第2章 非線性方程求根(張武)

1、第二章第二章 方程求根方程求根f f(x)=0(x)=0張武張武上海大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院上海大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院引言引言本章主要討論單變量非線性方程 的求根問題，這里 一類特殊的問題是多項(xiàng)式方程的求根問題，其中系數(shù)為 實(shí)數(shù). .,)(,Rbaxfx),0()(01110aaxaxaxaxfnnnn), 1 , 0(niai0)(xf迭代法迭代法迭代法是數(shù)值計(jì)算中一種典型的重要方法，尤迭代法是數(shù)值計(jì)算中一種典型的重要方法，尤其是計(jì)算機(jī)的普遍使用，使迭代法的應(yīng)用更為其是計(jì)算機(jī)的普遍使用，使迭代法的應(yīng)用更為廣泛。廣泛。所謂迭代法就是用某種收斂于所給問題的精確所謂迭代法就是用某種收斂于所給問題的精確解的極限過程，

2、來逐步逼近的一種計(jì)算方法，解的極限過程，來逐步逼近的一種計(jì)算方法，從而可以用有限個(gè)步驟算出精確解的具有指定從而可以用有限個(gè)步驟算出精確解的具有指定精度的近似解。簡(jiǎn)單說迭代法是一種逐步逼近精度的近似解。簡(jiǎn)單說迭代法是一種逐步逼近的方法。的方法。, 2 , 1 , 0132588. 1133086. 133086. 1135721. 135721. 115 . 11)(5 . 1013132323121301033kxxxxxxxxxxxxxxxxkk重復(fù)步驟，代入，將代入，將代入，將解：改寫方程。用六位有效數(shù)字計(jì)算附近的一個(gè)根在例：求方程k kx xk kk kx xk k01.551.3247

3、611.3572161.3247321.3308671.3247231.3258881.3247241.32494迭代法迭代法6稱稱為為迭迭代代公公式式。稱稱為為迭迭代代函函數(shù)數(shù)，次次近近似似，稱稱為為稱稱為為初初始始近近似似，是是方方程程的的根根。即即即即則則可可得得若若序序列列有有極極限限，即即，列列出出發(fā)發(fā)，作作序序再再從從某某一一數(shù)數(shù)化化為為先先將將方方程程對(duì)對(duì)于于一一般般形形式式的的方方程程)()(0)()(lim,2, 1 ,0,)()(0)(10100nnnnnnnxgxxgnxxaafagaaxnxgxxxxgxxf迭代法的結(jié)束條件迭代法的結(jié)束條件71kkxx例例4 4：求方程

4、：求方程 在在0, 0.50, 0.5內(nèi)的根，精確內(nèi)的根，精確到到1010-5-5。0133xx迭代法例題迭代法例題83*0331k ( )10 1.5. 1 1 1(0,1,2) k 0 1 2 7 8 x 1.51.357211.330861.324kkf xxxxxxxxxk例：求方程 在附近的根解：（ ） 將方程改寫為由此建立迭代公式331k721.32472 2 11.k 0 1 2 x1.52.37512.39 kkxxxx迭代收斂。（ ） 若將方程改寫為建立迭代公式 迭代不收斂。迭代過程的收斂性迭代過程的收斂性定理定理: : 設(shè)迭代函數(shù)設(shè)迭代函數(shù) 在在 上具有連續(xù)的一上具有連續(xù)的

5、一階導(dǎo)數(shù)，且階導(dǎo)數(shù)，且 （1 1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 ； （2 2）存在正數(shù)）存在正數(shù) ，使對(duì)任意的，使對(duì)任意的 ，有有 成立。則成立。則 在在 上存在唯一的上存在唯一的解解 ，并且對(duì)任意選取的初值，并且對(duì)任意選取的初值 ，迭代過，迭代過程程 所產(chǎn)生的迭代所產(chǎn)生的迭代數(shù)列收斂于數(shù)列收斂于 。 ,ba9)(xaxb( )axb1L,xa b( )1xL( )xx , a b*x0,xa b1() , 0,1, 2,kkxxk*x10迭代過程的收斂性證明迭代過程的收斂性證明證明：先證證明：先證*x的存在性的存在性。由條件可知，在由條件可知，在, a b上上( ) x存在，所以存在，所以( ) x

