（北京專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 專題拓展 7.7 新定義問題（試卷部分）優(yōu)質(zhì)課件

1、17.7新定義問題中考數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué) (北京專用)21.(2018北京,28,7分)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M,N,給出如下定義:P為圖形M上任意一點(diǎn),Q為圖形N上任意一點(diǎn),如果P,Q兩點(diǎn)間的距離有最小值,那么稱這個(gè)最小值為圖形M,N間的“閉距離”,記作d(M,N).已知點(diǎn)A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2).(1)求d(點(diǎn)O,ABC);(2)記函數(shù)y=kx(-1x1,k0)的圖象為圖形G.若d(G,ABC)=1,直接寫出k的取值范圍;(3)T的圓心為T(t,0),半徑為1.若d(T,ABC)=1,直接寫出t的取值范圍.好題精練3解析解析(1)如圖1,點(diǎn)O到ABC上的點(diǎn)的距離

2、的最小值為2,即d(點(diǎn)O,ABC)=2. 圖1(2)k的取值范圍為-1k1且k0.提示:如圖1,y=kx(k0)的圖象經(jīng)過原點(diǎn),在-1x1范圍內(nèi),函數(shù)圖象為線段.當(dāng)y=kx(-1x1,k0)的圖象經(jīng)過(1,-1)時(shí),k=-1,此時(shí)d(G,ABC)=1;當(dāng)y=kx(-1x1,k0)的圖象經(jīng)過(-1,-1)時(shí),k=1,此時(shí)d(G,ABC)=1.4-1k1.k0,-1k1且k0.(3)t的取值范圍為t=4或0t4-2或t=4+2.提示:T與ABC的位置關(guān)系分三種情況,如圖2.T在ABC的左側(cè)時(shí),d(T,ABC)=1,此時(shí)t=-4;T在ABC的內(nèi)部時(shí),d(T,ABC)=1,此時(shí)0t4-2;T在ABC的

3、右側(cè)時(shí),d(T,ABC)=1,此時(shí)t=4+2.綜上所述,t=-4或0t4-2或t=4+2.2222225 圖2解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要從點(diǎn)到點(diǎn)的距離中發(fā)現(xiàn)點(diǎn)到直線的距離和平行線間的距離.62.(2017北京,29,8分)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和圖形M,給出如下定義:若在圖形M上存在一點(diǎn)Q,使得P,Q兩點(diǎn)間的距離小于或等于1,則稱P為圖形M的關(guān)聯(lián)點(diǎn).(1)當(dāng)O的半徑為2時(shí),在點(diǎn)P1,P2,P3中,O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是 ;點(diǎn)P在直線y=-x上,若P為O的關(guān)聯(lián)點(diǎn),求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍;(2)C的圓心在x軸上,半徑為2,直線y=-x+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B.若AB上的所有點(diǎn)都

4、是C的關(guān)聯(lián)點(diǎn),直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.1,0213,225,02線段7解析解析(1)P2,P3.設(shè)直線y=-x與以原點(diǎn)為圓心,半徑為1和3的兩個(gè)圓的交點(diǎn)從左到右依次為D,E,F,G,過點(diǎn)D作DMx軸于點(diǎn)M,如圖1. 圖1由可求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-.同理,可求得點(diǎn)E,F,G的橫坐標(biāo)分別為-,.當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)重合時(shí),對(duì)于O上任意一點(diǎn)Q,均有PQ=21,不符合題意;22,3yxxy 3 2222223 228當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合時(shí),設(shè)射線OP與O的交點(diǎn)為Q.(i)當(dāng)0OP1,此時(shí)P不是O的關(guān)聯(lián)點(diǎn). 圖2(ii)當(dāng)1OP3時(shí),如圖3.PQ=|OP-OQ|1,此時(shí)P是O的關(guān)聯(lián)點(diǎn).9 圖3(iii)當(dāng)

5、OP3時(shí),如圖4.圖410對(duì)于O上任意一點(diǎn)Q,總有PQOP-OQ=OP-OQ=PQ1,此時(shí)P不是O的關(guān)聯(lián)點(diǎn).綜上所述,當(dāng)P為O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)時(shí),1OP3.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP的取值范圍是-xP-或xP.(2)圓心C的橫坐標(biāo)xC的取值范圍是-2xC1-或2xC2.提示:由(1)可知,線段AB上的點(diǎn)均滿足:與圓心C的距離大于等于1,且小于等于3.以下為臨界情況:如圖a,C1EAB,且C1E=1,此時(shí)點(diǎn)C1的橫坐標(biāo)為1-;3 2222223 22222圖a11如圖b,C2A=3,此時(shí)點(diǎn)C2的橫坐標(biāo)為-2; 圖b如圖c,AC3=1,此時(shí)點(diǎn)C3的橫坐標(biāo)為2;圖c12如圖d,C4B=3,此時(shí)點(diǎn)C4的橫坐標(biāo)為2. 圖

6、d易知點(diǎn)C在線段C1C2和C3C4上滿足題意,圓心C的橫坐標(biāo)xC的取值范圍是-2xC1-或2xC2.222133.(2015北京,29,8分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,C的半徑為r,P是與圓心C不重合的點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于C的反稱點(diǎn)的定義如下:若在射線CP上存在一點(diǎn)P,滿足CP+CP=2r,則稱P為點(diǎn)P關(guān)于C的反稱點(diǎn).下圖為點(diǎn)P及其關(guān)于C的反稱點(diǎn)P的示意圖.特別地,當(dāng)點(diǎn)P與圓心C重合時(shí),規(guī)定CP=0.(1)當(dāng)O的半徑為1時(shí),分別判斷點(diǎn)M(2,1),N,T(1,)關(guān)于O的反稱點(diǎn)是否存在,若存在,求其坐標(biāo);點(diǎn)P在直線y=-x+2上,若點(diǎn)P關(guān)于O的反稱點(diǎn)P存在,且點(diǎn)P不在x軸上,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍;(

7、2)C的圓心在x軸上,半徑為1,直線y=-x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B.若線段AB上存在3,02333314點(diǎn)P,使得點(diǎn)P關(guān)于C的反稱點(diǎn)P在C的內(nèi)部,求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.解析解析(1)點(diǎn)M關(guān)于O的反稱點(diǎn)不存在;點(diǎn)N關(guān)于O的反稱點(diǎn)存在,坐標(biāo)為;點(diǎn)T關(guān)于O的反稱點(diǎn)存在,坐標(biāo)為(0,0).如圖1,直線y=-x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E(2,0),點(diǎn)F(0,2).設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x.i)當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上,即0 x2時(shí),1OP2.在射線OP上一定存在一點(diǎn)P,使得OP+OP=2.點(diǎn)P關(guān)于O的反稱點(diǎn)存在.其中點(diǎn)P與點(diǎn)E或點(diǎn)F重合時(shí),OP=2,點(diǎn)P關(guān)于O的反稱點(diǎn)為O,不符合題意.0 x2.i

