高數(shù)重要知識點(diǎn)

1、高等數(shù)學(xué)上冊重要知識點(diǎn)第一章函數(shù)與極限一 .函數(shù)的概念1 兩個無窮小的比較設(shè) limf ( x)0, lim g( x)0 且 limf ( x)lg( x)（ 1）l= 0，稱 fx是比 g x高階的無窮小，記以f (x)= 0g ( x)，稱 g(x)( )( )是比 f(x)（ 2） l（ 3） l低階的無窮小。 0 ，稱 f( x) 與 g( x) 是同階無窮小。xg x= 1，稱f(x與g x是等價無窮小，記以 f) )( )(2 常見的等價無窮小當(dāng)x 0時sin x x， tan x x， arcsinx x， arccos x x 1- cos x x 2 / 2 ， ex -

2、1 x ， ln(1 x) x ， (1 x) 1 x二 求極限的方法1兩個準(zhǔn)則準(zhǔn)則 1單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在xh x放縮求極限g x) f)準(zhǔn)則 2（ 夾逼定理 ）設(shè) (若 lim g( x)A, lim h( x) A ，則 limf ( x)A2兩個重要公式公式 1lim sin x1x 0x公式 2lim (1x)1/ xex 03用無窮小重要性質(zhì)和等價無窮小代換4用泰勒公式當(dāng) x0 時，有以下公式，可當(dāng)做等價無窮小更深層次ex1xx2x3.xno(xn )2!3!n!sin xxx3x5.(1)nx2n1o( x2 n 1 )3!5!( 2n1)!cos x1x2x4.(1)nx2

3、no( x2 n )2!4!2n!ln(1 x) xx2x3.( 1)n 1 xno( xn )23n(1 x)1x(1) x2.(1).(n 1) xno(xn )2!n!arctan xxx3x5. (1)n 1x2n1o(x2n1)352n15洛必達(dá)法則定理 1設(shè)函數(shù) f (x) 、 F ( x) 滿足下列條件：（1） limf (x)0 ， lim F ( x)0 ；limxx0x x0x x0（2） f ( x) 與 F (x) 在 x0 的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且F ( x) 0 ；（3） limf (x) 存在（或?yàn)闊o窮大），則f ( x)f (x)F ( x)limlimx x0

4、x x0 F ( x)xx0 F ( x)這個定理說明：當(dāng) lim f ( x)存在時， limf (x) 也存在且等于 limf ( x) ；當(dāng)xx0 F ( x)xx0 F (x)xx0 F ( x)f ( x) 為無窮大時， lim f ( x) 也是無窮大F ( x)xx0 F ( x)這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的極限值的方法稱為 洛必達(dá)（ L H ospital ）法則 .例 1 計算極限 lim ex1 .x 0x解 該極限屬于“ 0”型不定式，于是由洛必達(dá)法則，得0lim ex1lim ex1 .x 0xx 0 1例 2 計算極限 lim sin a

5、x x 0 sin bx解 該極限屬于“ 0 ”型不定式，于是由洛必達(dá)法則，得0limsin axlima cos axa x 0sin bxx 0 b cos bxb注 若 f ( x), g ( x) 仍滿足定理的條件，則可以繼續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則，即f ( x)f (x)f( x)limlimlimLx a g( x)x a g ( x)x a g ( x)二、型未定式定理 2設(shè)函數(shù) f ( x) 、 F (x) 滿足下列條件：（1） lim f ( x)， lim F ( x)；x x0x x0（2） f ( x) 與 F (x) 在 x0 的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且（3） limf (x)

6、存在（或?yàn)闊o窮大），則f ( x)x x0F ( x)limF ( x)x x0F ( x)0 ；limf (x)x x0F ( x)注：上述關(guān)于 xx0 時未定式型的洛必達(dá)法則，對于 x時未定式型同樣適用n例 3 計算極限 limxx(n0) xe解 所求問題是型未定式，連續(xù) n 次施行洛必達(dá)法則，有l(wèi)imxnnxn 1limn(n 1)xn 2Llimn !xlimxxx 0 xexexexe使用洛必達(dá)法則時必須注意以下幾點(diǎn)：（1）洛必達(dá)法則只能適用于“0 ”和“”型的未定式，其它的未定式須0先化簡變形成“ 0 ”或“”型才能運(yùn)用該法則；0（2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；（3）