6、是連續(xù)函數(shù)，令是連續(xù)函數(shù)，令( )( )g xxx則則( )g x在在, a b上也連續(xù)，由條件（上也連續(xù)，由條件（1）可得，）可得，( )( )0g aaa，( )( )0g bbb由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，在由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，在, a b上必存在一點(diǎn)上必存在一點(diǎn)*x，使，使*()0g x。即即*()xx。11迭代過程的收斂性證明（續(xù)迭代過程的收斂性證明（續(xù)1）再證其唯一性設(shè)有再證其唯一性設(shè)有*12,x x，均滿足（，均滿足（3.6）即）即*1122(),()xxxx，則由微分中值定理得，則由微分中值定理得*121212()()( )()xxxxxx 即即*12()1( )0 xx 其中其中

7、在在*1x與與*2x之間，所以之間，所以 , a b又由條件（又由條件（2），），( )1xL，則，則1( )0 所以只有所以只有*120 xx，即，即*12xx，*x唯一唯一。12迭代過程的收斂性證明（續(xù)迭代過程的收斂性證明（續(xù)2）最后來證明最后來證明 kx的收斂性的收斂性。由微分中值定理由微分中值定理*1()()( )()kkkxxxxxx 其中其中在在*x與與kx之間，由條件（之間，由條件（2）*1, (0,1,2,)kkxxL xxk應(yīng)用不等式（應(yīng)用不等式（3.11），由歸納法可得），由歸納法可得*10kkkxxL xxL xx因?yàn)橐驗(yàn)?L ，所以有，所以有*0limlim0kkkkx

8、xL xx即即lim*kkxx，迭代收斂，迭代收斂。 13迭代過程的收斂性迭代過程的收斂性滿足如下條件滿足如下條件（1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)時(shí)( ) , xa b( ) , xC a b（2） ( ) , xa b在上滿足李普希斯條件即對(duì)任意即對(duì)任意12, , x xa b成立成立1212()xxL xx其中其中01L，我們稱，我們稱L為李普希斯常數(shù)。為李普希斯常數(shù)。則方程在則方程在a,b上存在唯一解上存在唯一解并且并且迭代格式收斂。并有誤差估計(jì)迭代格式收斂。并有誤差估計(jì)101kkLxxxL定理：設(shè)函數(shù)定理：設(shè)函數(shù) , xa b例題分析例題分析14求方程求方程 在在0，1 內(nèi)的一個(gè)根內(nèi)的一個(gè)根 。 29

9、sin10 xx11sin13nnxxcos11( )66sin1xxx解：將方程寫成迭代格式解：將方程寫成迭代格式由于由于迭代法收斂，任取初值，比如迭代法收斂，任取初值，比如00.4x 當(dāng)當(dāng)k=14時(shí)，有時(shí)，有140.39184690700265x可以看作方程很好的近似根?？梢钥醋鞣匠毯芎玫慕聘＠贸绦蜻M(jìn)行計(jì)算，得到一列近似值。利用程序進(jìn)行計(jì)算，得到一列近似值。例例2： 求方程求方程01)(3xxxfkakbkxkf (xk)的符號(hào)的符號(hào)011.51.25-11.251.51.375+21.251.3751.3125-31.31251.3751.3438+41.31251.34381.3

10、281+51.31251.32811.3203-61.32031.32811.3242-迭代法是一種逐次逼近法，這種方法使用某個(gè)固迭代法是一種逐次逼近法，這種方法使用某個(gè)固定公式所謂迭代公式反復(fù)校正根的近似值，使之逐定公式所謂迭代公式反復(fù)校正根的近似值，使之逐步精確化，直至滿足精度要求的結(jié)果。步精確化，直至滿足精度要求的結(jié)果。迭代法的求根過程分成兩步，第一步先提供根的迭代法的求根過程分成兩步，第一步先提供根的某個(gè)猜測(cè)值，即所謂迭代初值，然后將迭代初值逐步某個(gè)猜測(cè)值，即所謂迭代初值，然后將迭代初值逐步加工成滿足精度要求的根。加工成滿足精度要求的根。迭代法的設(shè)計(jì)思想是，將隱式方程迭代法的設(shè)計(jì)思想是

