高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文：數(shù)學(xué)解題中的“和諧”策略

1、數(shù)學(xué)解題中的“和諧”策略【摘要】和諧策略在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用【關(guān)鍵詞】和諧近年來(lái)，隨著數(shù)學(xué)新課改的深入發(fā)展，創(chuàng)新題在考卷中頻頻出現(xiàn)。這類(lèi)考題的特點(diǎn)是：試題給出一段材料，考生往往需要對(duì)所提供的材料進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、調(diào)整，就其本質(zhì)進(jìn)行歸納、加工提煉，然后作出解答。這種根據(jù)材料提供的信息現(xiàn)場(chǎng)閱讀、理解和運(yùn)用的新題型，知識(shí)背景較為寬廣，知識(shí)跨度大，包含的信息也較多，它綜合考查了考生的閱讀理解、數(shù)據(jù)處理、分析推理、文字概括和書(shū)面表達(dá)及知識(shí)遷移等諸多方面的能力。這類(lèi)題貼近實(shí)際，可以引導(dǎo)考生關(guān)心社會(huì)，強(qiáng)化考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。但學(xué)生創(chuàng)新題得分率普遍較低，其主要原因有：、長(zhǎng)期在人們頭腦中形成的學(xué)科思想意識(shí)

2、，導(dǎo)致學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中無(wú)閱讀習(xí)慣，不愿閱讀或不能從閱讀中發(fā)現(xiàn)信息；、歸納、抽象、概括能力差；、不敢也不會(huì)大擔(dān)地猜測(cè)、假設(shè)，不會(huì)嘗試論證；、不會(huì)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。這些方面形成的來(lái)源，是來(lái)自長(zhǎng)期傳統(tǒng)的“以教師為中心、講解為主、以題練題”的數(shù)學(xué)教學(xué)思想意識(shí)、和教學(xué)氛圍。那么，針對(duì)數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)教師只有從歸納此類(lèi)題型來(lái)進(jìn)行方法引導(dǎo)。筆者通過(guò)演練近幾年各地?cái)?shù)學(xué)考題中的創(chuàng)新題，并挖掘和撲捉出題人的意圖，吸收同行在此方面的見(jiàn)解，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題中，只有解題方法達(dá)到一定程度的和諧，那么，不管如何的題目都會(huì)迎刃而解！1 特殊與一般的和諧一般性寓于特殊之中, 反之, 通過(guò)對(duì)特殊規(guī)律的觀察又可發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，從而

3、使特殊與一般達(dá)到和諧統(tǒng)一。例1.求證:2n n2 ( n 4) .這一規(guī)律的探索、發(fā)現(xiàn)可通過(guò)特殊發(fā)現(xiàn)一般的策略: 這是先猜想, 后證明. 先猜后證的數(shù)學(xué)思想應(yīng)該是探索性學(xué)習(xí)的主要指導(dǎo)思想. 2 反面與正面的和諧正如方程與函數(shù)、常量與變量、相等與不等、直與曲、有限與無(wú)限.都是正面與反面,既互相對(duì)立, 又可相互轉(zhuǎn)化, 有時(shí)可出奇制勝地解決問(wèn)題. 如解方程cos2x + 3| cos x | + 2 =0 , 要去絕對(duì)值符號(hào)、顯得繁瑣 , 若從其反面添絕對(duì)值符號(hào) , 使其方程轉(zhuǎn)化為| cos x|2 +3| cos x | + 2 = 0 , 它絲毫無(wú)損于原方程的同解性 ,但從(| cos x |

4、+ 2) ( | cos x | + 1) = 0 ,分解因式,卻巧妙地解出了三角方程, 這是典型的反面與正面達(dá)到和諧境界的體現(xiàn)。例2 設(shè)abc 的三邊a 、b、c 成等差數(shù)列,則它的三內(nèi)角中至少有兩個(gè)角不超過(guò)分析：滿足以上條件的三角形三內(nèi)角中至少有兩個(gè)角不超過(guò),換句話說(shuō),至多只有一個(gè)角能超過(guò)，正面證明此論斷無(wú)從下手,采取反面切入求解“有兩個(gè)角超過(guò) ”,因?yàn)轭}設(shè)有a 、b、c 成等差數(shù)列, b =( a + c) , 不妨設(shè)a b c 推出a b c , 要使結(jié)論成立, 只要證明b ,這時(shí)用反證法,假設(shè)b 推出cosb a2 + c2 - ac ,代入b =得出,得出3 a2 + 3 c2 -

5、 6 ac 0 ,即3 ( a - c) 2不可能, 所以b ,得出abc 至少有兩個(gè)角不超于3熟悉與陌生的和諧解題時(shí), 遇到陌生的數(shù)學(xué)問(wèn)題, 必須用激活策略,用與陌生問(wèn)題有內(nèi)在聯(lián)系的熟悉問(wèn)題的解題經(jīng)驗(yàn)、方法與技巧去處理陌生問(wèn)題, 以便使經(jīng)驗(yàn)、方法、技巧迅速遷移.例3（2004年北京市高考試題）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為 ，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式為 。分析：這是一個(gè)新定義問(wèn)題，題目對(duì)于每一位同學(xué)都是陌生的，重點(diǎn)在于考查學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)用新知識(shí)的能力和由

