隨機(jī)過程課程設(shè)計

1、課程名稱： 隨機(jī)過程 課程設(shè)計（論文）題 目: 應(yīng)用馬爾科夫鏈的平穩(wěn)分 布預(yù)測空調(diào)市場的占有率 學(xué) 院： 理學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級： 15-1 學(xué) 生 姓 名： 鄒光睿 學(xué) 生 學(xué) 號： 指 導(dǎo) 教 師： 蔡吉花 2017年12月20日目 錄任務(wù)書. .I摘要1 馬爾科夫鏈遍歷性與平穩(wěn)分布基本原理.11.1 馬爾科夫鏈的概念.11.2 轉(zhuǎn)移概率的概念.11.3 滿足遍歷性的條件.21.4 平穩(wěn)分布的條件與算法.21.5 應(yīng)用馬爾科夫鏈研究市場占有率預(yù)測的必要前提.22 市場占有率問題的分析.32.1 建立模型.32.2 提出問題.42.3 分析問題.43計算機(jī)結(jié)果及程序5結(jié)論1

2、0參考文獻(xiàn)10附錄11評閱書13 隨機(jī)過程 課程設(shè)計任務(wù)書姓名鄒光睿學(xué)號指導(dǎo)教師蔡吉花設(shè)計題目應(yīng)用馬爾科夫鏈的平穩(wěn)分布預(yù)測空調(diào)市場的占有率理論要點通過馬爾科夫鏈的無后效性和遍歷性以及馬爾科夫鏈的平穩(wěn)分布，對穩(wěn)定市場的同類競爭產(chǎn)品的市場占有率進(jìn)行統(tǒng)計和分析，對平穩(wěn)的市場的市場占有率進(jìn)行預(yù)測。設(shè)計目標(biāo)用實例求馬爾科夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，用數(shù)學(xué)軟件判別遍歷性，解方程求得平穩(wěn)分布。并對結(jié)果進(jìn)行分析。研究方法步驟1.對馬爾科夫鏈的遍歷性和平穩(wěn)分布進(jìn)行研究2.找到市場占有率的例子并分析3.對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和計算，預(yù)測未來的市場占有率判斷馬爾科夫的平穩(wěn)分布是否對市場占有率有一定的作用預(yù)期結(jié)果同類商品的市場占有率

3、符合馬爾科夫的平穩(wěn)分布，利用馬爾科夫的平穩(wěn)分布可以預(yù)測市場占有率計劃與進(jìn)步的安排1-2天：仔細(xì)閱讀設(shè)計要求，并查詢有關(guān)資料的文獻(xiàn)；3天：對找到的資料和數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和記錄；4-5天：建立模型，對有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析，寫設(shè)計論文；6天 ：對論文進(jìn)行修改和補充參考資料1蔡吉花.隨機(jī)過程M.東北林業(yè)大學(xué)出版社.2張善文,雷英杰,馮有前. MATLAB在分析中的應(yīng)用M.西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2007,4:77-149.3田錚,秦超英.隨機(jī)過程與應(yīng)用M.北京科學(xué)出版社2007版社2007.4查秀芳.馬爾科夫鏈在市場預(yù)測中的作用J.江蘇大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版）.填寫時間2017年12月 20日 摘

4、要通過對市場現(xiàn)象的大量觀察，人們發(fā)現(xiàn)：同類商品的市場占有率分布是一個隨時間不斷變化的隨機(jī)過程，并且當(dāng)期市場占有率只與前一期的市場占有率有關(guān)，而與再遠(yuǎn)期的市場占有率關(guān)聯(lián)甚微。市場占有率的這一特性與馬爾科夫性相吻合。它具有無后效性,即事物的將來呈什么狀態(tài)、取什么值,僅與它現(xiàn)在的狀態(tài)和取值有關(guān),與它以前的狀態(tài)和取值無關(guān)。在預(yù)測領(lǐng)域,人們用其對預(yù)測對象各個狀態(tài)的初始分布和各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行研究,描述狀態(tài)的變化趨勢,并由此來預(yù)測未來?；诖?，本文將對馬爾科夫鏈預(yù)測市場占有率模型進(jìn)行研究和分析，包括根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果求出初始市場占有率，根據(jù)銷售流量的統(tǒng)計算出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣及n步轉(zhuǎn)移概率矩陣，判斷該馬氏