8、i)當(dāng)點(diǎn)P不在線段EF上,即x2時(shí),OP2.對(duì)于射線OP上任意一點(diǎn)P,總有OP+OP2.1,0215點(diǎn)P關(guān)于O的反稱點(diǎn)不存在.綜上所述,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍是0 x2. 圖1(2)若線段AB上存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P關(guān)于C的反稱點(diǎn)P在C的內(nèi)部,則1CP2.依題意可知,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2),BAO=30.設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(x,0).當(dāng)x6時(shí),過點(diǎn)C作CHAB于點(diǎn)H,如圖2.0CHCP2.0CA4.06-x4.2x6.316并且,當(dāng)2x2,CH2.在線段AB上一定存在點(diǎn)P,使得CP=2.此時(shí)點(diǎn)P關(guān)于C的反稱點(diǎn)為C,且點(diǎn)C在C的內(nèi)部.2x2,CA2.在線段AB上一定存在一點(diǎn)P

9、,使得CP=2.此時(shí)點(diǎn)P關(guān)于C的反稱點(diǎn)為C,且點(diǎn)C在C的內(nèi)部.6x8.17綜上所述,圓心C的橫坐標(biāo)x的取值范圍是2x8. 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥 根據(jù)反稱點(diǎn)的定義可知,當(dāng)一點(diǎn)到圓心的距離大于半徑的2倍時(shí),此點(diǎn)無反稱點(diǎn),所以要確定一點(diǎn)有沒有反稱點(diǎn),先要求出它到圓心的距離.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵 (1)要準(zhǔn)確理解“反稱點(diǎn)”的含義;(2)通過具體實(shí)例加深對(duì)“反稱點(diǎn)”的理解;(3)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化,分類討論的思想解決較復(fù)雜的問題.184.(2014北京,25,8分)對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義:若存在實(shí)數(shù)M0,對(duì)于任意的函數(shù)值y,都滿足-MyM,則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù).在所有滿足條件的M中,其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界值.

10、例如,下圖中的函數(shù)是有界函數(shù),其邊界值是1.(1)分別判斷函數(shù)y=(x0)和y=x+1(-4a)的邊界值是2,且這個(gè)函數(shù)的最大值也是2,求b的取值范圍;(3)將函數(shù)y=x2(-1xm,m0)的圖象向下平移m個(gè)單位,得到的函數(shù)的邊界值是t,當(dāng)m在什么范圍時(shí),滿足t1? 1x3419解析解析(1)y=(x0)不是有界函數(shù);y=x+1(-4a),y隨x的增大而減小,y的最大值是-a+1,y的最小值是-b+1.函數(shù)的最大值是2,a=-1.又函數(shù)的邊界值是2,-b+1-2,b3.-11時(shí),1-mm2-m.當(dāng)0m時(shí),1-mm,由題意知,邊界值t=1-m.當(dāng)t1時(shí),0m.0m.當(dāng)m1時(shí),1-m1時(shí),由題意知

11、,邊界值tm.123414141234343421不存在滿足t1的m值.綜上所述,當(dāng)0m或m1時(shí),滿足t1.34143434225.(2013北京,25,8分)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和C,給出如下定義:若C上存在兩個(gè)點(diǎn)A,B,使得APB=60,則稱P為C的關(guān)聯(lián)點(diǎn).已知點(diǎn)D,E(0,-2),F(2,0).(1)當(dāng)O的半徑為1時(shí),在點(diǎn)D,E,F中,O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是 ;過點(diǎn)F作直線l交y軸正半軸于點(diǎn)G,使GFO=30,若直線l上的點(diǎn)P(m,n)是O的關(guān)聯(lián)點(diǎn),求m 的取值范圍;(2)若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn),求這個(gè)圓的半徑r的取值范圍. 1 1,2 2323解析解析(1)D,E.當(dāng)

12、OP=2時(shí),過點(diǎn)P向O作兩條切線PA,PB(A,B為切點(diǎn)),則APB=60.點(diǎn)P為O的關(guān)聯(lián)點(diǎn).事實(shí)上,當(dāng)0OP2時(shí),點(diǎn)P是O的關(guān)聯(lián)點(diǎn);當(dāng)OP2時(shí),點(diǎn)P不是O的關(guān)聯(lián)點(diǎn).F(2,0),且GFO=30,OGF=60,OF=2,OG=2.如圖,以O(shè)為圓心,OG為半徑作圓,設(shè)該圓與l的另一個(gè)交點(diǎn)為M.當(dāng)點(diǎn)P在線段GM上時(shí),OP2,點(diǎn)P是O的關(guān)聯(lián)點(diǎn);3324當(dāng)點(diǎn)P在線段GM的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí),OP2,點(diǎn)P不是O的關(guān)聯(lián)點(diǎn).連接OM,可知GOM為等邊三角形.過點(diǎn)M作MNx軸于點(diǎn)N,可得MON=30,ON=.0m.(2)設(shè)該圓圓心為C.根據(jù)可得,若點(diǎn)P是C的關(guān)聯(lián)點(diǎn),則0PC2r.由題意知,點(diǎn)E,F都是C的

13、關(guān)聯(lián)點(diǎn),EC2r,FC2r.EC+FC4r.又EC+FCEF(當(dāng)點(diǎn)C在線段EF上時(shí),等號(hào)成立),4rEF.E(0,-2),F(2,0),EF=4.r1.33325事實(shí)上,當(dāng)點(diǎn)C是EF的中點(diǎn)時(shí),對(duì)所有r1的C,線段EF上的所有點(diǎn)都是C的關(guān)聯(lián)點(diǎn).綜上所述,r1.266.(2018北京東城一模,28)給出如下定義:對(duì)于O的弦MN和O外一點(diǎn)P(M,O,N三點(diǎn)不共線,且P,O在直線MN的異側(cè)),當(dāng)MPN+MON=180時(shí),稱點(diǎn) P是線段MN關(guān)于點(diǎn)O的關(guān)聯(lián)點(diǎn).圖1是點(diǎn)P為線段MN關(guān)于點(diǎn)O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的示意圖.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O的半徑為1.27(1)如圖2,M,N.在A(1,0),B(1,1),C(,

14、0)三點(diǎn)中,是線段MN關(guān)于點(diǎn)O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的是 ;(2)如圖3,M(0,1),N,點(diǎn)D是線段 MN關(guān)于點(diǎn)O的關(guān)聯(lián)點(diǎn).MDN的大小為 ;在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)E(m,m),點(diǎn)E是線段MN關(guān)于點(diǎn)O的關(guān)聯(lián)點(diǎn),判斷MNE的形狀,并直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo); 點(diǎn)F在直線y=-x+2上,當(dāng)MFNMDN時(shí),求點(diǎn)F的橫坐標(biāo)xF的取值范圍.22,2222,22231,2233328解析解析(1)C.(2)60.MNE是等邊三角形,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,1).直線y=-x+2交y軸于點(diǎn)K(0,2),交x軸于點(diǎn)T(2,0).OK=2,OT=2.OKT=60.作OGKT于點(diǎn)G,連接MG,NG.3333329M(0,1),OM=1,M為O

