連續(xù)信號與系統(tǒng)頻域分析

1、第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 第第3章章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 3.0 引言引言 3.1 信號的正交分解信號的正交分解 3.2 周期信號的連續(xù)時間傅里葉級數(shù)周期信號的連續(xù)時間傅里葉級數(shù) 3.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 3.4 非周期信號的連續(xù)時間傅里葉變換非周期信號的連續(xù)時間傅里葉變換 3.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì) 3.6 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換 3.7 連續(xù)信號的抽樣定理連續(xù)信號的抽樣定理 3.8 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 本章要求本章要求 1、能用傅里葉級數(shù)的定義、性質(zhì)和周期信

2、號的傅里葉變化，求解周期信號的頻譜。理解周期信號分解為正弦信號線性組合的物理含義和周期信號頻譜的特點，并會繪制振幅及相位頻譜圖； 2、利用傅里葉變換的定義、性質(zhì)，求解非周期信號的頻譜。利用常見信號的傅里葉變換對和傅里葉變換的性質(zhì)，熟練求解信號的正、反傅里葉變換； 3、了解功率信號與功率譜、能量信號與能量譜的概念；第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 4、熟練計算周期信號和非周期信號激勵下系統(tǒng)的響應。理解頻率響應H(j)并根據(jù)H(j)對系統(tǒng)進行分類。理解無失真?zhèn)鬏?、理想低通濾波器的概念與物理含義，了解各種濾波器的含義，掌握有關(guān)信號濾波的計算； 5、理解信號頻譜搬移的概念，掌握一般信號調(diào)制、解調(diào)和壓縮

3、等的分析計算； 6、理解并掌握抽樣定理，計算抽樣信號的頻譜。了解信號的抽樣與恢復過程。第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 3.0 引引 言言 LTI系統(tǒng)的特性完全可以由其單位沖激響應單位沖激響應來表征，通過對LTI系統(tǒng)單位沖激響應的研究就可分析LTI系統(tǒng)的特性。 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 變換域分析變換域分析就是選取完備的正交函數(shù)集來最佳逼近信號 ，或者說，信號 用完備的完備的正交函數(shù)集正交函數(shù)集來展開，其展開系數(shù)就是信號的變換表示。不同的變換域的區(qū)別就在于選取不同的正交完備集。 采用變換域分析的目的采用變換域分析的目的：主要是簡化分析。這章付里葉變換主要從信號分量的組成信號分量的組成情

4、況去考察信號的特性。從而便于研究信號的傳輸和處理問題。)(tf)(tf第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 3.1 信號的正交分解信號的正交分解 3.1.1 矢量的正交分解矢量的正交分解 1. 正交矢量正交矢量 圖 3.1-1 兩個矢量正交 oV2V190第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 兩矢量V1與V2正交時的夾角為90。不難得到兩正交矢量的點積點積為零， 即 1212cos900V VVV 圖 3.1-2 矢量的近似表示及誤差 oV2V1Vec12V2第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 cos1212VVc所以最佳系數(shù)為 222122212112coscosVVVVVVVVVVc第3章 連續(xù)信號

5、與系統(tǒng)的頻域分析 若V1與V2正交，則=90, cos=0，此時由式(3.1-2)得到的最佳系數(shù)c12=0。 這表明當V1與V2正交時，用c12V2來近似表示V1還不如用0來近似V1。據(jù)此，我們可以把兩個矢量V1與V2正交的概念解釋如下： 給定兩個矢量V1和V2，現(xiàn)在要用與V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，要求誤差矢量的模|Ve|最小(此時的c12稱為最佳)。若最佳的c12=0，則V1與V2正交。 由式(3.1-2)可知，當兩矢量V1與V2正交時，c12=0，即V1V2=0。 2121VcVVe第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 2. 矢量的分解矢量的分解 圖 3.1-3 平面矢量的分解

6、 oVc2V2c1V1V1V221第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 2211VcVcV式中，V1V2=0。 222222111111coscosVVVVVVcVVVVVVcoVc2V2c1V1V1V221第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 圖 3.1-4 三維空間矢量的分解 332211VcVcVcVoVc3V3c1V1V1V3V2c2V2第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 上述矢量分解的概念可以推廣到n維空間。由n個相互正交相互正交 的矢量組成一個n維的矢量空間，而正交矢量集V1, V2, ，Vn為n維空間的完備正交矢量集維空間的完備正交矢量集。n維空間的任一矢量V，可以精確地表示為這n個正交矢

7、量的線性組合， 即 nnrrVcVcVcVcV2211式中，ViVj=0(ij)。 第r個分量的系數(shù) rrrrVVVVc第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 3.1.2 信號的正交分解信號的正交分解 1. 正交函數(shù)正交函數(shù) 設f1(t)和f2(t)為定義在(t1, t2)區(qū)間上的兩個函數(shù)，現(xiàn)在要用與f2(t)成比例的一個函數(shù)c12f2(t)近似地代表f1(t)，其誤差函數(shù)為 dttfEtfctftftteee2122121)()()()(第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 設f1(t)、f2(t)均為復函數(shù)，此時，c12也可能為一復數(shù)系數(shù)。 dttfctftfctfdttfctfdttfEttttt

