基于脊波變換的圖像去噪研究

1、畢 業(yè) 設(shè) 計(jì)題 目：基于脊波變換的圖像去噪研究 所在專業(yè)： 電子信息科學(xué)與技術(shù) 學(xué)生簽字: _導(dǎo)師簽字: _摘 要圖像中的噪聲影響圖像的輸入、采集、處理的各個(gè)環(huán)節(jié)以及輸出的全過程，尤其是圖像輸入、采集中的噪聲必然影響處理全過程以至最終結(jié)果，因此在圖像預(yù)處理中必須減少圖像中的噪聲。 本文以脊波變換為研究對象，論述了脊波變換在圖像處理中的應(yīng)用。分別論述了小波變換和脊波變換基本理論，基于脊波變換的圖像去噪以及圖像融合。首先，在分析小波變換理論的基礎(chǔ)上，結(jié)合小波變換的優(yōu)缺點(diǎn)，為了克服小波變換在圖像處理中的不足，介紹了脊波變換的基本理論。其次，針對圖像去噪中常用閾值方法的缺點(diǎn)和不足，提出了一種基于脊波

2、變換的改進(jìn)的圖像去噪算法，該算法采用指數(shù)型閾值函數(shù)，利用sureshrink自適應(yīng)閾值。最后，將脊波變換的思想應(yīng)用于圖像融合，采用區(qū)域方差的融合規(guī)則，得到了一種基于有限脊波變換的圖像融合算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于脊波變換的圖像去噪和融合方法具有比小波變換更好的效果。關(guān)鍵詞：脊波變換 小波變換 圖像去噪 圖像融合ABSTRACTThe image of the noise impact of the input, collecting, processing, output of the whole process, especially the image of the input, sourc

3、es of noise is dealt with and influence the whole process and ultimate in image preprocessing, so we must reduce the noises in the image This paper deals with Ridelet Transform in processing, which involves the basic theory of Wavelet Transform and Ridelet Transform, finite Ridelet transform in imag

4、e denoising and in image fusion. Firstly, depending on transform, for basic theory of Ridelet transform. Secondly, a improvement of image denoising algorithm based Ridelet transform is presented to overcome the disadvantage and deficiency of the common threshold method at image denoising. The expone

5、ntial threshold function and the adaptive SureShrink threshold value are applied into this approach. Thirdly, Ridelet transform is applied in image fusion, adopted the fusion rule of regional variance, an image fusion algorithm based on finite Ridelet transform has appeared. The results of experimen

6、t indicate based on Ridelet gain better effects than wavelet transform.Key words：Ridelet transform wavelet transform Image Denoising Image Fusion目 錄摘 要IABSTRACTII第1章 緒 論11.1 圖像中的噪聲及去噪方法概述11.1.1 圖像中的噪聲11.1.2 圖像去噪方法概述21.2 小波的發(fā)展現(xiàn)狀及應(yīng)用前景31.3 脊波的發(fā)展現(xiàn)狀及應(yīng)用前景31.4 論文的研究內(nèi)容與組織結(jié)構(gòu)4第2章 圖像去噪及其發(fā)展52.1 傳統(tǒng)去噪方法52.2 小波變換圖

7、像去噪方法62.2.1 小波去噪發(fā)展歷程62.2.2 小波去噪方法72.3 本章小結(jié)9第3章 小波分析基本理論93.1 小波變換基本理論93.1.1 連續(xù)小波變換103.1.2 離散小波變換103.1.3 二進(jìn)小波變換113.1.4 多分辨分析113.1.5 Mallat算法113.1.6 圖像的小波變換133.2 本章小結(jié)17第4章 脊波變換184.1 脊波變換基本理論184.1.1 連續(xù)脊波變換184.1.2 離散脊波變換194.2 脊波變換的實(shí)現(xiàn)194.3 Ridgelet變換與Wavelet變換的聯(lián)系204.4 有限Radon變換224.5 數(shù)字脊波變換244.5.1 脊波變換的數(shù)字實(shí)

8、現(xiàn)254.6 本章小結(jié)25第5章 脊波圖像去噪265.1 基于軟硬折中的多閾值脊波圖像去噪265.1.1 脊波變換圖像去噪機(jī)理265.1.2 圖像奇異性265.1.3 常用的閾值處理方法275.1.4 改進(jìn)的閾值處理方法一軟硬閾值折中法275.1.5 多閾值的確定285.1.6 基于軟硬折中的多閾值脊波去噪算法295.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析295.3 本章小結(jié)34結(jié) 論35參考文獻(xiàn)36致 謝38附 錄39第1章 緒 論1.1 圖像中的噪聲及去噪方法概述1.1.1 圖像中的噪聲噪聲是圖象干擾的重要原因。一幅圖象在實(shí)際應(yīng)用中可能存在各種各樣的噪聲,這些噪聲可能在傳輸中產(chǎn)生,也可能在量化等處理中產(chǎn)生。噪

9、聲對人的影響噪聲可以理解為“ 妨礙人們感覺器官對所接收的信源信息理解的因素”。對灰度圖像來說，可看做是二維亮度分布，則噪聲可看做是對亮度的干擾，用n（x，y）來表示。噪聲是隨機(jī)性的，因而需用隨機(jī)過程來描述，即要求知道其分布好書或密度函數(shù)。但在很多情況下，這樣描述方法是很復(fù)雜，甚至不可能的，而實(shí)際應(yīng)用往往也不必要，通常使用其數(shù)值特征，即均值方差、相關(guān)函數(shù)等。因?yàn)檫@些數(shù)值特征都可以從某些方面反映出噪聲的特征。目前大多數(shù)數(shù)字圖像系統(tǒng)中，輸入光圖像都是采用先凍結(jié)再掃描方式將多維圖像變成一維電信號(hào)，在對其進(jìn)行處理、存儲(chǔ)、傳輸?shù)燃庸ぷ儞Q，最后往往還要再組成多維圖像信號(hào)。而圖像噪聲也同樣受到這樣的分解和合成