5、鏈?zhǔn)欠袷蔷哂斜闅v性，并求出其平穩(wěn)分布，從而預(yù)測同類商品不同品牌的市場占有率。關(guān)鍵詞：市場占有率，馬爾科夫鏈，轉(zhuǎn)移概率矩陣，平穩(wěn)分布第1章 馬爾科夫鏈遍歷性與平穩(wěn)分布基本原理1.1馬爾科夫鏈的概念1.馬爾可夫鏈，因安德烈馬爾可夫（A.Markov，18561922）得名，是指數(shù)學(xué)中具有馬爾可夫性質(zhì)的離散事件隨機(jī)過程。該過程中，在給定當(dāng)前知識或信息的情況下，過去（即當(dāng)前以前的歷史狀態(tài)）對于預(yù)測將來（即當(dāng)前以后的未來狀態(tài)）是無關(guān)的。 2. 馬爾可夫鏈（Markov Chain），描述了一種狀態(tài)序列，其每個狀態(tài)值取決于前面有限個狀態(tài)。馬爾可夫鏈?zhǔn)蔷哂旭R爾可夫性質(zhì)的隨機(jī)變量的一個數(shù)列。這些變量的范圍，即

6、它們所有可能取值的集合，被稱為“狀態(tài)空間”，而的值則是在時間n的狀態(tài)。如果對于過去狀態(tài)的條件概率分布僅是的一個函數(shù)，滿足：則稱為離散時間的馬爾科夫鏈。1.2轉(zhuǎn)移概率概念1.一步轉(zhuǎn)移概率：稱條件概率為馬爾科夫鏈在n時刻的一步轉(zhuǎn)移概率，其中i，jI，簡稱轉(zhuǎn)移概率。2.一步轉(zhuǎn)移概率矩陣：設(shè)P表示一步轉(zhuǎn)移概率矩陣所組成的矩陣，且狀態(tài)空間I=1，2，則，稱為系統(tǒng)狀態(tài)的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，它具有性質(zhì)：（1）;（2）3.n步轉(zhuǎn)移概率：稱條件概率 為馬爾科夫鏈的n步轉(zhuǎn)移概率，并稱為馬爾科夫鏈的n步轉(zhuǎn)移概率矩陣，其中即也是一個隨即矩陣。n步轉(zhuǎn)移矩陣是一步轉(zhuǎn)移矩陣的n次冪，即。1.3滿足遍歷性的條件1.定義：有限馬

7、氏鏈，n=0,1,的狀態(tài)空間為I,若對一切i，j I,存在不依賴于i的極限，則稱馬爾科夫鏈具有遍歷性。2.馬爾科夫鏈遍歷性的充分條件：（1）有馬氏鏈，若kN，使i，jI都有0，則此馬氏鏈遍歷。（2）有限遍歷鏈，對I=1，2，,s,對jI,= （3）有限遍歷鏈，I=1，2，,s,對jI,= （4）如果j為非周期的正常返（即遍歷態(tài)），則有=。1.4平穩(wěn)分布的條件與算法1.定義:設(shè)馬爾科夫鏈，n0的轉(zhuǎn)移概率矩陣P=（），如果非負(fù)數(shù)據(jù)滿足：（1）=1；（2）=，jI 則稱，jI為平穩(wěn)分布。2.算法：平穩(wěn)分布計算歸結(jié)為求解線性方程組 =(-E)=0 =11 1=1 =bL=, b=,B=,D=在matl

8、ab中,Ax=b的求解命令：rref（A b）1.5應(yīng)用馬爾科夫鏈研究市場占有率預(yù)測的必要前提 1.市場占有率隨機(jī)過程必須符合馬爾科夫性，將來t+1時刻市場占有率僅依賴于第t時刻的市場占有率的分布，與過去時刻t-2,t-2，的市場占有率的分布及轉(zhuǎn)移狀態(tài)無關(guān)。 2.馬爾科夫鏈理論是以固定的轉(zhuǎn)移概率矩陣為根本規(guī)律和特征。應(yīng)用馬爾科夫鏈模型，市場占有率也要求轉(zhuǎn)移概率矩陣具有相對穩(wěn)定性。對于一個比較穩(wěn)定的市場，在短期內(nèi)可以認(rèn)為市場占有率的轉(zhuǎn)移概率矩陣是相對穩(wěn)定的。第2章 市場占有率問題的分析2.1建立模型：根據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計，依據(jù)隨機(jī)變量市場占有率數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)劃分，可以得到初始占有率分布P（0）