11、，將隱式方程 歸結(jié)為計(jì)算一組顯式公式歸結(jié)為計(jì)算一組顯式公式 ，也就是說，也就是說，迭代過程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)逐步顯式化的過程。迭代過程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)逐步顯式化的過程。迭代法總結(jié)迭代法總結(jié)16 xx1kkxx二分法二分法17abx1x2ab11xxkk 2)(xf 或或x* 2xx*根的存在性根的存在性18( ) , ( ) ( )0( )0 , f xa bf a f bf xa b定理：若在，則方程在內(nèi)至少有一個(gè)根。二分法步驟二分法步驟191計(jì)算計(jì)算 在有解區(qū)間在有解區(qū)間a, b端點(diǎn)處的值，端點(diǎn)處的值， 。2計(jì)算計(jì)算 在區(qū)間中點(diǎn)處的值在區(qū)間中點(diǎn)處的值 。3判斷若判斷若 ，則，則 即是根，否則檢驗(yàn)：即

12、是根，否則檢驗(yàn)：反復(fù)執(zhí)行步驟反復(fù)執(zhí)行步驟2、3，便可得到一系列有根區(qū)間：，便可得到一系列有根區(qū)間：二分法步驟（續(xù)）二分法步驟（續(xù)）204、當(dāng)、當(dāng)11kkab時(shí)時(shí))(211kkkbax5、則、則即為根的近似即為根的近似簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單; 對(duì)對(duì)f (x) 要求不高要求不高(只要連續(xù)即可只要連續(xù)即可) .無法求復(fù)根及偶重根無法求復(fù)根及偶重根 收斂慢收斂慢 優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)缺點(diǎn)二分法誤差估計(jì)二分法誤差估計(jì)21bxyo)(xfy a0 x1x1a1b)(211abxxkk 的近似值的近似值。上式也稱為二分法上式也稱為二分法的誤差估計(jì)式的誤差估計(jì)式。對(duì)于事先給定的精度對(duì)于事先給定的精度誤差估計(jì)、對(duì)分次數(shù)誤差估計(jì)、對(duì)分

13、次數(shù)22 對(duì)二分法，因?yàn)閿?shù)值分析的結(jié)果允許含有一對(duì)二分法，因?yàn)閿?shù)值分析的結(jié)果允許含有一定的誤差定的誤差。所以對(duì)給定的誤差精度所以對(duì)給定的誤差精度 ，只要選擇，只要選擇足夠大的足夠大的k，就可使得，就可使得*122kkkkbabaxx這時(shí)即可用這時(shí)即可用kx作為作為*x，從式，從式(3.4)易求得二分次數(shù)易求得二分次數(shù)ln() ln2 1bak二分法程序框圖二分法程序框圖23定義定義f (x)f (a) f (b)0f (a) f (b)=0f (a) =0打印打印b, k打印打印a, k結(jié)束結(jié)束是是是是是是否否否否否否m=(a+b)/2|a-b|0打印打印m, ka=mb=m結(jié)束結(jié)束k=K+1

14、是是是是否否否否輸入輸入 ,bak = 0例題分析例題分析2401)(3xxxfkakbkxkf (xk)的符號(hào)的符號(hào)011.51.25-11.251.51.375+21.251.3751.3125-31.31251.3751.3438+41.31251.34381.3281+51.31251.32811.3203-61.32031.32811.3242-例例1：求下列方程位于：求下列方程位于【1，1.5】?jī)?nèi)的一個(gè)根。內(nèi)的一個(gè)根。例題分析（續(xù)例題分析（續(xù)1）25例例3 利用二分法求方程利用二分法求方程2sincos0 xx，在，在0,1內(nèi)的根內(nèi)的根(0.01)解：令解：令 ( )2sincos

15、f xxx取取000,1ab有有(0)0,(1)0ff利用上述二分法，可以得到如下的計(jì)算結(jié)果利用上述二分法，可以得到如下的計(jì)算結(jié)果（表（表3.1）。由表由表3.1可以看出，當(dāng)可以看出，當(dāng)7k 時(shí)，時(shí)，771128ba，所以可以將，所以可以將77,a b的中點(diǎn)作為所求根的中點(diǎn)作為所求根*x的近似值的近似值。例題分析（續(xù)例題分析（續(xù)2）26kkakbkx()kf x 的符號(hào)的符號(hào)0010.510.510.7520.7510.87530.750.8750.812540.81250.8750.8437550.843750.8750.8593760.843750.859370.8515670.85156