7、洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要因此，在該法則失效時并不能斷定原極限不存在7 利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式 lim0f (x0x) f (x0 )f ( x0 ) ( 如果存在）xx8利用定積分定義求極限基本格式 lim 1nnnk 1f ( k )1f ( x) dx （如果存在）n0三函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：（ 1）第一類間斷點(diǎn)設(shè) x0是函數(shù) y = f ( x) 的間斷點(diǎn)。如果 f ( x) 在間斷點(diǎn) x0 處的左、右極限都存在，則稱 x0 是 f( x) 的第一類間斷點(diǎn)。第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。（ 2）第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類

8、間斷點(diǎn)。 常見的第二類間斷點(diǎn)有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)的函數(shù) f ( x) ，有以下幾個基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理 1（有界定理）如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，則 f( x) 必在 a, b上有界。fx在閉區(qū)間a b上連續(xù)，則在這個定理 2（最大值和最小值定理）如果函數(shù)( ) , 區(qū)間上一定存在最大值 M 和最小值 m 。定理 3（介值定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，且其最大值和最小值，分別為M 和m，則對于介于 m和M 之間的任何實(shí)數(shù) c，在a b上至少存在一個, 使得 f ( ) =c

9、推論：如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，且f ( a) 與f ( b) 異號，則在 ( a, b) 內(nèi)至少存在一個點(diǎn) ，使得 f ( ) = 0 這個推論也稱為零點(diǎn)定理第二章導(dǎo)數(shù)與微分1. 復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則設(shè) y = f ( u) ， u =? ( x) ，如果 ? ( x) 在 x處可導(dǎo)， f ( u) 在對應(yīng)點(diǎn) u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) y= f ? ( x) 在x處可導(dǎo)，且有 dydy duf ( ( x) (x)dxdu dx對應(yīng)地 dyf (u)du f ( ( x) (x)dx ，由于公式 dyf (u)du 不管 u 是自變量或中間變量都成立。因此稱為一階微分形式不

10、變性。2. 由參數(shù)方程確定函數(shù)的運(yùn)算法則=(t)， y=(t) 確定函數(shù) y=y(x)，其中 (t), (t) 存在，且 (t ) 0，則設(shè) x ?dy (t)dx(t )二階導(dǎo)數(shù)d 2 yddyddy dt (t) (t ) (t) (t)dxdxdx2dxdtdx (t) 33. 反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè) y=fx的反函數(shù) xg y，兩者皆可導(dǎo)，且 f x)0( )= ( )(則 g ( y)11( f ( x) 0)f ( x)f ( g( y)4 隱函數(shù)運(yùn)算法則（可以按照復(fù)合函數(shù)理解）設(shè) y = y( x) 是由方程 F( x,y) = 0 所確定，求 y的方法如下：把 F( x, y) =

11、0兩邊的各項(xiàng)對 x求導(dǎo)，把 y 看作中間變量，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計算，然后再解出 y 的表達(dá)式（允許出現(xiàn) y 變量）5 對數(shù)求導(dǎo)法則（指數(shù)類型 如 y xsin x ）先兩邊取對數(shù)，然后再用隱函數(shù)求導(dǎo)方法得出導(dǎo)數(shù) y。對數(shù)求導(dǎo)法主要用于： 冪指函數(shù)求導(dǎo)數(shù)多個函數(shù)連乘除或開方求導(dǎo)數(shù)（注意定義域 P106 例 6）關(guān)于冪指函數(shù) y= f ( x) g ( x) 常用的一種方法 , y = eg (x )ln f ( x) 這樣就可以直接用復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行。6 可微與可導(dǎo)的關(guān)系f ( x) 在 x0 處可微 ? f ( x) 在 x0 處可導(dǎo)。7 求n階導(dǎo)數(shù)（ n 2 ，正整數(shù)）先求出 y, y

12、 , , 總結(jié)出規(guī)律性，然后寫出 y( n) ，最后用歸納法證明。有一些常用的初等函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)公式（ 1） y ex , y(n ) ex（ 2） yax , y (n )a x (ln a) n（ 3）y sin x ,y( n)sin( xn)2（ 4） ycos x ,y( n )cos(xn )2(5) y ln x , y( n )(1) n 1 (n1)! xn第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一 羅爾定理設(shè)函數(shù)f( x) 滿足（ 1）在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)；（2）在開區(qū)間 ( a, b) 內(nèi)可導(dǎo)；（3） f ( a) = f ( b)則存在 ( a, b) ，使得 f ( )

