matlab-圓周率的近似計(jì)算-實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、開放性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告（2016 / 2017學(xué)年 第 2學(xué)期）題 目：基于MATLAB的圓周率近似計(jì)算專 業(yè) 通信工程 學(xué)生姓名 楊 坤 馮著豪 周李鑫 班級學(xué)號 B B B 指導(dǎo)教師 趙禮峰 指導(dǎo)單位 南京郵電大學(xué)理學(xué)院 日 期 2017/5/20 MATLAB圓周率的近似計(jì)算B 楊 坤 B 馮著豪 B周李鑫摘要：圓周率（Pi）是圓的周長與直徑的比值，一般用希臘字母表示，是一個(gè)在數(shù)學(xué)及物理學(xué)中普遍存在的數(shù)學(xué)常數(shù)。也等于圓形之面積與半徑平方之比。是精確計(jì)算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關(guān)鍵值。 在分析學(xué)里，可以嚴(yán)格地定義為滿足sin x = 0的最小正實(shí)數(shù)x。計(jì)算圓周率一直是很多人的追求。在

2、電子計(jì)算機(jī)還沒有發(fā)明的時(shí)候就有很多先賢用各種方法計(jì)算了圓周率的近似值最著名的應(yīng)該是祖沖之，他計(jì)算出了圓周率的位數(shù)達(dá)到了小數(shù)點(diǎn)后七位。該記錄在世界范圍內(nèi)保持了八百年。之后圓周率的計(jì)算進(jìn)入了分析法時(shí)期，這一時(shí)期人們開始利用無窮級數(shù)或無窮連乘積求，擺脫可割圓術(shù)的繁復(fù)計(jì)算。無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級數(shù)等各種值表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，使得值計(jì)算精度迅速增加。在分析法的基礎(chǔ)上，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使得圓周率的計(jì)算精度大幅提高。計(jì)算圓周率已經(jīng)成為評判超級計(jì)算機(jī)的性能指標(biāo)的項(xiàng)目之一。如今個(gè)人計(jì)算機(jī)的性能也達(dá)到了一個(gè)極高的程度。學(xué)習(xí)使用計(jì)算機(jī)計(jì)算圓周率可以幫助我們更好地學(xué)習(xí)matlab同時(shí)對數(shù)學(xué)也會有更深的理解。關(guān)鍵詞

3、：圓周率計(jì)算；投點(diǎn)法；定積分計(jì)分法；冪級數(shù)；韋達(dá)公式一、 問題分析計(jì)算圓周率有很多方法，不同方法之間自然也有好壞之分。在強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)性能的支持下，我們能使用不同的方法計(jì)算圓周率并且感受不同方法孰優(yōu)孰劣。首先我們需要了解不同的計(jì)算方法是怎么計(jì)算圓周率的，然后使用matlab編寫代碼幫助我們實(shí)現(xiàn)算法，計(jì)算出圓周率。二、 實(shí)驗(yàn)方法1. 投點(diǎn)法：投點(diǎn)法，顧名思義就是通過投點(diǎn)計(jì)算圓周率。在一個(gè)邊長為1的正方形里以1為半徑畫一個(gè)四分之一圓，再向正方形里投點(diǎn)，在概率的學(xué)習(xí)中我們知道，大量地向這個(gè)正方形中投點(diǎn)時(shí)，在投的點(diǎn)足夠多的前提下，落在四分之一扇形里的點(diǎn)與投的所有點(diǎn)的個(gè)數(shù)之比應(yīng)該為扇形與整個(gè)正方形的面積之

4、比。扇形的面積為四分之一圓，即1/4*pi,正方形的面積為1.設(shè)投n個(gè)點(diǎn)，落在扇形里的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為count即可推出pi=4*（count/n）。代碼如下：count=0;ezplot(x2+y2=1,0,1,0,1),hold on ,grid onn=10000;for i=1:1:nx=rand(1,1);y=rand(1,1);plot(x,y,*),hold onpause(0.001)if x2+y2=1count=count+1;endendp=4*(count/n)投200個(gè)點(diǎn)時(shí)多次運(yùn)行分別獲得以下結(jié)果：3.3600 3.0600 3.1800 3.1400 3.1800可見這時(shí)

