(完整版)有理數(shù)知識點梳理歸納和習題練習,推薦文檔

1、有理數(shù)知識點梳理一、正數(shù)和負數(shù)1 數(shù)和負數(shù)的概念負數(shù)：比 0 小的數(shù)正數(shù)：比 0 大的數(shù)0 既不是正數(shù)，也不是負數(shù)注意：字母 a 可以表示任意數(shù)，當 a 表示正數(shù)時，-a 是負數(shù)；當 a 表示負數(shù)時，-a 是正數(shù)；當 a 表示 0 時，-a 仍是 0。（如果出判斷題為：帶正號的數(shù)是正數(shù)，帶負號的數(shù)是負數(shù)，這種說法是錯誤的，例如+a,-a 就不能做出簡單判斷）正數(shù)有時也可以在前面加“+”，有時“+”省略不寫。所以省略“+”的正數(shù)的符號是正號。2.具有相反意義的量若正數(shù)表示某種意義的量，則負數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量，比如： 零上 8表示為：+8；零下 8表示為：-83.0 表示的意義0

2、表示“ 沒有”，如教室里有 0 個人，就是說教室里沒有人；0 是正數(shù)和負數(shù)的分界線，0 既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。如：整數(shù)。二、有理數(shù)1. 有理數(shù)的概念正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（0 和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)）正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)正整數(shù)，0，負整數(shù)，正分數(shù)，負分數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。理解：只有能化成分數(shù)的數(shù)才是有理數(shù)。 是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分數(shù)形式，不是有理數(shù)。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分數(shù)，都是有理數(shù)。注意：引入負數(shù)以后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴大了，像-2,-4,-6,-8也是偶數(shù)，-1,-3,-5也是奇數(shù)。2. 有理數(shù)的分類按有理數(shù)的意義分類按正、負來分正整數(shù)

3、正整數(shù)整數(shù)0正有理數(shù)負整數(shù)正分數(shù)有理數(shù)有理數(shù)0 （0 不能忽視）正分數(shù)負整數(shù)分數(shù)負有理數(shù)負分數(shù)負分數(shù)總結：正整數(shù)、0 統(tǒng)稱為非負整數(shù)（也叫自然數(shù)）負整數(shù)、0 統(tǒng)稱為非正整數(shù)正有理數(shù)、0 統(tǒng)稱為非負有理數(shù)負有理數(shù)、0 統(tǒng)稱為非正有理數(shù)三、數(shù)軸1 軸的概念規(guī)定了原點，正方向，單位長度的直線叫做數(shù)軸。注意：數(shù)軸是一條向兩端無限延伸的直線；原點、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可；同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一；數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實際需要規(guī)定的。2. 數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關系所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示：正有理數(shù)可用原點右邊的點表示，負有理數(shù)可用原點左邊的點表示，0 用原點表示。所有的

4、有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)，也就是說， 有理數(shù)與數(shù)軸上的點不是一一對應關系。（如，數(shù)軸上的點 不是有理數(shù)）3. 利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小在數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；正數(shù)都大于 0，負數(shù)都小于 0，正數(shù)大于負數(shù)；兩個負數(shù)比較，距離原點遠的數(shù)比距離原點近的數(shù)小。4. 數(shù)軸上特殊的最大（?。?shù)最小的自然數(shù)是 0，無最大的自然數(shù)；最小的正整數(shù)是 1，無最大的正整數(shù)；最大的負整數(shù)是-1，無最小的負整數(shù)5.a 可以表示什么數(shù)a0 表示 a 是正數(shù)；反之，a 是正數(shù)，則 a0；a0 表示 a 是負數(shù)；反之，a 是負數(shù)，則 a0 時，-a0（正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)）

5、當 a0（負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)） 當 a=0 時，-a=0，（0 的相反數(shù)是 0）6. 多重符號的化簡多重符號的化簡規(guī)律:“+”號的個數(shù)不影響化簡的結果，可以直接省略；“-”號的個數(shù)決定最后化簡結果；即：“-”的個數(shù)是奇數(shù)時，結果為負，“-”的個數(shù)是偶數(shù)時，結果為正。五、絕對值 絕對值的幾何定義一般地，數(shù)軸上表示數(shù) a 的點與原點的距離叫做 a 的絕對值，記作|a|。2.絕對值的代數(shù)定義絕對值的代數(shù)定義可用字母表示為(1)正數(shù)的絕對值是它本身；(1)如果 a0，那么|a|=a；(2)一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；(2)如果 a0，那么|a|=-a；(3)0 的絕對值是 0.(3)如果 a=0，那

