(完整版)初中尺規(guī)作圖典型例題歸納總結(jié)

1、初中尺規(guī)作圖典型例題歸納 典型例題一 例 已知線段 a、b,畫一條線段，使其等于 a 2b . a b 分析所要畫的線段等于 a 2b，實(shí)質(zhì)上就是abb . ABC 畫法：1畫線段 AB a 2在 AB 的延長(zhǎng)線上截取 BC 2b 線段 AC 就是所畫的 線段. 說(shuō)明 1.尺規(guī)作圖要保留畫圖痕跡，畫圖時(shí)畫出的所有點(diǎn)和線不可隨意擦去. 2 其它作圖都可以通過(guò)畫基本作圖來(lái)完成，寫畫法時(shí)，只需用一句話來(lái)概括敘述基本 作圖. 典型例題二 例 如下圖，已知線段 a 和 b,求作一條線段 AD 使它的長(zhǎng)度等于 2a b 錯(cuò)解如圖（1）, （1）作射線 AM; （2）在射線 AM 上截取 AB=BC=a,

2、CD=b,則線段 AD 即為所求. 錯(cuò)解分析 主要是作圖語(yǔ)言不嚴(yán)密，當(dāng)在射線上兩次截取時(shí)，要寫清是否順次，而在 M 幷 B D h C M 圖（1） 圖（2） 正解如圖（2）, （1）作射線 AM ; （ 2）在射線 AM 上，順次截取 AB=BC=a; （3）在線段 CA 上截取 CD=b，則線段 AD 就是所求作的線段. 典型例題三 例 求作一個(gè)角等于已知角/ MON （如圖 1） 圖（1）圖（2） 求線段差時(shí)，要交待截取的方向. 錯(cuò)解如圖(2), (1) 作射線O1M 1 ; (2)在圖(1),以 0 為圓心作弧，交 0M 于點(diǎn) A,交 ON 于點(diǎn) B; (3) 以O(shè)i為圓心作弧，交Oi

3、Mi于 C； ( 4)以 C 為圓心作弧，交于點(diǎn) D; (5)作射線OiD . 則/ CO1D即為所求的角. 錯(cuò)解分析 作圖過(guò)程中出現(xiàn)了不準(zhǔn)確的作圖語(yǔ)言，在作出一條弧時(shí)，應(yīng)表達(dá)為：以某 點(diǎn)為圓心，以其長(zhǎng)為半徑作弧. 正解如圖(2), (1) 作射線O1M 1 ; (2)在圖(1) 上，以 O 為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交 OM 于點(diǎn) A, 交 ON 于點(diǎn) B; ( 3)以01為圓心，OA 的長(zhǎng)為半徑作弧，交 O1M1于點(diǎn) C; (4) 以 C 為圓心，以 AB 的長(zhǎng)為半徑作弧，交前弧于點(diǎn) D; ( 5)過(guò)點(diǎn) D 作射線O1D . 則/ CO1D就是所要求作的角. 典型例題四 例 如下圖，已知/

4、a及線段 a,求作等腰三角形，使它的底角為a,底邊為 a. 分析 先假設(shè)等腰三角形已經(jīng)作好， 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)， 知兩底角/ B=/ C= /a, 底邊 BC=a，故可以先作/ B=/a，或先作底邊 BC=a. 作法如下圖 CP 交 BN 于點(diǎn) A.A ABC 就是所要求作的等腰三角形. 說(shuō)明 畫復(fù)雜的圖形時(shí)，如一時(shí)找不到作法，一般是先畫出一個(gè)符合條件的草圖，再 根據(jù)這個(gè)草圖進(jìn)行分析，逐步尋找畫圖步驟. (1)/ MBN = /a； 典型例題五 例 如圖(1),已知直線 AB 及直線 AB 外一點(diǎn) C,過(guò)點(diǎn) C 作 CD / AB (寫出作法，畫 出圖形). 分析根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)，同位

5、角相等或內(nèi)錯(cuò)角相等，故作一個(gè)角/ ECD = / EFB 即可. 作法如圖（2）. 典型例題六 例 如下圖， ABC 中，a=5cm, b=3cm, c=3.5cm,/ B= 36，/ C= 44，請(qǐng)你從中 選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)，畫出與厶 ABC 全等的三角形（把你能畫的三角形全部畫出來(lái)，不寫畫法 但要在所畫的三角形中標(biāo)出用到的數(shù)據(jù)） 分析 本題實(shí)質(zhì)上是利用原題中的 5 個(gè)數(shù)據(jù)，列出所有與 ABC 全等的各種情況，依 據(jù)是 SSS、SAS、AAS、ASA . 解 與厶 ABC 全等的三角形如下圖所示. (1) (2) (3) (4) (5) 說(shuō)明 過(guò)點(diǎn) 以點(diǎn) 以點(diǎn) 以點(diǎn) 過(guò)點(diǎn) 圖（1） EF，交 A