5、所得的結(jié)果并不穩(wěn)定，且結(jié)果并不精確于是繼續(xù)實(shí)驗(yàn)投一千個(gè)點(diǎn)。多次實(shí)驗(yàn)后得出以下結(jié)果3.1040 3.1120 3.2200 3.1520 3.0560 3.1280此時(shí)的精確度仍然不盡人意，于是我們直接投了一萬個(gè)點(diǎn)此時(shí)得到了以下結(jié)果3.1376 3.1355 3.1413 3.1415 3.1490 3.1457此時(shí)基本達(dá)到了兩位小數(shù)的精確度于是我們更改投點(diǎn)個(gè)數(shù)得到以下結(jié)果投個(gè)點(diǎn)時(shí)：3.1415 3.1414 3.1414 3.1413當(dāng)我們準(zhǔn)備投更多點(diǎn)時(shí)發(fā)現(xiàn)投點(diǎn)法消耗太多計(jì)算機(jī)資源，已經(jīng)無法投太多的點(diǎn)了。投點(diǎn)法計(jì)算圓周率利用了計(jì)算機(jī)的高性能，但是性能的使用效率并不太高。2. 定積分積分法011

6、1+x2dx=4 =40111+x2dx將區(qū)間0,1分成n等份，在每個(gè)小區(qū)間上，選中點(diǎn)為i，使用積分的方法計(jì)算的近似值。代碼如下：n=50;%等分積分區(qū)間數(shù)。i=0:1/n:1;s=0;for k=1:length(i)-1s=s+(1/(1+(i(k)+i(k+1)/2)2)*1/n;end vpa（4*s，20）設(shè)置不同的區(qū)間數(shù)，獲得不同的近似值，對應(yīng)關(guān)系如下：區(qū)間數(shù) 50100200300400500600近似值3.14163.14163.3.3.3.3.相比于投點(diǎn)法，該方法以較高的效率使用了計(jì)算機(jī)資源達(dá)到了更高的精度，當(dāng)n=100，000，000時(shí)，精度達(dá)到了小數(shù)點(diǎn)后十二位。3. 冪級

7、數(shù)冪級數(shù)的方法有很多，我們學(xué)習(xí)了使用arctan(x)的Maclaurin展開式計(jì)算的近似值，=4arctan1=4(1-13+15-+-1n+12n-1+代碼如下n=10; %展開次數(shù)s=0;digits(50) %計(jì)算精度for k=1:ns=s+4*(-1)(k+1)/(2*k-1);endvpa(s,20)改變n的值，計(jì)算不同情況下得出的圓周率近似值n10100100010000近似值3.04183.3.140593.3.97該計(jì)算方法能比較準(zhǔn)確地得出較高精度的圓周率的近似值4. 韋達(dá)公式根據(jù)韋達(dá)在1593年給出的公式 2=22*2+22*代碼如下：a=sqrt(2); s=1; n=100for i=1:ns=(s*a)/2; a1=sqrt(2+a); a=a1; end vpa(2/s,20) 使用該算法計(jì)算圓周率的近似值時(shí)，n與所得的近似值如下：n101001000Pi3.3.3.事實(shí)上，當(dāng)n為100時(shí)所算出的圓周率精度已經(jīng)超過了小數(shù)點(diǎn)后100位，可見其計(jì)算精度之高，效率之快。一下列出n=100時(shí)所得結(jié)果精確到100位的輸出值：3. 三、實(shí)驗(yàn)感想圓周率的近似計(jì)算一直是一種挑戰(zhàn)，經(jīng)過這次