15、K的中點(diǎn).又在RtOKG中,KG=OK=1,MKG為等邊三角形,MG=MK=OM=1.MGO=MOG=30,OG=.G.MON=120,GON=90.又OG=,ON=1,OGN=30.1233 3,22330MGN=60.G是線段MN關(guān)于點(diǎn)O的關(guān)聯(lián)點(diǎn).由知點(diǎn)E(,1)也是線段MN關(guān)于點(diǎn)O的關(guān)聯(lián)點(diǎn),經(jīng)驗(yàn)證,點(diǎn)E(,1)在直線y=-x+2上.結(jié)合圖象可知,當(dāng)點(diǎn)F在線段GE上時(shí),符合題意.xGxFxE,xF.3333323317.(2018北京西城一模,28)對(duì)于平面內(nèi)的C和C外一點(diǎn)Q,給出如下定義:若過點(diǎn)Q的直線與C存在公共點(diǎn),記為點(diǎn)A,B,設(shè)k=,則稱點(diǎn)A(或點(diǎn)B)是C的“k相關(guān)依附點(diǎn)”.特別地

16、,當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B重合時(shí),規(guī)定AQ=BQ,k=.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,Q(-1,0),C(1,0),C的半徑為r.(1)如圖,當(dāng)r=時(shí),若A1(0,1)是C的“k相關(guān)依附點(diǎn)”,則k的值為 ;A2(1+,0)是不是C的“2相關(guān)依附點(diǎn)”?答: (選“是”或“否”);(2)若C上存在“k相關(guān)依附點(diǎn)”M,當(dāng)r=1,直線QM與C相切時(shí),求k的值;當(dāng)k=時(shí),求r的取值范圍;(3)若存在r使得直線y=-x+b與C有公共點(diǎn),且公共點(diǎn)是C的“相關(guān)依附點(diǎn)”,直接寫出b的取值范圍.AQBQCQ2AQCQ2BQCQ或2233332 33解析解析(1).是.(2)如圖1,當(dāng)r=1時(shí),不妨設(shè)直線QM與C相切的切點(diǎn)M在

17、x軸上方(切點(diǎn)M在x軸下方時(shí)同理),連接CM,則QMCM. 圖1Q(-1,0),C(1,0),r=1,CQ=2,CM=1,MQ=.2334此時(shí)k=.如圖2,若直線QM與C不相切,設(shè)直線QM與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N,不妨設(shè)點(diǎn)M,N均在x軸上方,且QNQM,點(diǎn)N,M在x軸下方時(shí)同理).作CDQM于點(diǎn)D,則MD=ND. 圖2MQ+NQ=(MN+NQ)+NQ=2ND+2NQ=2DQ.CQ=2,2MQCQ335k=DQ.當(dāng)k=時(shí),DQ=.此時(shí)CD=1.r1.假設(shè)C經(jīng)過點(diǎn)Q,此時(shí)r=2.點(diǎn)Q在C外,r的取值范圍是1r2.(3)-1b0時(shí),點(diǎn)B在第二象限.過點(diǎn)B作BEx軸于點(diǎn)E,在RtBEA中,BAE=45,A

18、B=3,BE=AE=.3 2247B.當(dāng)b0),與x軸分別交于點(diǎn)B(-3,0),C(12,0).若過點(diǎn)F作平行于x軸的直線交該拋物線于點(diǎn)N.(1)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為 ;(2)已知一直角為點(diǎn)N,M,K的“平橫縱直角”,若在線段OC上存在不同的兩點(diǎn)M1、M2,使相應(yīng)的點(diǎn)K1、K2都與點(diǎn)F重合,試求m的取值范圍;(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)Q,連接BQ與FN交于點(diǎn)H,當(dāng)45QHN60時(shí),求m的取值范圍.52解析解析(1)9.(2)解法一:MKMN,要使線段OC上存在不同的兩點(diǎn)M1、M2,使相應(yīng)的點(diǎn)K1、K2都與點(diǎn)F重合,也就是使以FN為直徑的圓與OC有兩個(gè)交點(diǎn).設(shè)以FN為直徑的圓的半徑為r,則r=,|m|0

19、,0m0,點(diǎn)K在x軸的上方.過N作NWOC于點(diǎn)W,設(shè)OM=x,OK=y,則CW=OC-OW=3,WM=9-x.由MOKNWM,得=,=.y=-x2+x.令y=m,則m=-x2+x,化為x2-9x+m2=0.由題意可得方程x2-9x+m2=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,(-9)2-4m20,得|m|0,0m1,k與m之間的關(guān)系式為k2=m2-1.OAOBODOC2kk1212336115.(2018北京房山一模,28)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,當(dāng)圖形W上的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時(shí),則稱點(diǎn)P為圖形W的“夢(mèng)之點(diǎn)”.(1)已知O的半徑為1.在點(diǎn)E(1,1),F,M(-2,-2)中,O的“夢(mèng)之點(diǎn)”為 ;若點(diǎn)P

20、位于O內(nèi)部,且為雙曲線y=(k0)的“夢(mèng)之點(diǎn)”,求k的取值范圍;(2)已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,t),C的半徑為,若在C上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”P,直接寫出t的取值范圍;(3)若二次函數(shù)y=ax2-ax+1的圖象上存在兩個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”A(x1,y1),B(x2,y2),且|x1-x2|=2,求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).22,22kx262解析解析(1)F.O的半徑為1.O的“夢(mèng)之點(diǎn)”坐標(biāo)為和.又雙曲線y=(k0)與直線y=x的交點(diǎn)即為雙曲線的“夢(mèng)之點(diǎn)”,將代入雙曲線表達(dá)式中,得k=xy=,點(diǎn)P位于O內(nèi)部,0k0)上一點(diǎn),P是點(diǎn)O,D,E的最優(yōu)覆蓋矩形的外接圓,求出P的半徑r的取值范圍.4x解析解析(1)35.

