) (k ) = u式3-6其中 z (1) (k ) = x (1) (k ) + x (1) (k 1) / 2; (k = 2,3, n)式方程稱為白化方程，這樣可以得到如下的方程組：x ( 0) (2) + az (1) (2) = ux ( 0) (3) + az (1) (3) = u稱式為GM(1，1

15、)模型，而把公( 0)x(n) + az(1)(n) = u式3-73.3 模型參數(shù)的求解上式中，a、u為待估參數(shù)，a為開展灰數(shù)，反映了X (1) 及X (0)的開展態(tài)勢，u為灰色作用量是從背景值挖掘出來的數(shù)據(jù)，它反映數(shù)據(jù)變化的關(guān)系，其確切內(nèi)涵是灰的?；疑饔?量是內(nèi)涵外延化的具體表達(dá)，它的存在是區(qū)別灰色建模與一般輸入輸出建模的分水嶺，將兩a = a, uT個(gè)待估參數(shù)表示為向量形式：對于方程組，用最小二乘法求解，和一元線性回歸的參數(shù)估計(jì)方法相同，可得：a = (B T B)1 BT Y x (0) (2) z (1) (2) 1式3-8Y = x(0)#( 0)(3)B = z(1)#(1)(

16、3) #1式中：x (n) ， z(n)13.4 GM1,1預(yù)測在求出模型的參數(shù)后，下一步的工作就是進(jìn)行預(yù)測了。x (1) (t ) = x (1) (0) u e at + uaa它的離散形式：式3-9x (1) (k + 1) = x (1) (0) u e ak + u ; (k = 1,2, n)aa式3-10即為GM1，1方程的時(shí)間響應(yīng)系列。一般有x(1)(0)=x(0)(1) 那么：x (1) (k + 1) = x (0 ) (1) u e ak + u ; (k = 1,2, n)aa復(fù)原得：式3-11x (0) (k + 1) = (1 ea )x(0) (1) u eak

17、; (k = 1,2, n)a這就是灰色簡單模型的預(yù)測公式。5式3-12用此模型進(jìn)行預(yù)測求解，然后與上述三種預(yù)測方法建立的模型進(jìn)行平均值求解。這樣預(yù) 測結(jié)果更精確。4. 結(jié)束語本文采用較為成熟的數(shù)學(xué)模型，可信度較高。所建立的模型有屢次優(yōu)化方案措施的提出， 綜合考慮了多種投資因素，給投資部門提供了很好的建議。本文可以進(jìn)一步解決其他規(guī)劃方 面的問題，應(yīng)用面極其地廣泛。優(yōu)化后的模型功能完善，應(yīng)用到其他方面的能力有所增強(qiáng)。參考文獻(xiàn)1 李圓庭、胡結(jié)梅，風(fēng)險(xiǎn)投資的最優(yōu)解決的數(shù)學(xué)模型M，2001 年。 2?MATLAB 軟件與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)? 張興永 中國礦業(yè)大學(xué)出版社 徐州 2005 3. 姜啟源，數(shù)學(xué)建模，北

18、京：高等教育出版社， 2002 年4. 飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論與 MATLAB 7 實(shí)現(xiàn)，北京：電子工業(yè)出版社，2004 年5. 鄧聚龍,?灰理論根底?，武漢:華中科技大學(xué)出版社，2002 年P(guān)ortfolio optimization of mathematical modelslikun tianChina University of Mining and Technology Computer Institute department, Xuzhou Jiangsu221008AbstractPortfolio investment is in economics, one common form of investment, there is now an importantsocio-economic relevance. In this paper, according to a company investment in the establishment of a mathematical model. Models were used to establish the course of a cubic spline interpolation, neural network algorithms to establish prediction mo