基于主成分分析法的江蘇省城市經(jīng)濟發(fā)展綜合評價

1、基于主成分分析法的江蘇省城市經(jīng)濟發(fā)展綜合評價鍋爐過熱汽溫系統(tǒng)的控制 劉學(xué)智 武漢大學(xué)電氣工程學(xué)院 武漢 43007 摘要: 現(xiàn)代鍋爐的過熱器是在高溫、高壓條件下工作的，鍋爐出口的過熱蒸汽汽溫對電廠的安全經(jīng)濟運行有重大影響。本文以鍋爐過熱汽溫控制系統(tǒng)為研究對象，通過仿真曲線比較了兩種不同的控制方案(PID 和 GPC)的控制效果。采用常規(guī)的 PID 控制時，本文使用Matlab /Simulink 對其進行了仿真。 本文重點討論和分析了 GPC 控制方案，從預(yù)測控制的基本原理出發(fā)，以自回歸積分滑動平均預(yù)測模型(CARIMA)為基礎(chǔ)，詳細分析了 GPC 控制算法 (預(yù)測模型、滾動優(yōu)化、反饋校正)，

2、并編寫出相應(yīng)的程序，繪制了采用 GPC 控制時的仿真曲線和計算了動態(tài)性能（調(diào)整時間和超調(diào)量）。在此基礎(chǔ)上，比較和分析了兩種控制方案的控制效果，得到了如下結(jié)論：GPC 的控制效果比 PID 好，在系統(tǒng)有擾動和被控對象的參數(shù)變化較大(慣性或增益增大)時，其優(yōu)勢愈加凸顯，呈現(xiàn)出優(yōu)良的控制性能和魯棒性。因此， GPC所具有的自適應(yīng)控制和預(yù)測控制的優(yōu)點，使得其更適合于像鍋爐過熱蒸汽控制這樣的大延遲、大慣性和時變的系統(tǒng)。 本文也討論了 GPC 的控制參數(shù)（主要是預(yù)測時域長度 Np）對其控制效果的影響，得出Np 的取值不宜過大或過小。最后，通過使用 Matlab 中的 GUIDE 工具箱，做出了可視化的 G

3、UI仿真界面，能方便地選擇或自定義參數(shù)，得到仿真曲線并比較參數(shù)變化時的仿真效果，以反映 GPC 的控制參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。 關(guān)鍵詞: 鍋爐過熱汽溫控制系統(tǒng) GPC PID 預(yù)測時域長度 GUI 1. 問題背景 現(xiàn)代鍋爐的過熱器是在高溫，高壓條件下工作的，鍋爐出口的過熱蒸汽溫度是整個汽水行程中工質(zhì)的最高溫度，對電廠的安全經(jīng)濟運行有重大影響。目前大型機組過熱汽溫調(diào)節(jié)大多采用噴水減溫方案。采用噴水減溫調(diào)節(jié)過熱汽溫時，一般把過熱蒸汽分為兩個區(qū)域：導(dǎo)前區(qū)和惰性區(qū)。從噴水減溫的工藝過程可知，以噴水量為輸入，以過熱蒸汽溫度為輸出，對象具有大延遲，大慣性和時變性。過熱器管道長度和蒸汽容積較大，當減溫水流量發(fā)

4、生變化時，過熱器出口蒸汽溫度有較大的延遲；負荷變化時，主蒸汽的動態(tài)特性變化明顯；且主蒸汽溫度還具有分布參數(shù)和擾動多的特點。 絕大多數(shù)電廠采用如圖所示的具有導(dǎo)前信號的串級控制框圖如圖 1 所示，W 為過熱汽溫設(shè)定值，y 為過熱汽溫， 和 分別為過熱汽溫控制系統(tǒng)的主調(diào)節(jié)器和副調(diào)節(jié)器； ， 分別為調(diào)節(jié)對象惰性區(qū)及導(dǎo)前區(qū)的傳遞函數(shù)； ， 分別為導(dǎo)前汽溫和過熱汽溫的測量單元；d 為擾動。 2 ( )aW s 1( )aW s1( )aW s 2 ( )oW s 1( )HW s 2 ( )HW s 圖 1 串級控制框圖 Wa2 W9a1 Wo1 Wo2WH1WH2d+ y u+r+_ _ 1/ 已知 1

