畢業(yè)論文特殊的線性變換

1、xxxx 大 學(xué)畢 業(yè) 設(shè) 計（ 論 文 ）題目特殊的線性變換作者xx學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)號xxx指導(dǎo)教師xxxx湖 南 科 技 大 學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文）任務(wù)書 xxxxxx 院 xxxxxx 系（教研室）系（教研室）主任: （簽名） 年 月 日學(xué)生姓名: xx 學(xué)號: xxxxx 專業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 1 設(shè)計（論文）題目及專題： 特殊的線性變換 2 學(xué)生設(shè)計（論文）時間：自 2012年 2 月 20 日開始至 2012 年 5 月 27 日止3 設(shè)計（論文）所用資源和參考資料：1 錢吉林.高等代數(shù)題解精粹m.武漢:中央名族大學(xué)出版社,2005.2 楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題

2、解m.濟南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2003.3 方保镕.矩陣論m.北京:清華大學(xué)出版社,2004.4 程云鵬.矩陣論m.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2000.5 王萼芳.高等代數(shù)（第三版）m.北京:高等教育出版社,2005.6 鐘太勇.冪等矩陣與冪等變換性質(zhì)的探討j.鄖陽師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報,2005,25(3).7 郭素霞.關(guān)于冪等變換性質(zhì)的討論j.衡水學(xué)院學(xué)報,2008,10(4).4 設(shè)計（論文）應(yīng)完成的主要內(nèi)容：（1）主要討論對稱變換、反對稱變換、冪等變換、對合變換、冪零變換五類特殊的線性變換；（2）討論以上這些特殊線性變換的定義及性質(zhì)；（3）對上面每一種線性變換給出它們與對應(yīng)矩陣之間的關(guān)

3、系；（4）討論以上這些特殊的線性變換對應(yīng)的特殊矩陣的性質(zhì)；5 提交設(shè)計（論文）形式（設(shè)計說明與圖紙或論文等）及要求：提交一份8000字以上的紙質(zhì)文檔和電子文檔，要求打印格式按湖南科技大學(xué)關(guān)于本科生畢業(yè)論文的要求，論文內(nèi)容要求結(jié)論正確，論證充分，而且有一定的創(chuàng)新6 發(fā)題時間： 2012 年 1 月 05 日指導(dǎo)教師： （簽名）學(xué) 生： （簽名）湖 南 科 技 大 學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文）指導(dǎo)人評語主要對學(xué)生畢業(yè)設(shè)計（論文）的工作態(tài)度，研究內(nèi)容與方法，工作量，文獻應(yīng)用，創(chuàng)新性，實用性，科學(xué)性，文本（圖紙）規(guī)范程度，存在的不足等進行綜合評價指導(dǎo)人： （簽名）年 月 日 指導(dǎo)人評定成績： 湖 南 科 技 大

4、 學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文）評閱人評語主要對學(xué)生畢業(yè)設(shè)計（論文）的文本格式、圖紙規(guī)范程度，工作量，研究內(nèi)容與方法，實用性與科學(xué)性，結(jié)論和存在的不足等進行綜合評價評閱人： （簽名）年 月 日 評閱人評定成績： 湖 南 科 技 大 學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文）答辯記錄日期： 學(xué)生： 學(xué)號： 班級： 題目： 提交畢業(yè)設(shè)計（論文）答辯委員會下列材料：1 設(shè)計（論文）說明書共頁2 設(shè)計（論文）圖 紙共頁3 指導(dǎo)人、評閱人評語共頁畢業(yè)設(shè)計（論文）答辯委員會評語：主要對學(xué)生畢業(yè)設(shè)計（論文）的研究思路，設(shè)計（論文）質(zhì)量，文本圖紙規(guī)范程度和對設(shè)計（論文）的介紹，回答問題情況等進行綜合評價答辯委員會主任： （簽名）委員： （簽名）