6、么|a|=0。可歸納為：a0， |a|=a （非負數(shù)的絕對值等于本身；絕對值等于本身的數(shù)是非負數(shù)。）a0， |a|=-a （非正數(shù)的絕對值等于其相反數(shù)；絕對值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。）3. 絕對值的性質任何一個有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，也就是說絕對值具有非負性。所以，a 取任何有理數(shù)，都有|a|0。即 0 的絕對值是 0；絕對值是 0 的數(shù)是 0.即：a=0 |a|=0；一個數(shù)的絕對值是非負數(shù)，絕對值最小的數(shù)是 0.即：|a|0；任何數(shù)的絕對值都不小于原數(shù)。即：|a|a；絕對值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)。即：若|x|=a（a0），則 x=a；互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對值相等。即：|-a

7、|=|a|或若 a+b=0，則|a|=|b|；絕對值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即：|a|=|b|，則 a=b 或 a=-b；若幾個數(shù)的絕對值的和等于 0，則這幾個數(shù)就同時為 0。即|a|+|b|=0，則 a=0 且 b=0。（非負數(shù)的常用性質：若幾個非負數(shù)的和為 0，則有且只有這幾個非負數(shù)同時為0）4. 有理數(shù)大小的比較利用數(shù)軸比較兩個數(shù)的大小：數(shù)軸上的兩個數(shù)相比較，左邊的總比右邊的??；利用絕對值比較兩個負數(shù)的大?。簝蓚€負數(shù)比較大小，絕對值大的反而?。划愄杻蓴?shù)比較大小，正數(shù)大于負數(shù)。5. 絕對值的化簡當 a0 時， |a|=a ；當 a0 時， |a|=-a6. 已知一個數(shù)的絕對值，求這個數(shù)

8、一個數(shù) a 的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù) a 的點到原點的距離，一般地，絕對值為同一個正數(shù)的有理數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)，絕對值為 0 的數(shù)是 0，沒有絕對值為負數(shù)的數(shù)。六、有理數(shù)的加減法1. 有理數(shù)的加法法則同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，和為零；一個數(shù)與零相加，仍得這個數(shù)。2. 有理數(shù)加法的運算律加法交換律：a+b=b+a加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)在運用運算律時，一定要根據(jù)需要靈活運用，以達到化簡的目的，通常有下列規(guī)律：互為相反數(shù)的兩個數(shù)先相加“相反數(shù)結合法

9、”；符號相同的兩個數(shù)先相加“同號結合法”；分母相同的數(shù)先相加“同分母結合法”；幾個數(shù)相加得到整數(shù)，先相加“湊整法”；整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加“同形結合法”。3. 加法性質加法性質可用字母表示為(1)一個數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大當 b0 時，a+ba(2)加負數(shù)后的和比原數(shù)小當 b0 時，a+ba(3)加 0 后的和等于原數(shù)當 b=0 時，a+b=a4. 有理數(shù)減法法則減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為：a-b=a+(-b)。5. 有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義在有理數(shù)加減法混合運算中，根據(jù)有理數(shù)減法法則，可以將減法轉化成加法后，再按照加法法則進行計算。在算式里，通常把各個加數(shù)的括號

10、和它前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.算式的讀法：按這個式子表示的意義讀作“負 8、負 7、負 6、正 5 的和”按運算意義讀作“負 8 減 7 減 6 加 5”6. 有理數(shù)加減混合運算中運用結合律時的一些技巧：.把符號相同的加數(shù)相結合（同號結合法）(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)解：原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)（將減法轉換成加法）=-33+18-15-1+23（省略加號和括號）=(-33-15-1)+(18+23)（把符號相同的加數(shù)相結合）=-49+41（運用加法法則