5、 28( )(1 15 )oW ss= + /mA ， 2 31.125( )(1 25 )oW ss= + /mA， 1( ) 0.1HW s = /mA ， 2 ( ) 0.1HW s = /mA 內(nèi)擾動及副調(diào)節(jié)器的任務(wù)是快速消除內(nèi)擾，一般可選用純比例調(diào)節(jié)器，這里另。外回路及主調(diào)節(jié)器的任務(wù)是維持過熱汽溫穩(wěn)定。在工業(yè)上一般采用 PI 和 PID調(diào)節(jié)器。 1( ) 25aW s =對于鍋爐過熱汽溫這類具有大慣性的對象，采用常規(guī)的 PID 調(diào)節(jié)器，在工作點附近的小范圍內(nèi)，由于其動態(tài)特性近似于線性，有可能控制得較好；但當大范圍改變給定值或受外界環(huán)境（包括工況）太大擾動時，就需要即時修正 PID 參

6、數(shù)，否則將達不到控制要求。 預(yù)測控制對多容大慣性的對象具有較好的控制效果，它的滾動優(yōu)化和反饋校正能力可以動態(tài)的補償模型與對象間的失配誤差，具有一定的魯棒性。 現(xiàn)對主調(diào)節(jié)器 分別采用 PID 和 GPC 控制方法，對控制過程進行仿真。 2aW2. 比例積分微分控制（PID）5 PID 是一種負反饋控制，它的輸入信號是偏差值 ，輸出是控制量 。 與和它的積分，微分成比例即 ( )e t ( )u t ( )u t ( )e t1 ( ) ( ) ( ) 01 ( ) ( )0p dip i dt de tu t K e t e t dt TT dt de tK e t K e t dt KTi d

7、t= + += + +)t 其中 ， ， 分別為比例系數(shù)，積分系數(shù)和微分系數(shù)。 pK iK dK則控制器的傳遞函數(shù)為 ( ) 1 1( ) (1 )( )c p d p iiu sG s K T S K K K se s T s s= = + + = + + d2 常用的 PID 控制有比例控制（P 控制），比例積分控制（PI 控制）和比例積分微分控制（PID 控制）?？刂品椒ê?， ， 選擇根據(jù)控制要求和被控對象的特性來選擇。 pK iK dKPID 控制其可以提高系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，提高系統(tǒng)型別，從而減小穩(wěn)態(tài)誤差，并可提高響應(yīng)速度。 PID 控制器的相位角 190 arctan arcta

8、nocG = ? + + 。只要參數(shù)選擇適當，PID控制器可使相位裕度增加，不但有利于系統(tǒng)穩(wěn)定，還可減弱系統(tǒng)振蕩程度，改善動態(tài)性能。 PID 控制所具有的這些功能使得它廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代生產(chǎn)中，它的魯棒性好，即其控制品質(zhì)對被控對象特性的變化不太敏感，當被控對象簡單或控制要求低時，采用 PID 控制效果較好。 3. 廣義預(yù)測控制（GPC ）1,3,4,6 3.1 原理簡介 廣義預(yù)測控制是隨著自適應(yīng)控制的研究而發(fā)展起來的一種預(yù)測控制算法，它在保持了最小方差自校正的在線辨識，輸出預(yù)測，最小方差控制的基礎(chǔ)上，吸收了 DMC 和 MAC 中的 滾動優(yōu)化策略，提出了兼具自適應(yīng)控制和預(yù)測控制性能。GPC 基于參

9、數(shù)模型，引入了不相等反饋校正等特征，呈現(xiàn)出優(yōu)良的控制性能和魯棒性。 3.1.1 預(yù)測模型 2/ 預(yù)測模型的功能是根據(jù)對象的歷史信息和未來輸入預(yù)測其未來輸出。所以在控制算法中強調(diào)模型的預(yù)測系統(tǒng)未來動態(tài)行為的功能。因此實際的預(yù)測模型狀態(tài)方程，傳遞函數(shù)這類傳統(tǒng)的模型都可以作為預(yù)測模型。對于線性穩(wěn)定對象，甚至階躍響應(yīng)，脈沖響應(yīng)這類非參數(shù)模型也可直接作為預(yù)測模型使用。此外，非線性系統(tǒng)，分布參數(shù)系統(tǒng)，只要具備上述功能，也可在對這類系統(tǒng)進行預(yù)測模型控制作為預(yù)測模型使用。 由于參數(shù)模型是最小化模型，需要已知模型結(jié)構(gòu)，但模型參數(shù)遠比非模型參數(shù)要小，減少了預(yù)測控制算法的計算量。為了克服模型的參數(shù)失配對輸入預(yù)測誤差

