函數(shù)最大值最小值

1、1.3.1.2 1.3.1.2 函數(shù)的最大值、最小值函數(shù)的最大值、最小值 觀察下列函數(shù)的圖象，找出函數(shù)圖象上的最高點(diǎn)或者觀察下列函數(shù)的圖象，找出函數(shù)圖象上的最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)的坐標(biāo)。最低點(diǎn)的坐標(biāo)。最低點(diǎn)的坐標(biāo)是（最低點(diǎn)的坐標(biāo)是（0 0，0 0）最高點(diǎn)的坐標(biāo)是（最高點(diǎn)的坐標(biāo)是（0 0，0 0）如何使用函數(shù)的解析式和數(shù)學(xué)語(yǔ)言如何使用函數(shù)的解析式和數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫函數(shù)圖象的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)？刻畫函數(shù)圖象的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)？即如何用即如何用“數(shù)數(shù)”刻畫刻畫“形形”？最小值的最小值的“形形”的定義：的定義：當(dāng)一個(gè)函數(shù)當(dāng)一個(gè)函數(shù)f(x)f(x)的圖象有的圖象有最低點(diǎn)時(shí)，我們就說(shuō)這個(gè)函數(shù)有最小值。當(dāng)函數(shù)圖最低點(diǎn)時(shí)，我

2、們就說(shuō)這個(gè)函數(shù)有最小值。當(dāng)函數(shù)圖象沒(méi)有最低點(diǎn)時(shí)我們說(shuō)這個(gè)函數(shù)沒(méi)有最小值。象沒(méi)有最低點(diǎn)時(shí)我們說(shuō)這個(gè)函數(shù)沒(méi)有最小值。函數(shù)圖象最低點(diǎn)的數(shù)的刻畫：函數(shù)圖象最低點(diǎn)的數(shù)的刻畫：函數(shù)圖象在最低點(diǎn)處函數(shù)圖象在最低點(diǎn)處的函數(shù)值是函數(shù)在整個(gè)定義域上最小的值。對(duì)于函的函數(shù)值是函數(shù)在整個(gè)定義域上最小的值。對(duì)于函數(shù)數(shù) 而言，即對(duì)于函數(shù)定義域中任意的而言，即對(duì)于函數(shù)定義域中任意的 ，都有，都有 . .( )(0)f xfRx2( ) f xx函數(shù)圖象最高點(diǎn)的數(shù)的刻畫：函數(shù)圖象最高點(diǎn)的數(shù)的刻畫：函數(shù)圖象在最高點(diǎn)處函數(shù)圖象在最高點(diǎn)處的函數(shù)值是函數(shù)在整個(gè)定義域上最大的值。對(duì)應(yīng)函數(shù)的函數(shù)值是函數(shù)在整個(gè)定義域上最大的值。對(duì)應(yīng)函數(shù)

3、而言，即對(duì)于任意的而言，即對(duì)于任意的 ，都有，都有2( ) f xxRx( )(0)f xf函數(shù)最大值的函數(shù)最大值的“形形”的定義：的定義：當(dāng)函數(shù)圖象有最高點(diǎn)，我當(dāng)函數(shù)圖象有最高點(diǎn)，我們就說(shuō)這個(gè)函數(shù)有最大值。當(dāng)函數(shù)圖象無(wú)最高點(diǎn)時(shí)，我們就說(shuō)這個(gè)函數(shù)有最大值。當(dāng)函數(shù)圖象無(wú)最高點(diǎn)時(shí)，我們說(shuō)這個(gè)函數(shù)沒(méi)有最大值。們說(shuō)這個(gè)函數(shù)沒(méi)有最大值。探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1 函數(shù)最大（?。┲档臄?shù)的定義函數(shù)最大（?。┲档臄?shù)的定義函數(shù)最大值定義函數(shù)最大值定義：一般地，設(shè)函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮 I，如果存在實(shí)數(shù)如果存在實(shí)數(shù)M M滿足：滿足：（1 1）對(duì)任意的）對(duì)任意的 ，都有，都有 ；

