E　不等式（文科）

1、E不等式E1不等式的概念與性質(zhì)10B11、B12、E12012浙江卷 設(shè)a0，b0，e是自然對數(shù)的底數(shù)()A若ea2aeb3b，則abB若ea2aeb3b，則abD若ea2aeb3b，則aeb3b，令函數(shù)f(x)ex3x，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，f(a)f(b)，ab，A正確，B錯誤；由ea2aeb3b，有ea2aeb2b，令函數(shù)f(x)ex2x，則f(x)ex2，函數(shù)f(x)ex2x在(0，ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2，)上單調(diào)遞增，當(dāng)a，b(0，ln2)時(shí)，由f(a)b，當(dāng)a，b(ln2，)時(shí)，由f(a)f(b)得ab，故C、D錯誤7E1、B6、B72012湖南卷 設(shè)ab1，c0

2、，給出下列三個(gè)結(jié)論：；acbc；logb(ac)loga(bc)其中所有的正確結(jié)論的序號是()A BC D7D解析 本題考查不等式性質(zhì)、指數(shù)式和對數(shù)式的大小比較，意在考查考生對不等式性質(zhì)、冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用能力；解題思路：轉(zhuǎn)化為冪函數(shù)比較大小，利用換底公式比較對數(shù)式的大小由不等式的基本性質(zhì)可知對；冪函數(shù)yxc(c0，BxR|(x1)(x3)0，則AB()A(，1) B.C. D(3，)1D解析 本題考查集合的表示、集合交集運(yùn)算和一元一次、一元二次不等式求解因?yàn)锳x|3x20，Bx|x3(，1)(3，)，所以AB(3，)，答案為D.6D3、E12012北京卷 已知an為等比數(shù)列，下面結(jié)

3、論中正確的是()Aa1a32a2 Baa2aC若a1a3，則a1a2 D若a3a1，則a4a26B解析 本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)、簡單不等式性質(zhì)與均值不等式對于A選項(xiàng)，當(dāng)數(shù)列an首項(xiàng)為負(fù)值，公比為負(fù)值時(shí)明顯不成立，比如an(1)n，a1a32a1可得a1(q21)0，而a4a2a2(q21)a1q(q21)的符號還受到q符號的影響，不一定為正，也就得不出a4a2，故D錯誤E2 絕對值不等式的解法9E22012天津卷 集合A中的最小整數(shù)為_93解析 將|x2|5去絕對值得5x25，解之得3x7，x的最小整數(shù)為3.E3一元二次不等式的解法13E32012江蘇卷 已知函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)的

4、值域?yàn)?，)，若關(guān)于x的不等式f(x)c的解集為(m，m6)，則實(shí)數(shù)c的值為_139解析 本題考查二次函數(shù)的解析式以及性質(zhì)和一元二次不等式的解法解題突破口為二次函數(shù)的性質(zhì)及三個(gè)“二次”之間的關(guān)系由條件得a24b0，從而f(x)2，不等式f(x)c解集為x，故兩式相減得3，c9.12E32012湖南卷 不等式x25x60的解集為_12x|2x3解析 本題考查解一元二次不等式，意在考查考生解一元二次不等式解不等式得 (x2)(x3)0，即2x3，所以不等式的解集是x|2x3易錯點(diǎn) 本題易錯一：把不等式解集的界點(diǎn)忘記，沒包括2或者3，錯解為x|2x3；易錯二：沒把解集寫成集合或區(qū)間的形式，導(dǎo)致無分1

5、4A2、A3、B3、E32012北京卷 已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2，若xR，f(x)0或g(x)0，則m的取值范圍是_14(4,0)解析 本題考查函數(shù)圖像與性質(zhì)、不等式求解、邏輯、二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)等基礎(chǔ)知識和基本技能，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想、分析問題和解決問題以及綜合運(yùn)用知識的能力由已知g(x)2x20，可得x1，要使xR，f(x)0或g(x)0，必須使x1時(shí)，f(x)m(x2m)(xm3)0恒成立，當(dāng)m0時(shí)，f(x)m(x2m)(xm3)0不滿足條件，所以二次函數(shù)f(x)必須開口向下，也就是m0，BxR|(x1)(x3)0，則AB()A(，1) B.C. D(3，)