10、，在這些過程中電氣系統(tǒng)和外界影響將使得圖像噪聲的精確分析變得十分復(fù)雜。另一方面圖像只是傳輸視覺信息的媒介，對圖像信息的認(rèn)識(shí)理解是由人的視覺系統(tǒng)所決定的。不同的圖像噪聲，人的感覺程度是不同的，這就是所謂的人的噪聲視覺特性課題1。這方面雖早已進(jìn)行研究，但終因人的視覺系統(tǒng)本身未搞清楚而未獲得解決。所以現(xiàn)在還不能規(guī)定出確切的圖像噪聲干擾的客觀指標(biāo)，而只能進(jìn)行一些主觀評價(jià)研究。盡管如此，圖像噪聲在數(shù)字圖像處理技術(shù)中的重要性己愈加明顯，。一般圖像處理中常見的噪聲有：1. 加性噪聲加性噪聲和圖像信號(hào)強(qiáng)度是不相關(guān)的，如圖像在傳輸過程中引進(jìn)的“信道噪聲”、電視攝像機(jī)掃描圖像的噪聲的。這類帶有噪聲的圖像可看成為理

11、想無嗓聲圖像與嗓聲之和，即 (1.1)2. 乘性嗓聲乘性嗓聲和圖像信號(hào)是相關(guān)的，往往隨圖像信號(hào)的變化而變化，如掃描圖像中的嗓聲、電視掃描光柵、膠片顆粒造成等，這類噪聲和圖像的關(guān)系是 (1.2)3. 量化嗓聲量化嗓聲是數(shù)字圖像的主要噪聲源，其大小顯示出數(shù)字圖像和原始圖像的差異，減少這種嗓聲的最好辦法就是采用按灰度級(jí)概率密度函數(shù)2選擇最優(yōu)化措施。4. 椒鹽嗓聲此類嗓聲如圖像切割引起的即黑圖像上的白點(diǎn)，白圖像上的黑點(diǎn)噪聲，在變換域引入的誤差，使圖像反變換后造成的變換噪聲等。1.1.2 圖像去噪方法概述 圖像去噪的目的就是為了減少圖像噪聲。圖像空間域去噪方法很多。鄰域平均法是一種局部空間域處理的算法。

12、圖像經(jīng)過鄰域平均法處理后會(huì)變得相對模糊，這是因?yàn)槠骄緛砭褪且詧D像的模糊為代價(jià)來換取噪聲的減少的?？臻g域低通濾波方法也可以平滑圖像的噪聲，它實(shí)際上是通過一個(gè)低通卷積模板在圖像空間域進(jìn)行二維卷積來達(dá)到去除圖像噪聲的目的。多幅圖像平均法是利用對同一景物的多幅圖像取平均來消除噪聲的。中值濾波是一種空間域非線性濾波方法，由于它在實(shí)際運(yùn)算過程中并不需要圖像的統(tǒng)計(jì)特性，所以比較方便。在一定的條件下，它可以克服線性濾波器所帶來的圖像細(xì)節(jié)模糊，而且對濾除脈沖干擾及圖像噪聲最為有效。 圖像變換域去噪方法是對圖像進(jìn)行某種變換，將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到變換域，再對變換域中的變換系數(shù)進(jìn)行處理，再進(jìn)行反變換將圖像從變換域轉(zhuǎn)

13、換到空間域來達(dá)到去除圖像噪聲的目的。將圖像從空間轉(zhuǎn)換到變換域的變換方法很多。如傅立葉變換、小波變換以及在本論文第四章將介紹到的Ridgelet變換。每種變換它的變換域得到的系數(shù)都有不同的特點(diǎn)，合理地處理變換系數(shù)再通過反變換將圖像還原到空間域可以有效地達(dá)到去除噪聲的目的。1.2 小波的發(fā)展現(xiàn)狀及應(yīng)用前景小波分析(wavelet)是在應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一門新興學(xué)科，近十幾年來得到了飛速的發(fā)展。作為一種新的時(shí)頻分析工具的小波分析3，目前已成為國際上極為活躍的研究領(lǐng)域。從純粹數(shù)學(xué)的角度看，小波分析是調(diào)和分析這一數(shù)學(xué)領(lǐng)域半個(gè)世紀(jì)以來工作的結(jié)晶；從應(yīng)用科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的角度來看，小波分析又是計(jì)算機(jī)應(yīng)

14、用，信號(hào)處理，圖形分析，非線性科學(xué)和工程技術(shù)近此年來在方法上的重大突破。由于小波分析的“自適應(yīng)性”和“數(shù)學(xué)顯微鏡”的美譽(yù)，使它與我們觀察和分析問題的思路十分接近，因而被廣泛應(yīng)用于基礎(chǔ)科學(xué)，應(yīng)用科學(xué)，尤其是信息科學(xué)，信號(hào)分析的方方面面。小波的提出先是取得了應(yīng)用成果(如Morlet在地震數(shù)據(jù)中的處理等)，再形成理論，最后在應(yīng)用領(lǐng)域全面鋪開，因而具有實(shí)用價(jià)值。它已經(jīng)和將要被廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理、圖象處理、量子場論、地震勘探、話音識(shí)別與合成、音樂、雷達(dá)、CT成像、彩色復(fù)印、流體湍流、天體識(shí)別、機(jī)器視覺、機(jī)械故障診斷以及數(shù)字電視等科技領(lǐng)域。隨著小波應(yīng)用的廣度和深度的進(jìn)一步拓展，某些方面已取得了傳統(tǒng)方法無法

15、達(dá)到的效果。1.3 脊波的發(fā)展現(xiàn)狀及應(yīng)用前景 在高維空間中具有線或面奇異的函數(shù)是非常普遍，例如，自然物體光滑邊界使得自然圖像的不連續(xù)性往往體現(xiàn)為光滑曲線上的奇異性，而并不僅僅是點(diǎn)的奇異。實(shí)現(xiàn)函數(shù)的稀疏表示是信號(hào)處理、計(jì)算機(jī)視覺等眾多領(lǐng)域中一個(gè)非常核心的問題。 對于含“點(diǎn)奇異”的一維信號(hào)，小波能達(dá)到“最優(yōu)”的非線性逼近階。而在處理二維或者更高維含“線奇異”的信號(hào)時(shí)，雖然由一維小波張成的高維小波基在逼近性能上要優(yōu)于三角基，卻也不能達(dá)到理想的最優(yōu)逼近階。這是由于一維小波張成的二維可分離小波基只具有有限方向，即水平、垂直和對角造成的，即多方向的缺乏是其不能“最優(yōu)”表示具有線或者面奇異的高維函數(shù)的重要原