6、B 于點(diǎn) F; 以任意長(zhǎng)為半徑作弧，交 C 作直線 F 為圓心， C 為圓心，以 FP 為半徑作弧，交 FB 于點(diǎn) P,交 EF 于點(diǎn) Q; CE 于 M 點(diǎn)； D ； M 為圓心，以 PQ 為半徑作弧，交前弧于點(diǎn) D 作直線 CD , CD 就是所求的直線. 作圖題都應(yīng)給出證明，但按照教科書的要求，一般不用寫出，但要知道作圖的原由. 典型例題七 例 正在修建的中山北路有一形狀如下圖所示的三角形空地需要綠化.擬從點(diǎn) A 出發(fā), 將厶 ABC 分成面積相等的三個(gè)三角形， 以便種上三種不同的花草，請(qǐng)你幫助規(guī)劃出圖案（保 留作圖痕跡，不寫作法）. （2003 年， 桂林） 分析 這是尺規(guī)作圖在生活中

7、的具體應(yīng)用要把 ABC 分成面積相等的三個(gè)三角形， 且都是從 A 點(diǎn)出發(fā)，說(shuō)明這三個(gè)三角形的高是相等的，因而只需這三個(gè)三角形的底邊也相 等，所以只要作出 BC 邊的三等分點(diǎn)即可. 作法如下圖， 找三等分點(diǎn)的依據(jù)是平行線等分線段定理. 典型例題八 例 已知/ AOB，求作/ AOB 的平分線 OC. 錯(cuò)解如圖（1） 作法 （1 ）以 O 為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交 OA、OB 于 D、E 兩點(diǎn); 1 （2） 分別以 D、E 為圓心，以大于 一 DE 的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于 C 點(diǎn)； 2 （3） 連結(jié) OC,則 OC 就是/ AOB 的平分線.錯(cuò)解分析 對(duì)角平分線的概念理解不夠準(zhǔn)確而致誤

8、作法( 3)中連結(jié) 0C,則 0C 是 一條線段，而角平分線應(yīng)是一條射線. (1) 以點(diǎn) 0 為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交 OA、OB 于 D、 1 (2) 分別以 D、E 為圓心，以大于 DE 的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于 C 點(diǎn); 2 (3) 作射線 0C,貝 U 0C 為/ AOB 的平分線. 典型例題九 例 如圖(1)所示，已知線段 a、b、h ( hvb). 求作 ABC，使 BC=a, AB=b, BC 邊上的高 AD=h. 圖(1) 錯(cuò)解如圖(2), (1) 作線段 BC=a; (2) 作線段 BA=b，使 AD 丄 BC 且 AD=h. 則厶 ABC 就是所求作的三角形. 錯(cuò)解

9、分析 不能先作 BC;第 2 步不能同時(shí)滿足幾個(gè)條件，完全憑感覺(jué)毫無(wú)根據(jù)； 未考慮到本題有兩種情況. 對(duì)于這種作圖題往往都是按照由里到外的順序依次作圖， 如本 題先作高 AD，再作 AB ,最后確定 BC . (1) 作直線 PQ,在直線 PQ 上任取一點(diǎn) D，作 DM 丄 PQ; (2) 在 DM 上截取線段 DA=h; (3) 以 A 為圓心，以 b 為半徑畫弧交射線 DP 于 B; (4) 以 B 為圓心，以 a 為半徑畫弧，分別交射線 BP 和射線 BQ 于C1和C2 ;正解 如圖(2) E 兩點(diǎn); 正解 (5)連結(jié)ACi、AC2，則 ABCi (或 ABC?)都是所求作的三角形. 典

10、型例題十 例 如下圖，已知線段 a，b，求作 RtAABC，使/ ACB=90 , BC=a, AC=b (用直尺 和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡) 分析 本題解答的關(guān)鍵在于作出/ ACB=90 ，然后確定 A、B 兩點(diǎn)的位置，作出 ABC 作法如下圖 (1) 作直線 MN : (2) 在 MN 上任取一點(diǎn) C,過(guò)點(diǎn) C 作 CE 丄 MN ; (3) 在 CE 上截取 CA=b，在 CM 上截取 CB=a； (4) 連結(jié) AB, ABC 就是所求作的直角三角形. 說(shuō)明 利用基本作圖畫出所求作的幾何圖形的關(guān)鍵是要先分析清楚作圖的順序. 若把握 不好作圖順序，要先畫出假設(shè)圖形. 典型例題十 求作：(1