21、點(diǎn)A,B,C的最優(yōu)覆蓋矩形的面積為40,由定義可知,t=-3或6,即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,-2)或(6,-2).設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b(k0),或或y=5x+13或y=-x+.(2)如圖1,當(dāng)OD所在的直線交雙曲線于點(diǎn)E時(shí),易知P的半徑最小,此時(shí)矩形OFEG是點(diǎn)O,D,E的最優(yōu)覆蓋矩形.32,23kbkb 32,26.kbkb 5,13kb5,87,4kb 587482 圖1點(diǎn)D(1,1),OD所在直線的表達(dá)式為y=x,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,2),OE=2,P的半徑為,如圖2,當(dāng)點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1時(shí),P的半徑最大,由1=,解得x=4,224x83 圖2連接OE,則OE=,此時(shí)P的半徑為,當(dāng)點(diǎn)

22、E的橫坐標(biāo)為1時(shí),過程同上.綜上,r.2214171722172思路分析思路分析 理解最優(yōu)覆蓋矩形的含義,同時(shí)要通過畫圖觀察如何保證最優(yōu).解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵 解決本題第(2)問的關(guān)鍵是要能夠發(fā)現(xiàn)最優(yōu)覆蓋矩形.8421.(2017北京西城一模,29)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若點(diǎn)P和點(diǎn)P1關(guān)于y軸對(duì)稱,點(diǎn)P1和點(diǎn)P2關(guān)于直線l對(duì)稱,則稱點(diǎn)P2是點(diǎn)P關(guān)于y軸,直線l的二次對(duì)稱點(diǎn).(1)如圖1,點(diǎn)A(-1,0).若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于y軸,直線l1:x=2的二次對(duì)稱點(diǎn),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ;點(diǎn)C(-5,0)是點(diǎn)A關(guān)于y軸,直線l2:x=a的二次對(duì)稱點(diǎn),則a的值為 ;點(diǎn)D(2,1)是點(diǎn)A關(guān)于y軸,直線l3的二次對(duì)

23、稱點(diǎn),則直線l3的表達(dá)式為 ;(2)如圖2,O的半徑為1,若O上存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)M是點(diǎn)M關(guān)于y軸,直線l4:x=b的二次對(duì)稱點(diǎn),且點(diǎn)M在射線y=x(x0)上,b的取值范圍是 ;(3)E(t,0)是x軸上的動(dòng)點(diǎn),E的半徑為2,若E上存在點(diǎn)N,使得點(diǎn)N是點(diǎn)N關(guān)于y軸,直線l5:y=x+1的二次對(duì)稱點(diǎn),且點(diǎn)N在y軸上,求t的取值范圍.33385 圖1 圖286解析解析(1)(3,0).-2.y=-x+2.(2)-b1.(3)將點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)記為點(diǎn)P,點(diǎn)P和點(diǎn)N關(guān)于直線l5:y=x+1對(duì)稱,直線y=x+1和y軸關(guān)于直線l5:y=x+1對(duì)稱,點(diǎn)P在直線y=x+1上,直線y=-x+1和直線y=x+1

24、關(guān)于y軸對(duì)稱,點(diǎn)N在直線y=-x+1上,符合題意的點(diǎn)N是y=-x+1與E的公共點(diǎn).(i)當(dāng)直線y=-x+1與E相離時(shí),則不存在符合題意的點(diǎn)N.12333333333333333387(ii)當(dāng)直線y=-x+1與E相切時(shí),如圖所示.則符合題意的點(diǎn)N是直線y=-x+1與E的切點(diǎn).記直線y=-x+1與x軸交于點(diǎn)R,易知R(,0).若點(diǎn)E在點(diǎn)R的左側(cè),則由E1N1=2,可得RE1=4,OE1=4-,t1=-4+.33333333388若點(diǎn)E在點(diǎn)R的右側(cè),則由E2N2=2,可得RE2=4,OE2=4+,t2=4+.(iii)當(dāng)直線y=-x+1與E相交時(shí),由(ii)可知,-4+t0)和雙曲線y=(n0),

25、如果m=2n,則稱雙曲線y=(m0)和雙曲線y=(n0)為“倍半雙曲線”,雙曲線y=(m0)是雙曲線y=(n0)的“倍雙曲線”,雙曲線y=(n0)是雙曲線y=(m0)的“半雙曲線”.(1)雙曲線y=的“倍雙曲線”是 ;雙曲線y=的“半雙曲線”是 ;(2)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A是雙曲線y=在第一象限內(nèi)任意一點(diǎn),過點(diǎn)A且與y軸平行的直線交雙曲線y=的“半雙曲線”于點(diǎn)B,求AOB的面積;(3)如圖2,已知點(diǎn)M是雙曲線y=(k0)在第一象限內(nèi)任意一點(diǎn),過點(diǎn)M與y軸平行的直線交雙曲線y=的“半雙曲線”于點(diǎn)N,過點(diǎn)M與x軸平行的直線交雙曲線y=的“半雙曲線”于點(diǎn)P,若MNP的面積記為S

26、MNP,且1SMNP2,求k的取值范圍.mxnxmxnxmxnxnxmx3x8x4x4x2kx2kx2kx90 圖1 圖291解析解析(1)雙曲線y=的“倍雙曲線”是y=;雙曲線y=的“半雙曲線”是y=.(2)雙曲線y=的“半雙曲線”是y=,AOC的面積為2,BOC的面積為1,AOB的面積為1.(3)解法一:依題意可知雙曲線y=(k0)的“半雙曲線”為y=(k0),設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x(x0),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為,點(diǎn)N的坐標(biāo)為,CM=,CN=.3x6x8x4x4x2x2kxkx2,kxx,kxx2kxkx92MN=-=.同理,PM=.SMNP=MNPM=.1SMNP2,12.4k8.解法二:依題意可

27、知雙曲線y=(k0)的“半雙曲線”為y=(k0),設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x(x0),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為,點(diǎn)N的坐標(biāo)為,2kxkxkx2x124k4k2kxkx2,kxx,kxx93易知點(diǎn)N為MC的中點(diǎn),點(diǎn)P為MD的中點(diǎn).連接OM.=,PMN=OCM=90,PMNOCM.=.SOCM=k,SMNP=.1SMNP2,12.4k8.PMOCMNMC12MNPOCMSS144k4k94思路分析思路分析 (1)根據(jù)“倍半雙曲線”的定義解題.(2)確定反比例函數(shù)解析式,根據(jù)k的幾何意義求解.(3)解法一:表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),由三角形面積公式得到SMNP=,列不等式求出k的范圍.解法二:根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出SMN

28、P=,再求k的范圍.4k4k9523.(2016北京西城一模,29)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對(duì)于點(diǎn)P和圖形W,如果線段OP與圖形W無公共點(diǎn),則稱點(diǎn)P為關(guān)于圖形W的“陽光點(diǎn)”;如果線段OP與圖形W有公共點(diǎn),則稱點(diǎn)P為關(guān)于圖形W的“陰影點(diǎn)”.(1)如圖1,已知點(diǎn)A(1,3),B(1,1),連接AB, 圖1在P1(1,4),P2(1,2),P3(2,3),P4(2,1)這四個(gè)點(diǎn)中,關(guān)于線段AB的“陽光點(diǎn)”是 ;線段A1B1AB,A1B1上的所有點(diǎn)都是關(guān)于線段AB的“陰影點(diǎn)”,且當(dāng)線段A1B1向上或向下平移時(shí),都會(huì)有A1B1上的點(diǎn)成為關(guān)于線段AB的“陽光點(diǎn)”.若A1B1的長(zhǎng)為4,且點(diǎn)A1在B1的上方

