高等數(shù)學(xué)上D5_2牛萊公式

1、二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 三、牛頓三、牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式 一、引例一、引例 第二節(jié)第二節(jié) 微積分的基本公式微積分的基本公式 第五五章 一、引例一、引例 在變速直線運動中, 已知位置函數(shù))(ts與速度函數(shù))(tv之間有關(guān)系:)()(tvts物體在時間間隔,21TT內(nèi)經(jīng)過的路程為)()(d)(1221TsTsttvTT這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性 .)()(的原函數(shù)是這里tvts)(xfy xbaoy)(xxhx二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù), ,)(baCxf則變上限函數(shù)xattfxd)()(證證: :, ,bahxx

2、則有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x定理定理1. 若.,)(上的一個原函數(shù)在是baxf,)(baCxf說明說明: :1) 定理 1 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2) 變限積分求導(dǎo):bxttfxd)(dd)(xf)(d)(dd?xattfx)()(xxf同時為通過原函數(shù)計算定積分開辟了道路 .)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx例例1. dttyttyxx20201)2(,dsin) 1 (求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解

3、: :.sin) 1 (xydxd)()(1)2(222xxydxd.124xx2021xdttxdxd)sin(2cosxex例例2. 求0limxtextd1cos22x解解: :原式0limx00 x2e21例例3. 確定常數(shù) a , b , c 的值, 使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解: :,0sin0 xxax,時,0c. 0 b00原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21c ttf txfxd)()(0例例4. ,0)(,),0)(xfxf且內(nèi)連續(xù)在設(shè)證明)(xFt

4、tf txd)(0ttfxd)(0在),0(內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù) . 證證: :)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，（在xF只要證0)( xF 20d)(ttfxxfx)()( )(xf)0(x練習(xí)P243P243 5，7三、牛頓三、牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式上的一個原在是連續(xù)函數(shù)設(shè),)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba( 牛頓 - 萊布尼茲公式) 證證: : 根據(jù)定理 1,)(d)(的一個原函數(shù)是xfxxfxa故CxxfxFxad)()(,ax 令, )(aFC 得因此)()(d)(

5、aFxFxxfxa,bx 再令得)()(d)(aFbFxxfba記作)(xFab)(xFab定理定理2.函數(shù) , 則或例例5. 計算.1d312 xx解解: :xxxarctan1d31213) 1arctan(3arctan3.127例例6. 計算正弦曲線軸所圍成上與在xxy, 0sin的面積 . 解解: :0dsinxxAxcos011. 2)4(yoxxysin例例7. 計算. 1,211, 1)(d )(220 xxxxxfxxf，其中解解: :dxxdxxdxxf201021221) 1()(2131026121xxx.3830) 1(dxxf2,) 1(212,) 1(2xxxxx

6、f分段積分3234)(2xxxf解解：設(shè),d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求).(xf定積分為常數(shù) ,d)(10axxf設(shè)bxxf20d)(abxxxf2)(2, 則10d)(xxfa33x22bxax20120d)(xxfb33x22bxax202ab2231ab4238,31a34b故應(yīng)用積分法定此常數(shù) .例例8. 例例6. 6. 汽車以每小時 36 km 的速度行駛 ,速停車,2sm5a解解: : 設(shè)開始剎車時刻為,0t則此時刻汽車速度0v)(10sm)(sm3600100036剎車后汽車減速行駛 , 其速度為tavtv0)(t510當(dāng)汽車停住時,0)(tv即,0510

7、t得(s)2t故在這段時間內(nèi)汽車所走的距離為20d)(ttvs20d)510(tt22510tt (m)1002)(36hmk剎車, 問從開始剎到某處需要減設(shè)汽車以等加速度車到停車走了多少距離? 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié), )()(, ,)(xfxFbaCxf且設(shè)則有1. 微積分基本公式xxfbad)(積分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理)(abf牛頓 萊布尼茲公式2. 變限積分求導(dǎo)公式 ).()d)()(xfttfxxa作業(yè)作業(yè) P243-244 3 ; 4 ; 6 (6) ,(8) , (11) ; 92. 2.求解解：20dsin2sinxxnxIn的遞推公式(n為正整數(shù)) . 由于,dsin) 1(2si