9-4分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律

1、9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律9.4.1 分子的速率分布函數(shù)分子的速率分布函數(shù)氣體分子處于無(wú)規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)之中，由于碰撞，每個(gè)分子氣體分子處于無(wú)規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)之中，由于碰撞，每個(gè)分子的速度都在不斷地改變，所以在某一時(shí)刻，對(duì)某個(gè)分子來(lái)的速度都在不斷地改變，所以在某一時(shí)刻，對(duì)某個(gè)分子來(lái)說(shuō)，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子說(shuō)，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整體而言，在一定條件下，分子的速率分布遵守一定的統(tǒng)整體而言，在一定條件下，分子的速率分布遵守一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律計(jì)規(guī)律氣體速率分布律氣體速

2、率分布律。速率分布函數(shù)：速率分布函數(shù)：按統(tǒng)計(jì)假設(shè)分子速率通過(guò)碰撞不斷改變，按統(tǒng)計(jì)假設(shè)分子速率通過(guò)碰撞不斷改變，不好說(shuō)正處于哪個(gè)速率的分子數(shù)多少，但用某一速率區(qū)間不好說(shuō)正處于哪個(gè)速率的分子數(shù)多少，但用某一速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比例為多少的概念比較合適，這就內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比例為多少的概念比較合適，這就是分子按速率的分布。是分子按速率的分布。9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律代表速率代表速率V 附近單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總數(shù)比率附近單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總數(shù)比率. .1. 速率分布函數(shù)定義：速率分布函數(shù)

3、定義：1 d()dNf VNV幾率幾率一般與一般與 V 成正比成正比幾率幾率NVVV + + :內(nèi)分子數(shù)內(nèi)分子數(shù)占總數(shù)比率占總數(shù)比率:NN NN有關(guān)與VVNN0d( )limdVNNf VN VN V oVV V+V9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律2. 速率分布函數(shù)的歸一化條件速率分布函數(shù)的歸一化條件dV 速率間隔的分子數(shù)占速率間隔的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率總分子數(shù)的比率dV 速率間隔的分子數(shù)速率間隔的分子數(shù)歸一化條件歸一化條件V1-V2 速率間隔的分子數(shù)速率間隔的分子數(shù)含義？含義？含義？含義？含義？含義？0

4、()d1f VVd( )dNf VVNdNdVVNf)(21)(VVdVVNfN0dVVNf)(NoV2VdV1VdN1)(0dVVf9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律f(v)v歸一化條件說(shuō)明歸一化條件說(shuō)明 f(v)-v 曲線下的面積等于曲線下的面積等于1 19-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律3. 用速率分布函數(shù)表示平均值用速率分布函數(shù)表示平均值同理：同理：如何用如何用f(V)表示？表示？1NiiVVNdVVNfdNVVV)

5、( +iiVdNVdV:區(qū)間在0)(dVVVfNVdNV022dVVfVV)(g0)(dVVgf9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律例：例：設(shè)有設(shè)有N 個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為:1. 作速率分布曲線。作速率分布曲線。2. 由由vo求常數(shù)求常數(shù)C。3. 求粒子的平均速率。求粒子的平均速率。4. 求粒子的方均根速率。求粒子的方均根速率。C ( vo v 0)0 ( v vo )=)(vfCvovo)(vf9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9

6、章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律200( )dd2ovovvvfvvCv vC2122ooovvv2222001( )dd3ovovv f vvCvvv233ovv解：解：1oCv00( )dd1ovof vvC vCv9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律9.4.2 分子的速度分布函數(shù)：分子的速度分布函數(shù)：代表如下速度范圍代表如下速度范圍d3v范圍的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率范圍的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率速度空間（如圖）速度空間（如圖）速度空間的速度空間的體積元體積元 dVxdVydVz設(shè)取在該速度范圍的分子數(shù)為設(shè)取

7、在該速度范圍的分子數(shù)為dN ,則速度分布函數(shù)則速度分布函數(shù)定義為定義為zzzyyyxxxdVVVdVVVdVVV+,1d(,)dddxyzxyzNF V V VNV VVzyxdVdVdVzVoxVyVVr( ) F Vr亦可用表示9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律*9.4.3 分子的速度和速率分布律分子的速度和速率分布律1. 麥克斯韋速度分布律麥克斯韋速度分布律麥克斯韋證明：處于平衡態(tài)的理麥克斯韋證明：處于平衡態(tài)的理想氣體系統(tǒng)想氣體系統(tǒng)利用系統(tǒng)的各向同性性，利用系統(tǒng)的各向同性性，三個(gè)速度分量的相互獨(dú)立性三個(gè)

8、速度分量的相互獨(dú)立性2),(VzyxAeVVVFa-)(),(2vFvvvFzyx)()()()(2222zyxvgvgvgvFoxVzVzyxdVdVdVyVVr9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律)()()()(2222zyxvgvgvgvF2222zyxvvvv+2)(2xvxevga-2),(VzyxAeVVVFa-9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律常數(shù)的確定：常數(shù)的確定：1),(-zyxzyxdvdvdvvvvF1)