13、 = 0二 拉格朗日中值定理（證明不等式P134 9 、10）設(shè)函數(shù)f( x) 滿足（ 1）在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)；（ 2）在開區(qū)間 ( a, b) 內(nèi)可導(dǎo)；ab，使得 f (b)f (a)則存在 ( ,)baf (推論 若 fx在 a bx，則 fx在 a b內(nèi)為常數(shù)。內(nèi)可導(dǎo)，且 f )0(1( )( , )在 a b( x)( , )，則在 a b推論 若fx)， g x)內(nèi)皆可導(dǎo)，且f)g x2( , )( )( , )內(nèi) f ( x) = g( x)+ c，其中 c為一個常數(shù)。三 柯西中值定理設(shè)函數(shù) f ( x) 和g( x) 滿足：（1）在閉區(qū)間 a, b 上皆連續(xù)；（2）在開區(qū)

14、間 ( a, b) 內(nèi)皆可導(dǎo)； 且g ( x) 0 則存在 ( a, b) 使得 f (b)f ( a)f ( )(ab)g(b)g (a)g ( )（注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，特殊情形g x) =x時，柯西(中值定理就是拉格朗日中值定理。 ）四 泰勒公式（估值 求極限（麥克勞林）P145 T10 ）定理 1 （皮亞諾余項(xiàng)的 n 階泰勒公式）設(shè) f( x) 在0 x 處有 n 階導(dǎo)數(shù)，則有公式，稱為皮亞諾余項(xiàng)對常用的初等函數(shù)如ex ,sinx,cosx,ln(1+x) 和 (1x)（ 為實(shí)常數(shù)）等的n階泰勒公式都要熟記。定理 2（拉格朗日余項(xiàng)的 n 階泰勒公式）設(shè) f ( x)

15、 在包含 0 x 的區(qū)間 ( a, b) 內(nèi)有 n +1階導(dǎo)數(shù)，在 a, b 上有 n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對 x a, b ， 有公式，, 稱為拉格朗日余項(xiàng)上面展開式稱為以 0 x 為中心的 n 階泰勒公式。 當(dāng) x0 =0 時，也稱為 n階麥克勞林公式。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一 基本知識設(shè)函數(shù) f( x) 在 x0 處可導(dǎo)，且 x0 為f( x) 的一個極值點(diǎn)，則f (x0 )0 。我們稱 x 滿足 f (x0 )0 的 x0 稱為 f ( x) 的駐點(diǎn)，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，反之不然。極值點(diǎn)只能是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)， 所以只要從這兩種點(diǎn)中進(jìn)一步去判斷。極值點(diǎn)判斷方法第一充分條件f (x) 在 x0 的鄰域

16、內(nèi)可導(dǎo)，且f ( x0 ) 0 ，則若當(dāng) xx0 時 ,f ( x)0 ，當(dāng) xx0 時， f (x)0 ，則 x0 為極大值點(diǎn)；若當(dāng)xx0 時， f(x)0 ，當(dāng)xx0 時， f (x)0 ，則 x0 為極小值點(diǎn)； 若在 x0 的兩側(cè)f ( x) 不變號， 則 x0不是極值點(diǎn) .第二充分條件f (x) 在 x0 處二階可導(dǎo)， 且 f ( x0 ) 0 ， f ( x0 )0 ，則若 f( x0 )0 ，則 x0 為極大值點(diǎn)；若 f ( x0 )0 ，則 x0 為極小值點(diǎn) .二 凹凸性與拐點(diǎn)1凹凸的定義設(shè) f( x) 在區(qū)間 I上連續(xù)，若對任意不同的兩點(diǎn)1 2x ,x ，恒有則稱 f( x)

17、在 I上是凸（凹）的。在幾何上，曲線 y = f ( x) 上任意兩點(diǎn)的割線在曲線下（上）面，則 y = f ( x) 是凸（凹）的。如果曲線 y = f ( x) 有切線的話， 每一點(diǎn)的切線都在曲線之上 （下）則 y = f ( x) 是凸（凹）的。2 拐點(diǎn)的定義曲線上凹與凸的分界點(diǎn)，稱為曲線的拐點(diǎn)。3 凹凸性的判別和拐點(diǎn)的求法設(shè)函數(shù) f( x) 在( a, b) 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)f ( x) ，如果在 ( a, b) 內(nèi)的每一點(diǎn) x，恒有 f ( x) 0，則曲線 y = f ( x) 在 ( a, b) 內(nèi)是凹的；如果在 ( a, b) 內(nèi)的每一點(diǎn) x，恒有 f ( x) 0 ，則曲線 y