10、的影響，在基于參數(shù)模型的預(yù)測控制算法中，引進了自適應(yīng)控制的在線遞推算法估計模型參數(shù)，并用估計的參數(shù)取代原模型參數(shù)，從而可進行預(yù)測算法。由于將自適應(yīng)控制與預(yù)測控制相結(jié)合，因而用于過程參數(shù)慢時所引起的預(yù)測模型輸出誤差得以及時修正，從而改善了系統(tǒng)的動態(tài)性能。 3.1.2 滾動優(yōu)化 預(yù)測控制通過性能指標的最優(yōu)來確定未來的控制作用。這一性能指標涉及到系統(tǒng)未來的行為。例如，通?？扇”豢貙ο筝敵鲈谖磥淼牟蓸狱c上跟蹤某一期望軌跡的方差為最小，但也可取更廣泛的形式，例如要求控制能量為最小而同時保持輸出在某一給定范圍內(nèi)等等。性能指標中涉及到的系統(tǒng)未來的行為，是根據(jù)預(yù)測模型由未來的控制策略決定的。 預(yù)測控制中的優(yōu)化

11、是一種有限時段的滾動優(yōu)化。在每個采樣時刻，優(yōu)化性能指標只涉及到從該時刻起未來有限的時間，而到下一采樣時刻，這一優(yōu)化時段同時向前推移。因此，預(yù)測控制不是用一個對全局相同的優(yōu)化性能指標，而是在每個時刻有一個相對該時刻的優(yōu)化性能指標。不同時間區(qū)域則是不同的。因此，在預(yù)測控制中，優(yōu)化不是一次離線進行，而是反復(fù)在線進行，這就是滾動優(yōu)化的含義，也是預(yù)測控制區(qū)別于傳統(tǒng)最優(yōu)控制的根本點。 3.1.3 反饋校正 預(yù)測控制是一種閉環(huán)控制算法，在通過優(yōu)化確定了一系列未來的控制作用后，為了防止模型失配或環(huán)境影響引起控制對理想狀態(tài)的偏離，它通常不是把這些控制作用逐一全部實施，而只是實現(xiàn)本時刻的控制作用。到下一采樣時刻，

12、則首先檢測對象的實際輸出，并利用這一實時信息對基于模型的預(yù)測進行修正，然后在進行新的優(yōu)化。 反饋校正的形式是多樣的，可以在保持預(yù)測模型不變的基礎(chǔ)上，并力圖在優(yōu)化時對系統(tǒng)未來的動態(tài)行為做出較準確的預(yù)測。因此，預(yù)測控制中的優(yōu)化不僅基于模型，而且應(yīng)用了反饋的信息，因而構(gòu)成了閉環(huán)優(yōu)化。 綜上所述，我們可以看到，作為一種新型計算機控制算法，預(yù)測控制的特征鮮明。它是一種基于模型，滾動實施并結(jié)合反饋校正的優(yōu)化控制算法。預(yù)測控制汲取了優(yōu)化控制的思想，但利用滾動的有限時段優(yōu)化取代了一成不變的全局優(yōu)化。這雖然在理想情況下不能導(dǎo)致全局最優(yōu)，但由于實際上不可避免地存在著模型誤差和環(huán)境干擾。這種建立在實際反饋信息基礎(chǔ)上

13、的反復(fù)優(yōu)化，能不斷顧及不確定性的影響，并及時加以校正，反而要比依靠模型的一次優(yōu)化更能適應(yīng)實際過程，有更強的魯棒性。 3.2 GPC 算法 廣義預(yù)測控制是兼具自適應(yīng)控制和預(yù)測控制性能的一種預(yù)測控制。則其原理具有預(yù)測控制的一般特性，但具體實施過程有具有其特點 3.2.1 預(yù)測模型 該算法采用自回歸積分滑動平均模型(CARIMA)。 GPC 采用具有隨機階躍擾動非平穩(wěn)噪聲的離散差分方程描述，即 CARIMA 模型： 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) /dA z y k z B z u k C z 1 ? ? ? ?= + + (1.1) 式中，y(t), u(t), (t)分別為系統(tǒng)的輸

14、出，輸入和均值為零，方差為 2 的白噪聲, 為差分算子,且+ = , ,+11 z? 11( ) 1cniiiC z c z? ?= + 11( ) 1aniiiA z a z? ?= + , 11( ) 1bniiiB z b z? ?= + 11( ) 1cniiiC z c z? ?= + ), ，d 為系統(tǒng)的滯后。若 d>1，只需令 1(B z? 多項式中的前 d-1 項系數(shù)為零即可，即 0 1 2 2. 0db b b b ?= = = = = ，現(xiàn)取 d=1，則(1.1)式可寫為 3/ (1.2) -1 -1 -1A(z )y(k)=B(z )u(k-1)+C(z ) ( )

