第10章_波動率

1、Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20099.1波動率波動率第 10 章1.1 回報回報率率的定義的定義l假設(shè)S1， S2，S3，Si，ST 為一資產(chǎn)的價格序列，其中Si為其在日期i 結(jié)束時的值，則該資產(chǎn)的日連續(xù)型的回報率為l其離散形式為l注：無特殊說明都指9.2Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 200911()ttttRSSS1log()log()

2、tttRSS9.3Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20091.1 上上證綜指的回報證綜指的回報率展示率展示 l期限為2005年至2015年l圖1，展示指數(shù)的走勢圖l圖2，展示指數(shù)回報率的散點(diǎn)圖。9.4Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20091.2波波動率的定義動率的定義l定義定義：回報率的波動率 是指波動率的（條件）標(biāo)準(zhǔn)差。即 （1）l因此收益率

3、可以表示成： （2）l其中： 為獨(dú)立同分布（IID）的序列，且均值為0，方差為1（ ） t21|tttVar SFtttRZ D(0,1)tZ1.3 例例10-1和例和例10-2l根據(jù)例題的題意，寫成式（2）對于的 l 的值或分布。（2）求其置信度為99%的VaR。9.5Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20091R , Z ,tttS1.4 關(guān)關(guān)于方差與波動率的關(guān)系于方差與波動率的關(guān)系l方差是波動率的平方.l假設(shè)，每日回報相互獨(dú)立且具有同樣的方差，則T天回報的方差為 T

4、 乘以每日回報方差。l這意味著，T 天回報的標(biāo)準(zhǔn)差是日回報標(biāo)準(zhǔn)差的倍9.6Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009T9.7Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009交易天數(shù)交易天數(shù)l當(dāng)進(jìn)行波動率的估計(jì)時，交易員通常忽略交易所關(guān)閉的天數(shù)，在計(jì)算時通常的假定是每年有252個交易日. lyear = day l以上關(guān)系式說明，每天波動率大約為年波動率的6

5、%2529.8Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20092. 隱隱含波動率含波動率l期權(quán)定價公式中唯一不能直接觀察到的參數(shù)就是波動率.l隱含波動率是將市場上的期權(quán)價格代入 Black-Scholes 公式后反推計(jì)算出的波動率.2.2VIX指數(shù)指數(shù)l芝加哥交易所會發(fā)表隱含期權(quán)指數(shù)。l最流行的指數(shù)VIX由S&P 500指數(shù)上的30天期限的多個看漲期權(quán)和看跌期權(quán)計(jì)算求得的。lhttp:/ Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Ediz

6、ione, Copyright John C. Hull 20099.10Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20099.11Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009VIX指數(shù)指數(shù)lVIX 指數(shù)常常因?yàn)槭袌鲱~不確定而升高，有時，市場參與者也把VIX指數(shù)稱作“恐懼指數(shù)”。9.12Risk Management e Istituzioni Finanzi

7、arie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20093 . 關(guān)關(guān)于回報率分布的正態(tài)性討論于回報率分布的正態(tài)性討論l以上證綜指考察收益是否具有正態(tài)性。（1） 由式（2）可Zt的估計(jì) （3）其中：（2）比較 的密度函數(shù)以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的差別。tttZR21()TtttRRTtZ9.13Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009正態(tài)分布和厚尾分布正態(tài)分布和厚尾分布9.14Risk Management e Istituzioni F

8、inanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20093.2收益率的厚收益率的厚尾（尾（Heavy Tails）l實(shí)際中，每天實(shí)際價格百分比的變化并不滿足正態(tài)分布。l大多數(shù)金融變量的值發(fā)生較大變化的可能性比正態(tài)分布給出的要大，也就是尾部更厚；l分布峰值要比正態(tài)分布更高，也就是尖峰。l 峰度(kurtosis) 檢驗(yàn)分布尾部的大小.l這意味著，尖峰厚尾分布所對應(yīng)的極大及極小變化數(shù)量事件比在正態(tài)分布中相應(yīng)數(shù)量要大。l很多市場變量都有這個特性。 9.15Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edi