18、 = f( x) 在 ( a, b) 內(nèi)是凸的。求曲線 y = f( x) 的拐點(diǎn)的方法步驟是：第一步：求出二階導(dǎo)數(shù)f ( x) ；第二步：求出使二階導(dǎo)數(shù)等于零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)x1, x2 ,.xk；第三步：對于以上的連續(xù)點(diǎn)，檢驗(yàn)各點(diǎn)兩邊二階導(dǎo)數(shù)的符號，如果符號不同，該點(diǎn)就是拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；第四步：求出拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)。四 漸近線的求法五 曲率第四章不定積分一基本積分表：tgxdxln cos xCctgxdxln sin xCsecxdxln secxtgxCcsc xdxln cscxctgx Cdx1 arctg x Ca2x2aadxa21 ln xaCx22axadxx21 ln ax

19、Ca22aaxdxarcsin xCa2x2adxsec2 xdxtgx Ccos2 xdxcsc2 xdxctgxCsin2 xsecx tgxdxsecxCcscx ctgxdxcscxCaxdxa xCln ashxdxchxCchxdxshxCdxln( xx2a2 )Cx 2a22sin n xdx2cosnI nxdx00x2a2 dxxx2a22x2a2 dxxx2a22a 2x2 dxxa2x22n 1 I n 2na 2ln( xx2a2 )C2a 2ln xx2a2C22ax2a二 換元積分法和分部積分法換元積分法（ 1）第一類換元法（湊微分） ： f ( x)(x)dxf

20、 (u)du u( x)（ 2）第二類換元法（變量代換） ：f ( x)dxf (t)(t) dt1(x)t分部積分法udvuvvdu使用分部積分法時被積函數(shù)中誰看作u( x) 誰看作 v ( x) 有一定規(guī)律。記住口訣，反對冪指三為u( x) ，靠前就為u(x) ，例如ex arcsin xdx ，應(yīng)該是arcsin x 為 u( x) ，因?yàn)榉慈呛瘮?shù)排在指數(shù)函數(shù)之前，同理可以推出其他。三 有理函數(shù)積分有理函數(shù)： f ( x )P ( x )Q( x )其中 P( x )和 Q( x ) 是多項(xiàng)式。簡單有理函數(shù)： f ( x )P( x ) ,f ( x )P ( x )1x1 x 2 f

21、 ( x )P( x )( xa)( xb)P( x ) f ( x )( xa)2 b1、“拆”；2、變量代換（三角代換、倒代換、根式代換等）.第五章定積分一概念與性質(zhì)bn1、定義： af ( x) dx limf ( i ) xi0i 12、性質(zhì)：（10條）（ 3）3 基本定理( x)x( x) f ( x) 推 廣 ：變上限積分：設(shè)f (t )dt ， 則ad( x)( x) ( x)f ( x)( x)dxf (t )dt f (x )N L 公 式 ： 若 F ( x)為f ( x) 的 一 個 原 函 數(shù) ， 則bf ( x) dx F (b)F ( a)a4 定積分的換元積分法和

22、分部積分法第六章定積分的應(yīng)用（一）平面圖形的面積b1、 直角坐標(biāo)：A f 2 ( x ) f1 ( x) dxa2、 極坐標(biāo)： A122( )12 ( ) d2（二）體積1 、 旋轉(zhuǎn)體體積：a) 曲邊梯形 yf ( x), xa, xb, x 軸，繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)b體的體積： Vxf 2 ( x )dxab)曲邊梯形 yf ( x), xa, xb, x 軸，繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)b體的體積： V y2xf ( x) dx（柱殼法）ab2 、 平行截面面積已知的立體：VA( x ) dxa（三）弧長1 、 直角坐標(biāo)：2 、 參數(shù)方程：sbf( x )2 dx1as( t )2( t ) 2 dt極坐標(biāo)： s( ) 2( ) 2 d第七章微分方程（一） 概念1 、 微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程 . 階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù) .2 、 解：使微分方程成為恒等式的函數(shù) . 通解：方程的解中含有任意的常數(shù)，且常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同 . 特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解 .（二） 變量可分離的方程g( y)dyf (x)dx ，兩邊