16、因。 小波分析的不足，使人們開始從不同角度出發(fā)，試圖尋找比小波更好的“稀疏”表示工具。脊波理論便是其中最有代表性、影響最深遠(yuǎn)的一種理論。1998年Emmanuel J Candes4在其博士論文給出了脊波變換的基本理論，該理論巧妙地將二維函數(shù)中的“直線奇異”轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)奇異”，再用小波進(jìn)行處理，能獲得對含“直線奇異”的二維或高維函數(shù)最優(yōu)的非線性逼近階。在這之后的同一年，Donoho就給出了一種正交脊波的構(gòu)造方法。該正交脊波延續(xù)了脊波變換將“直線奇異”轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)奇異”進(jìn)行處理的思想，并且構(gòu)成一組上的標(biāo)準(zhǔn)正交基。1999年，Emmanuel J Candes又提出了單尺度脊波變換和Curvelet變

17、換，它們都是由脊波變換發(fā)展而來，分別利用了函數(shù)局部化和頻帶剖分的思想，將脊波理論發(fā)展到了一個(gè)更高的階段，這兩種變換都能“近似最優(yōu)”的表示直線和曲線奇異。到了2003年，侯彪、劉芳和焦李成給出了脊波變換的數(shù)字實(shí)現(xiàn)方法，2005年，由譚山等人又提出了脊波框架的理論。與正交脊波不同的是，脊波框架的構(gòu)造條件更加寬松，不需要受小波基性質(zhì)的約束，幾乎各種小波基都能被用來構(gòu)造此框架，而且脊波框架將正交脊波納入其構(gòu)架而又具更廣外延。冗余性的存在，在某些實(shí)際工程應(yīng)用中使得框架往往比正交基具有更好的性能，這也是脊波框架的優(yōu)勢之一。關(guān)于Emmanuel J Candes的脊波5。它是以穩(wěn)定的和固定的方式用一系列脊函

18、數(shù)的疊加來表示相當(dāng)廣泛的函數(shù)類。同時(shí)，它也具有基于離散變換的“近于正交”的脊波函數(shù)的框架。在這些新的廣泛的函數(shù)類上，利用各種特殊的高維空間的不均勻性來模擬現(xiàn)實(shí)的信號(hào)。它應(yīng)用現(xiàn)代調(diào)和分析的概念和方法，并使用在小波分析理論中發(fā)展的技術(shù)，可用來處理神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造問題。同時(shí)脊波具有具體的和穩(wěn)定的使用脊函數(shù)的疊加來表示一個(gè)多變量函數(shù)的形式，而且對于相應(yīng)的脊波空間中的函數(shù)，我們可以使用脊波字典中的有限個(gè)元素的疊加來逼近函數(shù)，并使得這種逼近相對于Fourier變換、小波變換和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來說能夠獲得較好的定量的逼近速率。脊波將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、統(tǒng)計(jì)學(xué)和調(diào)和分析等多門學(xué)科的知識(shí)綜合起來，并克服了這些學(xué)科涉及到的多變量函數(shù)

19、逼近問題所遇到的難題。1.4 論文的研究內(nèi)容與組織結(jié)構(gòu)由于脊波對具有直線奇異的圖像處理的優(yōu)越性，因此在一些用小波處理圖像的情況下，如果改用脊波來處理，勢必取得類似或更佳的效果。基于此，本文圍繞著脊波變換的實(shí)現(xiàn)和脊波域中的圖像去噪進(jìn)行了初步研究。 第一章介紹了圖像的質(zhì)量評價(jià)方法，小波產(chǎn)生的歷史背景及發(fā)展現(xiàn)狀和在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生的脊波理論。 第二章簡要的介紹了圖像去噪的發(fā)展歷程及傳統(tǒng)的去噪方法，尤其是小波去噪的發(fā)展。 第三章簡要的介紹了脊波理論的基礎(chǔ)之一小波分析的基本理論。著重闡述了二進(jìn)小波變換的原理和快速算法。為后面脊波的實(shí)際應(yīng)用打下了理論基礎(chǔ)。第四章詳細(xì)地介紹了由Candes提出的脊波變換的基本理

20、論。包括連續(xù)脊波變換的定義及相關(guān)性質(zhì)和脊波變換的幾種數(shù)字實(shí)現(xiàn)形式。第五章是根據(jù)二進(jìn)小波變換冗余性的特點(diǎn)，在傳統(tǒng)去噪算法基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，得到一種基于脊波變換的圖像去噪算法，二者通過仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較，證實(shí)了該算法的優(yōu)越性。并在脊波變換的基礎(chǔ)上，驗(yàn)證了自適應(yīng)軟硬折中閾值去噪算法相對于脊波模極大極小值去噪算法；脊波的軟閾值去噪算法；脊波的硬閾值去噪算法的優(yōu)越性。 第2章 圖像去噪及其發(fā)展2.1 傳統(tǒng)去噪方法對隨時(shí)間變化的信號(hào)，通常采用兩種最基本的描述形式，即時(shí)域或頻域6。時(shí)域描述信號(hào)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化，頻域描述在一定時(shí)間范圍內(nèi)信號(hào)的頻率分布。對應(yīng)的圖像的去噪處理方法基本上可分為空間域法和變換域法兩大

21、類。前者即是在原圖像上直接進(jìn)行數(shù)據(jù)運(yùn)算，對像素的灰度值進(jìn)行處理。變換域法是在圖像的變換域上進(jìn)行處理，對變換后的系數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的處理，然后進(jìn)行反變換達(dá)到圖像去噪的目的。傳統(tǒng)的去噪方法主要有：1 均值濾波2 中值濾波 3 維納濾波4 多圖像平均法5 頻域低通濾波法2.2 小波變換圖像去噪方法近年來，小波理論得了非常迅速的發(fā)展，由于其具備良好的時(shí)頻特性和多分辨率特性，小波理論成功地在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)在小波分析已經(jīng)滲透到自然科學(xué)、應(yīng)用科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域。在圖像去噪領(lǐng)域中，應(yīng)用小波理論進(jìn)行圖像去噪受到許多專家學(xué)者的重視，并取得了非常好的效果。具體來說，小波去噪方法的成功主要得益于小波具有如下