9、(222-+-zyxvvvdvdvdvAezyxa132-xvdveAxaapa-dxex29-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律32Aa-2222ededxxvxxxvxvvkTvmvaa-2mkTa9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律2223 ()22(,)() e2xyzmVVVkTxyzmF V V VkT-+麥克斯韋速度分布函數(shù)麥克斯韋速度分布函數(shù)處于平衡態(tài)的理想氣體系統(tǒng)，速率滿足下列分布規(guī)律處于平衡態(tài)的理想氣體系統(tǒng)，速

10、率滿足下列分布規(guī)律23 222( )4() e2mVkTmf VVkT-2. 麥克斯韋麥克斯韋速率速率分布律分布律9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律分子速率處于分子速率處于V+dV間的幾間的幾率是分子速度矢量端點(diǎn)落在率是分子速度矢量端點(diǎn)落在以以V 和和V+dV 為內(nèi)外半徑球?yàn)閮?nèi)外半徑球殼內(nèi)的幾率。殼內(nèi)的幾率。利用速度分布律可以導(dǎo)出速利用速度分布律可以導(dǎo)出速率分布律率分布律ozyxdVdVdVzVVryVxV9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子

11、熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律oVryVzyxdVdVdVzVxV23 222( )4() e2mVkTmf VVkT- 2d,4dxyzf VVF V V VVV9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律o3. 速率分布曲線速率分布曲線The most probable speed有關(guān)、與mTVf)(峰右移-T最可幾速率最可幾速率:pV21TTV2pV1pV)(Vf1T23 222( )4() e2mVkTmf VVkT-注注: 大量分子大量分子 平衡態(tài)平衡態(tài) 統(tǒng)計(jì)規(guī)律統(tǒng)計(jì)規(guī)律9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分

12、子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律實(shí)驗(yàn)原理實(shí)驗(yàn)原理AgB銀原子、蒸發(fā)爐、銀原子、蒸發(fā)爐、狹縫狹縫S1和和 S2、轉(zhuǎn)動(dòng)的圓筒、轉(zhuǎn)動(dòng)的圓筒、玻璃板玻璃板G、測(cè)微光度計(jì)。、測(cè)微光度計(jì)。G*9.4.4 分子的速率分布律實(shí)驗(yàn)分子的速率分布律實(shí)驗(yàn)2S1Sw3S9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律解：解：例：例：利用麥克斯韋速率分布求：利用麥克斯韋速率分布求：pV2VV23 222( )4() e2mVkTmf VVkT-d ( )0df VV22pkTRTVmM1.41kTm88kTRTV

13、mM1.60kTm220( )dVV f VV233kTRTVmM1.73kTm213 22ormVkT0( )dVVf VV9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律f(v)v平均速率平均速率 方均根速率方均根速率最可幾速率最可幾速率1.41pkTVm1.60kTVm21.73kTVm2vvpv9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律例：例：利用麥克斯韋速度分布計(jì)算單位時(shí)間撞到單位面利用麥克斯韋速度分布計(jì)算單位時(shí)間撞到單位面積上的分子數(shù)

14、積上的分子數(shù) n解：解：設(shè)分子數(shù)密度為設(shè)分子數(shù)密度為n, 則具有速度則具有速度vx,vy,vz附近附近 的分子數(shù)密度等于什么？的分子數(shù)密度等于什么？單位時(shí)間撞到單位時(shí)間撞到dA面積上速度在面積上速度在vx,vy,vz附近附近 dvx,dvy,dvz中中 的分子數(shù)的分子數(shù)等于斜柱體等于斜柱體vx dA內(nèi)該種速度的分子內(nèi)該種速度的分子zyxzyxdvdvdvvvvFn),( dAnxvvrzyxzyxxdvdvdvvvvFndAv),( )(9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律所以所以2223 ()220() ed

15、dd2xyzmvvvkTxxyzmnv nvvvkT -+- - 2223 22220()ededed2xyzmmmvvvkTkTkTxxyzmnvvvvkT-18144kTnnvm9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律f(v)vT1T2例例. . 圖為同一種氣體，處于不同溫度狀態(tài)下的速率分布圖為同一種氣體，處于不同溫度狀態(tài)下的速率分布曲線，試問(wèn)（曲線，試問(wèn)（1 1）哪一條曲線對(duì)應(yīng)的溫度高？（）哪一條曲線對(duì)應(yīng)的溫度高？（2)2)如果這如果這兩條曲線分別對(duì)應(yīng)的是同一溫度下氧氣和氫氣的分布曲兩條曲線分別對(duì)應(yīng)的是同一溫

16、度下氧氣和氫氣的分布曲線，問(wèn)哪條曲線對(duì)應(yīng)的是氧氣，哪條對(duì)應(yīng)的是氫氣？線，問(wèn)哪條曲線對(duì)應(yīng)的是氧氣，哪條對(duì)應(yīng)的是氫氣？解：解：T1 T2氧氧氫氫2pkTvm2pv1pv9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律例例. 求在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，求在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，1.0m3氮?dú)庵兴俾侍幱诘獨(dú)庵兴俾侍幱?00501ms-1之間的分子數(shù)目。之間的分子數(shù)目。解：解：已知23 2224e2m vkTmNNvvkT-KT15.273PaP510013. 15253231.013 102.7 101.38 10273.15PNnmkT-3128 10Mkg mol-3262328 104.65 106.022 10AMmkgN-9-4 9-4 分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律分子熱運(yùn)動(dòng)的速度和速率統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律第9章 平衡態(tài)與分子熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律11500,1vm svm s- 2235.0 10Nm-23