29、,則點(diǎn)A1的坐標(biāo)為 ;96(2)如圖2,已知點(diǎn)C(1,),C與y軸相切于點(diǎn)D,若E的半徑為,圓心E在直線l:y=-x+4上,且E上的所有點(diǎn)都是關(guān)于C的“陰影點(diǎn)”,求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的取值范圍;(3)如圖3,M的半徑為3,點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離為5.點(diǎn)N是M上到原點(diǎn)距離最近的點(diǎn),點(diǎn)Q和T是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且M上的所有點(diǎn)都是關(guān)于NQT的“陰影點(diǎn)”,直接寫出NQT的周長(zhǎng)的最小值. 3323397解析解析(1)P1,P4.(2,6).(2)情況一:如圖,當(dāng)E與y軸相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為F,連接EF.E與y軸相切于點(diǎn)F,EFy軸.E的半徑為,EF=.323298此時(shí)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為.情況二:如圖,設(shè)直線l分別與x軸

30、,y軸交于點(diǎn)G,H,連接CD,CO,過點(diǎn)O作C的另一條切線OI,切點(diǎn)為I,直線OI與直線l交于點(diǎn)J.當(dāng)E與直線OI相切時(shí),過點(diǎn)E作EKy軸于點(diǎn)K.C與y軸相切于點(diǎn)D,CDy軸.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,),tanCOD=.323CDOD3399COD=30.C與OI相切于點(diǎn)I,COI=COD=30.HOJ=COI+COD=60.直線l:y=-x+4分別與x軸,y軸交于點(diǎn)G,H,G(4,0),H(0,4).tanOHG=.OHG=30.OJH=180-HOJ-OHJ=90.HGOJ.E與直線OJ相切,切點(diǎn)為點(diǎn)J.EJ=.在RtOHJ中,HJ=OHcosOHJ=6,333OGOH3332100HE=HJ-

31、EJ=.KE=HE=.此時(shí)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為.可知,點(diǎn)E在直線l上,從情況一中的位置運(yùn)動(dòng)到情況二中的位置時(shí),都滿足題意,所以點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的取值范圍是xE.(3).詳解:連接OM與M的交點(diǎn)即為點(diǎn)N.作圓M的切線OH、OI,切點(diǎn)為H、I,連接MH、MI,分別作N關(guān)于OH、OI的對(duì)稱點(diǎn)N,N,連接NN,分別交OH、OI于Q、T,連接NQ、NT,此時(shí)NQT的周長(zhǎng)最小.9212949432949625101由OM=5,MI=MN=3,可得OI=4,ON=2.由OMIONJ,可得NJ=,所以NN=.OMI=KNN,sinKNN=,sinOMI=,=,65125KNNN125KNOIOM45125KN45102

32、KN=,NN=,NQT的周長(zhǎng)最小值為.482596259625思路分析思路分析 (1)根據(jù)新定義判斷.用相似解決.(2)分情況討論,以臨界點(diǎn)為突破口.(3)在(2)的基礎(chǔ)上利用對(duì)稱求最短距離.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵 第一要準(zhǔn)確理解“陽光點(diǎn)”“陰影點(diǎn)”的概念;第二熟練應(yīng)用相似的相關(guān)知識(shí);第三能根據(jù)新定義畫出符合題意的圖形,并進(jìn)行計(jì)算.10324.(2016北京海淀一模,29)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,C的半徑為r,P是與圓心C不重合的點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于C的限距點(diǎn)的定義如下:若P為直線PC與C的一個(gè)交點(diǎn),滿足rPP2r,則稱P為點(diǎn)P關(guān)于C的限距點(diǎn).下圖為點(diǎn)P及其關(guān)于C的限距點(diǎn)P的示意圖.(1)當(dāng)O的半徑為1時(shí)

33、,分別判斷點(diǎn)M(3,4),N,T(1,)關(guān)于O的限距點(diǎn)是否存在.若存在,求其坐標(biāo);點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0),DE,DF分別切O于點(diǎn)E,點(diǎn)F,點(diǎn)P在DEF的邊上.若點(diǎn)P關(guān)于O的限距點(diǎn)P存在,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍;(2)保持(1)中D,E,F三點(diǎn)不變,點(diǎn)P在DEF的邊上沿EFDE的方向運(yùn)動(dòng),C的圓心C的坐標(biāo)為(1,0),半徑為r.請(qǐng)從下面兩個(gè)問題中任選一個(gè)作答.5,022104問題1問題2若點(diǎn)P關(guān)于C的限距點(diǎn)P存在,且P隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)所形成的路徑長(zhǎng)為r,則r的最小值為 .若點(diǎn)P關(guān)于C的限距點(diǎn)P不存在,則r的取值范圍為 .105解析解析(1)點(diǎn)M,點(diǎn)T關(guān)于O的限距點(diǎn)不存在;點(diǎn)N關(guān)于O的限距點(diǎn)存在,坐

34、標(biāo)為(1,0).點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0),O的半徑為1,DE,DF分別切O于點(diǎn)E,點(diǎn)F,切點(diǎn)坐標(biāo)為,.如圖所示,不妨設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為,點(diǎn)F的坐標(biāo)為.連接EO,FO,EO,FO的延長(zhǎng)線分別交O于點(diǎn)E,F,則E,F.13,2213,2213,2213,2213,2213,22106設(shè)點(diǎn)P關(guān)于O的限距點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x.a.當(dāng)點(diǎn)P在線段EF(包括端點(diǎn))上時(shí),直線PO與的交點(diǎn)P滿足1PP2,故點(diǎn)P關(guān)于O的限距點(diǎn)存在,其橫坐標(biāo)x滿足-1x-.b.當(dāng)點(diǎn)P在線段DE,DF(不包括端點(diǎn))上時(shí),直線PO與O的交點(diǎn)P滿足0PP1或2PP3,故點(diǎn)P關(guān)于O的限距點(diǎn)不存在.c.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí),直線PO與O的交點(diǎn)P(1,0)

35、滿足PP=1,故點(diǎn)P關(guān)于O的限距點(diǎn)存在,其橫坐標(biāo)x=1.綜上所述,點(diǎn)P關(guān)于O的限距點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的范圍為-1x-或x=1.(2)問題1:.問題2:0r.問題1:若點(diǎn)P在圓C的外部,且P的限距點(diǎn)P存在,則rPP2r,2rCP3r.E F12123916107P隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)所形成的路徑長(zhǎng)為r,且DEF為等邊三角形,P在一邊上運(yùn)動(dòng),P隨之運(yùn)動(dòng)所形成的路徑長(zhǎng)為r.=r,n=60,當(dāng)CP=3r時(shí),C到DE的距離為,r,r的最小值為.13180n r133 32r3 32r123939108問題2:當(dāng)3r,即r時(shí),P關(guān)于C的限距點(diǎn)P不存在.12161091.(2018江西,23,12分)小賢與小杰在探究某類