22、特點(diǎn)：1. 低熵性，小波系數(shù)的稀疏分布，使得圖像變換后的熵降低；2. 多分辨率，由于采用了多分辨率的方法，所以可以很好地刻畫信號(hào)非平穩(wěn)特征，如邊緣、尖峰、斷點(diǎn)等；3. 去相關(guān)性，因?yàn)樾〔ㄗ儞Q可以對信號(hào)進(jìn)行去相關(guān)性，且噪聲在變換后有白化趨勢，所以小波域比時(shí)域更利于去噪；4. 選基靈活性，由于小波變換可以靈活選擇變換基，從而對不同應(yīng)用場合，對不同的研究對象，可以選不同的小波母函數(shù)，以獲得最佳的效果。2.2.1 小波去噪發(fā)展歷程 1992年，Donoho和Johnstone提出了小波閾值收縮方法(Wavelet Shrinkage)7同時(shí)還給出了小波收縮閾值，并從漸近意義上證明了它是小波收縮最佳閾值

23、的上限。以上小波收縮算法的一個(gè)嚴(yán)重的缺陷是：在去噪之前必須知道噪聲的大小(方差)。而在實(shí)際應(yīng)用中噪聲大小是無法預(yù)先知道的，于是MaartenJasen等提出了GCV(generalized cross validation)8方法，這種方法無需知道噪聲大小的先驗(yàn)知識(shí)，較好地解決了這一問題。另外，由于Donoho和Johnstone給出的閾值有很嚴(yán)重的“過扼殺”小波系數(shù)的傾向，因此人們紛紛對閾值的選擇進(jìn)行了研究，并提出了多種不同的閾值確定方法。后來，人們針對閾值函數(shù)的選取也進(jìn)行了一些研究，并給出了不同的閾值，但是當(dāng)這些方法用到非高斯、有色噪聲場合中，效果卻不甚理想，其最主要的原因是這些方法都基于

24、獨(dú)立同分布噪聲的假設(shè)，并且這些方法大多是從Donoho和Johnstone給出的方法發(fā)展而來的，從而它們最后的去噪性能也依賴于用wavelet shrinkage確定閾值時(shí)，對噪聲服從獨(dú)立正態(tài)分布的假設(shè)。對此，人們提出了具有尺度適應(yīng)性的閾值選取法，用來解決正態(tài)分布有色噪聲的小波去噪問題，而另外一些學(xué)者則研究了在比白噪聲更重要的噪聲情況下的小波去噪問題，并給出了顯式的閾值公式。 目前，基于閾值收縮的小波去噪方法的研究仍然非?；钴S，近來仍不斷有新的方法出現(xiàn)，而且也可以看出，人們的研究方向已經(jīng)轉(zhuǎn)為如何最大限度地獲得信號(hào)的先驗(yàn)信息，并用這些信息來確定更合適的閾值或閾值向量，以達(dá)到更高的去噪效率。另外，

25、除了閾值收縮方法外，Kivanc.John和Xu等人還提出了不同去噪方法，例如利用Lipschitz指數(shù)的方法和基于最大后驗(yàn)概率MAP的比例收縮法等，這些都豐富了小波去噪的內(nèi)容。2.2.2 小波去噪方法 目前應(yīng)用小波進(jìn)行圖像去噪的方法很多。總的來說，小波去噪方法大體上可以分為：小波收縮法、投影法、相關(guān)法三類9。 小波收縮法是目前研究最為廣泛的方法。小波收縮法又可分為一下兩大類：一類是閾值收縮法。閾值收縮法主要基于一下事實(shí)，即比較大的小波系數(shù)一般都是以實(shí)際信號(hào)為主，而比較小的系數(shù)則很大程度上是噪聲。這就是說，在小波系數(shù)中，低頻分量中含有大量的信息，應(yīng)該給予保留；同時(shí)在高頻分量中，一些絕對值大的小

26、波系數(shù)并不是噪聲，而是邊緣信息，也應(yīng)保留。另外一種是比例收縮法，它通過判斷系數(shù)被噪聲污染的程度，并為這種程度引入各種度量方法，進(jìn)而確定收縮的比例。小波閾值收縮的關(guān)鍵是小波收縮函數(shù)和收縮閾值的確定。小波收縮函數(shù)和收縮閾值的選取的好壞直接影響圖像去噪的效果。目前，有很多確定小波收縮閾值和收縮函數(shù)的方法，具體如下：1. 收縮閾值的選取 當(dāng)前使用的閾值總體來說可以分為全局閾值和局部自適應(yīng)閾值兩類。其中，全局閾值對各層所有的小波系數(shù)或同一層內(nèi)的小波系數(shù)都是統(tǒng)一的；而局部自適應(yīng)閾值是根據(jù)當(dāng)前系數(shù)周圍的局部系數(shù)的分布情況來確定閾值。目前提出的全局閾值主要有以下幾種： (1)Donoh和Johnstone提出

27、的統(tǒng)一閾值，其中為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，為圖像大小。它是小波收縮最佳閾值的上限，但它不是最佳收縮閾值。它僅從圖像的噪聲特征來考慮，而沒有考慮圖像本身的特征。本文針對其不足提出了另一種閾值。(2)基于零均值正態(tài)分布的置信區(qū)間閾值。這個(gè)閾值是考慮到零均值正態(tài)分布變量落在之外的概率非常小，所以絕對值大于3的系數(shù)一般都被認(rèn)為主要是信號(hào)系數(shù)。 (3)最小最大化閾值。這是Donoh和Johnston在最小最大化意義下得出的閾值，與上面的閾值不同，它是依賴于信號(hào)的，而且沒有顯式表達(dá)式，在求取時(shí)，需要預(yù)先知道原信號(hào)。 (5)理想閾值。理想閾值是在均方差準(zhǔn)則下的最優(yōu)閾值，同最大最小值一樣，也沒有顯式的表達(dá)式，并且這個(gè)閾值