9、zione, Copyright John C. Hull 20093.2一種刻畫回報率厚尾方一種刻畫回報率厚尾方法法: 冪冪律律l根據(jù)冪律 (power law), 一個變量, v, 當(dāng)變量 x 很大時，以下的關(guān)系式近似成立 其中 K 和 是常數(shù). l利用冪率計(jì)算VaR的例子。 例10.4 9.16Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20094.關(guān)于回報率獨(dú)立的討論關(guān)于回報率獨(dú)立的討論（1）檢驗(yàn)收益率的多節(jié)的自相關(guān)系數(shù)，考察其系列相關(guān)性。（2）考察收益率絕對值的系列相關(guān)性

10、。l上證綜指的數(shù)據(jù)實(shí)證的表明收益率沒有序列相關(guān)但是不獨(dú)立。9.17Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20095.估計(jì)波動率方法估計(jì)波動率方法GARCH模型模型l GARCH(1,1) 寫成222011ttttttRZR9.18Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 20095.2例例l假設(shè)， = 0.000002, = 0.13 和 = 0.86, 對應(yīng)于

11、模型l長期平均方差為 對應(yīng)的波動率為9.19Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009例例 (續(xù)續(xù))l假設(shè)，對應(yīng)于現(xiàn)在天波動率估算值為1,6%并且現(xiàn)在的天市場價格降低1%.l則新的方差為 0,000002 + 0,13 0,012 + 0,86 0,0162 = 0,00023516.l對于波動率的最新估計(jì)為 9.20Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull

12、 2009其他模型其他模型l現(xiàn)在已經(jīng)創(chuàng)建了很多其他形式的GARCH 模型.l沒有必要介紹條件分布是正態(tài)分布. 9.21Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009方差目標(biāo)方差目標(biāo)l一個估計(jì) GARCH(1,1) 參數(shù)的很好的做法是方差目標(biāo)法 (variance targeting).l這種方法將長期平均方差, VL, 設(shè)定為由數(shù)據(jù)計(jì)算出的抽樣方差.l因此模型只需要估測兩個參數(shù) ( 和 ).9.22Risk Management e Istituzioni Finanziar

13、ie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009最大最大似然估計(jì)法似然估計(jì)法l最大似然估計(jì)法在參數(shù)估算的過程中，會涉及選擇合適的參數(shù)以使得數(shù)據(jù)發(fā)生的幾率最大.9.23Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009例例 1l隨機(jī)地抽取一天10只股票，有1只價格下跌了.l那股票下降的概率, p, 最好估計(jì)為多少呢?l樣本觀測概率為 p1(1 p)9.lp1(1 p)9 對 p取導(dǎo)數(shù)， 有 (1 p)9 + p1 (9) (1 p)8 = (

14、1 p)8(1 10p).l令導(dǎo)數(shù)等于0，有p = 1/10.l我們得出使表達(dá)式取得最大值的概率水平.9.24Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009例例 2l如果想根據(jù)m個觀察值來估計(jì)一個0均值的正態(tài)分布變量的方差, v.l似然函數(shù)為l取對數(shù)，并且忽略常數(shù)項(xiàng)，則有l(wèi)將以上表達(dá)式對 v 求偏導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為0，我們有 v 的最大似然估計(jì)量9.25Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyrigh

15、t John C. Hull 2009應(yīng)用于應(yīng)用于GARCHl選擇參數(shù) vi, 第i 天的方差的估計(jì), 并且使得表達(dá)式取得最大值9.26Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009YEN/USD的匯率數(shù)據(jù)的匯率數(shù)據(jù): 估計(jì)估計(jì)GARCH(1,1)模型參數(shù)模型參數(shù)DateDay iSiuivi = i2ln(vi) ui2/vi6 Jan. 8810,0077287 Jan. 8820,0077790,0065998 Jan. 8830,007746-0,0042420,00

16、0043559,6283.15 Agu. 9724230,0084950,0001440,000083799,386922.063,5833參數(shù)估計(jì)值 0,000001750,06180,89869.27Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009YEN/USD的匯率數(shù)據(jù)的匯率數(shù)據(jù): 日波動率日波動率9.28Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyright John C. Hull 2009采用采用GARCH(1,1)模型預(yù)測波動率模型預(yù)測波動率l從方程 通過代數(shù)運(yùn)算可得,l預(yù)測一個還有m天到期的期權(quán)的波動率， 9.29Risk Management e Istituzioni Finanziarie, 2a Edizione, Copyrig