函數(shù)最大值最小值

1、1.3.1.2 1.3.1.2 函數(shù)的最大值、最小值函數(shù)的最大值、最小值 觀察下列函數(shù)的圖象，找出函數(shù)圖象上的最高點(diǎn)或者觀察下列函數(shù)的圖象，找出函數(shù)圖象上的最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)的坐標(biāo)。最低點(diǎn)的坐標(biāo)。最低點(diǎn)的坐標(biāo)是（最低點(diǎn)的坐標(biāo)是（0 0，0 0）最高點(diǎn)的坐標(biāo)是（最高點(diǎn)的坐標(biāo)是（0 0，0 0）如何使用函數(shù)的解析式和數(shù)學(xué)語言如何使用函數(shù)的解析式和數(shù)學(xué)語言刻畫函數(shù)圖象的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)？刻畫函數(shù)圖象的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)？即如何用即如何用“數(shù)數(shù)”刻畫刻畫“形形”？最小值的最小值的“形形”的定義：的定義：當(dāng)一個函數(shù)當(dāng)一個函數(shù)f(x)f(x)的圖象有的圖象有最低點(diǎn)時，我們就說這個函數(shù)有最小值。當(dāng)函數(shù)圖最低點(diǎn)時，我

2、們就說這個函數(shù)有最小值。當(dāng)函數(shù)圖象沒有最低點(diǎn)時我們說這個函數(shù)沒有最小值。象沒有最低點(diǎn)時我們說這個函數(shù)沒有最小值。函數(shù)圖象最低點(diǎn)的數(shù)的刻畫：函數(shù)圖象最低點(diǎn)的數(shù)的刻畫：函數(shù)圖象在最低點(diǎn)處函數(shù)圖象在最低點(diǎn)處的函數(shù)值是函數(shù)在整個定義域上最小的值。對于函的函數(shù)值是函數(shù)在整個定義域上最小的值。對于函數(shù)數(shù) 而言，即對于函數(shù)定義域中任意的而言，即對于函數(shù)定義域中任意的 ，都有，都有 . .( )(0)f xfRx2( ) f xx函數(shù)圖象最高點(diǎn)的數(shù)的刻畫：函數(shù)圖象最高點(diǎn)的數(shù)的刻畫：函數(shù)圖象在最高點(diǎn)處函數(shù)圖象在最高點(diǎn)處的函數(shù)值是函數(shù)在整個定義域上最大的值。對應(yīng)函數(shù)的函數(shù)值是函數(shù)在整個定義域上最大的值。對應(yīng)函數(shù)

3、而言，即對于任意的而言，即對于任意的 ，都有，都有2( ) f xxRx( )(0)f xf函數(shù)最大值的函數(shù)最大值的“形形”的定義：的定義：當(dāng)函數(shù)圖象有最高點(diǎn)，我當(dāng)函數(shù)圖象有最高點(diǎn)，我們就說這個函數(shù)有最大值。當(dāng)函數(shù)圖象無最高點(diǎn)時，我們就說這個函數(shù)有最大值。當(dāng)函數(shù)圖象無最高點(diǎn)時，我們說這個函數(shù)沒有最大值。們說這個函數(shù)沒有最大值。探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1 函數(shù)最大（?。┲档臄?shù)的定義函數(shù)最大（?。┲档臄?shù)的定義函數(shù)最大值定義函數(shù)最大值定義：一般地，設(shè)函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮 I，如果存在實(shí)數(shù)如果存在實(shí)數(shù)M M滿足：滿足：（1 1）對任意的）對任意的 ，都有，都有 ；

4、（2 2）存在）存在 ，使得，使得 。那么，我們稱那么，我們稱M M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)y=f(x)的最大值。的最大值。xI( ) f xM0 xI0() f xM請同學(xué)們仿此給出函數(shù)最請同學(xué)們仿此給出函數(shù)最小值的定義小值的定義函數(shù)最小值的定義：函數(shù)最小值的定義：一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮 I，如果存在實(shí)數(shù)如果存在實(shí)數(shù)N N滿足：滿足：（1 1）對任意是）對任意是 ，都有，都有 ；（2 2）存在）存在 ，使得，使得 。那么，我們就稱那么，我們就稱N N是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)y=f(x)的最小值。的最小值。xI( ) f xN0 xI0()

5、f xN探究點(diǎn)探究點(diǎn)2 2 對函數(shù)最值的理解對函數(shù)最值的理解1.1.函數(shù)最大值首先應(yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在函數(shù)最大值首先應(yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在 使得使得 。并不是滿足所有滿足。并不是滿足所有滿足 的函數(shù)的函數(shù)都有最大值。如函數(shù)都有最大值。如函數(shù) , ,雖然對定義雖然對定義域上的任意自變量都有域上的任意自變量都有 ，但不存在自變量使得函，但不存在自變量使得函數(shù)值等于數(shù)值等于1.1.0,xI0f xM( ) f xM( ),( 1,1) f xx x( )1f x2.2.函數(shù)的最值是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)，即這個函數(shù)函數(shù)的最值是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)，即這個函數(shù)值是函數(shù)在整個定義域上的最