28、的計(jì)算通常也需要預(yù)先知道信號(hào)本身。但是由于實(shí)際求取時(shí)，這是不可能的，所以人們通過對這一準(zhǔn)則的估計(jì)信號(hào)，求出使估計(jì)最小的閾值，并以此為理想閾值的估計(jì)。目前使用比較多的主要有兩種：一是SURE Shrink閾值，它是在SURE準(zhǔn)則下得到的閾值，該SURE準(zhǔn)則是均方差準(zhǔn)則的無偏估計(jì)，它趨近于理想閾值。另一個(gè)是GVC準(zhǔn)則，它雖然是有偏的，但是由于用這種準(zhǔn)則得到的最優(yōu)閾值也趨近于理想閾值，而且不需要對噪聲偏差進(jìn)行估計(jì)，所以常用它來確定合適的小波收縮閾值。以上所提閾值計(jì)算簡單，故得到了廣泛的應(yīng)用，但它們對小波系數(shù)有“過扼殺”的趨勢，從而會(huì)導(dǎo)致較大的重建誤差。與全局閾值不同，局部閾值主要是通過考查在某一點(diǎn)或

29、某一局部的特點(diǎn)，在根據(jù)靈活的判定原則來判定系數(shù)是噪聲還是信號(hào)，以實(shí)現(xiàn)去噪和保留信號(hào)之間的平衡，而且這些判定原則有時(shí)并不一定是從系數(shù)的絕對值來考慮的，而是從別的方面。例如從概率和模糊度方面來考慮，Vidakovic等人利用信號(hào)系數(shù)和噪聲系數(shù)在不同尺度中分布的不同特征，在Beyes框架下結(jié)合假設(shè)經(jīng)驗(yàn)給出了一個(gè)閾值公式，并以此來對小波系數(shù)進(jìn)行硬閾值處理。 時(shí)至今日，閾值選擇方法的研究仍在進(jìn)行當(dāng)中，仍有新的閾值公式不斷提出，但通常閾值是根據(jù)實(shí)際應(yīng)用的需要，通過確定合適的準(zhǔn)則，并通過對可能的閾值進(jìn)行尋優(yōu)來選擇。2. 小波收縮函數(shù)的選取在收縮去噪中，閾值收縮函數(shù)是對系數(shù)的幾種不同處理策略，以及不同的估計(jì)方

30、法。閾值收縮函數(shù)總體上可以分為兩種：一種為硬閾值函數(shù)；二為軟閾值函數(shù)。硬閾值是將絕對值小于閾值的小波系數(shù)置為零，而將絕對值大于閾值的小波系數(shù)不加任何處理給予保留。硬閾值能取得較好的去噪效果，但由于其收縮函數(shù)是不連續(xù)的，所以在含有豐富圖像中會(huì)產(chǎn)生許多“人為”噪聲。軟閾值算法是將絕對值大于閾值的小波系數(shù)不是完全保留而是作收縮處理。軟閾值函數(shù)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，它能較好地克服硬閾值去噪帶來的“人為”噪聲。但這種算法減少了絕對值大的小波系數(shù)，造成一定的高頻信息損失，從而導(dǎo)致了圖像邊緣的模糊?？偟膩碚f硬閾值方法可以很好的保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會(huì)出現(xiàn)振鈴、偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真；而軟閾值方法處理結(jié)果則

31、相對平滑的多，但是軟閾值方法可能會(huì)造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象。 相對于閾值收縮法來說，比例收縮有更大的靈活性，從某種意義上說，可以認(rèn)為閾值收縮法是比例收縮法的一種特例。比例收縮法的特點(diǎn)在于它具有對于信號(hào)的某一局部的適應(yīng)能力。Shark等人針對小波閾值收縮中，統(tǒng)一閾值傾向于“過扼殺”，而SURE閾值傾向于“過保留”小波系數(shù)的特點(diǎn)，給出了一個(gè)隸屬函數(shù)，然后將兩個(gè)閾值之間的系數(shù)按照隸屬度進(jìn)行了收縮，并得到了好的效果。而Malfait等人則通過將圖像一般不存在孤立邊緣點(diǎn)的先驗(yàn)知識(shí)與小波圖像Hoilder指數(shù)相結(jié)合，利用Bayes估計(jì)理論給出了小波系數(shù)“主信”的概率，并以此來進(jìn)行比例收縮，從而消除了由噪聲引

32、起的偽邊緣。 投影法的原理是將帶噪信號(hào)以一種迭代的方式投影到逐步縮小的空間。由于最后的空間能更好地體現(xiàn)原信號(hào)的特點(diǎn)，所以投影法也能夠有效地區(qū)分噪聲和信號(hào)。投影法主要包括Matching Pursuits和MCD(Multiple Compact Domain)或POCS(Projection Onto Convex Set)法兩類。其中Matching Pursuits10法通過指定一族小波函數(shù)，并將帶噪聲信號(hào)向此函數(shù)進(jìn)行投影，接著對殘差投影，并循環(huán)反復(fù)，直到殘差最后達(dá)到一定條件。而MCD和POCS法同Matching Pursuits法很相似，也是基于投影原理，只不過信號(hào)的投影空間有所不同(

33、如果利用小波，則一般為Besov空間的凸集)。Demoment指出，POCS法可以用來解決函數(shù)空間的凸集的逆問題，而Prakash和Moulin以帶噪信號(hào)硬閾值收縮信號(hào)為迭代起點(diǎn)，并利用POCS法來求解由信號(hào)的兩個(gè)小波變換所規(guī)定凸集的交集，最后完成去噪。類似的研究還有Choi等人的研究，需要指出的是POCS法并不局限于小波函數(shù)展成的空間。相關(guān)法主要是基于信號(hào)在各層相應(yīng)位置上的小波系數(shù)之間往往具有很強(qiáng)的相關(guān)性，而噪聲的小波系數(shù)則具有弱相關(guān)性或不相關(guān)性的特點(diǎn)來進(jìn)行去噪的。例如XU等人提出了一種SSNF(Spatially Selective Noise Filter)11方法，該方法是利用相鄰尺度