15、 /t +其可簡化為 -1 -1 -1A(z )y(k)=B(z ) u(k-1)+C(z ) ( )t+ (1.3) 其中 -1 -1 -1 -1 -2 -na1 2 na A(z )=A(z )(1-z )=1+a z +a z + +a z; (1.4) 0 1 1, 1, , ,1na ia na i ian n a a a a a a i n?= + = = ? = ? a (1.5) 對于被控對象(1.3)，若把基于 k 時刻為止的所有過去和現(xiàn)在的輸入輸出對(k+j)時刻輸出的預(yù)測誤差記為 ( / ) ( ) ( / ),y k j k y k j y k j k j+ = + ?

16、 + 1 (1.6) 則使預(yù)測誤差的方差為 2( / )J E y k j k= + (1.7) 最小的 j 步最優(yōu)預(yù)測 由下列差分方程給出： ( /py k j k+ ) 1 1 1( ) ( / ) ( ) ( ) ( ) ( 1)jp jC z y k j k S z y k G z u k j? ? ?+ = + + ?+ (1.8) 其中，滿足如下的 Diophantine 方程： 1 -1 -1 -jj j ( ) A(z )R (z )+z (z )C z S? = -1 (1.9) -1 -1 -1j j G (z )=R (z )B(z ) (1.10) 其中 1 1j ,0

17、 ,1 , 11 1j ,0 ,1( )( )jj j j jnaj j na1R z r r z r zS z s s z s z? ? ?= + + += + + +;? +? 1 1j ,0 ,1 , 1( )j nbj j j j nbG z g g z g z? ?+ ?= + + +; 1? ? + 這里， j deg( ) 1R j= ? , ,jdeg( )S na = jdeg(G ) 1nb j= + ?現(xiàn)令 -1 -1 -j -1j j jG (z )=G (z )+z (z )F (1.11) 1 1j ,0 ,1 , 11 1j ,0 ,1 , 1( )( )jj j

18、 j jnbj j j nbG z g g z g zF z f f z f z? ? ?= + + += + + +;11? +? +b1)+) 其中， , 。 deg( ) 1jG j= ? jdeg( )F n=為了方便討論，取 =1。 1( )C z?所以最優(yōu)預(yù)測輸出為 (1.12) 1 1 1j( / ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) (p j jy k j k S z y k G z u k j F z u k? ? ?+ = + + ? + ?+由(1.2),(1.9),(1.10),(1.11)式可推出最優(yōu)預(yù)報輸出為 1 1 1j( ) ( ) ( ) ( ) (

19、1) ( ) ( 1) ( )j j jy k j S z y k G z u k j F z u k E k j? ? ?+ = + + ? + ? + + + (1.13) ( ) ( / ) (p jy k j y k j k E k j+ = + + + (1.14) 則最優(yōu)誤差為 ( / ) (jpy k j k E k j )+ = + (1.15) 將(1.12),(1,13)式用向量矩陣表示為 (1.16) ( ) ( 1)y Gu Sy k F u k E= + + ? + (1.17) ( ) ( 1) py Gu Sy k F u k= + + ?+其中, , ( 1),

20、 ( 2), ( )T py y k y k y k n= + + +; 4/ ( ), ( 2), ( 1)T pu u k u k u k n= + + + ;+ ?, 1 , , pTnS S S S= ; , 1 2 ( 1), ( 2), , ( )pTn pE E k E k E k n = + + +; , ( 1/ ), ( 2 / ), , ( / )Tp py y k k y k k y k n k= + + +;p p1,0 1,1 1,nb2,0 2,nb3,nbn ,0 n ,1 , 1g g g 0 0g gg0g g gp pn n nbG+ ? ? ? ? ?=

21、 ? ? ? ? ?7 ?; ;# #%;01,02,1 1,03,2 2,1 1,0, 1 1, 2 2, 3 1,0gg gg g gg g g gp p p p p pn n n n n nG? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ?7 ?# # #b bb bb bp p p1,n 1,n 1 1,2 1,12,n 1 2,n 2,3 2,23,n 2 3,n 3 3,4 3,3n , 1 n , 2 n , 1 ,g g g gg g g gg g g gg g g gb p b p p p pn n n n n n nF?+ + ? + ? +? ? ? ? ? ?=