6、大的值或者是最小的值。值是函數(shù)在整個定義域上的最大的值或者是最小的值。探究點(diǎn)探究點(diǎn)3 3 例題解析例題解析例例3.“3.“菊花菊花”煙花是最壯觀的煙花之一。制造時一般是期煙花是最壯觀的煙花之一。制造時一般是期望它在達(dá)到最高點(diǎn)爆裂。如果煙花離地面的高度望它在達(dá)到最高點(diǎn)爆裂。如果煙花離地面的高度h mh m與時與時間間t st s之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為 ，那么煙花，那么煙花沖出后什么時刻爆裂是最佳時刻？這時離地面的高度是多沖出后什么時刻爆裂是最佳時刻？這時離地面的高度是多少（精確到少（精確到1 m1 m）？）？2( )4.914.718 h ttt分析：分析：煙花的高度是時間的二次函煙花的高度是

7、時間的二次函數(shù)，根據(jù)題意就是求出這個二次函數(shù)，根據(jù)題意就是求出這個二次函數(shù)在什么時刻達(dá)到最大值，以及這數(shù)在什么時刻達(dá)到最大值，以及這個最大值是多少。個最大值是多少。顯然，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn)，顯然，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時刻，頂點(diǎn)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時刻，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是距地面的高度。的縱坐標(biāo)就是距地面的高度。解：解：畫出這個函數(shù)畫出這個函數(shù) 2( )4.914.718 h ttt根據(jù)二次函數(shù)的知識，對于函數(shù)根據(jù)二次函數(shù)的知識，對于函數(shù) 我們有：我們有： 2( )4.914.718 h ttt214.71.52 ( 4.9)4

8、 ( 4.9) 18 14.729.4 ( 4.9)th 當(dāng)當(dāng)時時，函函數(shù)數(shù)有有最最大大值值于是，煙花沖出于是，煙花沖出1.5s1.5s是它爆裂的最佳時刻，此是它爆裂的最佳時刻，此時距底面的高度約為時距底面的高度約為29m.29m.例例4.4.已知函數(shù)已知函數(shù) ，求這個函數(shù)的最大，求這個函數(shù)的最大值和最小值。值和最小值。2( )(2,6)1f xxx【分析分析】這個函數(shù)在區(qū)間這個函數(shù)在區(qū)間2,62,6上，顯然解析式的分母是上，顯然解析式的分母是正值且隨著自變量的增大而增大，因此函數(shù)值隨著自變量正值且隨著自變量的增大而增大，因此函數(shù)值隨著自變量的增大而減少，也就是說這個函數(shù)在區(qū)間的增大而減少，也

9、就是說這個函數(shù)在區(qū)間22，66上是減函上是減函數(shù)，因此這個函數(shù)在定義的兩個端點(diǎn)上取得最值。數(shù)，因此這個函數(shù)在定義的兩個端點(diǎn)上取得最值?！窘忸}過程分析解題過程分析】函數(shù)在定義域上是減函數(shù)必需進(jìn)行證明，函數(shù)在定義域上是減函數(shù)必需進(jìn)行證明，然后再根據(jù)這個單調(diào)性確定函數(shù)取得最值的點(diǎn)。因此解題然后再根據(jù)這個單調(diào)性確定函數(shù)取得最值的點(diǎn)。因此解題過程分為兩個部分，證明函數(shù)在過程分為兩個部分，證明函數(shù)在22，66上是減函數(shù)，求這上是減函數(shù)，求這個函數(shù)的最大值和最小值。個函數(shù)的最大值和最小值。解：解：設(shè)設(shè)x x1 1,x,x2 2是區(qū)間是區(qū)間2,62,6上的任意兩個實(shí)數(shù)，且上的任意兩個實(shí)數(shù)，且x x1 1x0,

10、k0,k0k0時，函數(shù)的最小值是時，函數(shù)的最小值是2 2，最大值是，最大值是2k+2;2k+2;k0k0時，函數(shù)的最小值是時，函數(shù)的最小值是2k+2,2k+2,最大值是最大值是2.2.4.4.求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間0,40,4上的最小值。上的最小值。2( )2f xxax【提示提示】二次函數(shù)的對稱軸二次函數(shù)的對稱軸x=ax=a是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)。根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間點(diǎn)。根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間0,40,4的關(guān)系，分的關(guān)系，分a0,0 a4,a4,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解決。畫出不結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解決。畫出不同情況下函數(shù)的圖象，有利于理清解題的思路。同情況下函數(shù)的圖

11、象，有利于理清解題的思路。4a【答案答案】2min0,(0),( ),(04),168 ,(4). af xaaa a5.5.周長為周長為1212的矩形的面積的最大值是多少？的矩形的面積的最大值是多少？【提示提示】以以x x表示矩形的一邊長，根據(jù)周長也可以用表示矩形的一邊長，根據(jù)周長也可以用x x表表示矩形的另外一邊長，這樣就建立起了矩形的面積關(guān)于示矩形的另外一邊長，這樣就建立起了矩形的面積關(guān)于x x的函數(shù)。的函數(shù)。【答案答案】設(shè)矩形的一邊長為設(shè)矩形的一邊長為x,x,另外一邊長為另外一邊長為6-x6-x，矩形，矩形的面積的面積y=x(6-x)= ,y=x(6-x)= ,當(dāng)當(dāng)x=3x=3時矩形的面積最時矩形的面積最大，最大值是大，最大值是9.9.26xx1.1.函數(shù)的最值是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，函數(shù)的最值是函函數(shù)的最值是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，函數(shù)的最值是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)。數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)。2.2.具有單調(diào)性的函數(shù)在其取得最值的點(diǎn)的左右附近的單具有單調(diào)性的函數(shù)在其取得最值的點(diǎn)的左右附近的單調(diào)性恰好相反，這是函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系。調(diào)性恰好相反，這是函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系。3.3.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)最