16、0.859370.85547取取*0.8555x ，即滿足精度要求，即滿足精度要求。二分法總結(jié)二分法總結(jié)27二分法是求實(shí)根的近似計(jì)算中行之有效的最簡(jiǎn)單方法，二分法是求實(shí)根的近似計(jì)算中行之有效的最簡(jiǎn)單方法，易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，且對(duì)于函數(shù)易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，且對(duì)于函數(shù)的性質(zhì)要求不高，僅僅要的性質(zhì)要求不高，僅僅要求它在有根區(qū)間上連續(xù)，且區(qū)間端點(diǎn)的求它在有根區(qū)間上連續(xù)，且區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)即可函數(shù)值異號(hào)即可。它它的缺點(diǎn)是不能求偶數(shù)重根，也不能求復(fù)根，收斂速度與以的缺點(diǎn)是不能求偶數(shù)重根，也不能求復(fù)根，收斂速度與以 為公比的等比數(shù)列相同，為公比的等比數(shù)列相同，不算太快，因此一般在求方程近似不算太快，因此

17、一般在求方程近似根時(shí)，不太單獨(dú)使用，常用它來為其它方法求方程近似根提根時(shí)，不太單獨(dú)使用，常用它來為其它方法求方程近似根提供好的初始值供好的初始值。12牛頓法牛頓法281、牛頓法的思想、牛頓迭代公式；、牛頓法的思想、牛頓迭代公式；2、牛頓法的收斂性；、牛頓法的收斂性；3、牛頓法的收斂速度；、牛頓法的收斂速度；3、弦截法思想。、弦截法思想。一般迭代法一般迭代法29稱為迭代公式。稱為迭代函數(shù)，次近似，稱為稱為初始近似，是方程的根。即即則可得若序列有極限，即，出發(fā)，作序列再從某一數(shù)先將方程化為對(duì)于一般形式的方程)()(0)()(lim,2, 1 ,0,)()(0)(10100nnnnnnnxgxxgn

18、xxaafagaaxnxgxxxxgxxf由前面的討論可知，選擇合適的迭代函數(shù)由前面的討論可知，選擇合適的迭代函數(shù) ，是提高迭代數(shù)列是提高迭代數(shù)列 的收斂速度的關(guān)鍵。本節(jié)介紹一種的收斂速度的關(guān)鍵。本節(jié)介紹一種確定迭代函數(shù)確定迭代函數(shù) 的方法的方法 牛頓法。牛頓法是求解方牛頓法。牛頓法是求解方程程 的一種重要方法，它的最大優(yōu)點(diǎn)是方程在單的一種重要方法，它的最大優(yōu)點(diǎn)是方程在單根附近具有較高的收斂速度，它還可以用于求代數(shù)方程根附近具有較高的收斂速度，它還可以用于求代數(shù)方程的重根、復(fù)根；也可以拓廣用于求解非線性方程組的問的重根、復(fù)根；也可以拓廣用于求解非線性方程組的問題。題。一般迭代法（續(xù)）一般迭代法

19、（續(xù)）30( )x kx( )0f x ( )x牛頓法牛頓法31取取 在在 x x0 0 做一階做一階TaylorTaylor展開展開: :將將 看成高階小量，則有：看成高階小量，則有：)*)()(*)(0000 xxxfxfxf )()(*000 xfxfxx 只要只要 ，每一步迭代都有，每一步迭代都有 ，而，而 且且*limxxkk ，則，則 的根。的根。1()()kkkkf xxxfx（牛頓公式）（牛頓公式）20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf ， 在在 x x0 0 和和 x x 之之間。間。()0kfx從幾何的角度來分析一下牛頓公式的直觀結(jié)構(gòu)，方程從幾何的角度來

20、分析一下牛頓公式的直觀結(jié)構(gòu)，方程 的根就是曲線的根就是曲線 與與 軸的交點(diǎn)。設(shè)軸的交點(diǎn)。設(shè) 為為 的一個(gè)近似值，過曲線的一個(gè)近似值，過曲線 上橫坐標(biāo)為上橫坐標(biāo)為 的的點(diǎn)點(diǎn) ，引一條切線，其方程為，引一條切線，其方程為牛頓法幾何表示牛頓法幾何表示32( )0f x ( )yf x( )yf x*xkxkxx(,()kkp xf x()()()kkkyf xfxxx令其為零，得切線令其為零，得切線 與與 軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為lx()()kkkf xxxfx將此式將此式 與上面求得的牛頓與上面求得的牛頓公式公式 進(jìn)行比較即可知道：牛頓公進(jìn)行比較即可知道：牛頓公式實(shí)際上就是用曲線式實(shí)際上就是用曲線 在