8、tee212121)()()()()()()(*2*1212121221212第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 式中， “*”代表取共軛復數(shù)。將上式右邊展開， 得 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 根據(jù)該式， 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 上式中，據(jù)平方誤差的定義知Ee0，式中惟一可供選擇的參數(shù)為c12。為使Ee最小，只有選擇c12=B，于是有 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 2. 信號的正交展開信號的正交展開 設有一函數(shù)集g1(t), g2(t)，gN(t)，它們定義在區(qū)間(t1, t2)上，如果對于所有的i、 j(可取1, 2, ，N)都有 ijttiKdttgtg0)()(*21j

9、iji則該函數(shù)集就稱為區(qū)間(t1, t2)上的正交函數(shù)集正交函數(shù)集。 如果 10)()(*21dttgtgjttijiji則稱該函數(shù)集為歸一化正交歸一化正交(復變復變)函數(shù)集函數(shù)集。 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 用一個在區(qū)間用一個在區(qū)間(t1, t2)上的正交函數(shù)集上的正交函數(shù)集gi(t)中各函數(shù)的中各函數(shù)的線性組合就可逼近定義在線性組合就可逼近定義在(t1, t2)區(qū)間上的信號區(qū)間上的信號f(t)，即 NiiiNNrrtgctgctgctgctgctf12211)()()()()()(這種近似表示所產(chǎn)生的平方誤差為 dttgctfEttNiiie2121)()(第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的

10、頻域分析 同樣可以導出，欲使平方誤差最小，其第r個函數(shù)gr(t)的加權(quán)系數(shù)cr應按下式選?。?dttgdttgtfcttrttrr21212*)()()(此時的平方誤差為 dttgcdttfEttNittiie2121122)()(3.1-12)(3.1-13)第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 用一正交矢量集中各分量的線性組合去表示任一矢量，這個矢量集必須是一完備的正交矢量集完備的正交矢量集。 同樣，用一正交函數(shù)集中各函數(shù)的線形組合去代表任一信號，這個函數(shù)集也必須是一個完備的正交函數(shù)集完備的正交函數(shù)集。 如果對某一類函數(shù)f(t) ，所選擇的正交函數(shù)集gi(t)能使上式中的Ee等于零，則稱正交函

11、數(shù)集gi(t)對于f(t)這一類函數(shù)是完備的正交函數(shù)集完備的正交函數(shù)集。 可以證明，如果如果gi(t)是完備的正交函數(shù)集，則再是完備的正交函數(shù)集，則再也找不到另外一個非零函數(shù)與該函數(shù)集中每一個函數(shù)都也找不到另外一個非零函數(shù)與該函數(shù)集中每一個函數(shù)都正交正交。 一個完備的正交函數(shù)集通常包括無窮多個函數(shù)無窮多個函數(shù)。第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 定理定理 3.1-1 設gi(t)在(t1, t2)區(qū)間上是關(guān)于某一類信號f(t)的完備的正交函數(shù)集，則這一類信號中的任何一個信號f(t)都可以精確地表示為gi(t)的線性組合， 即 iiitgctf)()(),(21tt式中，ci為加權(quán)系數(shù)，且有 21

12、212*)()()(ttittiidttgdttgtfc式(3.1-14)稱為正交展開式正交展開式，有時也稱為廣義傅里葉級數(shù)廣義傅里葉級數(shù)，ci稱為傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)。 (3.1-14)(3.1-15)第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 定理定理 3.1-2 在式(3.1-14)條件下，平方誤差Ee=0，由(3.1-13)式有 dttgcdttfttittii212122)()(式(3.1-16)可以理解為：f(t)的能量等于各個分量的能量之和， 即反映能量守恒能量守恒。定理3.1-2 有時也稱為帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理。 (3.1-16)第3章 連續(xù)信號與系

13、統(tǒng)的頻域分析 例例1 已知余弦函數(shù)集cost,cos2t,cosnt(n為整數(shù)) (1) 證明該函數(shù)集在區(qū)間(0,2)內(nèi)為正交函數(shù)集； (2) 該函數(shù)集在區(qū)間(0，2)內(nèi)是完備正交函數(shù)集嗎? (3) 該函數(shù)集在區(qū)間(0， ) 內(nèi)是正交函數(shù)集嗎? 2 由上例可以看到，一個函數(shù)集是否正交，與它所在一個函數(shù)集是否正交，與它所在區(qū)間有關(guān)區(qū)間有關(guān)，在某一區(qū)間可能正交，而在另一區(qū)間又可能不正交。 另外，在判斷函數(shù)集正交時，是指函數(shù)集中所有函函數(shù)集中所有函數(shù)應兩兩正交數(shù)應兩兩正交，不能從一個函數(shù)集中的某n個函數(shù)相互正交，就判斷該函數(shù)集是正交函數(shù)集。第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 常見的完備正交函數(shù)集 (1

14、) 三角函數(shù)集三角函數(shù)集 在區(qū)間 內(nèi)，有 式中，), 2 , 1 , 0,(sin,cos mntmtn),(00TttTttmnTmnTmntdtmtn00)0()(2)(0coscosTttmnTmnmntdtmtn002)0,(0sinsinTtttdtmtn000cossin2T第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 (2) 虛指數(shù)函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集 在區(qū)間 內(nèi)，對于周期為 的一類周期信號來說，也是一個完備的正交函數(shù)集。 (3) 函數(shù)集 在區(qū)間(-，)內(nèi)，對于有限帶寬信號類來說是一個完備的正交函數(shù)集。這里 稱為抽樣函數(shù)抽樣函數(shù)。 ), 2, 1, 0(n netj),(00TttT), 2,