36、二次函數(shù)問題時(shí),經(jīng)歷了如下過程:求解體驗(yàn)(1)已知拋物線y=-x2+bx-3經(jīng)過點(diǎn)(-1,0),則b= ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ,該拋物線關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式是 .抽象感悟我們定義:對(duì)于拋物線y=ax2+bx+c(a0),以y軸上的點(diǎn)M(0,m)為中心,作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的拋物線y,則我們又稱拋物線y為拋物線y的“衍生拋物線”,點(diǎn)M為“衍生中心”.(2)已知拋物線y=-x2-2x+5關(guān)于點(diǎn)(0,m)的衍生拋物線為y,若這兩條拋物線有交點(diǎn),求m的取值范圍.問題解決(3)已知拋物線y=ax2+2ax-b(a0).若拋物線y的衍生拋物線為y=bx2-2bx+a2(b0),兩拋物線有兩個(gè)

37、交點(diǎn),且恰好是它們的頂點(diǎn),求a,b的值及衍生中心的坐標(biāo);若拋物線y關(guān)于點(diǎn)(0,k+12)的衍生拋物線為y1,其頂點(diǎn)為A1;關(guān)于點(diǎn)(0,k+22)的衍生拋物線為y2,教師專用題組教師專用題組110其頂點(diǎn)為A2;關(guān)于點(diǎn)(0,k+n2)的衍生拋物線為yn,其頂點(diǎn)為An;(n為正整數(shù)).求AnAn+1的長(zhǎng)(用含n的式子表示). (備用圖)111解析解析(1)-4;(-2,1);y=(x-2)2+1(或y=x2-4x+5).(2)易知拋物線y=-x2-2x+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,6),且點(diǎn)(-1,6)關(guān)于點(diǎn)(0,m)的對(duì)稱點(diǎn)為(1,2m-6),衍生拋物線的解析式為y=(x-1)2+2m-6.由y=-(x

38、+1)2+6,y=(x-1)2+2m-6,y=y,得x2+m-5=0,即x2=5-m.當(dāng)5-m0,即m5時(shí),方程有解.m的取值范圍為m5.(3)拋物線y=ax2+2ax-b的頂點(diǎn)為(-1,-a-b),拋物線y=bx2-2bx+a2的頂點(diǎn)為(1,-b+a2),由兩拋物線的交點(diǎn)恰好是它們的頂點(diǎn),得a2-3a=0,a2+a+4b=0,解得a1=0,b1=0(舍去),a2=3,b2=-3.拋物線y的頂點(diǎn)為(-1,0),拋物線y的頂點(diǎn)為(1,12).兩拋物線的衍生中心坐標(biāo)為(0,6).112y=ax2+2ax-b=a(x+1)2-a-b,y1=-a(x-1)2+2k+2+a+b,頂點(diǎn)A1為(1,2k+2

39、+a+b),y2=-a(x-1)2+2k+8+a+b,頂點(diǎn)A2為(1,2k+8+a+b),yn=-a(x-1)2+2k+2n2+a+b,頂點(diǎn)An為(1,2k+2n2+a+b),yn+1=-a(x-1)2+2k+2(n+1)2+a+b,頂點(diǎn)An+1為(1,2k+2(n+1)2+a+b),AnAn+1=2k+2(n+1)2+a+b-(2k+2n2+a+b)=2(n+1)2-2n2=4n+2.113思路分析思路分析 (1)將(-1,0)代入拋物線y=-x2+bx-3求得b值,將拋物線解析式配方得出頂點(diǎn)坐標(biāo),先求出頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)開口方向相反求得該拋物線關(guān)于點(diǎn)(0

40、,1)成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式;(2)首先確定拋物線y=-x2-2x+5關(guān)于點(diǎn)(0,m)的衍生拋物線y,然后聯(lián)立兩個(gè)解析式得出x2=5-m,若這兩條拋物線有交點(diǎn),則5-m0,從而得出m的取值范圍;(3)先求出拋物線y=ax2+2ax-b(a0)的頂點(diǎn)(-1,-a-b),拋物線y的衍生拋物線y=bx2-2bx+a2(b0)的頂點(diǎn)(1,-b+a2),依據(jù)兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),且恰好是它們的頂點(diǎn),把(-1,-a-b)代入y=bx2-2bx+a2(b0),把(1,-b+a2)代入y=ax2+2ax-b(a0)得出a2+a+4b=0和a2-3a=0,解得a和b值,進(jìn)而得出衍生中心的坐標(biāo);先求出頂點(diǎn)A1,A

41、2的坐標(biāo),進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)An的坐標(biāo),根據(jù)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)相同這一特點(diǎn)求出AnAn+1的長(zhǎng).方法指導(dǎo)方法指導(dǎo) 數(shù)形結(jié)合思想主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來,通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”,即抽象思維與形象思維的結(jié)合,使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,抽象問題具體化,從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.1142.(2018重慶,25,10分)對(duì)任意一個(gè)四位數(shù)n,如果千位與十位上的數(shù)字之和為9,百位與個(gè)位上的數(shù)字之和也為9,則稱n為“極數(shù)”.(1)請(qǐng)任意寫出三個(gè)“極數(shù)”;并猜想任意一個(gè)“極數(shù)”是不是99的倍數(shù),請(qǐng)說明理由;(2)如果一個(gè)正整數(shù)a是另一個(gè)正整數(shù)b的

42、平方,則稱正整數(shù)a是完全平方數(shù).若四位數(shù)m為“極數(shù)”,記D(m)=.求滿足D(m)是完全平方數(shù)的所有m.33m115解析解析(1)4 158,6 237,9 900.(2分)任意一個(gè)“極數(shù)”是99的倍數(shù).理由:設(shè)任意一個(gè)“極數(shù)”n的千位數(shù)字為x,百位數(shù)字為y(其中1x9,0y9,且x,y為整數(shù)),則十位上的數(shù)字為9-x,個(gè)位上的數(shù)字為9-y.則這個(gè)數(shù)可以表示為n=1 000 x+100y+10(9-x)+9-y.化簡(jiǎn),得n=990 x+99y+99=99(10 x+y+1).1x9,0y9,且x,y為整數(shù),10 x+y+1為整數(shù).任意一個(gè)“極數(shù)”都是99的倍數(shù).(4分)(2)由(1)可知,設(shè)任