22、 ? ? ? ? ? ?7 ?; ; ; ;# # # # # # #; ; 這里， 分別是預(yù)測時域長度，控制時域長度， 為相應(yīng)時刻的被控對象的開環(huán)階躍響應(yīng)系數(shù)。 ,p un n ,i jg在 GPC 中，為了將輸出值 y(t)按一定響應(yīng)速度平滑地過渡到由參考軌跡確定地期望值W，參考軌跡通常取為如下一階滯后（一階平滑）模型： ( ) ( )( ) ( 1) (1 ) , 1, 2, ,rr ry t y ty t j y t j w j n =? + = + ? + ? =? ; p 其中 0,1 為輸出柔化系數(shù)。 3.2.2 滾動優(yōu)化 GPC 采用對輸出誤差和控制增量加權(quán)地二次型性能指標 5

23、/ ( ) ( )Tr rJ E y y y y u u= ? ? + T (2.1) 其中， ， 。 ( 1), ( 2), ( )Tr r r r py y t y t y t n= + + +; ( 1), ( 2), ( )Tpy y t y t y t n= + + +;求(2.1)式的極值即 0J u? =? ，則可得最優(yōu)控制律為： ( ) 1 ( )T T r pu G G I G y y ?= + ? 取 d1,0,0,0。 則下一時刻的輸入增量為 ( ) 1u=d*u=d ( )T T r pG G I G y y ? + ? 當前的控制作用為 ( ) 1( ) ( 1) (

24、 1) d ( )T T r pu t u t u u t G G I G y y ?= ? + = ? + + ?+ 3.2.3 在線辨識與反饋校正 為克服隨機擾動，模型誤差以及慢時變的影響，GPC 保持了自校正方法的原理，通過不斷測量實際的輸入輸出，在線地估計預(yù)測模型參數(shù)，以此來修正控制律。這是一種廣義地反饋校正。與傳統(tǒng)的預(yù)測控制 MAC 和 DMC 算法不同，GPC 只用一個模型，通過對其在線修正來保證較準確的預(yù)測。 將對象模型(1.3)式改寫為： 1 11( ) ( ) ( ) ( 1) (y A z y k B z u k k? ? + ? +（k）= ) 其中， 1 11( ) (

25、 )A z A z? ? = 1? 。 則有， ( ) ( ) ( )Ty k k k? = +其中 ( ) ( 1), , ( ) ( 1), , ( 1)Tbak y k y k n u k u k n? = ? ? ? ? ? ?; #+ ; + 則可用帶遺忘因子的遞推最小二乘法（RLS）來估計模型的參數(shù) ，算法如下： ?7 ?7 ?71( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1)( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) ( 1)TTTk k T k y k k kT k P k k k P k kP k I T k k P k ? ? ? ? ?

26、= ? + ? ?= ? += ? ? 其中，0 1?< 是遺忘因子，一般可取0.95 1?< ：T(k)為權(quán)因子， 為正定的協(xié)方差陣。在控制啟動時，需要設(shè)置參數(shù)向量P(k) 和協(xié)方差陣 的初值，通?？闪?P?72(0) ,P I ? =?為充分大的實數(shù)（0）= ， 為充分小的實向量 綜上所述：工程實際 GPC 的自適應(yīng)算法的實施步驟可歸納如下： 已知： , , , ,a b p un n n n 和 Step1 設(shè)置初值 和(0)P ?7（0），輸入初始數(shù)據(jù)； Step2 讀取 y(t)，用帶遺忘因子的 RLS 遞推估計 ?7 ； Step3 用辯識得到的參數(shù)代替 A，B，遞推求

27、解 Diophantine 方程得到 ； , ,j jS G Fj)Step4 構(gòu)造向量 和G ，并計算 (1,ry y 1TG G I ?+ 的第一行； 1?Step5 計算 ( 的第一行; )T TG G I G+Step6 計算并施加控制 u(k); Step7 返回 Step2,繼續(xù)循環(huán)。 Diophatine 方程的遞推求解 6/ 從上述給出的廣義預(yù)測基本算法可知，當預(yù)測步數(shù) j 改變時， , , , ,jj j j jR S G G F 的數(shù)值也隨之改變，每改變一次 j 都需要重算，為了節(jié)省時間，則用 , .j jR S ， ,jjG F 的遞推解求解 , , , ,jj j j