15、 1, 0)( nnTtTSaxxxSasin)(第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 (4) 沃爾什函數(shù)集Wal( k,t )在區(qū)間(0,1)內(nèi)，對于周期為1的一類信號來說是一個完備的正交函數(shù)集。下圖示出了前6個沃爾什函數(shù)波形。w(1,t)0t1-11/21w(2,t)0t1-11/211/43/4w(3,t)0t1-11/211/43/4w(4,t)01-11/211/43/4tw(5,t)01-11/211/43/4t第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 (5) 勒讓德多項式 在區(qū)間(-1,+1)內(nèi)構(gòu)成一個完備正交函數(shù)集，即 ), 2 , 1 , 0() 1(!21)(2 ntdtdntPnnn

16、nn),2325()(),2123()(,)(, 1)(332210 tttPttPttPtP 此外，還有一些多項式也可構(gòu)成正交函數(shù)集，例如雅可比多項式、切貝雪夫多項式等。第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 3.2 周期信號的連續(xù)時間傅里葉級數(shù)周期信號的連續(xù)時間傅里葉級數(shù) 3.2.1 三角形式的傅里葉級數(shù)三角形式的傅里葉級數(shù) 三角函數(shù)集cosnt, sinmt|n=0,1,2,是一個正交函數(shù)集，正交區(qū)間為(t0, t0+T)。這里T=2/是各個函數(shù)cosnt，sinmt的周期。三角函數(shù)集正交性的證明可利用如下公式： 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 上述正交三角函數(shù)集中，當n=0時，cos 0=

17、1, sin 0=0，而0不應計在此正交函數(shù)集中，故一正交三角函數(shù)集可具體寫為 ,2sin,sin,2cos,cos, 1tttt第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 ）（tnbtnaatnbtbtbtnatataatfnnnnsincos2sin2sinsincos2coscos2)(021210式中，=2/T稱為基波角頻率基波角頻率，a0/2，an和bn為加權(quán)系數(shù)加權(quán)系數(shù)。 式(3.2 - 5)就是周期信號周期信號f(t)在在(t0, t0+T)區(qū)間的三角傅里葉級數(shù)區(qū)間的三角傅里葉級數(shù)展開式展開式。由于f(t)為周期信號，且其周期T與三角函數(shù)集中各函數(shù)的周期T相同，故上述展開式在(-, )區(qū)間

18、也是成立的。 三角形式一三角形式一第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 可得加權(quán)系數(shù)：可得加權(quán)系數(shù)： 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 例如，可取t0=0，t0=-T/2等等。顯然，an為n的偶函數(shù)，bn為n的奇函數(shù)， 即 nnnnbbaa三角形式二三角形式二第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 振幅振幅相位相位第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 )sincos(2)(10tnbtnaatfnnn (3-13)14)-(3 2)(2sin)(2cos)(22/2/02/2/2/2/TdttfTatdtntfTbtdtntfTaTTTTnTTn01( )cos()2nnnAf tAn t 2200arct

19、ancossinnnnnnnnnnnnnAabbaaAbAAa 余弦型傅里葉級數(shù)展開式余弦型傅里葉級數(shù)展開式 三角型傅里葉級數(shù)展開式三角型傅里葉級數(shù)展開式 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 信號波形的對稱性與傅里葉系數(shù)之間的關(guān)系信號波形的對稱性與傅里葉系數(shù)之間的關(guān)系奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)積分為零。奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)積分為零。偶函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)積分為半?yún)^(qū)間積分的兩倍。偶函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)積分為半?yún)^(qū)間積分的兩倍。200cos)(4TtdtntfTbTftntd tnTT20022( ) sinaTftd tT0022()tdtntfTaTn0cos)(2），縱軸對稱（偶函數(shù))()(tftfbn 0第3章

20、 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 ，原點對稱（奇函數(shù)）)()(tftf則只含正弦項，則只含正弦項，奇函數(shù)，關(guān)于原奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱。點對稱。tft2( )aan000,aTftntd tnTT20022( ) cos200sin)(4TntdtntfTb第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 ），半周重疊（偶諧函數(shù))()(2Ttftf和偶次諧波無奇次諧波，只有直流04T2TTt)(3tf. . . . .（半波平移半周期兩半周期波形重合）（半波平移半周期兩半周期波形重合），半半周周鏡鏡像像（奇奇諧諧函函數(shù)數(shù))2()(Ttftf 2TT2T)(4tft. . . . .（半波平移半周期關(guān)于橫軸對稱）（半波

21、平移半周期關(guān)于橫軸對稱）諧波分量無偶次諧波，只有奇次第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 說明說明1： 一個周期為一個周期為T的周期信號的周期信號 f(t) ，若滿足狄里赫勒條，若滿足狄里赫勒條件，可展開為三角型傅里葉級數(shù)。件，可展開為三角型傅里葉級數(shù)。狄里赫勒條件：狄里赫勒條件：（實際遇到的信號都滿足）（實際遇到的信號都滿足）1.一個周期內(nèi)只有有限個不連續(xù)點；一個周期內(nèi)只有有限個不連續(xù)點；2.一個周期內(nèi)只有有限個極大值、極小值；一個周期內(nèi)只有有限個極大值、極小值；3.一個周期內(nèi)絕對可積，即一個周期內(nèi)絕對可積，即ftdtTT( ) 22第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域