5、（簽名）（簽名）（簽名） 答辯成績： 總評成績： 摘 要 線性變換無論在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論還是在應(yīng)用中都有重要的地位，尤其是一些特殊的線性變換如對稱、反對稱變換，冪等變換、對合變換及冪零變換，也是線性變換中的重要內(nèi)容。隨著特殊的線性變換的應(yīng)用越來越廣泛，越來越多的人關(guān)注特殊的線性變換的研究，并且已經(jīng)取得了豐富的成果。本文在前人的基礎(chǔ)上比較系統(tǒng)、深入和細致地研究了五類特殊的線性變換的若干性質(zhì)，更全面的探討特殊的矩陣，還討論了這些特殊的線性變換及其矩陣之間的關(guān)系。關(guān)鍵詞：對稱變換；反對稱變換；冪等變換；對合變換；冪零變換abstractlinear transformation in terms of

6、the theory of mathematical foundations and applications have an important role, especially in some special linear transformation, such as symmetric, asymmetric transformation idempotent transformation involutory transformation and nilpotent transformation, is also a linear transformationthe importan

7、t content. with the special linear transformation more widely, more and more people are concerned about the special linear transformation, and has achieved fruitful results. on the basis of previous systems, in-depth and detailed study of the five special linear transformation of a number of nature,

8、 a more comprehensive discussion of the special matrix, was also discussed between special linear transformation and its matrix relationship.keywords: symmetric transformation；anti-symmetric transformation；idempotent transformation； involution transformation；nilpotent transformation目 錄第一章 前 言1第二章 對稱

9、變換22.1 對稱變換的定義及性質(zhì)22.2 對稱變換和對稱矩陣3第三章 反對稱變換7第四章 冪等變換104.1 冪等變換定義及性質(zhì)104.2 冪等矩陣及其性質(zhì)11第五章 對合變換155.1 對合變換定義及性質(zhì)155.2 對合矩陣及性質(zhì)15第六章 冪零變換18第七章 結(jié) 論21參考文獻22致 謝23第一章 前 言線性變換是研究線性代數(shù)問題的重要工具，線性變換在給定的一組基下對應(yīng)唯一矩陣，并且這種對應(yīng)保持很多性質(zhì)，比如線性性、可逆性等等這給我們提供了研究線性變換的一種思想方法線性變換的思想不僅在日程數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中有著重要的重要，在物理、化學(xué)、經(jīng)濟等諸多領(lǐng)域也起著非常重要的作用。在學(xué)習(xí)線性變換的

10、內(nèi)容是我們會經(jīng)常提到一些特殊的線性變換，通常都會出現(xiàn)在解決特定的問題上面，通過使用特殊的線性變換定義，發(fā)現(xiàn)起到了很好的效果，不僅僅在解決問題方面簡明快捷而且比較容易理解。但是對于特殊的線性變換我們了解甚少，比如對稱變換、反對稱變換、冪等變換、對合變換和冪零變換作為特殊的線性變換無論在理論方面，還是在實際應(yīng)用方面都有重要的意義我們在研究線性變換及學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)知識時，經(jīng)常要討論這些特殊的線性變換這些特殊的線性變換并沒有引起我們足夠的關(guān)注，也很少有同學(xué)更加深入的去學(xué)習(xí)和研究特殊的線性變換，包括其定義和推理證明。因為在日常的學(xué)習(xí)中我對于特殊的線性變換的內(nèi)容應(yīng)用的比較多，覺得特殊的線性變換需要引起我們的

11、足夠重視，所以特在此總結(jié)我的學(xué)習(xí)成果。本文先給出這些特殊線性變換及對應(yīng)矩陣的定義，這些特殊矩陣的性質(zhì)在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中沒有系統(tǒng)的研究過然后系統(tǒng)地研究了這五類特殊的線性變換及其矩陣的性質(zhì)，并給出了相應(yīng)的證明算是粗略的對特殊的線性變換進行額一次總結(jié)。第二章 對稱變換2.1 對稱變換的定義及性質(zhì)定義2.1 設(shè)為歐氏空間的一個線性變換，若對任意兩個向量都有成立，則稱為的對稱變換對稱變換是線性變換中經(jīng)常用到的特殊的變換，教材中在討論對稱變換時只給出了定義，但對其性質(zhì)的研究很少，下面討論對稱變換的幾個性質(zhì)性質(zhì)2.1 設(shè)是維歐氏空間的對稱變換，則對中任意，都有的充要條件是的特征根都是非負實數(shù)證明 設(shè)是的一組

