2009年高考試題——數(shù)學(xué)（山東卷）（文）

1、2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(山東卷)文科數(shù)學(xué)本試卷分第卷和第卷兩部分,共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng)：1. 答題前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)、縣區(qū)和科類填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上.，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上指定位置。2. 第卷每小題選出答案后，用2b鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，答案不能答在試卷上。3. 第卷必須用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡各題的答題區(qū)域內(nèi)作答;不能寫在試題卷上; 如需改動(dòng)，先畫掉原來(lái)的答案,然后再寫上新的答

2、案;不能使用涂改液、膠帶紙,修正帶,不按以上要求作答的答案無(wú)效。4. 填空題請(qǐng)直接填寫答案,解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.。參考公式：柱體的體積公式v=sh，其中s是柱體的底面積，h是錐體的高。錐體的體積公式v=，其中s是錐體的底面積，h是錐體的高。 第卷(共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.集合,若,則的值為( )a.0 b.1 c.2 d.4【解析】:,故選d.答案:d【命題立意】:本題考查了集合的并集運(yùn)算,并用觀察法得到相對(duì)應(yīng)的元素,從而求得答案,本題屬于容易題.2.復(fù)數(shù)等于（ ）. a b.

3、c. d. 2. 【解析】: ,故選c.答案:c【命題立意】:本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，分子、分母需要同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，把分母變?yōu)閷?shí)數(shù)，將除法轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔ㄟM(jìn)行運(yùn)算.3.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位, 再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式是( ). a. b. c. d. 3. 【解析】:將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)即的圖象,再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式為,故選a.答案:a【命題立意】:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)解析式的基本知識(shí)和基本技能,學(xué)會(huì)公式的變形.4. 一空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ).2 2 側(cè)(左)視圖

4、2 2 2 正(主)視圖 a. b. c. d. 【解析】:該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的,俯視圖 圓柱的底面半徑為1,高為2,體積為,四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，所以體積為所以該幾何體的體積為. 答案:c【命題立意】:本題考查了立體幾何中的空間想象能力,由三視圖能夠想象得到空間的立體圖,并能準(zhǔn)確地計(jì)算出.幾何體的體積. 5.在r上定義運(yùn)算: ,則滿足0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 . 【解析】: 設(shè)函數(shù)且和函數(shù),則函數(shù)f(x)=a-x-a(a0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn), 就是函數(shù)且與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn),由圖象可知當(dāng)時(shí)兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn),不符合,當(dāng)時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),而直線

5、所過(guò)的點(diǎn)（0，a）一定在點(diǎn)(0,1)的上方,所以一定有兩個(gè)交點(diǎn).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 答案: 開始 s=0,t=0,n=0 ts s=s+5 n=n+2 t=t+n 輸出t 結(jié)束 是 否 【命題立意】:本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關(guān)系,隱含著對(duì)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考查,根據(jù)其底數(shù)的不同取值范圍而分別畫出函數(shù)的圖象進(jìn)行解答.15.執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的t= . 【解析】:按照程序框圖依次執(zhí)行為s=5,n=2,t=2;s=10,n=4,t=2+4=6;s=15,n=6,t=6+6=12;s=20,n=8,t=12+8=20;s=25,n=10,t=20+10=30s,輸出t=30答案:

6、30【命題立意】:本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,一般都可以反復(fù)的進(jìn)行運(yùn)算直到滿足條件結(jié)束,本題中涉及到三個(gè)變量,注意每個(gè)變量的運(yùn)行結(jié)果和執(zhí)行情況.16.某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)a,b兩類產(chǎn)品,甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)a類產(chǎn)品5件和b類產(chǎn)品10件,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)a類產(chǎn)品6件和b類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元,設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)a類產(chǎn)品50件,b類產(chǎn)品140件,所需租賃費(fèi)最少為_元.【解析】:設(shè)甲種設(shè)備需要生產(chǎn)天, 乙種設(shè)備需要生產(chǎn)天, 該公司所需租賃費(fèi)為元,則，甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)a,b兩類產(chǎn)品的情況為下表所示: 產(chǎn)品 設(shè)備 a類產(chǎn)品 (件)(5

7、0) b類產(chǎn)品 (件)(140) 租賃費(fèi) (元) 甲設(shè)備 5 10 200 乙設(shè)備 6 20 300 則滿足的關(guān)系為即:,作出不等式表示的平面區(qū)域,當(dāng)對(duì)應(yīng)的直線過(guò)兩直線的交點(diǎn)(4,5)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最低為2300元.答案:2300【命題立意】:本題是線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,需要通過(guò)審題理解題意,找出各量之間的關(guān)系,最好是列成表格,找出線性約束條件,寫出所研究的目標(biāo)函數(shù),通過(guò)數(shù)形結(jié)合解答問(wèn)題. 三、解答題：本大題共6小題，共74分。17.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=2在處取最小值.(1) 求.的值;(2) 在abc中,分別是角a,b,c的對(duì)邊,已知,求角c.解: （1） 因?yàn)楹瘮?shù)f(x

8、)在處取最小值，所以,由誘導(dǎo)公式知,因?yàn)?所以.所以 （2）因?yàn)?所以,因?yàn)榻莂為abc的內(nèi)角,所以.又因?yàn)樗杂烧叶ɡ?得,也就是,因?yàn)?所以或.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.【命題立意】:本題主要考查了三角函數(shù)中兩角和差的弦函數(shù)公式、二倍角公式和三角函數(shù)的性質(zhì),并利用正弦定理解得三角形中的邊角.注意本題中的兩種情況都符合.18.（本小題滿分12分）e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d 如圖，在直四棱柱abcd-abcd中，底面abcd為等腰梯形，ab/cd，ab=4, bc=cd=2, aa=2, e、e分別是棱ad、aa的中點(diǎn). （1） 設(shè)f是棱ab的中點(diǎn),證明：直線ee/平面fcc