22、分析 說明說明2： 一般要單獨計算；一般要單獨計算；表示的物理意義是周期信號的表示的物理意義是周期信號的直流分量直流分量。 若若 ，則只可能在它的倍頻上，如，則只可能在它的倍頻上，如 上才可能有頻率分量。上才可能有頻率分量。 、 是是n的函數(shù)，它一定不含有的函數(shù)，它一定不含有t。(對于一個確對于一個確定的定的n來說來說,它是個常數(shù)不是它是個常數(shù)不是t的函數(shù)的函數(shù))a0a00010KHz2030KHzKHz,不必計算。不必計算。anbn第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 例例 3.2-1 求圖示信號的傅里葉級數(shù)展開式。圖 3.2-1 例 3.2-1 圖 of (t)tT2T2T TT2E第3章 連

23、續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 解解 據(jù)式(3.2-6)，在本題中我們?nèi)0=0，則有 20002)(2TTEdtETdttfTa這表明信號f(t)的直流分量為a0/2=E/2。 20200sin2cos2cos)(2TTTnntnTEdttnETdtntfTa第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 考慮到上式中考慮到上式中=2/T，則，則an=0。同樣可得。同樣可得 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 據(jù)式(3.2-10)有 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 在式(3.2-6)中，若取t0=-T/2，則有 of (t)tT2T2T TT2E第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 周期信號周期信號 f (t) 的傅

24、立葉級數(shù)中所含有的頻率分量是的傅立葉級數(shù)中所含有的頻率分量是_。 (A) 余弦項的奇次諧波，無直流余弦項的奇次諧波，無直流 (B) 正弦項的奇次諧波，無直流正弦項的奇次諧波，無直流 (C) 余弦項的偶次諧波，直流余弦項的偶次諧波，直流 (D) 正弦項的偶次諧波，直流。正弦項的偶次諧波，直流。 例例 1：偶函數(shù)：只含余弦項；偶函數(shù)：只含余弦項；半周重疊：半周重疊：只含偶次諧波和直流只含偶次諧波和直流C)(tfT2Tt01第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 例例 2： 周期信號周期信號 f (t) 的傅立葉級數(shù)中所含有的頻率分量是的傅立葉級數(shù)中所含有的頻率分量是_。 (A) 余弦項的奇次諧波，無直流

25、余弦項的奇次諧波，無直流 (B) 正弦項的奇次諧波，無直流正弦項的奇次諧波，無直流 (C) 余弦項的偶次諧波，直流余弦項的偶次諧波，直流 (D) 正弦項的偶次諧波，直流。正弦項的偶次諧波，直流。 )(tfT2Tt011-奇函數(shù)：只含正弦項；奇函數(shù)：只含正弦項；半周鏡象對稱：半周鏡象對稱：只含奇次諧波只含奇次諧波B第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 例例 3： 已知周期信號已知周期信號f (t)前四分之一周期的波形如圖所示，按下前四分之一周期的波形如圖所示，按下列條件繪出整個周期內(nèi)的信號波形。列條件繪出整個周期內(nèi)的信號波形。 f (t)是是t的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，其傅里葉級數(shù)只有偶次諧波；其傅里葉級

26、數(shù)只有偶次諧波；04Tt)(tf04Tt)(tf2TT4T第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 已知周期信號已知周期信號f (t)前四分之一周期的波形如圖所示，按下前四分之一周期的波形如圖所示，按下列條件繪出整個周期內(nèi)的信號波形。列條件繪出整個周期內(nèi)的信號波形。 f (t)是是t的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，其傅里葉級數(shù)只有奇次諧波；其傅里葉級數(shù)只有奇次諧波；04Tt)(tf04Tt)(tf2TT4T第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 已知周期信號已知周期信號f (t)前四分之一周期的波形如圖所示，按下前四分之一周期的波形如圖所示，按下列條件繪出整個周期內(nèi)的信號波形。列條件繪出整個周期內(nèi)的信號波形。 f (t

27、)是是t的偶函數(shù)，其傅里葉級數(shù)的偶函數(shù)，其傅里葉級數(shù) 同時有奇次諧波與偶次諧波；同時有奇次諧波與偶次諧波；04Tt)(tf04Tt)(tf2TT4T第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 3.2.2 指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 000() ()tTjn tjm tteedtTnmnm式中，T=2/為指數(shù)函數(shù)公共周期指數(shù)函數(shù)公共周期，m、n為整數(shù)。任意函數(shù)f(t)可在區(qū)間(t0, t0+T)內(nèi)用此函數(shù)集表示為 ntjnntjtjtjtjeFeFeFeFeFFtf2212210)(第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 式中，相關(guān)系數(shù)式中，相關(guān)系數(shù)Fn 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 指數(shù)傅里