12、標準正交基，且由于是對稱變換，所以，令，則于是是半正定陣 的特征根都是非負實數(shù) 的特征根都是非負實數(shù)性質(zhì)2.2 若為維歐氏空間的對稱變換，則是的正交補證明 ,，則，于是所以，此即，從而又因為故1 性質(zhì)2.3 設(shè)為維歐氏空間的一個線性變換，則為對稱變換的充分必要條件是有個兩兩正交的特征向量證明 必要性：設(shè)為對稱變換，且在標準正交基下的方陣為，則為實對稱方陣，從而存在正交方陣，使 （1）其中為的全部特征值令，則也是標準正交基，在此基下的方陣為，從而由（1）知即有個兩兩相交的特征向量充分性：設(shè)有個兩兩正交的特征向量，且令則為的一組標準正交基，且在此基下的矩陣為由于是實對稱的，故為對稱變換性質(zhì)2.4

13、設(shè)為維歐氏空間的一個對稱變換，是的一個特征值，則的重數(shù)等于特征子空間的維數(shù)（即對稱變換的任一特征值其代數(shù)重數(shù)等于幾何重數(shù)）證明 設(shè)是的特征多項式的重根，則又因是對稱變換，故存在基，使在此基下的方陣為，則有其中為的全部特征值現(xiàn)不妨設(shè)，則從而為中個線性無關(guān)的向量，所以故22.2 對稱變換和對稱矩陣下面考慮對稱變換對應(yīng)的矩陣與對稱變換的關(guān)系設(shè)為歐氏空間中的一個對稱變換，是的一組標準正交基，并設(shè)在基下的矩陣為，即 ，由對稱變換的定義，有，即，因為是標準正交基，故有， 這說明是一個實對稱矩陣反之，任給一個階實對稱矩陣，在維歐氏空間中取定一組標準正交基，由定義一個線性變換，使，于是，記在下的坐標分別為，則

14、，這說明是一個對稱變換由此可得下面的定理：定理2.1 維歐氏空間的線性變換是實對稱變換的充要條件是：在標準正交基下的矩陣是實對稱矩陣，即有3這樣，我們就建立了對稱變換和對稱矩陣之間的對應(yīng)關(guān)系利用定義，我們還可以得到矩陣在內(nèi)積運算中的轉(zhuǎn)移規(guī)則，這個規(guī)則有時是很有用的，下面分兩種情況討論（1）若是對稱矩陣，且，則在內(nèi)積中的轉(zhuǎn)移規(guī)則為（2）若不是對稱矩陣，且，則有，事實上，了解了這些性質(zhì)后，我們接著討論實對稱矩陣的特征值和特征向量實對稱矩陣的特征值和特征向量有下面的重要性質(zhì)，現(xiàn)以定理形式給出3定理2.2 實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)證明 假定是實對稱矩陣，是它的一個特征值，是屬于的特征向量，則，兩邊取

15、共軛得 ，再由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，有，取轉(zhuǎn)置，且注意，從而有，用右乘上式子，便得，即 ，但，故有，這就表明是實數(shù)定理2.3 實對稱矩陣的不同特征值所對應(yīng)的特征向量是正交的證明 設(shè),是實對稱矩陣的兩個不相同的特征值，且由于，因而，即 ，但是，因而所以，就表明與正交應(yīng)該注意，就實對稱矩陣而言，屬于同一特征值的的線性無關(guān)的特征向量不一定是正交的但是，可以使用schmidt正交化方法將它們正交化4對角矩陣是形式最簡單的矩陣，而矩陣對角化在線性變換和二次型的主軸問題中起著關(guān)鍵作用，下面我們來研究實對稱矩陣的對角化問題定理2.4 對于任意一個級實對稱矩陣，都存在一個級正交矩陣，使成對角形證明 由于實對稱矩陣和