11、一進行運算）=-8（運用加法法則二進行運算）.把和為整數(shù)的加數(shù)相結合 （湊整法）(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)解：原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)（將減法轉換成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加號和括號）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8（把和為整數(shù)的加數(shù)相結合）=4-10+3.8（運用加法法則進行運算）=7.8-10（把符號相同的加數(shù)相結合，并進行運算）=-2.2（得出結論）.把分母相同或便于通分的加數(shù)相結合（同分母結合法）313217- - + - + -5245283211

12、37解：原式=(- - )+(- + )+(+ - )55=-1+0- 122488=-1 18.既有小數(shù)又有分數(shù)的運算要統(tǒng)一后再結合（先統(tǒng)一后結合）312(+0.125)-(-3 )+(-3 )-(-10 )-(+1.25)1 43 813a解：原式=(+ )+(+3 )+(-3 )+(+10 )+(-1 )848b13121= +3 -3 +10 (3 -1 )+( -3 )+104488312=2 -3+1023=-3+13 16=10 16.把帶分數(shù)拆分后再結合（先拆分后結合）1617-3 +10 -12 +4 51122151761解 ： 原 式 =(-3+

13、10-12+4)+(- + )+( - )5 151122=-1+ 4 + 1115=-1+ 83022+ 1530- 730.分組結合2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69解：原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+69)=0.先拆項后結合（1+3+5+7+99）-（2+4+6+8+100）七、有理數(shù)的乘除法1. 有理數(shù)的乘法法則法則一：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；（“同號得正，異號得負” 專指“兩數(shù)相乘”的情況，如果因數(shù)超過兩個，就必須運用法則三）法則二：任何數(shù)同 0 相乘，都得 0；法則三：幾個不是 0 的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是

14、偶數(shù)時，積是正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負數(shù)；法則四：幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為 0,則積等于 0.2. 倒數(shù)乘積是 1 的兩個數(shù)互為倒數(shù)，其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的倒數(shù)，用式子表示為1111a =1（a0），就是說 a 和 互為倒數(shù)，即 a 是 的倒數(shù)， 是 a 的倒數(shù)。aaaa注意：0 沒有倒數(shù)；求假分數(shù)或真分數(shù)的倒數(shù)，只要把這個分數(shù)的分子、分母點顛倒位置即可； 求帶分數(shù)的倒數(shù)時，先把帶分數(shù)化為假分數(shù)，再把分子、分母顛倒位置；正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)。（求一個數(shù)的倒數(shù)，不改變這個數(shù)的性質）；倒數(shù)等于它本身的數(shù)是 1 或-1,不包括0。3.有理數(shù)的乘法運算律乘法交換律：一般地，

15、有理數(shù)乘法中，兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即 ab=ba乘法結合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即(ab) c=a(bc).乘法分配律：一般地，一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘， 在把積相加。即 a(b+c)=ab+ac4. 有理數(shù)的除法法則（1） 除以一個不等 0 的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。（2） 兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0 除以任何一個不等于 0 的數(shù)， 都得 05. 有理數(shù)的乘除混合運算（1） 乘除混合運算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。（2） 有理數(shù)的加減乘除混合運算，如無括號指

16、出先做什么運算，則按照先乘除，后加減的順序進行。八、有理數(shù)的乘方1. 乘方的概念求 n 個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪。在an 中，a 叫做底數(shù)，n 叫做指數(shù)。2. 乘方的性質（1） 負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪的正數(shù)。（2） 正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0 的任何正整數(shù)次冪都是 0。九、有理數(shù)的混合運算做有理數(shù)的混合運算時，應注意以下運算順序：1. 先乘方，再乘除，最后加減；2. 同級運算，從左到右進行；3. 如有括號，先做括號內的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。十、科學記數(shù)法把一個大于 10 的數(shù)表示成科學記數(shù)法。一填空題a 10n 的形式（其中1 a 0b. a

17、 0，b0ba0cab0d以上均不對bo a（）下列交換加數(shù)位置的變形中，正確的是（）（a）1-4+5-4=1-4+4-5（b）1-2+3-4=2-1+4-3（c）4.5- 1.7- 2.5+1.8=4.5- 2.5+1.8-1.713111311（d）- + -=+- -34644436（）近似數(shù) 2.30104 的有效數(shù)字有（）（a）5 個（b）3 個（c）2 個（d）以上都不對）若-a 不是負數(shù)，那么 a 一定是（）。（a）負數(shù)（b）正數(shù)（c）正數(shù)和零（d）負數(shù)和零（）如圖，在數(shù)軸上有 a、b 兩個有理數(shù)，則下列結論中，不正確的是（）3（a）a+b0（b）a-b0a（c） ab0b2個有