28、葉級數(shù)還可以從三角傅里葉級數(shù)直接導出。第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 dtetfTFATtttjnnn00)(22一般來說Fn亦為一復數(shù)，即 nnjnjnnneFeAAF2121nnntnjnnntjnntnFFeFeFtfn)cos(2)(0)(第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 一般情況下，一般情況下， 是關(guān)于是關(guān)于變量變量 的復函數(shù)，常稱為傅的復函數(shù)，常稱為傅氏級數(shù)的氏級數(shù)的復系數(shù)復系數(shù)。FnnnFtf)(記為記為（時域）（時域） （頻域）（頻域）已知已知 求求 稱為稱為正變換正變換：f t ( )FnntjnneFtf)(dtetfTFtnjTTn22)(1反之，稱為反之，稱為反變換反

29、變換：是一對變換對。是一對變換對。n的取值范圍與三角形傅氏級數(shù)不同的取值范圍與三角形傅氏級數(shù)不同第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 說明：說明： 1、 仍為直流分量，一般仍要單獨計算；仍為直流分量，一般仍要單獨計算； 2、當、當 為實函數(shù)時為實函數(shù)時 ， ，即，即 與與 為為一對共軛復數(shù)。有一對共軛復數(shù)。有 3、負頻率的出現(xiàn)無物理意義，只是數(shù)學表達，同一、負頻率的出現(xiàn)無物理意義，只是數(shù)學表達，同一 值正負頻率分量總是共軛出現(xiàn)，其和才是一個頻率分值正負頻率分量總是共軛出現(xiàn)，其和才是一個頻率分量的值，有量的值，有00aF f t ( )FFnnFnFnFFnn FFnnn第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域

30、分析 4、當、當 是實偶函數(shù)時，則是實偶函數(shù)時，則 是實偶函數(shù)；是實偶函數(shù)； 當當 是實奇函數(shù)時，則是實奇函數(shù)時，則 是虛奇函數(shù)。是虛奇函數(shù)。 強調(diào)：指數(shù)型和三角形兩種傅氏級數(shù)的強調(diào)：指數(shù)型和三角形兩種傅氏級數(shù)的n，取值范圍是不同的。取值范圍是不同的。F eF eF eeFeeFntFnjntnjntnFjntnFjntnnnn000020 cosf t ( )Fnf t ( )Fn第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 3.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜或第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 3.3.1 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 周期信號的復振幅 一般為為n的復函數(shù)的復函數(shù)，因而描述其特點的頻譜

31、圖一般要畫兩個，一個稱為振幅頻譜振幅頻譜，另一個稱為相位頻譜相位頻譜。 所謂振幅頻譜為以為橫坐標，以振幅振幅為縱坐標所畫出的譜線圖； 而相位頻譜則為以為橫坐標，以相位相位為縱坐標所得到的譜線圖。 在信號的復振幅復振幅 為為n的實函數(shù)的實函數(shù)的特殊情況下，其復振幅 與變量(n)的關(guān)系也可以用一個圖繪出。 )(nnFA)(nnFA)(nnFA第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 例例 3.3-1 ),306cos(8 . 0)453cos(4 . 0)202cos(2)10cos(31)(tttttf試畫出f(t)的振幅譜和相位譜。 解解 f(t)為周期信號，題中所給的f(t)表達式可視為f(t)的傅

32、里葉級數(shù)展開式。據(jù) 10)cos(2)(nnntnAAtf可知，其基波頻率=(rad/s)，基本周期T=2 s，=2、3、 6 分別為二、 三、六次諧波頻率。且有 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 其余 0nA8 . 04 . 063AA3045632321AA120A01201020 ( )1 3cos(10 )2cos(220 )0.4cos(345 )0.8cos(630 )f ttttt 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 圖圖 3.3-1 例例 3.3-1 信號的頻譜信號的頻譜(a) 振幅譜；振幅譜； (b) 相位譜相位譜 Ano23456( a )321 no23456( b )15

33、304510204530320.40.8Ano23456( a )321 no23456( b )15304510204530320.40.88 . 04 . 063AA3045632321AA120A01201020 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 圖 3.3-2 例 3.3-1 信號的雙邊頻譜(a) 振幅譜|Fn|o23456( a)121 .510 .20 .41 .510 .20 .43456 no234561 5 3 0 4 5 1 0 2 0 4 5 3 0 1 5 3 0 4 5 1 0 2 0 4 5 3 0 234562( b)第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 |Fn|o2

34、3456(a )121.510.20.43456 no2345615304510204530 15 30 45 10 20 45 30234562(b )圖 3.3-2 例 3.3-1 信號的雙邊頻譜(b) 相位譜 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 3.3.2 周期信號頻譜的特點周期信號頻譜的特點 0)(Etf22,222TttTt當當圖圖 3.3-3 周期矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號 otT2T2TT222 TEf (t)第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 為得到該信號的頻譜，先求其傅里葉級數(shù)的復振幅。 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 2nSaTEFn 取樣函數(shù)定義為 x

35、xxSasin)(這是一個偶函數(shù)，且x0時，Sa(x)=1；當x=k時，Sa(k)=0。 據(jù)此，可將周期矩形脈沖信號的復振幅寫成取樣函數(shù)的形式，即 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 圖 3.3-4 Sa(x)函數(shù)的波形 Sa(x)2323x1o第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 圖 3.3-5 周期矩形脈沖信號的頻譜 FnTE324o譜線間隔譜線間隔2T 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 由圖 3.3-5 可以看出，此周期信號頻譜具有以下幾個特點： 第一為離散性離散性，此頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個正弦正弦分量，所以此頻譜稱為不連續(xù)譜或離散譜不連續(xù)譜或離散譜。 第二為諧波性諧波性，