16、對稱變換的關(guān)系，只要證明對稱變換有個特征向量做成標準正交基就行了我們對空間的維數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法，顯然定理的結(jié)論成立設(shè)時定理的結(jié)論成立對維歐氏空間，線性變換必有一特征向量，記其對應(yīng)的特征值為實數(shù)把單位化，還用代表它作的正交補，設(shè)為,由北大編高等代數(shù)c96中引理3知，是的不變子空間，其維數(shù)為又顯然也滿足，仍是對稱變換據(jù)歸納法假設(shè)，有個特征向量作成的標準正交基，從而是的標準正交基，它們都是的個特征向量5從上面的證明可以知道，任意一個實對稱矩陣可以對角化，則任意一個對稱變換可以對角化第三章 反對稱變換定義3.1 設(shè)為歐氏空間的線性變換，如果對中任意向量均有則稱為反對稱變換定義3.2 設(shè)為階實矩陣，如果，

17、則稱為實反對稱矩陣下面我們來研究反對稱變換與反對稱矩陣的對應(yīng)關(guān)系，反對稱矩陣的特征值及對角化問題定理3.1 設(shè)是維歐氏空間，線性變換為反對稱變換的充分必要條件是在標準正交基下的矩陣為反對稱方陣證明 證法：設(shè)是的一組標準正交基，且在此基下的矩陣為，令為中任意向量，且，則它們在該組基下的坐標分別是，而且與在該基下的坐標分別為與，而內(nèi)積，于是有，比較上兩式知：為反對稱變換，即的必要且充分條件是，亦即，即為反對稱矩陣證法：任取的一組標準正交基，且令在此基下的矩陣為，即有，由此得 （1）設(shè)為反對稱的，則有，于是由（1）可得，即為反對稱矩陣反之，設(shè)為反對稱矩陣，即有，則由（1）得 （2）設(shè)，則由（2）可推

18、出，即為反對稱變換2定理3.2 實反對稱矩陣的特征根是零或純虛數(shù)證明 設(shè)為實反對稱矩陣，是它的任意一個特征根，而是屬于特征根的一個特征向量，即一方面，有；另一方面，又有，故 但是，故，即為零或純虛數(shù)由于是根為0或純虛數(shù)的實系數(shù)多項式，其虛根成對出現(xiàn)，故可設(shè)的全部特征根為：，其中均為實數(shù)于是可以得到下面的定理定理3.3 對任意實反對稱矩陣，必存在正交矩陣使，其中為非零實數(shù)，從而的特征根為，即0或純虛數(shù)2第四章 冪等變換4.1 冪等變換定義及性質(zhì)定義4.1 設(shè)是線性空間的一個線性變換，若，則稱是冪等變換性質(zhì)4.1 設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是的冪等變換，則證明 已知是的冪等變換，則一方面，有，于是，故

19、，即另一方面，則存在，使得，于是，則，即故有性質(zhì)4.2 設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是的冪等變換，則，即：可以分解為的核與值域的直和證明 證法：由有現(xiàn)只需證，則使，且，于是有所以所以再由，得6證法：已知是的冪等變換，則因為和都是的子空間，由子空間的運算性質(zhì)，也是的子空間1、顯然另一方面，,，由性質(zhì)4.1 ，則，而，得，即故有2、，由，則，由，存在，使得，于是，即由的任意性知故有性質(zhì)4.3 設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，是的冪等變換，則存在的一組基，使得在該基下的矩陣為，其中證明 由性質(zhì)4.2，設(shè)，則取的一組基，取的一組基由知，是的一組基，且，則在基下的矩陣為性質(zhì)4.4 設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是的冪等變換，