9、計算得轉(zhuǎn)移概率，通過,可以得到P=，（i，jI），然后計算，得到m階轉(zhuǎn)移矩陣，即m個周期后的市場占有率轉(zhuǎn)移矩陣，m個周期后的市場占有率分布為P(m)=P（0）如果市場流趨向長期穩(wěn)定下去，則經(jīng)過一段時間市場占有率將會出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，即顧客的流動，不會影響市場占有率，而且這種占有率與初始分布無關(guān)。按照實際意義，可以近似的看成最終市場占有率，并且得出計算式：一般n個狀態(tài)后的穩(wěn)定市場占有率（穩(wěn)定概率）可通過解方程求得：2.2提出問題：下表（表3-1）表示2011年11月各品牌空調(diào)大城市市場占有率表3-1品牌名稱市場占有率（%）海爾33.5容聲22.8新飛10.5美菱8.8其他品牌24.4 注：資料

10、來源于賽諾市場研究公司（SINO-MR）對全國35個大城市106家大型商場的流行檢測表3-1 2011年11月各空調(diào)市場占有率2.3分析問題：空調(diào)品牌在將來一年的市場占有率僅依賴于今年的市場占有率的分布，與過去幾年的市場占有率的分布及轉(zhuǎn)移狀態(tài)無關(guān)。如果顧客流在近幾年內(nèi)不會改變，則轉(zhuǎn)移概率矩陣近幾年內(nèi)也不會改變，所以可以認(rèn)為該市場是一個比較穩(wěn)定的市場，在短期內(nèi)可以認(rèn)為市場占有率是相對穩(wěn)定的，轉(zhuǎn)移概率矩陣反映了各品牌的消費群體的流動情況。因此，通過對轉(zhuǎn)移概率矩陣的分析，可以幫助企業(yè)確定行動方案。設(shè)I=1,2,3，4，狀態(tài)1,2,3,4分別表示海爾，容聲，新飛，和其他品牌。統(tǒng)計其2011年11月份購

11、買和12月份欲代銷和訂購的空調(diào)的轉(zhuǎn)移量如下表3-212月11月海爾容聲新飛其他合計海爾49402117520031151088容聲17393240632530134700新飛16602631372536516014其他200547016254660050700注：資料來源于賽諾市場研究公司（SINO-MR）對全國35個大城市106家大型商場的流行檢測企業(yè)要進(jìn)行調(diào)整，首先要知道初始的市場占有率P(1)、頻數(shù)矩陣N，一步轉(zhuǎn)移概率P、第2年的市場占有率P(2)，第三年的市場占有率P(3)，第五年的市場占有率P(5)，顧客流長期穩(wěn)定下去三大品牌的市場占有率的分布C。由三大品牌在市場上的占有率來決定商場

12、需要對哪個品牌產(chǎn)品的數(shù)量進(jìn)行增加和減少。第3章 計算結(jié)果及程序由上述，畫出轉(zhuǎn)移圖：海爾空調(diào)新飛空調(diào)容聲空調(diào)其他 1172 365 1625 1739 1660470301200 2005 311可得出已知條：2011年11月在市場的占有率為P(0)=（0.335 0.228 0.105 0.332），所占比例表示如圖3-2所示：圖3-2 2011年11月市場占有率分布圖頻數(shù)矩陣N=用頻率代替概率，可得：=0.967,=0.023,=0.004,=0.006=0.050,=0.932,=0.009,=0.009=0.104,=0.016,=0.857，=0.023=0.040,=0.009,=0

13、.032,=0.919所以，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為,由一步轉(zhuǎn)移概率可得2011年12月的市場占有率為P(1)=P(0)*P=(0.3593 0.2249 0.1040 0.3116)P1=P0*PP1 = 0.3595 0.2249 0.1040 0.3116分布如圖3-3所示：圖3-3 2011年12月市場占有率分布圖同理，可求出2012年1月，2012年2月的市場占有率分別為P（2）=P（0）=（0.3822 0.2223 0.1026 0.2929） P2=P0*P2P2 = 0.3822 0.2223 0.1026 0.2929P（3）=P（0）=（0.4031 0.2203 0.1008

14、 0.2758）P3=P0*P3P3 = 0.4031 0.2203 0.1008 0.2758分布如下圖3-4所示：圖3-4 2012年2月市場占有率分布圖證明（），若使i，jI都有0，則此馬氏鏈?zhǔn)潜闅v的。利用matlab軟件：P=0.967 0.023 0.004 0.006;0.050 0.932 0.009 0.009;0.104 0.016 0.857 0.023;0.040 0.009 0.032 0.919; P2ans = 0.9369 0.0438 0.0077 0.0116 0.0962 0.8700 0.0166 0.0172 0.1914 0.0312 0.7357 0