28、jR S G G F 。 (1) ， 的遞推解 -1jR (z ) -1j (z )S當 =1 時，Diophatine 方程可寫為 1 (C z? ) -1 -1 -j -1j j1 A(z )R (z )+z (z )S= (3.1) 現(xiàn)對 j+1 步預(yù)測，其 Diophatine 方程為 -1 -1 -j+1 -1j+1 j+11 A(z )R (z )+z (z )S= (3.2) 將上兩式相減可得： -1 -1 -1 -j -1 -1 -1j+1 j j+1 jA(z )R (z )-R (z )+z z (z )- (z ) 0S S = 即 -j-1 -1 -1 -1 -1j+1

29、 j j j+1-1zR (z )-R (z )= (z )-z (z )A(z )S S (3.3) 顯然上式左邊從 0 到 j-1 次的所有冪次項均為零，因此證實了 ， 的前 j 項系數(shù)必相等，于是有 -1j+1R (z )-1jR (z )-1 -1j+1 j j+1,jR (z )=R (z )+rjz? (3.4) 將上式代入（3.3）式有 -1 -1 -1j+1 j j+1,j(z )=z (z )-r A(z )S S (3.5) 為了求出 ， 的遞推解，將（3 .5）式展開為 -1jR (z ) -1j (z )Sj+1,0 j+1,1 j+1,na-1 -na -1 -2 -

30、na-1na+1j,0 j,1 j,na j+1,j 1 2-1 -na -na-1na na+1j,0 j+1,j j,1 j+1,j 1 j,na j+1,j j+1,js +s + +s=zs +s z + +s z -r (1+a z +a z + +a z )=z(s -r )+(s -r a )z + +(s -r a )z -r a z ; ; (3.6) 令上式兩邊同冪系數(shù)相等，于是有 j+1,jr = (3.7) j,0sj+1,i j,i+1 j+1,j i+1 j,i+1 j,0 i+1s s -r a s -s a= = ， (0 )i na < (3.8) na

31、+1 na+1j+1,na j+1,j j,0s -r a -s a= = (3.9) 由上式可以遞推計算 ， 的解。 -1jR (z ) -1j (z )S遞推的解的初始值為由 j=1 時的 Diophatine 方程解出 -1 -1 -j -11 11 A(z )R (z )+z (z )S= 則有 =1 -11R (z )-1 -1 -2 -na2 na+11 1(z )=z1-A(z )=-a -a z - -a zS ; (2) jG 的遞推解 由 -1 -1 -1 -1 -1 -j -1 -1 -jj+1 j+1 j j+1,j j j,0G (z )=R (z )B(z )= B

32、(z )R (z )+r z =B(z )R (z )+s z -1 -j -1j j,0=G (z )+s z B(z ) (3.10) 將上式對 j=1,2,j-1 展開，令其兩邊同次冪系數(shù)相等，因 jdeg(G )=nb+j-1 7/ 0,0 1,0 1,01,0 0,1 1,1 3,1 2,1 1,11,0 0, 1 1, 11,0 1, 2 , 21,0, 1j jj jjj j j jj nbj j nb j j nbj nbj j j nbg g g bg g g g g sg g s bg g s bg s b? ? ? ?+ ? + ?+ + ?= = = = = = = =

33、 += += +=;#b (3.11) 再對 j 次展開，并用式（3.11）后有 1 2 ( )1,0 1,1 1,2 1,1 2 ( 1),0 ,1 ,2 , 11,0 0 11 2 ( 1)0 ,2,1 3,2 , 1(,0 1, 1( )( )( )j nbj j j j j nbj nbj j j j j nbj nbj nbj jj j jj jj nbj nbj j nbg g z g z g zg g z g z g zs z b b z b zb g z g z g z g s b zg s b z? ? ? + + + + +? ? ? + ?+ ? ? ? ? ? ? ?

34、+?+ ?+ + + += + + + + + + += + + + + + + + +; ;1) ( ),0j nbj nbs b z? ? +,0 0 （3.12） 上式的系數(shù)關(guān)系為 ,01, , , 00,j i jj i j ii jg g s b i jb i j?+? = + +? = <?當當na (3.13) (3) 的遞推求解 ,jjG F由 -1 -1 -j -1j j jG (z )=G (z )+z (z )F 可推知 與, jjG F jG 之間的關(guān)系 i,i+1-ji,j G =G (3.14) i,i+nb-j+1i,jF =G (3.15) 4. 鍋爐過熱