20、則的特征值只能是1或0證明 設(shè)是的任意一個特征值，是的屬于的特征向量，即，由于，故有，即，又，則，所以或74.2 冪等矩陣及其性質(zhì)定義4.2 設(shè)是階矩陣，若，則稱是冪等矩陣性質(zhì)4.5 設(shè)是階矩陣，若，則的特征值只能是1或0性質(zhì)4.6 設(shè)是階矩陣，若，設(shè)為的最小多項式，則或或性質(zhì)4.7 設(shè)是冪等矩陣，則可以對角化證明 證法：由，易知是的零化多項式，且的特征值只能是1或0，而無重根，故可以對角化證法：設(shè)是維向量空間，是的一組基，則存在線性變換，使得關(guān)于這組基的矩陣為，即由，得，由性質(zhì)4.2知，另設(shè)的基是，而的基是，則有 ， ， 由是與的直和得是的一組基所以關(guān)于的基的矩陣是對角矩陣故與對角矩陣相似，

21、所以可以對角化6推論 設(shè)為數(shù)域上的一個階方陣，且，則與對角矩陣相似性質(zhì)4.8 設(shè)是冪等矩陣，則的秩等于的跡證明 設(shè)的秩為，由性質(zhì)4.7知：，而相似矩陣有相同的特征值設(shè)為的全部特征值，則為的全部特征值則，而，所以=秩性質(zhì)4.9 設(shè)是階冪等矩陣，則秩()+秩()=證明 證法：設(shè)秩()=由性質(zhì)4.7，存在可逆矩陣使，則，故秩()=，所以秩()+秩()=證法：設(shè)，其中是的列向量因為，得設(shè)的解空間為，則而，即，所以，則得又由于同型矩陣和的秩不大于秩的和得，故有性質(zhì)4.10 設(shè)是秩為的冪等矩陣，則，其中，而為秩為的矩陣證明 由性質(zhì)4.7，存在可逆矩陣使，即，令，則性質(zhì)4.11 設(shè)為階實對稱矩陣，且證明：存

22、在正交矩陣，使證明 證法i：設(shè)為的任一特征根，且由于，故,從而，故或0，即的特征值只能是1或0由于是實對稱的，故存在正交方陣使，其中證法：因為為實對稱矩陣，故存在正交方陣，使（1）其中為的實特征根由于，故由上式可知，從而故或0適當調(diào)整（1）式中的次序（把1都集中前面），就相當于對（1）式乘上適當?shù)恼环疥?，即得，其中，為正交矩陣第五?對合變換5.1 對合變換定義及性質(zhì)定義5.1 設(shè)為維線性空間的一個線性變換，且(上的單位變換)，則稱為歐氏空間的對合變換性質(zhì)5.1 對合變換的特征根只能是證明 設(shè)是的任意一個特征根，而是相應(yīng)的一個特征向量，則由于，故有，從而，故性質(zhì)5.2 設(shè)是對合變換，則，其中

23、是的屬于特征根1是特征子空間，是的屬于特征根-1的特征子空間證明 任取，令，因為，所以，故，顯然有，所以再設(shè)，則，于是，即故2 5.2 對合矩陣及性質(zhì)定義5.2 滿足條件的階矩陣叫做對合矩陣性質(zhì)5.3 對合矩陣的特征值只能是1或-1性質(zhì)5.4 對合矩陣可對角化性質(zhì)5.5 為階對合矩陣，則性質(zhì)5.6 設(shè)為實對稱矩陣，且，則存在正交矩陣使證明 因為實對稱矩陣，故存在正交方陣，使 （1）其中為的特征值由于，故得又 ，從而即把（1）式右端對角線上的中的+1都集中到前面（交換相同的行與列，即乘上適當?shù)恼痪仃嚕?，即存在正交方陣，使，?，其中為正交矩陣，而為階單位矩陣2在高等代數(shù)中有這樣一個性質(zhì)：設(shè)是階