21、在 點(diǎn)點(diǎn) 處的切線與處的切線與 軸的交點(diǎn)作為曲線軸的交點(diǎn)作為曲線 與與 軸交點(diǎn)的近似，如下圖所示軸交點(diǎn)的近似，如下圖所示牛頓法幾何表示（續(xù)牛頓法幾何表示（續(xù)1）33( )yf x( )yf xxx1()()kkkkf xxxfx()()kkkf xxxfx(,()kkp xf x牛頓法幾何表示（續(xù)牛頓法幾何表示（續(xù)2）34x*x0 x1x2xyf(x)牛頓法例題牛頓法例題35例例 用牛頓法求解方程用牛頓法求解方程xxe在在00.5x 附近的根附近的根5(10 )解：將方程解：將方程xxe轉(zhuǎn)化為等價(jià)方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)方程10 xxe 令令( )1xf xxe，則牛頓迭代公式為，則牛頓迭代公式為11(

22、1)1kkkxxkkkkkxkkx exexxxexx(0,1,2,)k 00.5x ，迭代結(jié)果如下表，迭代結(jié)果如下表3.6 ，與例，與例4、例、例6的迭代結(jié)果進(jìn)行比較的迭代結(jié)果進(jìn)行比較可見，牛頓公式的收斂速度是相當(dāng)快的可見，牛頓公式的收斂速度是相當(dāng)快的。牛頓法例題（續(xù)）牛頓法例題（續(xù)）3600.5x ，迭代結(jié)果如下表，迭代結(jié)果如下表取初值取初值kkx012340.50.57102040.56715550.56714330.5671432*0.567143x 牛頓法的收斂性牛頓法的收斂性37牛頓法收斂性示意圖牛頓法收斂性示意圖38牛頓法收斂性示意圖（續(xù)）牛頓法收斂性示意圖（續(xù)）39Newton

23、法的收斂性依賴于法的收斂性依賴于x0 的選取。的選取。x*x0 x0 x0牛頓法例題牛頓法例題4010 10. ( ) 1,( )(1)( ) ( )( )1 10.5kxxxxxkkkkxefxxefxexfxxexxxfxxxexxxx例：用牛頓法解方程解：牛頓法迭代函數(shù)為牛頓公式為可先用二分法或經(jīng)驗(yàn)確定迭代初值，再按牛頓公式進(jìn)行迭代。收斂速度定義收斂速度定義411*1()( ) (0121kkkkkpkxxxxxexxkeCCepppp 定義：設(shè)迭代過程收斂于方程的根,如果迭代誤差當(dāng)時(shí)成立下列漸進(jìn)關(guān)系式為常數(shù)）則稱該迭代過程是 階收斂的。為線性收斂，為超線性為平收斂，方收斂。收斂速度定理

24、收斂速度定理421()*(1)*()* (),( )()()()0;() 0 kkpppxxxxxxxxxp定理：對(duì)于迭代過程如果在所求根 的鄰近連續(xù)，并且則該迭代過程在點(diǎn) 鄰近是 階收斂的。收斂速度定理證明收斂速度定理證明43*1*( )*( )( )*11()0 1,()()( ) ()()()!( )()()!kkkppkkpppkkkpkxxxxxxxxxpexxxxxpep 證：由于故具有局部收斂性,將在根 處展開，由條件有牛頓法的收斂速度牛頓法的收斂速度44 12* () ,()0,() ()() () ()()() () ()()(kkkkxxa bxfxxxfxfxxxfxfx