15、.0416 0.0792 0.0181 0.0571 0.8456所以此馬氏鏈?zhǔn)潜闅v的，解方程組得即為顧客流如此長期穩(wěn)定市場占有率的分布，企業(yè)可由此調(diào)整管理。B =0.967 0.023 0.004 0.006 1;0.050 0.932 0.009 0.009 1;0.104 0.016 0.857 0.023 1;0.040 0.009 0.032 0.919 1;D=1 0 0 0 0;0 1 0 0 0;0 0 1 0 0;0 0 0 1 0; A=B-D;b=0;0;0;0;1;C=A b;rref(C)ans = 1.0000 0 0 0 0.6256 0 1.0000 0 0 0

16、.2353 0 0 1.0000 0 0.0518 0 0 0 1.0000 0.0872 0 0 0 0 0所以（）=（0.6256 0.2353 0.0518 0.0872）即海爾、容聲、新飛和其他品牌占有率的平穩(wěn)分布為0.6256、0.2353、0.0518和0.0872.第4章 結(jié)論和展望通過上述問題可以看出,馬爾科夫鏈的平穩(wěn)分布在沒有突發(fā)情況下,確實是可以起到預(yù)測同類商品在市場中的占有率.如果不是原始內(nèi)在問題導(dǎo)致占有率略低的話,企業(yè)可以通過馬爾科夫鏈的平穩(wěn)分布來預(yù)測市場占有率,通過調(diào)整企業(yè)內(nèi)部的各種因素來提高產(chǎn)品在市場中的占有率,從而提高企業(yè)的盈利. 企業(yè)是一個動態(tài)變化的系統(tǒng),在這一

17、系統(tǒng)中,有一些變量和因素隨時間的推移而不斷地隨機(jī)變化,產(chǎn)品市場占有率就是其中一個變量。對這個變量的預(yù)測是企業(yè)市場預(yù)測的一個重要內(nèi)容。如長期趨勢預(yù)測法,是根據(jù)歷史數(shù)據(jù)的變化規(guī)律對未來市場狀況進(jìn)行預(yù)測的,對市場占有率這無確定變化規(guī)律的隨機(jī)變量來說,這方法顯然就行不通了。再加上市場調(diào)查預(yù)測法,是通過市場調(diào)查在掌握購買意向等市場信息資料的基礎(chǔ)上,再加以簡單的分析和推斷,是一種定性預(yù)測法,也難以獲得準(zhǔn)確的結(jié)果。所以,必須尋找一種適應(yīng)隨機(jī)變量變化特點的動態(tài)方法對其進(jìn)行預(yù)測。馬爾可夫鏈預(yù)測法就是一種應(yīng)用于隨機(jī)過程預(yù)測的科學(xué)有效的方法它立足于當(dāng)前通過市場調(diào)查等途徑所獲現(xiàn)實資料的基礎(chǔ)上,運用馬爾可夫鏈的基本原理

18、和方法對數(shù)據(jù)資料進(jìn)行運算得出預(yù)測結(jié)果,因此,很適于對產(chǎn)品市場占有率的預(yù)測。穩(wěn)定馬爾科夫鏈預(yù)測法是一種適用于隨機(jī)過程的科學(xué)、有效的動態(tài)預(yù)測方法,其基本原理和方法可用來預(yù)測企業(yè)產(chǎn)品的市場占有率。在運用馬爾科夫鏈對市場占有率進(jìn)行預(yù)測時,應(yīng)做好市場調(diào)查工作,并借助計算機(jī)和簡捷表加以計算。參考文獻(xiàn)1蔡吉花.隨機(jī)過程M.東北林業(yè)大學(xué)出版社.2張善文,雷英杰,馮有前. MATLAB在分析中的應(yīng)用M.西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2007,4:77-149.3田錚,秦超英.隨機(jī)過程與應(yīng)用M.北京科學(xué)出版社2007版社2007.4查秀芳.馬爾科夫鏈在市場預(yù)測中的作用J.江蘇大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版）.附錄matla

19、b代碼如下： P0=0.335 0.228 0.105 0.332; P=0.967 0.023 0.004 0.006;0.050 0.932 0.009 0.009;0.104 0.016 0.857 0.023;0.040 0.009 0.032 0.919; P2ans = 0.9369 0.0438 0.0077 0.0116 0.0962 0.8700 0.0166 0.0172 0.1914 0.0312 0.7357 0.0416 0.0792 0.0181 0.0571 0.8456 P1=P0*PP1 = 0.3595 0.2249 0.1040 0.3116 P2=P0*P2P2 = 0.3822 0.2223 0.1026 0.2929 P3=P0*P3P3 = 0.4031 0.2203 0.1008 0.2758 P5=P0*P5P5 = 0.4400 0.2174 0.0967 0.2459B =0.967 0.023 0.004 0.006 1;0.0