6、1D解析 本題考查集合的表示、集合交集運(yùn)算和一元一次、一元二次不等式求解因?yàn)锳x|3x20，Bx|x3(，1)(3，)，所以AB(3，)，21B12、E32012廣東卷 設(shè)0a0，BxR|2x23(1a)x6a0，DAB.(1)求集合D(用區(qū)間表示)；(2)求函數(shù)f(x)2x33(1a)x26ax在D內(nèi)的極值點(diǎn)21解：(1)xDx0且2x23(1a)x6a0.令h(x)2x23(1a)x6a，9(1a)248a3(3a1)(a3)當(dāng)a1時(shí)，0，BR.于是DABA(0，)當(dāng)a時(shí)，0，此時(shí)方程h(x)0有唯一解x1x21，B(，1)(1，)于是DAB(0,1)(1，)當(dāng)0a0，此時(shí)方程h(x)0有

7、兩個(gè)不同的解x1，x2.x10，B(，x1)(x2，)又x10a0，DAB(0，x1)(x2，)(2)f(x)6x26(1a)x6a6(x1)(xa)當(dāng)0a1時(shí)，f(x)在(0，)上的單調(diào)性如下：x(0，a)a(a,1)1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值當(dāng)a1時(shí)，D(0，)由表可得，xa為f(x)在D內(nèi)的極大值點(diǎn)，x1為f(x)在D內(nèi)的極小值點(diǎn)當(dāng)a時(shí)，D(0,1)(1，)由表可得，x為f(x)在D內(nèi)的極大值點(diǎn)當(dāng)0aa且x11，aD,1D.由表可得，xa為f(x)在D內(nèi)的極大值點(diǎn)答案為D.2E32012重慶卷 不等式0f(x)g(x)0；(2)0f(x)g(x)0|，則NxR|g(x)0

8、的解集是_11x|3x3解析 原不等式可化為(x3)(x3)(x2)0，利用穿針引線法可得x|3x317B12、E42012重慶卷 已知函數(shù)f(x)ax3bxc在點(diǎn)x2處取得極值c16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有極大值28，求f(x)在3,3上的最小值17解：因f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b.由于f(x)在點(diǎn)x2處取得極值c16.故有即化簡得解得a1，b12.(2)由(1)知f(x)x312xc；f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x12，x22.當(dāng)x(，2)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(，2)上為增函數(shù)；當(dāng)x(2,2)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(2，

9、)上為增函數(shù)由此可知f(x)在x12處取得極大值f(2)16c，f(x)在x22處取得極小值f(2)c16.由題設(shè)條件知16c28，得c12.此時(shí)f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此f(x)在3,3上的最小值為f(2)4.E5簡單的線性規(guī)劃問題2E52012天津卷 設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z3x2y的最小值為()A5 B4C2 D32B解析 概括題意畫出可行域如圖當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線過可行域內(nèi)點(diǎn)A(0,2)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最小值z03224.8E52012四川卷 若變量x，y滿足約束條件則z3x4y的最大值是()A12 B26C28 D338C解析 由已知，畫出可行域如圖，

10、可知當(dāng)x4，y4時(shí)，z3x4y取得最大值，最大值為28.10E52012上海卷 滿足約束條件|x|2|y|2的目標(biāo)函數(shù)zyx的最小值是_102解析 考查簡單的線性規(guī)劃問題，此題的難點(diǎn)是如何正確畫出可行域畫圖可知，約束條件表示的區(qū)域是一個(gè)平行四邊形區(qū)域，四個(gè)頂點(diǎn)分別是(0,1)，(2,0)(0，1)(2,0)通過平移參照直線yx0，可知在(2,0)處取得最小值，zmin022.9E52012遼寧卷 設(shè)變量x，y滿足則2x3y的最大值為()A20 B35C45 D559D解析 本小題主要考查線性規(guī)劃解題的突破口為作出可行域，借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最值不等式組表示的區(qū)域如圖11所示，令z

11、2x3y，目標(biāo)函數(shù)變?yōu)閥x，故而當(dāng)截距越大，z的取值越大，故當(dāng)直線z2x3y經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z最大，由于故而A的坐標(biāo)為(5,15)，代人z2x3y，得到zmax55，即2x3y的最大值為55.5E52012課標(biāo)全國卷 已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A(1,1)，B(1,3)，頂點(diǎn)C在第一象限，若點(diǎn)(x，y)在ABC內(nèi)部，則zxy的取值范圍是()A(1，2) B(0,2)C(1,2) D(0,1)5A解析 由正三角形的性質(zhì)可求得點(diǎn)C，作出ABC表示的可行域(如下圖所示不含ABC的三邊)可知當(dāng)直線zxy經(jīng)過點(diǎn)C(1，2)時(shí)，zxy取得最小值，且zmin1；當(dāng)直線zxy經(jīng)過點(diǎn)B(1,3)時(shí)，zxy取得最大值，