25、fxxfxxfxfx迭 代 過 程 的 收 斂 速 度 依 賴 于 迭 代 函 數(shù)的 選取 。 如 果 當(dāng)時(shí)則 該 迭 代 過 程 只可 能 是 線 性 收 斂 。 對(duì) 牛 頓 公 式其 迭 代 函 數(shù) 為由 于假 定是的 一 個(gè) 單 根 ， 即*)0,()0,()0,fxxx則由 上 式 知由 上 述 定 理 知 ， 牛 頓 法 在 根的鄰 近 至 少 是 平 方 收 斂 的 。牛頓法應(yīng)用牛頓法應(yīng)用4521 01 ().2kkkCxCCCxxx對(duì)于給定正數(shù)，應(yīng)用牛頓法解二次方程即導(dǎo)出求開方值的計(jì)算程序02211221010202000 11 () ()22. ,2.1 0,1. kkkkkk

26、kkkkkkkkkkkxxCxCxCxCxxxCxCxCxCxCxCxCxCxCqqxCCxCqxqkxC 現(xiàn)證此迭代公式對(duì)于初值都是收斂的。由迭代公式得記對(duì)任意總有，故當(dāng)時(shí)，牛頓法優(yōu)缺點(diǎn)牛頓法優(yōu)缺點(diǎn)46Newton法具有收斂快，穩(wěn)定性好，精度高等優(yōu)點(diǎn)，法具有收斂快，穩(wěn)定性好，精度高等優(yōu)點(diǎn)，是求解非線性方程的有效方法之一。但它每次迭代均需是求解非線性方程的有效方法之一。但它每次迭代均需計(jì)算函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值，故計(jì)算量較大。而且當(dāng)導(dǎo)數(shù)值提計(jì)算函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值，故計(jì)算量較大。而且當(dāng)導(dǎo)數(shù)值提供有困難時(shí)，供有困難時(shí)， Newton法無法進(jìn)行。法無法進(jìn)行。（4）計(jì)算）計(jì)算f (xk+1)，并比較，并比較 與與

27、 的大小，分以下二種情況的大小，分以下二種情況)(1kxf)(kxf 2）若）若 ，則當(dāng)，則當(dāng) 且，取且，取x* xk，計(jì)算過程結(jié)束；，計(jì)算過程結(jié)束；)()(1kkxfxf否則若否則若 ，而，而 時(shí)，則把時(shí)，則把xk+1加上一個(gè)適當(dāng)選定的小正數(shù)，加上一個(gè)適當(dāng)選定的小正數(shù)，11)(kxf即取即取xk+1+ 作為新的作為新的xk值，并轉(zhuǎn)向（值，并轉(zhuǎn)向（3）重復(fù)計(jì)算；當(dāng)）重復(fù)計(jì)算；當(dāng) ；且；且 ，則將下山因子縮小一半，取則將下山因子縮小一半，取 /2代入，并轉(zhuǎn)向（代入，并轉(zhuǎn)向（3）重復(fù)計(jì)算。）重復(fù)計(jì)算。 11)(kxf（3）計(jì)算）計(jì)算)( )(1kkkkxfxfxx1）若）若 ，則當(dāng)，則當(dāng) 時(shí)，取時(shí)

28、，取x* xk+1，計(jì)算過程結(jié)束；，計(jì)算過程結(jié)束； 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，則把時(shí)，則把xk+1作為新的作為新的xk值，并重復(fù)回到（值，并重復(fù)回到（3）。）。牛頓下山法牛頓下山法47（1）選取初始近似值）選取初始近似值x0；（2）取下山因子）取下山因子 = 1；牛頓下山法計(jì)算步驟可歸納如下：牛頓下山法計(jì)算步驟可歸納如下：)()(1kkxfxf21kkxx21kkxx例題分析例題分析48例例5 5：求方程：求方程 的根的根k xk010.611/251.14063211.36681311.32628411.32472牛頓下山法的計(jì)算結(jié)果：牛頓下山法的計(jì)算結(jié)果：弦截法弦截法11111 (),(),() ,( )0(),(),(),( ),( )0( )0 kkkkkk rkkk rrrkkf xf xfxxxxf xf xf xf xp xp xf xxx基本思想：利用一些函數(shù)值來回避導(dǎo)數(shù)值的計(jì)算。設(shè)是的一組近似根，利用函數(shù)值構(gòu)造插值多項(xiàng)式并適當(dāng)選取的一個(gè)根作為的新的近似根，這就確定了一個(gè)迭代過程，記迭代函數(shù)為 ：1(,). 12kkk rxxxrr當(dāng)時(shí)為弦截法，當(dāng)時(shí)為拋物線