36、此頻譜的每一條譜線只能出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍頻率上，即含有的各次諧波分量，而決不含有非的諧波分量。 第三為收斂性收斂性，此頻譜的各次諧波分量的振幅雖然隨n的變化有起伏變化，但總的趨勢是隨著n的增大而逐漸減小。 當n時，|Fn|0。 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 圖 3.3-6 不同值時周期矩形信號的頻譜(a) =T/5; (b) =T/10 f(t)to22T(a)FnE2o542Tf(t)toT(b)Eo102FnEE譜線間隔不變譜線間隔不變T2第一個過零點增加一倍第一個過零點增加一倍第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 圖 3.3-7 不同T值時周期矩形信號的頻譜(a) T=5; (b)

37、T=10 f(t)to 2T(a)FnEo52Tf(t)toT(b)Eo10FnEE2222T22T244譜線間隔減小一倍譜線間隔減小一倍第一個過零點不變第一個過零點不變幅值減小一倍幅值減小一倍周期周期T擴展一倍擴展一倍第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 周期矩形脈沖信號含有無窮多無窮多條譜線，也就是說，周期矩形脈沖信號可表示為無窮多個正弦分量之和。在信號的傳輸過程中，要求一個傳輸系統(tǒng)能將這無窮多個正弦分量不失真地傳輸顯然是不可能的。 實際工作中，應要求傳輸系統(tǒng)能將信號中的主要頻率分量傳輸過去，以滿足失真度方面的基本要求。周期矩形脈沖周期矩形脈沖信號的主要能量集中在第一個零點之內(nèi)信號的主要能量集

38、中在第一個零點之內(nèi)， 因而，常常將=0 這段頻率范圍稱為矩形脈沖信號的頻帶寬度頻帶寬度。記為 2第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 )/(2sradB或 )(1HzBf第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 3.3.3 周期信號的功率周期信號的功率 周期信號的能量是無限的，而其平均功率是有界的，因而周期信號是功率信號。為了方便，往往將周期信號在周期信號在1電阻上電阻上消耗的平均功率定義為周期信號的功率消耗的平均功率定義為周期信號的功率。顯然，對于周期信號f(t)， 無論它是電壓信號還是電流信號，其平均功率均為 dttfTPTT)(1222ntjnneFtf)(第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 因此，據(jù)

39、函數(shù)正交分解中的帕塞瓦爾定理因此，據(jù)函數(shù)正交分解中的帕塞瓦爾定理(式式(3.1-16)，有，有 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 0 1 2 31-1-32nF功率譜功率譜0.25 0 1 2 31-1-3nF，試畫出其功率譜。例：已知tttf3cossin1)(功率譜僅與幅度譜有關(guān)，功率譜僅與幅度譜有關(guān)，與相位譜無關(guān)與相位譜無關(guān)。第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 例：試計算圖示信號在頻譜第一個零點以內(nèi)各分量的功率所占總功率的百分比。1)(tft1 . 01 . 012 . 0111)(11 . 01 . 02222dtdttfTPTT解：先在時域中求信號的功

40、率：第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 ntjnneFtf0)(將f(t)展開為指數(shù)型傅里葉級數(shù))2 .0(2 .0)(nSaTnSaTFn5,n 頻譜第一個零點在即在第一個零交點內(nèi)包含五個諧波信號在頻譜第一個零點以內(nèi)的各分量的功率和為512202nnFFP第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 代入，得將nF)()8 . 0()6 . 0()4 . 0()2 . 0()2 . 0(2)2 . 0(222222210SaSaSaSaSaP18. 0%3 .902 . 018. 010PP頻譜第一個零點以內(nèi)各分量的功率占總功率的90.3%000438. 002. 0046. 007. 004. 0第3章

41、 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 3.4 非周期信號的連續(xù)時間傅里葉變換非周期信號的連續(xù)時間傅里葉變換 3.4.1 傅里葉變換傅里葉變換第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 對于非周期信號，重復周期非周期信號，重復周期T趨于無限大，譜線間隔趨于無窮趨于無限大，譜線間隔趨于無窮小量小量d，而離散頻率，而離散頻率n變成連續(xù)頻率變成連續(xù)頻率。在這種極限情況下，F(xiàn)n趨于無窮小量，但 可望趨于有限值，且為一個連續(xù)函數(shù)，通常記為F(j)，即 nnFTF2第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 dejFeFtftjtjnnnT)(21lim)(第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 非周期信號的傅里葉變換傅里葉變換可簡記為 一般

42、來說，傅里葉變換存在的充分條件為f(t)應滿足絕對可積， 即要求 dttf)(第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 形象地說，周期信號形象地說，周期信號 與頻譜與頻譜 之間存在著之間存在著一一對應的關(guān)系，即一一對應的關(guān)系，即FnftFTn( ) ftT( )122TtftT( )nF1/42424)2(SaT時域時域：連續(xù)、周期：連續(xù)、周期頻域頻域：離散、非周期：離散、非周期第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 而非周期信號而非周期信號 與頻譜與頻譜F F( (j j ) )之間存在一一對之間存在一一對應的關(guān)系：應的關(guān)系：f t ( )f tTFF jTn( )lim()f t ( )122t21/4