43、意一個(gè)“極數(shù)”m的千位數(shù)字為x,百位數(shù)字為y(其中1x9,0y9,且x,y為整數(shù)),則“極數(shù)”m可表示為m=99(10 x+y+1).D(m)=3(10 x+y+1).(5分)1x9,0y9,1110 x+y+1100.333(10 x+y+1)300.33m116D(m)為完全平方數(shù)且D(m)是3的倍數(shù),D(m)=36或81或144或225.(6分)當(dāng)D(m)=36時(shí),得10 x+y=11,解得x=1,y=1.此時(shí),m=1 188.當(dāng)D(m)=81時(shí),得10 x+y=26,解得x=2,y=6.此時(shí),m=2 673.當(dāng)D(m)=144時(shí),得10 x+y=47,解得x=4,y=7.此時(shí),m=4

44、752.當(dāng)D(m)=225時(shí),得10 x+y=74,解得x=7,y=4.此時(shí),m=7 425.綜上,滿足條件的m為1 188,2 673,4 752,7 425.(10分)思路分析思路分析 (1)設(shè)“極數(shù)”n的千位數(shù)字為x,百位數(shù)字為y,則極數(shù)n=1 000 x+100y+10(9-x)+9-y,化簡(jiǎn)得n=99(10 x+y+1),顯然是99的倍數(shù);(2)根據(jù)(1)得出的極數(shù)m=99(10 x+y+1),進(jìn)而得出D(m)=3(10 x+y+1),進(jìn)一步得出D(m)的取值范圍,根據(jù)完全平方數(shù)的定義推出D(m)=36或81或144或225,最后得出極數(shù)m的值.易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示 易忽略x,y的取值范

45、圍及所得關(guān)系式的自身特征而致錯(cuò).1173.(2017江西,23,12分)我們定義:如圖1,在ABC中,把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(06-24-3,所以34是12的最佳分解,所以F(12)=.(1)如果一個(gè)正整數(shù)a是另外一個(gè)正整數(shù)b的平方,我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù).求證:對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m,總有F(m)=1;(2)如果一個(gè)兩位正整數(shù)t,t=10 x+y(1xy9,x,y為自然數(shù)),交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為18,那么我們稱這個(gè)數(shù)t為“吉祥數(shù)”.求所有“吉祥數(shù)”中F(t)的最大值.pq34127解析解析(1)證明:對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m,設(shè)m=n2(n為

46、正整數(shù)).|n-n|=0,nn是m的最佳分解.對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m,總有F(m)=1.(2)設(shè)交換t的個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t,則t=10y+x.t為“吉祥數(shù)”,t-t=(10y+x)-(10 x+y)=9(y-x)=18.y=x+2.1xy9,x,y為自然數(shù),“吉祥數(shù)”有:13,24,35,46,57,68,79.易知F(13)=,F(24)=,F(35)=,F(46)=,F(57)=,F(68)=,F(79)=.,所有“吉祥數(shù)”中F(t)的最大值是.nn1134623572233194171795723417319223113179571285.(2016湖南長(zhǎng)沙,25,10

47、分)若拋物線L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),abc0)與直線l都經(jīng)過y軸上的一點(diǎn)P,且拋物線L的頂點(diǎn)Q在直線l上,則稱此直線l與該拋物線L具有“一帶一路”關(guān)系,此時(shí),直線l叫做拋物線L的“帶線”,拋物線L叫做直線l的“路線”.(1)若直線y=mx+1與拋物線y=x2-2x+n具有“一帶一路”關(guān)系,求m,n的值;(2)若某“路線”L的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)y=的圖象上,它的“帶線”l的解析式為y=2x-4,求此“路線”L的解析式;(3)當(dāng)常數(shù)k滿足k2時(shí),求拋物線L:y=ax2+(3k2-2k+1)x+k的“帶線”l與x軸,y軸所圍成的三角形面積的取值范圍.6x12129解析解析(1)由題

48、意知n=1,拋物線為y=x2-2x+1,其頂點(diǎn)為(1,0),將(1,0)代入y=mx+1,得m=-1,m=-1,n=1.(2)由題意設(shè)“路線”L的解析式為y=a(x-h)2+b,解得或y=a(x+1)2-6或y=a(x-3)2+2,又“路線”L過點(diǎn)(0,-4),a=2或a=-,y=-x2+4x-4或y=2x2+4x-4.(3)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè)“帶線”l:y=px+k(p0),則=-p+k,p=,y=x+k,6,24,bhbh1,6hb 3,2,hb2323222321 4(321),24kkakkkaa224(321)4akkka23212kka23212kk23212kk130“帶線”

49、l交x軸于點(diǎn),交y軸于點(diǎn)(0,k),k0,3k2-2k+1=3+0,“帶線”l與x軸,y軸所圍成的三角形的面積為S=k=,令t=,則t2,S=,=t2-2t+3=(t-1)2+2,當(dāng)t2時(shí),=3,=2,23,S.22,0321kkk12213k231222321kkk22321kkk211123kk 1k122123tt1S12max1Smin1S1S1312131思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥 若直線與拋物線具有“一帶一路”關(guān)系,則它們的表達(dá)式中的常數(shù)項(xiàng)相同,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足直線的表達(dá)式.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵 一是準(zhǔn)確理解“一帶一路”的含義,二是能熟練使用待定系數(shù)法求出解析式.1326.(2015重慶,2

50、3,10分)如果把一個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個(gè)位依次排出的一串?dāng)?shù)字,與從個(gè)位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字完全相同,那么我們把這樣的自然數(shù)稱為“和諧數(shù)”.例如自然數(shù)12 321,從最高位到個(gè)位依次排出的一串?dāng)?shù)字是:1,2,3,2,1,從個(gè)位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字仍是:1,2,3,2,1,因此12 321是一個(gè)“和諧數(shù)”.再如22,545,3 883,345 543,都是“和諧數(shù)”.(1)請(qǐng)你直接寫出3個(gè)四位“和諧數(shù)”;請(qǐng)你猜想任意一個(gè)四位“和諧數(shù)”能否被11整除,并說明理由;(2)已知一個(gè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”,設(shè)其個(gè)位上的數(shù)字為x(1x4,x為自然數(shù)),十位上的數(shù)字為y,求y與

51、x的函數(shù)關(guān)系式.133解析解析(1)寫出3個(gè)滿足條件的數(shù)即可.(千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字相同,百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字相同)猜想:任意一個(gè)四位“和諧數(shù)”能被11整除.設(shè)一個(gè)四位“和諧數(shù)”個(gè)位上的數(shù)字為a(1a9且a為自然數(shù)),十位上的數(shù)字為b(0b9且b為自然數(shù)),則這個(gè)四位“和諧數(shù)”可表示為1 000a+100b+10b+a.1 000a+100b+10b+a=1 001a+110b=1191a+1110b=11(91a+10b),1 000a+100b+10b+a能被11整除,即任意一個(gè)四位“和諧數(shù)”能被11整除.(2)這個(gè)三位“和諧數(shù)”的個(gè)位上的數(shù)字為x,十位上的數(shù)字為y,這個(gè)三位“