35、汽溫 GPC 控制 在這里GPC控制器2是作為主調(diào)節(jié)器，則它的被控對象應(yīng)該是對象和內(nèi)回路，設(shè)內(nèi)回路的傳函為 ，則被控對象傳函應(yīng)該是_inner sys 2 ( ) _aW s inner sys 。 因為 GPC 是一種計算機控制算法，它處理的是離散數(shù)據(jù)或采樣數(shù)據(jù)，其輸出是某時刻的控制作用。所以對連續(xù)系統(tǒng)采用 GPC 控制，就需要將輸出 y 采樣后輸入到 GPC 控制器中，再經(jīng)過 GPC 控制算法預(yù)測當前時刻的控制作用 u?？刂谱饔?u 經(jīng)過零階保持器作用于連續(xù)對象。具體 GPC 控制框圖如圖 2 所示。 8/ 圖 2 GPC 控制框圖 鑒于被控對象的參數(shù)均已知且時不變，即 1( ), (A

36、z B z 1)? ? 系數(shù)已知。而且采樣周期為T=5s，控制時域長度為 =1，預(yù)測時域長度為 =10。我們就采用經(jīng)典 GPC 控制算法，不用在線辯識被控對象參數(shù)。則 GPC 控制算法步驟為： uN pNStep1：輸入 GPC 控制的相關(guān)參數(shù)和系統(tǒng)的跟蹤幅度 w 及擾動 d； Step2：求被控對象的傳遞函數(shù)，求得相應(yīng)的差分方程模型的系數(shù) A 和 B； Step3：利用 Diophantine 方程，遞推求解 ； , ,j jS G FjStep4：根據(jù)當前輸出 y 和給定值 r，確定出參考軌跡 yr； Step5：求出預(yù)測向量 f，計算控制增量? u 及當前控制量 u； Step6：根據(jù)

37、u 計算下一步輸出 y; Step7： 返回 Step4，直至循環(huán)結(jié)束。 5. 仿真結(jié)果及分析 該問題中，PID 采用 PI 調(diào)節(jié)，其傳函為 1 1(1 )0.5 74s+ ；GPC 控制參數(shù)為：采樣周期 Ts5s，預(yù)測控制時域 Np=10,控制時域 Nu=1,柔化系數(shù) 0.2，加權(quán)控制系數(shù)2。下面分析兩種控制方案的特點。 PID 控制 Simulink 仿真框圖如圖 3。 9/ 圖 3 PID 控制 Simulink 仿真框圖 使用 Matlab 中的 Sisotool，可以得到該系統(tǒng)的根軌跡圖和開環(huán) Bode 圖，如圖 4 所示。 圖 4 系統(tǒng)的根軌跡圖（左）和開環(huán) Bode 圖（右） 由

38、圖可知，相位穿越頻率 g 大于幅值穿越頻率 c （ g c > ），所以系統(tǒng)穩(wěn)定。且系統(tǒng)的相位裕度 32.9，幅值裕度 gK 6.61，其開環(huán)零點為 0.0135? ,開環(huán)極點為 0，0.04， 。 0.0667 0.298i? 70.04 1.22 10 i? 5. 1 無擾動時的仿真結(jié)果 當跟蹤幅度為給定值+1mA，系統(tǒng)無擾動時，即令 w=1,d=0。則 PID 控制仿真結(jié)果如圖 10/ 5 所示。 圖 5 系統(tǒng)響應(yīng)輸出(上)和主調(diào)節(jié)器輸出(下) GPC 控制仿真結(jié)果如圖 6 所示。 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000510系統(tǒng)響應(yīng)曲線y=y

39、(t)ty0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20000.20.40.60.8主調(diào)節(jié)器的輸出曲線u=u(t)tu0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.200.20.40.6控制增量曲線?u=?u(t)t?u 圖 6 GPC 控制曲線 在兩種不同控制方式下，系統(tǒng)的動態(tài)性能見表 1。 表 1 GPC 和 PID 控制效果對比 控制方式 調(diào)整時間(s) 超調(diào)量 11/ 5%? = 2%? = GPC(Np=10) 385 495 無 PID 控制 355 440 34.11% 注意：在 GPC 仿真曲線中,采樣時間是 5s,因