34、小波系數(shù)的相關(guān)程度來進(jìn)行去噪，即通過將相鄰尺度同一位置系數(shù)的相關(guān)量來構(gòu)成相關(guān)圖像，做適當(dāng)?shù)幕叶壬炜s后再同原來的小波圖像進(jìn)行比較，其中較大的相關(guān)量被視為邊緣等圖像特征，而被抽取出來，并作為原信號(hào)小波變換估計(jì)，然后經(jīng)過反變換得到去噪后的圖像。因?yàn)镾SNF是一個(gè)迭代方法，迭代的終止規(guī)則是看剩余系數(shù)的能量是否接近于噪聲能量，所以噪聲方差的估計(jì)在這一方法中顯得非常重要。于是Pan Quan等人作了一些改進(jìn)，此處，John等人則將矢量編碼和Bayer估計(jì)結(jié)合起來，利用全局非空間適應(yīng)Bayer估計(jì)得到帶噪聲信號(hào)的粗糙去噪圖像，然后利用矢量編碼來獲得更精細(xì)的信號(hào)估計(jì)。2.3 本章小結(jié)本章討論了小波變換的噪聲濾

35、除問題。首先給出了噪聲分類，并論述了傳統(tǒng)信號(hào)噪聲濾除的方法，如空域?yàn)V波，中值濾波，維納濾波，低通濾波器等，并引出了小波濾噪的優(yōu)勢，由此給出了方法簡便不依賴于傅里葉變換的第二代小波變換濾噪的特點(diǎn)，結(jié)合一定的圖像濾波器算法，給出了更加有效的小波濾波方法。并用軟件編程具體實(shí)現(xiàn)了對噪聲圖像的處理。利用小波變換和傳統(tǒng)的方法分別對圖像進(jìn)行濾噪，兩種濾噪后的圖像比較結(jié)果是，小波變換濾噪后圖像有較高的峰值信噪比和細(xì)節(jié)信噪比，較好地保存了圖像的細(xì)節(jié)信息，取得了很好的視覺效果。對小波變換后小波系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)運(yùn)算，可實(shí)現(xiàn)圖像的邊緣增強(qiáng)或模糊處理。第3章 小波分析基本理論3.1 小波變換基本理論80年代，在應(yīng)用數(shù)學(xué)調(diào)和

36、分析領(lǐng)域出現(xiàn)了一種嶄新的分析方法：小波分析(Wavelet)。同時(shí)，Grpscmann和J.Morlet在諧波分析領(lǐng)域獨(dú)立地研究了這一方法，并將它成功地應(yīng)用在地震信號(hào)分析中。然而，由于當(dāng)時(shí)這一方法不夠成熟，因此一直受到數(shù)學(xué)家的質(zhì)疑。后來，I.Daubechies完美地構(gòu)造了一系列平滑、緊支撐和正交的小波基。與此同時(shí)，S.Mallat在多分辨分析和塔式算法的基礎(chǔ)上創(chuàng)建了著名的快速算法(Mallet算法)，并將其利用在子帶編碼中。至此，小波分析又重新引起數(shù)學(xué)家和工程人員的高度重視。接著，數(shù)學(xué)家們很快就建立起了完整的小波分析理論框架。另一方面，在工程領(lǐng)域利用小波分析方法也迅速建立起時(shí)頻分析理論。如今

37、，小波分析已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)理論、信號(hào)分析、圖像處理和分析、模式識(shí)別及通信系統(tǒng)等領(lǐng)域。 小波變換是一種信號(hào)的時(shí)間-尺度(時(shí)間-頻率)分析方法，它具有多分辨率分析(Multiresolution Analysis)12的特點(diǎn)，而且時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變但形狀可改變，時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法。3.1.1 連續(xù)小波變換 設(shè)表示平方可積的實(shí)數(shù)空間，其傅里葉變換為。當(dāng)滿足以下允許條件： (3.1)時(shí)，我們稱為一個(gè)基本小波或母小波(Mother Wavelet)縮和平移后，就可以得到一個(gè)小波序列。對于連續(xù)的情況，小波序列為： (3.2)式中分別為

38、伸縮因子和平移因子。 對于任意的函數(shù)ELZ(R)的連續(xù)小波變換(Continuous Wavcaet Transform)為： (3.3)其逆變換為： (3.4)3.1.2 離散小波變換 在實(shí)際運(yùn)用時(shí)，需將連續(xù)小波變換離散化處理一是信號(hào)(時(shí)間序列)本身是離散情況，如，則式(3.3)的離散形式為： (3.5)另一種情況是將尺度參數(shù)和平移參數(shù)離散化，即取，其中，則的離散小波變換為： (3.6)當(dāng)時(shí)，上式變?yōu)槎M(jìn)小波變換： (3.7) 3.1.3 二進(jìn)小波變換為了使小波變換具有可變換的時(shí)間和頻率分辨率，適應(yīng)待分析信號(hào)的非平穩(wěn)性，我們很自然地需要改變和的大小，以使小波變換具有“變焦距”的功能。換言之，

39、在實(shí)際中采用的是動(dòng)態(tài)的采樣網(wǎng)格。最常用的是二進(jìn)制的動(dòng)態(tài)采樣網(wǎng)格，即，每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)對應(yīng)的尺度為，而平移為。由此得到的小波： (3.8)稱為二進(jìn)小波。 二進(jìn)小波對信號(hào)的分析具有變焦距的作用。假定有一放大倍數(shù)，它對應(yīng)為觀測到信號(hào)的某部分內(nèi)容。如果想進(jìn)一步觀看信號(hào)更小的細(xì)節(jié)，就需要增加放大倍數(shù)即減小；反之，若想了解信號(hào)更粗的內(nèi)容，則可以減小放大倍數(shù)，即加大值。因此在這個(gè)意義上，小波變換被稱為數(shù)學(xué)顯微鏡。 二進(jìn)小波不同于連續(xù)小波的離散形式，它只是對尺度參數(shù)進(jìn)行了離散化，而對時(shí)間域上的平移參量保持連續(xù)變化，因此二進(jìn)小波不破壞信號(hào)在時(shí)間域上的平移不變量，這也正是它同正交小波基相比所具有的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)。3.1.4

40、多分辨分析Meycr于1986年創(chuàng)造性地構(gòu)造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，其二進(jìn)制收縮與平移構(gòu)成的規(guī)范正交基，由此使小波得到真正的發(fā)展。1988年S. Mallat在構(gòu)造正交小波基時(shí)提出了多分辨分析(Multi-Resolution Analysis)13的概念，從空間的概念上形象地說明了小波的多分辨特性，將此之前的所有正交小波基的構(gòu)造方法統(tǒng)一起來，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波的快速算法，即Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相當(dāng)于快速傅里葉變換在經(jīng)典傅里葉分析中的地位。3.1.5 Mallat算法設(shè)有多分辨率分析，尺度函數(shù)為的正交基礎(chǔ)，為正交小波。由雙尺度方程可以證明：