18、理數(shù)相加，若和為負數(shù)，則加數(shù)中負數(shù)的個數(shù)（）(a) 有2個(b)只有1個(c) 至少1個(d) 也 可 能 是 0 個若三個有理數(shù)的和為0，則下列結論正確的是（）(a)這三個數(shù)都是0(b)最少有兩個數(shù)是負數(shù)(c)最多有兩個正數(shù)(d)這三個數(shù)是互為相反數(shù)兩個數(shù)的差是負數(shù),則這兩個數(shù)一定是()(a) 被減數(shù)是正數(shù),減數(shù)是負數(shù)(b) 被減數(shù)是負數(shù),減數(shù)是正數(shù)(c) 被減數(shù)是負數(shù),減數(shù)也是負數(shù)下列四個式子：(1) , - -1為 1 的有()(a) 1 個(b) 2 個, (1)3 , (1)8.其中計算結果(c) 3 個(d)4 個2007 年中國月球探測工程的“嫦娥一號”衛(wèi)星將發(fā)射升空飛向月球。已

19、知地球距離月球表面約為 384000 千米，那么這個距離用科學記數(shù)法（保留三個有效數(shù)字）表示應為（ ）（a）3.84104 千米（b）3.84105 千米（c）3.84106 千米（d）38.4104 千米 計算(1- 1 + 1 + 1 ) (-12) ，運用哪種運算律可避免通分（）23(a) 加法交換律4(b) 加法結合律(c)乘法交換律(d) 分配律數(shù)a四舍五入后的近似值為3.1, 則a的取值范圍是() (a) 3.05a3.15(b) 3.14a3.15(c) 3.144a3.149(d) 3.0a3.2一個數(shù)的立方就是它本身,則這個數(shù)是() (a) 1(b) 0(c) 1(d) 1

20、或 0 或1三計算題（能用簡便算法的用簡便算法）（1）8( 1 )5(0.25)（2）82+72364（3）7 1 1 3 (919)（4）25 3 +(25) 1 25(24421 )4（5）(79)2 1 4 (29)（6）(1)3(1 1 )33(3)4922（7）2(x-3)-3(-x+1)(8) a+2(a-1)-(3a+5)11211（）（4 -3 ）（-2）-2（-）15( )15(0.25)3232424411313（）（- ） （-） （-1） -（1 +1 -2 ）2442834) (-5) + (-2) + (+9) - (-8)() 0.85 + (+0.75) - (

21、+2 3 ) + (-1.85) + (+3)()()-15 + (+3) - (-15) + (+7) - (+2) + (-8) 2 - (-5 2 ) - (- 1)433 () 1- (- 1 ) + (- 1) - 3()5 1 - 3 4 + 4 4 - 1234111717 11（） (-81) 9 4 (-32) ;（）29 23 (-12)4924（）25 3 (25) 1 25( 1 )424）3-(+63)-(-259)-(-41)；）2 1 )-(+10 1 )+(-8 1 )-(+3 2 )；3355）598-12 4 - 313 -84；）-8721+53 19 -

22、1279+43 2552121(- 3 - 5 + 7 )1| - 7 |( 2 - 1) - 1 (-4)24912 36 ;9 3531- 12 -3 2+ (-12) 6 (- 33) 74四、比較下列各對數(shù)的大?。?） - 4 與- 3（2） - 4 + 5 與 - 4 + 5（3） 52 與25 （4） 2 32 與(2 3)254、, 0,1 ,五在數(shù)軸上表示數(shù)：， 22 , - 1122-1.5 按從小到大的順序用連接起來六、（4 分）（1）將下列各數(shù)填入相應的圈內： 2 12，5 ， 0，1.5 ，2，3。正數(shù)集合整數(shù)集合（2 ）說出這兩個圈的重疊部分表示的是什么數(shù)的集合：。七