9、；（2） 證明:平面d1ac平面bb1c1c.證明:（1）在直四棱柱abcd-abcd中，取a1b1的中點(diǎn)f1，e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d f1連接a1d，c1f1，cf1，因?yàn)閍b=4, cd=2,且ab/cd，所以cda1f1，a1f1cd為平行四邊形，所以cf1/a1d，又因?yàn)閑、e分別是棱ad、aa的中點(diǎn)，所以ee1/a1d，所以cf1/ee1，又因?yàn)槠矫鎓cc，平面fcc，所以直線ee/平面fcc.e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d （2）連接ac,在直棱柱中，cc1平面abcd,ac平面abcd,所以cc1ac,因?yàn)榈酌鎍bcd為等腰梯形

10、，ab=4, bc=2, f是棱ab的中點(diǎn),所以cf=cb=bf，bcf為正三角形，,acf為等腰三角形，且所以acbc, 又因?yàn)閎c與cc1都在平面bb1c1c內(nèi)且交于點(diǎn)c,所以ac平面bb1c1c,而平面d1ac,所以平面d1ac平面bb1c1c.【命題立意】: 本題主要考查直棱柱的概念、線面平行和線面垂直位置關(guān)系的判定.熟練掌握平行和垂直的判定定理.完成線線、線面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化.19. （本小題滿分12分） 一汽車廠生產(chǎn)a,b,c三類轎車,每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào),某月的產(chǎn)量如下表(單位:輛):轎車a轎車b轎車c舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類型分層抽樣的方法在

11、這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有a類轎車10輛.（1） 求z的值. （2） 用分層抽樣的方法在c類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本.將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率;（3） 用隨機(jī)抽樣的方法從b類舒適型轎車中抽取8輛,經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把這8輛轎車的得分看作一個(gè)總體,從中任取一個(gè)數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的概率.解: (1).設(shè)該廠本月生產(chǎn)轎車為n輛,由題意得,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400(2) 設(shè)所抽樣本中有

12、m輛舒適型轎車,因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒ㄔ赾類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本,所以,解得m=2也就是抽取了2輛舒適型轎車,3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車,分別記作s1,s2;b1,b2,b3,則從中任取2輛的所有基本事件為(s1, b1), (s1, b2) , (s1, b3) (s2 ,b1), (s2 ,b2), (s2 ,b3),( (s1, s2),(b1 ,b2), (b2 ,b3) ,(b1 ,b3)共10個(gè),其中至少有1輛舒適型轎車的基本事件有7個(gè)基本事件: (s1, b1), (s1, b2) , (s1, b3) (s2 ,b1), (s2 ,b2), (s2 ,b3),( (s1, s2),所

13、以從中任取2輛,至少有1輛舒適型轎車的概率為.(3)樣本的平均數(shù)為,那么與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的數(shù)為9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0這6個(gè)數(shù),總的個(gè)數(shù)為8,所以該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的概率為.【命題立意】:本題為概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)內(nèi)容,涉及到分層抽樣以及古典概型求事件的概率問(wèn)題.要讀懂題意,分清類型,列出基本事件,查清個(gè)數(shù).,利用公式解答.20.（本小題滿分12分）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. （1）求r的值； （11）當(dāng)b=2時(shí)，記 求數(shù)列的前項(xiàng)和解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖

14、像上.所以得,當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列, 所以, 公比為, 所以（2）當(dāng)b=2時(shí)，, 則 相減,得 所以【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前項(xiàng)和.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù),其中 （1） 當(dāng)滿足什么條件時(shí),取得極值?（2） 已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.解: (1)由已知得,令,得,要取得極值,方程必須有解,所以,即, 此時(shí)方程的根為,所以 當(dāng)時(shí),x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以在x

15、1, x2處分別取得極大值和極小值.當(dāng)時(shí), x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值.綜上,當(dāng)滿足時(shí), 取得極值. (2)要使在區(qū)間上單調(diào)遞增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以設(shè),令得或(舍去), 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),單調(diào)增函數(shù);當(dāng)時(shí),單調(diào)減函數(shù),所以當(dāng)時(shí),取得最大,最大值為.所以當(dāng)時(shí),此時(shí)在區(qū)間恒成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)最大,最大值為,所以綜上,當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí), 【命題立意】:本題為三次函數(shù),利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值,函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的

16、符號(hào)確定,從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立,再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值.運(yùn)用函數(shù)與方程的思想,化歸思想和分類討論的思想解答問(wèn)題.22. （本小題滿分14分）設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為e.（1）求軌跡e的方程,并說(shuō)明該方程所表示曲線的形狀;（2）已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡e恒有兩個(gè)交點(diǎn)a,b,且(o為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程;(3)已知,設(shè)直線與圓c:(1r2)相切于a1,且與軌跡e只有一個(gè)公共點(diǎn)b1,當(dāng)r為何值時(shí),|a1b1|取得最大值?并求最大值.解:（1）因?yàn)?所以, 即.當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為;當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓; 當(dāng)時(shí),方程表示的是雙曲線.(2).當(dāng)時(shí), 軌跡e的方程為,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為,解方程組得,即,要使切線與軌跡e恒有兩個(gè)交點(diǎn)a,b, 則使=,即,即, 且,要使, 需使,即,所以, 即且, 即恒成立.所以又因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為, 所求的圓為.當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為,與交于點(diǎn)或也滿足.綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個(gè)