52、和諧數(shù)”可表示為100 x+10y+x.100 x+10y+x=99x+11y+2x-y=11(9x+y)+(2x-y),又這個(gè)三位“和諧數(shù)”能被11整除,且x,y是自然數(shù),2x-y能被11整除.1x4,0y9,2x-y=0.y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2x(1x4且x為自然數(shù)).1347.(2015江西南昌,24,12分)我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.例如圖1,圖2,圖3中,AF,BE是ABC的中線,AFBE,垂足為P,像ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.特例探索(1)如圖1,當(dāng)ABE=45,c=2時(shí),a= ,b= ;如圖2,當(dāng)ABE=30

53、,c=4時(shí),a= ,b= ; 2135歸納證明(2)請(qǐng)你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果,猜想a2,b2,c2三者之間的關(guān)系,用等式表示出來,并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式;拓展應(yīng)用(3)如圖4,在 ABCD中,點(diǎn)E,F,G分別是AD,BC,CD的中點(diǎn),BEEG,AD=2,AB=3.求AF的長(zhǎng). 圖45136解析解析(1)2;2;2;2.(2)猜想a2,b2,c2三者之間的關(guān)系是a2+b2=5c2.證明如下:如圖1,連接EF, 圖1AF,BE是ABC的中線,EF是ABC的中位線.EFAB,且EF=AB=c.=.證法一:設(shè)PF=m,PE=n,則AP=2m,PB=2n,在RtAPB中,(2m)2+(2n)2=

54、c2;551371212PEPBPFPA12137在RtAPE中,(2m)2+n2=;在RtBPF中,m2+(2n)2=.由,得m2+n2=.由+,得5(m2+n2)=.a2+b2=5c2.證法二:在RtAPE和RtBPF中,AE2=AP2+EP2,BF2=BP2+FP2,AE2+BF2=AP2+EP2+BP2+FP2=(AP2+BP2)+(EP2+FP2).AE2+BF2=AB2+EF2.+=c2+,即a2+b2=5c2.(3)解法一:設(shè)AF,BE交于點(diǎn)P.22b22a24c22()4ab212b212a212c138如圖2,取AB的中點(diǎn)H,連接FH,AC. 圖2E,G分別是AD,CD的中點(diǎn)

55、,F是BC的中點(diǎn),EGACFH.又BEEG,FHBE.四邊形ABCD是平行四邊形,ADBC,AD=BC.AE=BF,AEBF,AP=FP.ABF是“中垂三角形”.AB2+AF2=5BF2,139即32+AF2=5()2.AF=4.(另:連接EC,DF,交于點(diǎn)H,EDC是“中垂三角形”,解法類似于解法一,如圖3) 圖3解法二:如圖4,連接AC,CE,延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H. 圖4在ACD中,E,G分別是AD,CD的中點(diǎn),5140EGAC.BEEG,ACBE.又四邊形ABCD是平行四邊形,AEBC,AD=BC,BC=2AE.HAEHBC.=,HA=AB,HE=EC.BE,CA是HBC的中線.

56、HBC是“中垂三角形”.HB2+HC2=5BC2.AB=3,AE=,HB=6,BC=2.62+HC2=5(2)2,解得HC=8.AF是HBC的中位線,AEBCHAHBHEHC12555AF=HC=4.121418.(2015浙江寧波,25,12分)如圖1,點(diǎn)P為MON的平分線上一點(diǎn),以P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM,ON交于A,B兩點(diǎn),如果APB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足OAOB=OP2,我們就把APB叫做MON的智慧角.(1)如圖2,已知MON=90,點(diǎn)P為MON的平分線上一點(diǎn),以P為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線OM,ON交于A,B兩點(diǎn),且APB=135.求證:APB是MON的智慧角.(2)如圖1,

57、已知MON=(00)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過C的直線CD分別交x軸和y軸于A,B兩點(diǎn),且滿足BC=2CA,請(qǐng)求出AOB的智慧角APB的頂點(diǎn)P的坐標(biāo).3x142解析解析 (1)證明:MON=90,P是MON的平分線上一點(diǎn),AOP=BOP=MON=45.AOP+OAP+APO=180,OAP+APO=135.APB=135,APO+OPB=135,OAP=OPB,AOPPOB,=,OP2=OAOB,APB是MON的智慧角.(2)APB是MON的智慧角,12OAOPOPOB143OAOB=OP2,=.P為MON的平分線上一點(diǎn),MON=,AOP=BOP=.AOPPOB,OAP=OPB,APB=OPB+OP

58、A=OAP+OPA=180-,即APB=180-.過A作AGOB于G,SAOB=OBAG=OBOAsin =OP2sin .OAOPOPOB121212121212144OP=2,SAOB=2sin .(3)設(shè)點(diǎn)C(a,b),則ab=3,過點(diǎn)C作CHOA,垂足為點(diǎn)H,i)當(dāng)點(diǎn)B在y軸的正半軸上時(shí),當(dāng)點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上時(shí),BC=2CA不可能;當(dāng)點(diǎn)A在x軸的正半軸上時(shí),BC=2CA,=,CAAB13145CHOB,ACHABO,=,OB=3b,OA=.OAOB=3b=.APB是AOB的智慧角,OP=,AOB=90,OP平分AOB,點(diǎn)P的坐標(biāo)為.ii)當(dāng)點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上時(shí),CHOBAHOACA

59、AB1332a32a92ab272OA OB2723 623 3 3 3,22146BC=2CA,AB=CA.AOB=AHC=90,又BAO=CAH,ACH ABO,OB=CH=b,OA=AH=a,OAOB=ab=.APB是AOB的智慧角,OP=,AOB=90,OP平分AOB,點(diǎn)P的坐標(biāo)為.綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.121232OA OB326233,223 3 3 3,2233,221479.(2015湖南郴州,24,10分)閱讀下面的材料:如果函數(shù)y=f(x)滿足:對(duì)于自變量x的取值范圍內(nèi)的任意x1,x2,(1)若x1x2,都有f(x1)f(x2),則稱f(x)是增函數(shù);(2)若x1f(x2)

60、,則稱f(x)是減函數(shù).例題:證明函數(shù)f(x)=(x0)是減函數(shù).證明:假設(shè)x10,x20.f(x1)-f(x2)=-=,x10,x20,x2-x10,x1x20,0,即f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2),函數(shù)f(x)=(x0)是減函數(shù).2x12x22x211222xxx x21122()xxx x21122()xxx x2x148根據(jù)以上材料,解答下面的問題:(1)函數(shù)f(x)=(x0),f(1)=1,f(2)=.計(jì)算:f(3)= ,f(4)= ,猜想f(x)=(x0)是 函數(shù)(填“增”或“減”);(2)請(qǐng)仿照材料中的例題證明你的猜想.21x2112121421x149解析解析(