24、對合矩陣，其中（=秩則（1） 相似于矩陣；（2） 當是實對稱矩陣時，正交相似于矩陣；（3） 當是hermit矩陣時，酉相似于矩陣對這一性質(zhì)的證明，一般都利用線性（歐氏、酉）空間中的線性變換在兩個不同的（標準正交）基下所得的矩陣，再找這兩個基之間的過渡矩陣，從而得到在這里，我們只利用向量組線性相關(guān)性、線性方程組及分塊矩陣運算等知識來證明上述結(jié)論（1），然后再利用schmidt標準正交化方法來證明上述結(jié)論（2）與（3）下面給出其證明先證（1）：已知，則設(shè)的秩是，則在中可取個線性無關(guān)的列，同時在齊次線性方程組中，可取一個基礎(chǔ)解系這樣就可得（2）易知是線性無關(guān)的作方陣，則是可逆矩陣，使所以再證（2）：

25、因為是實對稱矩陣，所以（3）式中所得的列向量都是實的，利用schmidt標準正交化方法，可把與分別化為兩個標準正交向量組，再作方陣，注意到則是正交矩陣，它使，即得類似于（2）的證明，即得結(jié)論（3）綜上所述性質(zhì)成立10第六章 冪零變換定義6.1 設(shè)是數(shù)域上的向量空間，是的線性變換，如果存在正整數(shù)，使，即對任意，有，則稱為冪零線性變換定義6.2 設(shè)是數(shù)域上的階矩陣，如果存在正整數(shù)，使，則稱為冪零矩陣定理6.1 設(shè)是數(shù)域上的維向量空間，是的線性變換，若是冪零變換，則在某一組基下的矩陣是冪零矩陣證明 由于是冪零變換，即存在正整數(shù)，使對任意，有設(shè)是的一組基，關(guān)于基的矩陣是，即所以有由于是基，所以，因此是

26、冪零矩陣性質(zhì)6.1 設(shè)，若都不等于零，但，則線性無關(guān)證明 證法：反證法若線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)，使設(shè)是第一個不等于零的系數(shù)，即，則兩邊施以變換，得由于，故對任意都有，從而由上式得但，故，這與假設(shè)矛盾所以線性無關(guān)證法：對作數(shù)學(xué)歸納法當時，向量組即，當然是線性無關(guān)的假定時結(jié)論成立，下證時成立設(shè)，但是，即于是由歸納法假設(shè) （1）線性無關(guān)而如果 （2）線性相關(guān)，則必可由（1）線性表示設(shè)，兩邊施以，由于，故得這與矛盾故（2）必線性無關(guān) 根據(jù)歸納法原理，結(jié)論普遍成立2性質(zhì)6.2 設(shè)是維線性空間的線性變換，且求證：在某組基下的矩陣是證明 因為，故存在向量，使，但，故有由性質(zhì)6.1知線性無關(guān)，所以是的一

27、組基，而且故在基下的矩陣為2性質(zhì)6.3 是維向量空間的冪零線性變換當且僅當它的特征值都為零證明 必要性：設(shè)是冪零變換的特征值，是屬于特征值的一個特征向量,則 ，由于，所以，即充分性：設(shè)線性變換的特征值都為零，關(guān)于的某個基的矩陣是，那么的特征值全部是0，所以上存在可逆矩陣，使得（上三角矩陣）故 所以，因此，即是冪零變換11第七章 結(jié) 論通過上面的討論我們知道，要掌握特殊的線性變換的相關(guān)性質(zhì)和定理，可以在定義的基礎(chǔ)上對特殊的矩陣的性質(zhì)進行研究本文通過對對稱、反對稱、冪等、對合、冪零五種特殊的線性變換和相應(yīng)矩陣的定義及其性質(zhì)的討論，認識到特殊的線性變換與對應(yīng)的特殊矩陣之間的密切關(guān)系，且對每種特殊的線性變換都證明了在一定的條件下可以對角化而對角矩陣可以認為是矩陣中最簡單的一種，所以這個性質(zhì)對于進一步研究這些特殊的線性變換具有很重要的意義參 考 文 獻1 錢吉林.高等代數(shù)題解精粹m.武漢:中央名族大學(xué)出版社,2005.2 楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題解m.濟南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2003.3 方保镕.矩陣論m.北京:清華大學(xué)出版社,2004.4 程云鵬.矩陣論m.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2000.5 王萼芳.高等