12、且zmax2.因?yàn)榭尚杏虿缓珹BC的三邊，故zxy的取值范圍是.故選A.5E52012廣東卷 已知變量x，y滿足約束條件則zx2y的最小值為()A3 B1C5 D65C解析 作出可行域，如圖所示目標(biāo)函數(shù)變形為：yxz，平移目標(biāo)函數(shù)線，顯然當(dāng)直線經(jīng)過圖中A點(diǎn)時(shí)，z最小，由 得A(1，2)，所以zmin145.所以選擇C.10E52012福建卷 若直線y2x上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件則實(shí)數(shù)m的最大值為()A1 B1 C. D210B解析 根據(jù)約束條件畫出可行域如下圖所示，根據(jù)題意，顯然當(dāng)直線y2x與直線yx3相交，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為m的最大值，解方程組：解得x1.所以當(dāng)m1時(shí)，直線y2x上存在點(diǎn)

13、(x，y)滿足約束條件，所以m的最大值為1.14E52012全國卷 若x，y滿足約束條件則z3xy的最小值為_141解析 本小題主要考查線性規(guī)劃最優(yōu)解的應(yīng)用，解題的突破口是正確作出可行域和平移目標(biāo)函數(shù)曲線利用不等式組，作出可行域，則目標(biāo)函數(shù)直線過(0,1)時(shí)，z取最小值1.8E52012安徽卷 若x，y滿足約束條件則zxy的最小值是()A3 B0 C. D38A解析 作出不等式組 表示的可行域(如圖所示的ABC的邊界及內(nèi)部)平移直線zxy，易知當(dāng)直線zxy經(jīng)過點(diǎn)C(0,3)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)zxy取得最小值，即zmin3.14E52012浙江卷 設(shè)zx2y，其中實(shí)數(shù)x，y滿足則z的取值范圍是_14答

14、案 解析 約束條件得到的可行域?yàn)橄聢D中的四邊形ABCO及其內(nèi)部，由目標(biāo)函數(shù)zx2y可得yx，直線x2yz0平移通過可行域時(shí)，截距在B點(diǎn)取得最大值，在O點(diǎn)取得最小值，B點(diǎn)坐標(biāo)為， 故z.21B9、B12、E52012陜西卷 設(shè)函數(shù)f(x)xnbxc(nN，b，cR)(1)設(shè)n2，b1，c1，證明：f(x)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；(2)設(shè)n為偶數(shù)，|f(1)|1，|f(1)|1，求b3c的最小值和最大值；(3)設(shè)n2，若對任意x1，x21,1有|f(x1)f(x2)|4，求b的取值范圍21解：(1)當(dāng)b1，c1，n2時(shí)，f(x)xnx1.ff(1)10.f(x)在內(nèi)存在零點(diǎn)又當(dāng)x時(shí)，f(x)nxn1

15、10，f(x)在上是單調(diào)遞增的，f(x)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)(2)解法一：由題意知即由圖像知，b3c在點(diǎn)(0，2)取到最小值6，在點(diǎn)(0,0)取到最大值0，b3c的最小值為6，最大值為0.解法二：由題意知1f(1)1bc1，即2bc0，1f(1)1bc1，即2bc0，2得62(bc)(bc)b3c0，當(dāng)b0，c2時(shí)，b3c6；當(dāng)bc0時(shí)，b3c0，所以b3c的最小值為6，最大值為0.解法三：由題意知解得b，c，b3c2f(1)f(1)3.又1f(1)1，1f(1)1，6b3c0，所以b3c的最小值為6，最大值為0.(3)當(dāng)n2時(shí)，f(x)x2bxc.對任意x1，x21,1都有|f(x1)f(x2)

16、|4等價(jià)于f(x)在1,1上的最大值與最小值之差M4.據(jù)此分類討論如下：當(dāng)1，即|b|2時(shí)，M|f(1)f(1)|2|b|4，與題設(shè)矛盾當(dāng)10，即0b2時(shí)，Mf(1)f24恒成立當(dāng)01，即2b0時(shí)，Mf(1)f24恒成立綜上可知，2b2.注：，也可合并證明如下：用maxa，b表示a，b中的較大者當(dāng)11，即2b2時(shí)，Mmaxf(1)，f(1)ff1c|b|24恒成立3E5、K32012北京卷 設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是()A. B.C. D.3D解析 本題考查了線性規(guī)劃、圓的概念、圓的面積公式以及幾何概型公式等基礎(chǔ)知識如圖所示，P.