23、、已知： x + 1 = 4,( y + 2)2 = 4 ，求 x + y 的值.（5 分）八(8 分)數(shù)軸上 a, b, c, d 四點表示的有理數(shù)分別為 1, 3,5, 8 (1). 計算以下各點之間的距離： a、b 兩點, b、c 兩點,c、d 兩點,九、畫一條數(shù)軸，并在數(shù)軸上表示：3.5 和它的相反數(shù)，2 1 和它的倒數(shù)，絕對值等于 3的數(shù)，最大的負整數(shù)和它的平方，并把這些數(shù)由小到大用“0x，y0，求 x - y + 2 -強化訓練y - x - 3 的值。. (10 分)某中學位于東西方向的人民路上，這天學校的王老師出校門去家訪，她先向東走 100 米到聰聰家,再向西走 150 米到

24、青青家,再向西走 200 米到剛剛家,請問:(1) 聰聰家與剛剛家相距多遠?(2) 如果把這條人民路看作一條數(shù)軸,以向東為正方向,以校門口為原點,請你在這條數(shù)軸上標出他們三家與學校的大概位置(數(shù)軸上一格表示 50 米).(3) 聰聰家向西 210 米是體育場，體育場所在點所表示的數(shù)是多少? (4)你認為可用什么辦法求數(shù)軸上兩點之間的距離? 學校組織同學到博物館參觀，小明因事沒有和同學同時出發(fā)，于是準備在學校門口搭乘出租車趕去與同學們會合，出租車的收費標準是：起步價為 6 元，3 千米后每千米收1.2 元，不足 1 千米的按 1 千米計算。請你回答下列問題：（1）小明乘車 3.8 千米，應付費元

25、。（3） 小明乘車 x（x 是大于 3 的整數(shù)）千米，應付費多少錢？（4） 小明身上僅有 10 元錢，乘出租車到距學校 7 千米遠的博物館的車費夠不夠？請說明理由。、一天小明和冬冬利用溫差來測量山峰的高度。冬冬在山腳測得的溫度是4，小明此時在山頂測得的溫度是2，已知該地區(qū)高度每升高100 米，氣溫下降0.8，問這個山峰有多高？(5 分)、下表列出了國外幾個城市與北京的時差（帶正號的數(shù)表示同一時刻比北京的時間早的時數(shù)）。現(xiàn)在的北京時間是上午 800（1） 求現(xiàn)在紐約時間是多少？（2） 斌斌現(xiàn)在想給遠在巴黎的姑媽打電話，你認為合適嗎？3 分城市時差/ 時紐約13巴黎7（4 分）某商店營業(yè)員每月的基

26、本工資為 300 元，獎金制度是：每月完成規(guī)定指標10000 元營業(yè)額的，發(fā)獎金 300 元；若營業(yè)額超過規(guī)定指標，另獎超額部分營業(yè)額的 5%， 該商店的一名營業(yè)員九月份完成營業(yè)額 13200 元，問他九月份的收入為多少元？、淮海商場經(jīng)理對今年上半年每月的利潤作了如下記錄：1、2、5、6 月盈利分別是 33 萬元、32 萬元、52.5 萬元、28 萬元，3、4 月虧損分別是 17.7 萬元和 17.8 萬元。試用正、負數(shù)表示各月的利潤，并算出該商場上半年的總利潤額。 (6 分)日期1 日2 日3 日4 日5 日6 日7 日人數(shù)變化單位：萬人1.60.80.4-0.4-0.80.2-1.2、（請你幫忙算一算）在“十一”黃金周期間，淮北市風景區(qū)在 7 天假期中每天旅游的人數(shù)變化如下表（正數(shù)表示比前一天多的人數(shù)，負數(shù)表示比前一天少的人數(shù)）： 請判斷七天內游客人數(shù)最多的是哪天？最少的是哪天？它們相差多少萬人？(2) 若 9 月 30 日的游客人數(shù)為 2 萬人，求這 7 天的游客總人數(shù)是多少萬人？ 8 分十三拓展題ab1如果規(guī)定符號“”的意義是a b = a + b ，求 2 (-3) 4 的值。2已知| x +1|= 4， ( y + 2)2 = 4 ，求 x + y 的值。、小蟲從某點 o 出發(fā)在一直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正，向左爬