43、244)2(SaTF j()時域時域：連續(xù)、非周期：連續(xù)、非周期頻域頻域：連續(xù)、非周期：連續(xù)、非周期第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 傅里葉傅里葉級數(shù)級數(shù)的物理意義：的物理意義：ntjnnTeFtf0)(周期信號表述為無限多頻率分量的周期信號表述為無限多頻率分量的離散和離散和傅里葉傅里葉變換變換的物理意義：的物理意義：f tFjedjt( )()12非周期信號表述為無限多頻率分量的非周期信號表述為無限多頻率分量的連續(xù)和連續(xù)和第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 3.4.2 非周期信號的頻譜函數(shù)非周期信號的頻譜函數(shù) 由非周期信號的傅里葉變換可知: dejFtftj)(21)(頻譜函數(shù)F(j)一般是復

44、函數(shù)，可記為 )()()(jeFjF 習慣上將F()的關(guān)系曲線稱為非周期信號的幅度頻譜幅度頻譜 (F()并不是幅度!)，而將()曲線稱為相位頻譜相位頻譜，它們都是的連續(xù)函數(shù)。 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 f(t)為實函數(shù)時，根據(jù)頻譜函數(shù)的定義式不難導出: )()(sin)(cos)()()(jXRtdttfjdtttfdtetfjFtj式中： tdttfXtdttfRsin)()(cos)()()()()()()(jXReFjFj第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 與周期信號的傅里葉級數(shù)相類似，F(xiàn)()、()與R()、 X()相互之間存在下列關(guān)系： 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 在f(t

45、)是實函數(shù)實函數(shù)時： (1) 若f(t)為t的偶函數(shù)偶函數(shù)，即f(t)=f(-t)，則f(t)的頻譜函數(shù)F(j)為的實函數(shù)實函數(shù)， 且為的偶函數(shù)偶函數(shù)。 (2) 若f(t)為t的奇函數(shù)奇函數(shù)，即f(-t)=-f(t)，則f(t)的頻譜函數(shù)F(j)為的虛函數(shù)虛函數(shù)，且為的奇函數(shù)奇函數(shù)。 與周期信號類似，也可將非周期信號的傅里葉變換表示式改寫成三角函數(shù)的形式，即 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 3.4.3 典型信號的傅里葉變換典型信號的傅里葉變換 例例 3.4-1 圖 3.4-1(a)所示矩形脈沖一般稱為門函數(shù)門函數(shù)。其寬度為， 高度為1，通常用符號g(t)來表

46、示。試求其頻譜函數(shù)。 解解 門函數(shù)g(t)可表示為 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 圖 3.4-1 門函數(shù)及其頻譜(a) 門函數(shù)； (b) 門函數(shù)的頻譜； (c) 幅度譜； (d) 相位譜 F(j)2424(b)og(t)t221(a)F()24(c)24o ()24(d)24oo第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 例例 3.4-2 求指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)f(t)的頻譜函數(shù)。 0)(atetf00tt)0(圖 3.4-2 單邊指數(shù)函數(shù)e-t及其頻譜(a) 單邊指數(shù)函數(shù)e-t; (b) e-t的幅度譜 F()(b)ot1(a)o1f (t)et ( 0)第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 ajtjtj

47、ttjeajjedteedtetfjFarctan220)(11)()()(其振幅頻譜及相位頻譜分別為 arctan)(1)(22F解解 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 例例 3.4-3 求圖 3.4-3(a)所示雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)。 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 圖 3.4-3 雙邊指數(shù)函數(shù)及其頻譜(a) 雙邊指數(shù)函數(shù)； (b) 頻譜 F(j)(b)ot1(a)o2etet0)f (t)第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 例例 3.4-4 求圖 3.4-4(a)所示信號f(t)的頻譜函數(shù)。圖 3.4-4 例 3.4-4 圖(a) 信號f(t); (b) 頻譜 X()(b)o1of(t

48、)t1(a)etet0)11第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 atateetf)(00tt(a0)解解 圖示信號f(t)可表示為2200211)(ajjjdteedteejFtjttjat第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 例例 3.4-5 求單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)(t)的頻譜函數(shù)。 圖 3.4-5 信號(t)及其頻譜(a) 單位沖激信號(t); (b) (t)的頻譜 F(j)of (t)t(a)o1(b)(t)第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 解解 1)()(dtetjFtjdetftj121)(可見，沖激函數(shù)(t)的頻譜是常數(shù)1。也就是說，(t)中包含了所有的頻率分量，而各頻率分量的頻譜密

49、度都相等。 顯然， 信號(t)實際上是無法實現(xiàn)的。 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 根據(jù)分配函數(shù)關(guān)于根據(jù)分配函數(shù)關(guān)于(t)的定義，的定義， 有有 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 例例 3.4-6 求直流信號直流信號1的頻譜函數(shù)。 圖圖 3.4-6 直流信號f(t)及其頻譜(a) 直流信號f(t); (b) 頻譜 o(a)o1(b)2 ()f (t)F(j)第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 解解 直流信號1可表示為 1)(tftdtejFtj1)(第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 例例 3.4-7 求符號函數(shù)符號函數(shù)Sgn(t)的頻譜函數(shù)。 11)(tSgn00tt考察例 3.4-4 所示信