4、（2 2）存在）存在 ，使得，使得 。那么，我們稱那么，我們稱M M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)y=f(x)的最大值。的最大值。xI( ) f xM0 xI0() f xM請(qǐng)同學(xué)們仿此給出函數(shù)最請(qǐng)同學(xué)們仿此給出函數(shù)最小值的定義小值的定義函數(shù)最小值的定義：函數(shù)最小值的定義：一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮 I，如果存在實(shí)數(shù)如果存在實(shí)數(shù)N N滿足：滿足：（1 1）對(duì)任意是）對(duì)任意是 ，都有，都有 ；（2 2）存在）存在 ，使得，使得 。那么，我們就稱那么，我們就稱N N是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)y=f(x)的最小值。的最小值。xI( ) f xN0 xI0()

5、f xN探究點(diǎn)探究點(diǎn)2 2 對(duì)函數(shù)最值的理解對(duì)函數(shù)最值的理解1.1.函數(shù)最大值首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在函數(shù)最大值首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在 使得使得 。并不是滿足所有滿足。并不是滿足所有滿足 的函數(shù)的函數(shù)都有最大值。如函數(shù)都有最大值。如函數(shù) , ,雖然對(duì)定義雖然對(duì)定義域上的任意自變量都有域上的任意自變量都有 ，但不存在自變量使得函，但不存在自變量使得函數(shù)值等于數(shù)值等于1.1.0,xI0f xM( ) f xM( ),( 1,1) f xx x( )1f x2.2.函數(shù)的最值是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)，即這個(gè)函數(shù)函數(shù)的最值是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)，即這個(gè)函數(shù)值是函數(shù)在整個(gè)定義域上的最

6、大的值或者是最小的值。值是函數(shù)在整個(gè)定義域上的最大的值或者是最小的值。探究點(diǎn)探究點(diǎn)3 3 例題解析例題解析例例3.“3.“菊花菊花”煙花是最壯觀的煙花之一。制造時(shí)一般是期煙花是最壯觀的煙花之一。制造時(shí)一般是期望它在達(dá)到最高點(diǎn)爆裂。如果煙花離地面的高度望它在達(dá)到最高點(diǎn)爆裂。如果煙花離地面的高度h mh m與時(shí)與時(shí)間間t st s之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為 ，那么煙花，那么煙花沖出后什么時(shí)刻爆裂是最佳時(shí)刻？這時(shí)離地面的高度是多沖出后什么時(shí)刻爆裂是最佳時(shí)刻？這時(shí)離地面的高度是多少（精確到少（精確到1 m1 m）？）？2( )4.914.718 h ttt分析：分析：煙花的高度是時(shí)間的二次函煙花的高度是

7、時(shí)間的二次函數(shù)，根據(jù)題意就是求出這個(gè)二次函數(shù)，根據(jù)題意就是求出這個(gè)二次函數(shù)在什么時(shí)刻達(dá)到最大值，以及這數(shù)在什么時(shí)刻達(dá)到最大值，以及這個(gè)最大值是多少。個(gè)最大值是多少。顯然，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn)，顯然，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時(shí)刻，頂點(diǎn)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時(shí)刻，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是距地面的高度。的縱坐標(biāo)就是距地面的高度。解：解：畫出這個(gè)函數(shù)畫出這個(gè)函數(shù) 2( )4.914.718 h ttt根據(jù)二次函數(shù)的知識(shí)，對(duì)于函數(shù)根據(jù)二次函數(shù)的知識(shí)，對(duì)于函數(shù) 我們有：我們有： 2( )4.914.718 h ttt214.71.52 ( 4.9)4