6、“等差”到“等和”的類(lèi)比能力。根據(jù)試題提供的材料不難得出： 4 具體與抽象的和諧抽象是數(shù)學(xué)的一大特點(diǎn),抽象又是具體的一面鏡子, 愈抽象的數(shù)學(xué)材料空間形式、數(shù)量關(guān)系,愈有可能應(yīng)用到更廣泛的領(lǐng)域之中去,這就是具體激活抽象的理論基礎(chǔ).例4 已知一元二次方程ax2 + bx + c = 0( a 0 且a c) 的兩個(gè)根為tan、tan, 求tan (+) 的值.分析：用韋達(dá)定理的根與系數(shù)的關(guān)系容易得出tan(+) =這是相對(duì)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題,是教材上的原型題,在和角的正切公式中,分子中有兩根之和,分母中有兩根之積,這是下面的抽象的變式題的構(gòu)造特征,讀者可看出具體可以激活抽象的變式題.例4變式： tan

7、與為二次方程x 2+ px + q = 0 的兩根,且tan: = 32 ,求p 、q 的值.解: +- =。則tan=q - p = 1. 又=,推出關(guān)于tan的一元二次方程2tan2+ 5tan- 3= 0 tan=或tan= - 3 ,得=或=-2與結(jié)合.聯(lián)立解出或具體的原型題與抽象的變式題相比較,具體激活了抽象.5 簡(jiǎn)單與復(fù)雜的和諧復(fù)雜是由簡(jiǎn)單構(gòu)造而成的,只要找到與復(fù)雜問(wèn)題在結(jié)構(gòu)、性質(zhì)、關(guān)系等方面相似的簡(jiǎn)單問(wèn)題, 再對(duì)這些簡(jiǎn)單的類(lèi)比問(wèn)題看透徹了, 鉆研深刻了,則簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)類(lèi)比題可以激活復(fù)雜的數(shù)學(xué)題,復(fù)雜數(shù)學(xué)題可以迎刃而解.例5 設(shè)x , y , z (0 , 1) , 求證: x (1

8、- y)+ y (1 - z ) + z (1 - x ) 1.如果讀者對(duì)此題難以下手,那么可構(gòu)造簡(jiǎn)單類(lèi)比題: 設(shè)x , y ( 0 , 1) 求證: x ( 1 - y )+ y (1 - x) 0 , f (1) = 2 y - 1 + (1 - y)= y 0.由于一次函數(shù)f ( x ) 的圖象是一條直線,所以當(dāng)0 x 0 成立,故原不等式成立.例5 的證明:設(shè)f ( x ) = 1 - x (1 - y) +y (1 - z ) + z (1 - x ) = ( y + z - 1) x + ( yz +1 - y - z ) ,由于0 y 1 ,0 z 0.f (1) = yz 0

9、, f ( x ) 是將y 、z 視為常量,而將x 視為變量, 故f ( x ) 這個(gè)一次函數(shù)圖象是一條直線, 當(dāng)0 x 0 成立,故原不等式成立.簡(jiǎn)單類(lèi)比題的確可以激活復(fù)雜問(wèn)題,華羅庚教授說(shuō):“要善于退, 足夠地退, 退到最原始而又不失去重要性的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅”. 其原因也是簡(jiǎn)單類(lèi)比題可激活復(fù)雜數(shù)學(xué)題.6 局部與整體的和諧整體是由局部組成的, 反之, 幾個(gè)局部便組合成為整體. 在具有輪換對(duì)稱(chēng)的式子中, 可以將對(duì)整體的研究轉(zhuǎn)化為幾個(gè)局部的研究,而這幾個(gè)局部又都是對(duì)稱(chēng)式,只要研究一個(gè)局部就可以“以逸代勞”地研究整體了,這就是局部激活整體的理論基礎(chǔ).例6 設(shè)a 、b、c 、d 均為正數(shù)

10、,求證:a + b + c + d.分析:左邊每個(gè)分式都只含有三個(gè)字母,而與第四個(gè)字母無(wú)關(guān), 為了用局部激活整體,將右邊也分解成四個(gè)同型項(xiàng): ,能否只證一個(gè)不等式就可激活整體了呢? 回答是肯定的.因?yàn)閍 、b、c 均為正數(shù)故上面不等式等價(jià)于3 ( a2 + b2 + c2) ( a + b + c) 2 ,即2 ( a2 +b2 + c2) 2 ( ab + bc + ca) ,故推出( a - b) 2 +( b - c) 2 + ( c - a) 2 0 ,可見(jiàn)式也成立.這一證明非同小可,下面三個(gè)不等式同樣成立: 從而原不等式成立. 要了解以上六個(gè)方面, 不是彼此孤立的,而是相互聯(lián)系的,如例6 ,既可以用局部激活整體,也可以用簡(jiǎn)單激活復(fù)雜, 同樣可用于已知激活未知,或特殊激活一般.例6 的簡(jiǎn)單類(lèi)比題是a 、b、c 均為正數(shù),求證: +a+b+c總之, 激活既有微觀激活概念激活,又有宏觀激活方法與策略激活,更有解題原則的激活,激活策略應(yīng)該是數(shù)學(xué)解題的一大訣竅. 考生在考試過(guò)程