41、 (3.10)其中。該式表明，可以由分量通過沖激響應(yīng)為的濾波器濾波后在抽樣而得到的。同理： (3.11)其中。該式表明，分量可以有分量通過沖激響應(yīng)為的濾波器濾波后在抽樣而得到的。從而分辨率為的分量可以分解成分辨率為的離散逼近和細(xì)節(jié)分量，其分解方法如下圖所示。 ，。， ，。，圖3.2 Mallat算法分解示意圖 (3.12)該式表明，分辨率為的離散信號(hào)近似表示可由低一級(jí)分辨率的分量和來重構(gòu)。其實(shí)現(xiàn)框架如圖3.3所示：Mallat小波分解算法每次對圖像濾波完成后，都對得到圖像(近似部分和細(xì)節(jié)部分)進(jìn)行采樣率為2的向下采樣，因此這種小波變換也稱為包含采樣率變化過程的經(jīng)典小波變換。另外，還存在一種對濾

42、波后的圖像不進(jìn)行采樣的小波變換，即不包含采樣率變化的冗余小波變換，其實(shí)現(xiàn)算法是atrous算法14。用該算法來對圖像進(jìn)行分解和重構(gòu)，均是在小波濾波器系數(shù)之間插入(為分解層數(shù))個(gè)零，然后類似Mallat算法，用插入零值后的小波濾波器對圖像進(jìn)行分解和重構(gòu)。圖3.3 Mallat 算法重構(gòu)示意圖它也是針對Mallat算法存在的一定的缺陷被提出的。缺陷主要有：1. 不具有位移不變性(shift-invariance)15，即線性相位特征，容易引入虛假信息，如振鈴(ringing)和混疊(aliasing)現(xiàn)象。產(chǎn)生原因主要是由變換中固有的抽取和插值操作引起的，抽取使得頻率時(shí)間域的不確定性，即當(dāng)對信號(hào)的

43、頻率成分很確定時(shí)，對信號(hào)發(fā)生的時(shí)間就不確定了，從而導(dǎo)致小波系數(shù)高度依賴于他們在子采樣網(wǎng)格中的位置，一旦輸入波形發(fā)生小的位移，就會(huì)引起小波系數(shù)較大的變化，在不同分辨率層的能量分布也會(huì)發(fā)生較大變化，使重構(gòu)波形發(fā)生變形。針對某些具體應(yīng)用例如在融合圖像序列以及原圖像未能精確配準(zhǔn)的情況下對該特性的要求尤為關(guān)鍵。2. 由于在每個(gè)分解層數(shù)據(jù)量都減少，不可能逐層跟蹤圖像中重要的特征，所以按單個(gè)像素進(jìn)行分析是不可能的。3. 二進(jìn)分解使得融合受限于分辨率為2的倍數(shù)的源圖像。3.1.6 圖像的小波變換 圖像是二維信號(hào)，二維多分辨分析與一維情況類似，但是空間變成了，一維中引入的尺度函數(shù)變成了。設(shè)是的一個(gè)多分辨率分析，

44、則可以證明，張量空間 (3.13)構(gòu)成的一個(gè)多分辨分析，并且二維多分辨率分析的二維尺度函數(shù)為： (3.14)式中是的尺度函數(shù)。 上式說明了二維尺度函數(shù)的可分離性。對于每一個(gè)，函數(shù)系構(gòu)成的規(guī)范正交基，這里下標(biāo)的含義是 (3.15)我們稱稱為的可分離多分辨率分析。因?yàn)槎际堑屯ǖ某叨群瘮?shù)，所以是平滑的低通空間。如果是一維多分辨率分析的正交小波基，則二維多分辨率分析的三個(gè)小波函數(shù)為 (3.16)對于每一個(gè)它們的整數(shù)平移系為： (3.17)它們構(gòu)成了的規(guī)范正交基。因以上的三個(gè)正交基中都至少包含一個(gè)帶通的或，所以他們都是帶能的。也就是說，這三部分反映的都是細(xì)節(jié)信息。具體說來，函數(shù)系 (3.18)是的正交歸

45、一基，其中均為整數(shù)，分別對應(yīng)水平、垂直和對角三個(gè)方向。對于任意一個(gè)二維圖像信號(hào)，在分辨率下有： (3.19)上式表明，在分辨率上將圖像分解成、四個(gè)子圖，其中為原圖像在分辨率上的近似(低頻分量，“近似像”，用LL表示)，則代表這種近似的誤差(高頻分量，“細(xì)節(jié)圖像”),對應(yīng)于垂直方向的高頻分量，即水平的邊緣(細(xì)節(jié))信息(用LH表示)；對應(yīng)于水平方向的高頻成分(用HH表示)。下圖為二維圖像的多分辨率小波分解示意圖(以2層分解為例)?？梢钥闯觯诿恳环纸鈱由?，圖像均被分解為LL、LH、HL和HH四個(gè)頻帶；下一層的分解僅僅對低頻分量LL進(jìn)行。圖3.4 兩層圖像小波分解圖按照Mallat快速算法，圖像的小

46、波分解算法如圖3.5所示，圖像小波分解的重構(gòu)算法如圖3.6所示：H G H G H G 圖3.5 圖像的小波分解算法圖中示意了圖像的一層小波分解過程，可以看到：二維圖像的小波分解可以對圖像依次按行、按列與一維一低通(H)和高通(G)濾波器做卷積來實(shí)現(xiàn)，在卷積之后進(jìn)行相應(yīng)的降2采樣。圖示意了小波分解圖像的一層重構(gòu)過程，小波分解圖像的重構(gòu)是先對列或行進(jìn)行升2采樣(在相鄰列或行間插入一零列或零行)，然后再按行、按列與一維的低通或高通濾波器進(jìn)行卷積、這要遞推下去便行到重構(gòu)圖像。二維圖像的這種行、列可分離性簡化了圖像的小波分解。H G H G HG 圖3.6 圖像的小波重構(gòu)算法由上面提到的小波分解的快速