17、14E52012湖北卷 若變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z2x3y的最小值是_14答案 2解析 作出不等式組 所表示的可行域，如下圖陰影部分所示(含邊界)可知當(dāng)直線z2x3y經(jīng)過直線xy1與直線3xy3的交點(diǎn)M(1,0)時(shí)，z2x3y取得最小值，且zmin2.6E52012山東卷 設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z3xy的取值范圍是()A. B.C1,6 D.6A解析 本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)據(jù)處理能力，容易題可行域?yàn)槿鐖D所示陰影部分當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線l移至可行域中的A點(diǎn)(2,0)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最大值z3206；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線l移至可行域中的B點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最小值z33.E6基本不等式

18、9E62012浙江卷 若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是()A. B.C5 D69C解析 本題考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生觀察、變形判斷的能力由x0，y0，x3y5xy得1，則3x4y(3x4y)25，當(dāng)且僅當(dāng)即x1，y時(shí)等號成立10E6、E82012陜西卷 小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(ab)，其全程的平均時(shí)速為v，則()Aav BvC.v Dv10A解析 由小王從甲地往返到乙地的時(shí)速為a和b，則全程的平均時(shí)速為v，又ab，av1時(shí)，f(x)(x1)；(2)當(dāng)1x3時(shí)，f(x)1時(shí)，g(x)0，g(x)在(1，)上單調(diào)遞減又g(1)0，有g(shù)(x)0，即f(x)

19、1時(shí)，2x1，故.令k(x)lnxx1，則k(1)0，k(x)10，故k(x)0，即lnx1時(shí)，f(x)(x1)(2)(證法一)記h(x)f(x)，由(1)得h(x)令g(x)(x5)3216x，則當(dāng)1x3時(shí)，g(x)3(x5)22160.因此g(x)在(1,3)內(nèi)是遞減函數(shù)，又由g(1)0，得g(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(1,3)內(nèi)是遞減函數(shù)，又h(1)0，得h(x)0.于是當(dāng)1x3時(shí)，f(x).(證法二)記h(x)(x5)f(x)9(x1)，則當(dāng)1x3時(shí)，由(1)得h(x)f(x)(x5)f(x)9(x1)(x5)93x(x1)(x5)(2)18x(7x232x25)0.因此

20、h(x)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減，又h(1)0，所以h(x)0，即f(x).E8不等式的綜合應(yīng)用14E82012江蘇卷 已知正數(shù)a，b，c滿足：5c3ab4ca，clnbaclnc，則的取值范圍是_14e,7解析 本題考查多元問題的求解以及線性規(guī)劃思想的運(yùn)用解題突破口為將所給不等式條件同時(shí)除以c，三元換成兩元題設(shè)條件可轉(zhuǎn)化為記x，y，則且目標(biāo)函數(shù)為z，上述區(qū)域表示第一象限內(nèi)兩直線與指數(shù)函數(shù)的圖象圍成如圖所示的曲邊形由方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)為C，此時(shí)zmax7.又過原點(diǎn)作曲線yex的切線，切點(diǎn)為(x0，y0)，因yex，故切線斜率kex0，切線方程為yex0x，而y0ex0且y0ex0x0，解之得x01

21、，故切線方程為yex，從而zmine，所求取值范圍為e,715E82012福建卷 已知關(guān)于x的不等式x2ax2a0在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_15(0,8)解析 不等式在R上恒成立，則滿足a242a0，解得0a8.10E6、E82012陜西卷 小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(ab)，其全程的平均時(shí)速為v，則()Aav BvC.v Dv10A解析 由小王從甲地往返到乙地的時(shí)速為a和b，則全程的平均時(shí)速為v，又ab，av0時(shí)，(xk)f(x)x10，求k的最大值21解：(1)f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)exa.若a0，則f(x)0，所以f(x)在(，)單調(diào)遞增若a0，則當(dāng)x(，lna)時(shí)，f(x)0，所以，f(x)在(，lna)單調(diào)遞減，在(lna，)單調(diào)遞增(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故當(dāng)x0時(shí)，(xk)f(x)x10等價(jià)于k0)令g(x)x，則g(x)1.由(1)知，函數(shù)h(x)exx2在(0，)單調(diào)遞增而h(1)0，所以h(x)在(0，)存在唯一的零點(diǎn)故