8、 ( 4.9) 18 14.729.4 ( 4.9)th 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù)有有最最大大值值于是，煙花沖出于是，煙花沖出1.5s1.5s是它爆裂的最佳時(shí)刻，此是它爆裂的最佳時(shí)刻，此時(shí)距底面的高度約為時(shí)距底面的高度約為29m.29m.例例4.4.已知函數(shù)已知函數(shù) ，求這個(gè)函數(shù)的最大，求這個(gè)函數(shù)的最大值和最小值。值和最小值。2( )(2,6)1f xxx【分析分析】這個(gè)函數(shù)在區(qū)間這個(gè)函數(shù)在區(qū)間2,62,6上，顯然解析式的分母是上，顯然解析式的分母是正值且隨著自變量的增大而增大，因此函數(shù)值隨著自變量正值且隨著自變量的增大而增大，因此函數(shù)值隨著自變量的增大而減少，也就是說(shuō)這個(gè)函數(shù)在區(qū)間的增大而減少，也

9、就是說(shuō)這個(gè)函數(shù)在區(qū)間22，66上是減函上是減函數(shù)，因此這個(gè)函數(shù)在定義的兩個(gè)端點(diǎn)上取得最值。數(shù)，因此這個(gè)函數(shù)在定義的兩個(gè)端點(diǎn)上取得最值。【解題過(guò)程分析解題過(guò)程分析】函數(shù)在定義域上是減函數(shù)必需進(jìn)行證明，函數(shù)在定義域上是減函數(shù)必需進(jìn)行證明，然后再根據(jù)這個(gè)單調(diào)性確定函數(shù)取得最值的點(diǎn)。因此解題然后再根據(jù)這個(gè)單調(diào)性確定函數(shù)取得最值的點(diǎn)。因此解題過(guò)程分為兩個(gè)部分，證明函數(shù)在過(guò)程分為兩個(gè)部分，證明函數(shù)在22，66上是減函數(shù)，求這上是減函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)的最大值和最小值。個(gè)函數(shù)的最大值和最小值。解：解：設(shè)設(shè)x x1 1,x,x2 2是區(qū)間是區(qū)間2,62,6上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x x1 1x0,

10、k0,k0k0時(shí)，函數(shù)的最小值是時(shí)，函數(shù)的最小值是2 2，最大值是，最大值是2k+2;2k+2;k0k0時(shí)，函數(shù)的最小值是時(shí)，函數(shù)的最小值是2k+2,2k+2,最大值是最大值是2.2.4.4.求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間0,40,4上的最小值。上的最小值。2( )2f xxax【提示提示】二次函數(shù)的對(duì)稱軸二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=ax=a是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)。根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間點(diǎn)。根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間0,40,4的關(guān)系，分的關(guān)系，分a0,0 a4,a4,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解決。畫出不結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解決。畫出不同情況下函數(shù)的圖象，有利于理清解題的思路。同情況下函數(shù)的圖

11、象，有利于理清解題的思路。4a【答案答案】2min0,(0),( ),(04),168 ,(4). af xaaa a5.5.周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為1212的矩形的面積的最大值是多少？的矩形的面積的最大值是多少？【提示提示】以以x x表示矩形的一邊長(zhǎng)，根據(jù)周長(zhǎng)也可以用表示矩形的一邊長(zhǎng)，根據(jù)周長(zhǎng)也可以用x x表表示矩形的另外一邊長(zhǎng)，這樣就建立起了矩形的面積關(guān)于示矩形的另外一邊長(zhǎng)，這樣就建立起了矩形的面積關(guān)于x x的函數(shù)。的函數(shù)?！敬鸢复鸢浮吭O(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x,x,另外一邊長(zhǎng)為另外一邊長(zhǎng)為6-x6-x，矩形，矩形的面積的面積y=x(6-x)= ,y=x(6-x)= ,當(dāng)當(dāng)x=3x=3時(shí)矩形的面積最時(shí)矩形的面積最大，最大值是大，最大值是9.9.26xx1.1.函數(shù)的最值是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，函數(shù)的最值是函函數(shù)的最值是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，函數(shù)的最值是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)。數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)。2.2.具有單調(diào)性的函數(shù)在其取得最值的點(diǎn)的左右附近的單具有單調(diào)性的函數(shù)在其取得最值的點(diǎn)的左右附近的單調(diào)性恰好相反，這是函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系。調(diào)性恰好相反，這是函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系。3.3.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)最