47、Mallat算法知道，小波變換可以用濾波器和信號(hào)進(jìn)行卷積來進(jìn)行。在對圖像進(jìn)行小波變換的時(shí)候，可以用正交濾波器組，Daubechies小波濾波器組等。正交濾波器組具有很強(qiáng)的正交性，按照上圖的算法流程，可以很方便的實(shí)現(xiàn)二維圖像的正交小波變換及其逆變換。在子帶濾波器中，若分解和重構(gòu)濾波器使用相同的FIR濾波器，那么對稱和精確重構(gòu)是不可能同時(shí)滿足的(Harr小波除外)Daubechies也證明，如果是一個(gè)多尺度分析的尺度函數(shù)和正交小波函數(shù)，是實(shí)的和緊支的，且有一個(gè)對稱或反對稱軸，則一定是一個(gè)Harr小波。然而Harr小波過于簡單，多數(shù)應(yīng)用場合其性能不佳。也就是說，除了Harr小波外，緊支集正交的小波不

48、可能具有任何對稱性，此時(shí)與其對應(yīng)的FIR濾波器H和G不可能具有線性相位，這樣就會(huì)產(chǎn)生相位失真。盡管用正交濾波器實(shí)現(xiàn)的正交小波變換得到了廣泛的應(yīng)用，并在圖像處理(如圖像的去噪、圖像的邊緣檢測、圖像的紋理分析、圖像的壓縮和圖像的增強(qiáng)等)中取得了良好的效果，同時(shí)，正交濾波器組也有許多優(yōu)點(diǎn)，例如分解的正交性、實(shí)現(xiàn)簡單分解和重構(gòu)濾波器相同等，但是由于用于正交小波的正交濾波器不具備線性相位特性，其產(chǎn)生的相位失真將會(huì)引起圖像邊緣的失真。而圖像的邊緣是圖像的一個(gè)重要特征。為了彌補(bǔ)這一缺點(diǎn)，于是就出現(xiàn)了雙正交小波理論。在雙正交小波的情形下，采用兩個(gè)不同的小波基，用來分解，用來重構(gòu)。彼此對偶且相互正交(雙正交)。

49、同時(shí)，也采用兩個(gè)尺度函數(shù)，二者相互對偶且正交，一個(gè)用來分解，另一個(gè)用來重構(gòu)。與之相對應(yīng)，雙正交小波分解和重構(gòu)的濾波器可以有四個(gè)：分解低通濾波器、分解高通濾波器、重構(gòu)低通濾波器和重構(gòu)高通濾波器。與正交小波變換不同的時(shí)，雙正交小波變換的重構(gòu)濾波器與分解濾波器不相同。雙正交小波對正交性做出了“讓步”，以求得對稱性和緊支的特性16，并且使用FIR濾波器可以進(jìn)行精確重構(gòu)。雙正交小波變換與正交小波變換相比，小波形狀能有更寬的選擇范圍，因而給設(shè)計(jì)帶來更大的靈活性。關(guān)于雙正交小波濾波器的構(gòu)造設(shè)計(jì)方法、完全重構(gòu)條件問題，文獻(xiàn)等均作了詳細(xì)闡述。目前，雙正交小波變換在圖像壓縮、圖像邊緣檢測方面均已得到廣泛應(yīng)用。3.

50、2 本章小結(jié)基于多尺度分析的小波變換方法在圖像處理中有著廣泛的應(yīng)用。它可以將被逼近信號(hào)在不同尺度上分解達(dá)到良好的逼近效果，滿足圖像在不同方向和不同頻率域上的圖像去噪。由于圖像進(jìn)行多尺度分解后的圖像近似度與原始圖像很高，因而可以同時(shí)起到多尺度檢測和圖像去噪的效果。本節(jié)基于多尺度分析，介紹了小波變換的基本理論，連續(xù)小波變換，離散小波變換，多尺度分析，mallat算法，由此給出了基于多分辨率分析理論在小波去噪具體應(yīng)用中的方法和步驟。第4章 脊波變換4.1 脊波變換基本理論 1999年，美國stanford大學(xué)的E.J.Candes和Doboho教授提出了Ridgelet17變換的概念。Ridgele

51、t的前身Wavelet由于同時(shí)具有時(shí)、頻局域性，適于表示瞬變信號(hào)，和傅立葉分析相比前進(jìn)了一大步，因而在信號(hào)處理中得到了廣泛的應(yīng)用。小波變換可以較好地表示零維或點(diǎn)狀奇異性，但圖像中的邊緣等特征表現(xiàn)為高維奇異性，用小波不足以很好地表示圖像特征，而在小波變換基礎(chǔ)上提出的Ridgelet變換能夠有效地處理高維直線或超平面奇異性問題。Ridgelet變換不僅能用一系列脊函數(shù)的疊加來表示相當(dāng)廣泛的函數(shù)類，而且也具有基于離散變換的“近于正交”的脊波函數(shù)的框架，可利用各種特殊的高維空間的不均勻性來模擬現(xiàn)實(shí)的信號(hào)，以更精確地表示圖像的特征，進(jìn)而獲得更好的圖像處理結(jié)果。4.1.1 連續(xù)脊波變換定義1：若函數(shù)滿足容

52、許條件：，則稱為容許激勵(lì)函數(shù)，并稱為以為容許條件的Ridgelet函數(shù)，令，則Ridgelet函數(shù)為： (4.1)由此可知，Ridgelet函數(shù)在直線方向上是常數(shù)，而與該直線垂直方向上是小波函數(shù)。上圖顯示了一個(gè)Ridgelet函數(shù)。稱變換：上的連續(xù)Ridgelet變換。定義2：當(dāng)令時(shí)，Ridgelet函數(shù)為： (4.2)稱變換： (4.3)為在上的連續(xù)的連續(xù)Ridgelet變換。定義3：設(shè)，稱變換： (4.4)為在上的連續(xù)Radon變換。定義4：設(shè)，稱變換 (4.5)為在上的連續(xù)Wavelet變換。其中，是一維小波函數(shù)。由定義1、2知，脊波變換與小波變換類似，但是脊波函數(shù)引入了表示直線的參數(shù)，而小波函數(shù)采用的表示點(diǎn)的參數(shù)。因此小波變換可以刻畫點(diǎn)(零維)的奇異性，但是無法刻畫圖像中線、面(一維或更高維)的奇異性，這一性質(zhì)直接影響小波變換在表示圖