率無(wú)關(guān)彈塑性本構(gòu)方程建立一般步驟

1、率無(wú)關(guān)彈塑性本構(gòu)方程建立的一般步驟 匯報(bào)人：王 濤 時(shí) 間：2015年1月8日深部巖土力學(xué)與地下工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京）China University of Mining & Technology, Beijing 第一部分：小變形模型的彈塑性本構(gòu)方程 第二部分：大變形模型的彈塑性本構(gòu)方程 本構(gòu)方程：指將描述連續(xù)介質(zhì)變形的參量與描述內(nèi)力的參量聯(lián)系起來(lái)的一組關(guān)系式。 本構(gòu)原理: 1、客觀性原理：本構(gòu)關(guān)系對(duì)于剛性運(yùn)動(dòng)的參考標(biāo)架（或參考系）具有不變性。 2、確定性原理：應(yīng)力由組成物體的全部物質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的歷史唯一地確定。 3、局部作用原理：離開(kāi)物質(zhì)點(diǎn)x有限距離的其他物質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與x上的應(yīng)

2、力無(wú)關(guān)。小應(yīng)變下的彈塑性模型 （Elastoplastic material model under infinitesimal strains） 一般形式 對(duì)于彈塑性材料模型的通常形式，我們需要以下三個(gè)要素1、屈服面（yield surface）：三維應(yīng)力空間中，塑性最開(kāi)始發(fā)生時(shí)的邊界的軌跡。2、流動(dòng)法則（flow rule）：描述塑性變形的演化過(guò)程。3、硬化定律（hardening law）：描述屈服面在塑性變形過(guò)程中屈服面的演化。屈服面（the yield surface） 對(duì)于彈塑性材料，應(yīng)力（stress）和應(yīng)變（strain）之間沒(méi)有單一的對(duì)應(yīng)關(guān)系，應(yīng)力不僅依賴(lài)于應(yīng)變，還依賴(lài)于材料

3、的應(yīng)變歷史。我們用一組稱(chēng)為內(nèi)變量（internal variables）的參數(shù)tqi （i=1，n）來(lái)刻畫(huà)宏觀物質(zhì)微元的變形歷史。以后的討論中，我們進(jìn)一步假定：當(dāng)給定內(nèi)變量之后，材料的彈性響應(yīng)可通過(guò)超彈性勢(shì)來(lái)加以表示，由內(nèi)變量來(lái)確定材料的屈服準(zhǔn)則 在應(yīng)力空間中，對(duì)于給定的材料，我們可以定義屈服面 其中： 是柯西應(yīng)力張量（Cauchy stress tensor） 是內(nèi)變量（internal variables） 對(duì)率無(wú)關(guān)的材料，應(yīng)力并不依賴(lài)于應(yīng)變速率，當(dāng)給定內(nèi)變量tqi 之后，材料的彈性響應(yīng)可以通過(guò)超彈性勢(shì)加以表示。0), 1, (niqfittttitq 超彈性體：在等溫過(guò)程中，超彈性體的熱

4、力學(xué)狀態(tài)僅僅依賴(lài)于應(yīng)變。 因此對(duì)于超彈性材料模型，對(duì)于有任意的應(yīng)力度量（arbitrary stress measure） 和與此應(yīng)力能量共軛的應(yīng)變率度量（strain-rate measure） ，我們可以得到公式： 其中：U為彈性勢(shì)函數(shù)（elastic energy function per unit volume） 若U=f時(shí) 稱(chēng)為關(guān)聯(lián)塑性流動(dòng)（associated plastic flow） 若Uf時(shí) 稱(chēng)為非關(guān)聯(lián)塑性流動(dòng)（nonassociated plastic flow） 需要注意：彈性體只有在一定的條件下才具有勢(shì)函數(shù)U，而次彈性體也只有在一定的條件下才可能具有彈性體的本構(gòu)關(guān)系形式

5、。 EUETT)(TE 當(dāng)t”，用乘法分解的形式可以表述為： 0: ttdtt0: ttPt0dXt0: ttPt0dXt 對(duì)于只考慮力學(xué)問(wèn)題的自由能 我們可以用下面的方程表示： 還可以把上式分解寫(xiě)成 由中間位形的速度梯度張量分解可知），（BHEtytt0tt,），（）（BHEtytptt0ettPtttlllEEtEtEtEtEtdXX100)(1PtPtEtPtEtPtdXX100)(11因此 塑性部分 由于考慮的是各向同性材料，彈性部分 所以能量耗散不等式（Clausius-Duhem）可以寫(xiě)成下面形式：EHt0ttt:d: ):(:PtEttttdddPtTEttTEtPttXXd1:

6、)()(:0001:)()():(0000PtPtTEttTEtEtEtettXXHH 由于上式對(duì)彈性部分也是成立的，所以 剩余的塑性部分可以寫(xiě)為 前面已經(jīng)介紹各向同性時(shí)， 上式可以化為 類(lèi)似于小變形，我們需要尋找在屈服函數(shù) 的約束下的最大耗散能 EtettH001:)()(00ptPtTEttTEttXXD0Ptw0:ptPtttdD0ft 當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí)，用約束優(yōu)化條件（Kuhn-Tucker conditions） 可得到 其中： 0ft0Ptd0ft0tft):()(23)(23BBBdtDttDttDttPt.:32PtPtPttdd 應(yīng)力率的學(xué)習(xí) 客觀應(yīng)力率是材料本構(gòu)理論，尤其是增

7、量本構(gòu)理論中的一個(gè)重要研究課題。應(yīng)力率在非彈性論中起重要作用，它出現(xiàn)在復(fù)雜材料的本構(gòu)方程和本構(gòu)不等式中。 對(duì)于給定的材料，使用不同的應(yīng)力率，就有不同的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。 1、耀曼應(yīng)力率(Jaumann stress rate) 耀慢應(yīng)力率是 研究大變形時(shí)所采用的與剛性轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)關(guān)的應(yīng)力對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。在大變形彈一塑性有限元分析中常用這種要求不受剛性轉(zhuǎn)動(dòng)影響的應(yīng)力率。只有用這樣的應(yīng)力率寫(xiě)出的本構(gòu)方程才與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)，從而可真實(shí)地反映材料的力學(xué)行為。 由向量的客觀導(dǎo)數(shù)出發(fā)，我們有如下關(guān)于客觀應(yīng)力率的較狹義定義：客觀應(yīng)力率表示作用于單位物質(zhì)面元上應(yīng)力向量的，在形式上與變形和變形率無(wú)關(guān)的客觀導(dǎo)數(shù)。 2、oldr

8、oyd應(yīng)力率 柯西應(yīng)力張量（Cauchy stress tensor） 的李導(dǎo)數(shù)（Lie derivative）就是oldroyd應(yīng)力率 3、Truesdell應(yīng)力率 基爾霍夫應(yīng)力張量（Kirchhoff stress tensor） 的李導(dǎo)數(shù)就是Truesdell應(yīng)力率bctactactcbtabtabtvabotl-l-t）（）（Lbctactactcbtabtabtvabotl-l-t）（）（L 4、Green-Naghdi應(yīng)力率 對(duì)于任意的歐拉應(yīng)力張量（arbitrary Eulerian stress tensor） 的分量用轉(zhuǎn)動(dòng)張量進(jìn)行推回，然后對(duì)其就李導(dǎo)數(shù)就是Green-Naghdi應(yīng)力率。由于Green-Naghdi應(yīng)力率是客觀等長(zhǎng)轉(zhuǎn)換的，所以它也被稱(chēng)為共轉(zhuǎn)應(yīng)力率（cor