11、) BC 邊上的高；(2) BC 邊上的中線(寫出作法，畫出圖形) 分析 (1 )作 BC 邊上的高，就是過(guò)已知點(diǎn) A 作 BC 邊所在直線的垂線； (2)作 BC 邊上的中線，要先確定出 BC 邊的中點(diǎn)，即作出 BC 邊的垂直平分線. 作法如下圖 (1)在直線 CB 外取一點(diǎn) P,使 A、P 在直線 CB 的兩旁; 如下圖，已知鈍角 以點(diǎn) A 為圓心，AP 為半徑畫弧，交直線 CB 于 G、H 兩點(diǎn); 1 分別以 G、H 為圓心，以大于 GH 的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于 E 點(diǎn)； 2 作射線 AE，交直線 CB 于 D 點(diǎn)，則線段 AD 就是所要求作的厶 ABC 中 BC 邊上的高. 1 (2

12、)分別以 B、C 為圓心，以大于丄 BC 2 線、角平分錢是三條線段；其次，高線、中線的一個(gè)端點(diǎn)必須是三角形中這邊所對(duì)的頂點(diǎn), 而關(guān)鍵是找出另一個(gè)端點(diǎn). 典型例題十二 由題意知，點(diǎn) C 不僅要在/ M0N C 應(yīng)是/ M0N 的平分線與線段 0A的垂直平分線的交點(diǎn). 如圖(2)所示 (1) 作/ M0N 的平分線 0P; (2) 作線段 0A 的垂直平分線 EF，交 0P 于點(diǎn) C,則點(diǎn) C 就是所要求作的點(diǎn). 說(shuō)明(1)根據(jù)題意弄清要求作的點(diǎn)的特征是到各直線距離相等，還是到各端點(diǎn)距離相等. (2)兩條直線交于一點(diǎn). 典型例題十三 分析 假定梯形已經(jīng)作出，作 AE/ DC 交 BC 于 E,則

13、 AE 將梯形分割為兩部分, 分是 ABE，另一部分是 所以，可以首先把它作出來(lái)，而后作出 作法如下圖. 的長(zhǎng)為半徑畫弧， 兩弧分別交于 M、N 兩點(diǎn); 作直線 MN，交 BC 于點(diǎn) F; 連結(jié) AF，則線段 AF 就是所要求作的厶 說(shuō)明在已知三角形中求作一邊上的高線、 ABC 中邊 BC 上的中線. 中線、角平分線時(shí)，首先要把握好高線、中 使得 C 是/ M0N 平分線上的點(diǎn)，且 AC=0C . 分析 等，所以點(diǎn) 作法 的平分線上，且點(diǎn) C 到 0、A 兩點(diǎn)的距離要相 部 = AECD .在 ABE 中，已知/ B=Za,Z AEB= / 卩，BE=b-a, -AECD. 例如圖(1 例如下

14、圖，已知線段 a、b、/a、/B 求作梯形 ABCD，使 AD=a, BC=b, (1) 作線段 BC=b; (2) 在 BC 上截取 BE = b-a ; (3) 分別以 B、E 為頂點(diǎn)，在 BE 同側(cè)作/ EBA= Za,Z AEB = /B, BA、EA 交于 A; (4) 以 EA、EC 為鄰邊作一 AECD . 四邊形 ABCD 就是所求作的梯形. 說(shuō)明 基本作圖是作出較簡(jiǎn)單圖形的基礎(chǔ)，三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形，它是許多復(fù)雜 圖形的基礎(chǔ)因此，要作一個(gè)復(fù)雜的圖形，常常先作一個(gè)比較容易作出的三角形，然后以此 為基礎(chǔ)，再作出所求作的圖形. 典型例題十四 例 如下圖，在一次軍事演習(xí)中，紅方偵察

15、員發(fā)現(xiàn)藍(lán)方指揮部在 A 區(qū)內(nèi)，到鐵路與公 路的距離相等，且離鐵路與公路交叉處 B 點(diǎn) 700 米，如果你是紅方的指揮員，請(qǐng)你在圖示 的作戰(zhàn)圖上標(biāo)出藍(lán)方指揮部的位置. (2002 年，青島) 分析 依據(jù)角平分線的性質(zhì)可以知道，藍(lán)方指揮部必在 A 區(qū)內(nèi)兩條路所夾角的平分線 上，然后由藍(lán)方指揮部距 B 點(diǎn)的距離，依據(jù)比例尺，計(jì)算出圖上的距離為 3.5cm，就可以確 定出藍(lán)方指揮部的位置. 解 如下圖，圖中 C 點(diǎn)就是藍(lán)方指揮部的位置. 典型例題十五 例 如圖(1),已知有公共端點(diǎn)的線段 AB、BC.求作O O,使它經(jīng)過(guò)點(diǎn) A、B、C (要 求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡) (2002 年，大連) 分析要作出符合條件的正方形，可先作出有三個(gè)角為 的一組邊相等即可. 作法如圖. 圖（1） 分析 因?yàn)?A、B、C 三點(diǎn)在O O 上，所以 OA=OB=OC=R根據(jù)到線段 AB、BC 各端點(diǎn) 距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，故分別作線段 AB、BC 垂直平分線即可. 解如圖（2） 說(shuō)明 角平分線的性