40、此,仿真時間是 20051000s,下同。 仿真結(jié)果分析： 根據(jù)仿真曲線和動態(tài)參數(shù)計算結(jié)果，可以看出，GPC 比 PID 控制的調(diào)整時間 Ts 略大，快速性稍差一些，但 GPC 控制沒有超調(diào)量，這比 PID 要好。 5. 2 有擾動及 Np 變化時的仿真結(jié)果 當擾動 d 做4mA 階躍變化時，令 w=1,d=4。 兩種不同控制方式的比較 PID 控制仿真結(jié)果如圖 7 所示。 圖 7 系統(tǒng)響應(yīng)輸出(上)和主調(diào)節(jié)器輸出(下) GPC 控制仿真結(jié)果如圖 8 所示。 12/ 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200246810系統(tǒng)響應(yīng)曲線y=y(t)ty0 20 40

41、 60 80 100 120 140 160 180 200-6-4-202主調(diào)節(jié)器的輸出曲線u=u(t)tu0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-505控制增量曲線?u=?u(t)t?u 圖 8 GPC 控制曲線 在兩種不同控制方式下，系統(tǒng)的動態(tài)性能見表 2。 表 2 GPC 和 PID 控制效果對比 調(diào)整時間(s) 控制方式 5%? = 2%? = 超調(diào)量 GPC(Np=10) 155 260 無 PID 控制 422 563 198.79% 仿真結(jié)果分析： 根據(jù)仿真曲線和動態(tài)參數(shù)計算結(jié)果，可以看出，但系統(tǒng)有階躍擾動 d 時，GPC 不但沒有超調(diào)量，而

42、且其調(diào)整時間 Ts 比 PID 控制小很多，快速性比 PID 明顯要好。這表明，當系統(tǒng)存在擾動時，GPC 的自適應(yīng)控制和預(yù)測控制性能使得該控制方法能快速有效地消除干擾，其控制優(yōu)勢得到大大體現(xiàn)。 GPC 的參數(shù) Np 系統(tǒng)性能的影響 當 Np 分別取 5、10 和 20 時，采用 GPC 控制時，系統(tǒng)的響應(yīng)曲線和控制曲線分別如圖 9、圖 10 和圖 11 所示。 13/ 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200051015系統(tǒng)響應(yīng)曲線y=y(t)ty0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-6-4-202主調(diào)節(jié)器的輸出曲線u=u

43、(t)tu0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-4-202控制增量曲線?u=?u(t)t?u 圖 9 Np=5 時 GPC 控制曲線 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200246810系統(tǒng)響應(yīng)曲線y=y(t)ty0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-6-4-202主調(diào)節(jié)器的輸出曲線u=u(t)tu0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-505控制增量曲線?u=?u(t)t?u 14/ 圖 10 Np=10 時 GPC 控制曲線 0 20 40 60

44、 80 100 120 140 160 180 20246810系統(tǒng)響應(yīng)曲線y=y(t)ty0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20-6-4-202主調(diào)節(jié)器的輸出曲線u=u(t)tu0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20-505控制增量曲線?u=?u(t)t?u 圖 11 Np=20 時 GPC 控制曲線 Np 取不同值時，系統(tǒng)的動態(tài)性能見表 3。 表 3 Np 取值不同時 GPC 控制效果對比 調(diào)整時間(s) 預(yù)測時域長度 5%? = 2%? = 超調(diào)量 Np=5 110 180 8.02% Np=10 155 260 無 N

45、p=20 175 285 無 仿真結(jié)果分析： 從仿真曲線和動態(tài)參數(shù)計算中，可知，當 Np5 時，系統(tǒng)響應(yīng)較快，但出現(xiàn)超調(diào)，當Np10，20 時，沒有超調(diào)量，但系統(tǒng)響應(yīng)有所遲延，而且當 Np 越大，系統(tǒng)響應(yīng)越慢。 由此可知，當 Np 取較小時，系統(tǒng)的快速性比較好，但穩(wěn)定性和魯棒性較差，而當 Np較大時，動態(tài)響應(yīng)較慢，但系統(tǒng)的穩(wěn)定性變好，魯棒性也得到增強。但是，當 Np 很大時，計算量加大，也就增加了計算時間，從而降低了系統(tǒng)的實時性，對進一步改善系統(tǒng)的動態(tài)性能作用卻不大。一般 Np 的選擇應(yīng)使最優(yōu)化時域包含對象的主要動態(tài)性能，在實際控制過程中取 。 5 15Np = 5. 3 系統(tǒng)參數(shù)變化較大時的仿真結(jié)果 慣性增大 15/ 當被控對象的時間常數(shù)增大到 T=35，即對象模型為 02 21.125(1 35 )Ws= + ，則被控對象的傳遞函數(shù)為3 21.12542875 3675 105 1s s s+ + + ，令擾動 d 作4mA 階躍變化，即令 w