50、號f(t) atateetf)(00tt)0(第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 當0時，其極限為符號函數(shù)Sgn(t)。因而可以用求f(t)的頻譜函數(shù)F(j)當0的極限的方法來求得Sgn(t)的頻譜函數(shù)。 例例 3.4-4 所示信號的頻譜函數(shù)為，從而有 222 j第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 圖圖 3.4-7 符號函數(shù)Sgn(t)及其頻譜(a)Sgn(t)的波形； (b) 頻譜 X()to(b)oSgn(t)(a)1 1第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 例例 3.4-8 求階躍函數(shù)階躍函數(shù)(t)的頻譜函數(shù)。 由階躍函數(shù)(t)的波形容易得到 解解 )(2121)(tSgnt從而就可更為方便地求

51、出(t)的頻譜函數(shù)， 即 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 圖 3.4-8 階躍函數(shù)及其頻譜(a) (t)的波形； (b) 頻譜 to (t)(a)1R()o(b) ()X()11第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 求傅里葉變換的思路求信號的傅里葉變換是一個難點求信號的傅里葉變換是一個難點, 也是進入變換域分析的第一個積分變換也是進入變換域分析的第一個積分變換!第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 表表 3.1 常用傅里葉變換對常用傅里葉變換對 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 續(xù)表續(xù)表 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 3.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì) 根據(jù)傅里葉變換的概念，一個非周期信號

52、可以表述為指數(shù)函數(shù)的積分， 即 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 1. 線性線性若 ),()(),()(2211jFtfjFtf且設a1, a2為常數(shù)，則有 1 1221122( )( )()()a f ta f ta F ja Fj第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 2. 時移性時移性若f(t) F(j)， 且t0為實常數(shù)(可正可負)，則有0)()(0tjejFttf此性質(zhì)可證明如下。dtettfttfFtj)()(00)()()()(000)(0jFedtefedtefttfFtjtjtjttj第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 例例 3.5-1 求圖 3.5-1(a)所示信號的頻譜函數(shù)。 圖

53、 3.5-1 例 3.5-1 的圖(a) f(t)的波形； (b) 相位譜 to(a)1()o(b)24422f (t)第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 解解 to(a )1()o(b )24422f (t)F(j)2424(b)og(t)t221(a)F()24(c)24o ()24(d)24ooF(j)2424(b)og(t)t221(a)F()24(c)24o ()24(d)24oo第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 3. 頻移性頻移性 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 頻譜搬移頻譜搬移的原理是將信號f(t)乘以載頻信號載頻信號cos0t或sin0t, 從而得到f(t) cos 0t或f(

54、t) sin 0t 的信號。因為 調(diào)幅信號都可看成乘積信號 矩形調(diào)幅 指數(shù)衰減振蕩 三角調(diào)幅ttf0cos)(ttG0cos)(teat0costt0cos21第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 例例 3.5-2 求高頻脈沖信號f(t)(圖 3.5-2(a)的頻譜。 圖 3.5-2 高頻脈沖信號及其頻譜(a) f(t)的波形； (b) 頻譜 F(j)(b)to212(a)1o200f (t)第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 解解 圖3.5-2(a)所示高頻脈沖信號f(t)可以表述為門函數(shù)g(t)與cos 0t相乘，即 F(j)2424(b)og(t)t221(a)F()24(c)24o ()24

55、(d)24ooF(j)(b)to212(a) 1o200f (t)將頻譜左右各移0第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 4. 尺度變換尺度變換 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 當當a0時：時： 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 圖 3.5-3 信號的尺度變換 F1(j)(b)f1(t)t01 0.5(a)o40.52F2(j)(d)f2(t)t01 0.2(c)o0.210 100.210.1-0.1第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 圖 3.5-3(a)所示的信號f1(t), 可寫成寬度等于1的門函數(shù)，即 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 尺度變換性質(zhì)表明，信號

56、的持續(xù)時間與其頻帶寬度成反尺度變換性質(zhì)表明，信號的持續(xù)時間與其頻帶寬度成反比。在通信系統(tǒng)中，為了快速傳輸信號，對信號進行時域壓比。在通信系統(tǒng)中，為了快速傳輸信號，對信號進行時域壓縮，將以擴展頻帶為代價，故在實際應用中要權(quán)衡考慮?？s，將以擴展頻帶為代價，故在實際應用中要權(quán)衡考慮。 在尺度變換性質(zhì)中， 當a=-1時，有 )()(jFtf也稱為時間倒置定理時間倒置定理。 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 解 此題可用不同的方法來求解。( )(),()f tF jf atb例：若已知試求的頻譜函數(shù)。第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 (2) 先利用尺度變換性質(zhì)，有先利用尺度變換性質(zhì)，有 第3章 連續(xù)信號

57、與系統(tǒng)的頻域分析 5. 對稱性對稱性 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 )(tf)(F2222)(tf)(Fc2c22c2ctt12c10000第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 若f(t)為偶函數(shù)，則時域和頻域完全對稱直流和沖激函數(shù)的頻譜的對稱性是一例子)(2)(t111)(tf)(F)(F第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 我們知道 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 圖3.5-4 取樣函數(shù) 及其頻譜)( tSa(a)0o1(b)t 11 22g2()Sa(t)1第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 6. 時域卷積時域卷積 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 在信號與

58、系統(tǒng)分析中卷積性質(zhì)占有重要地位，它將系統(tǒng)分析中的時域方法與頻域方法緊密聯(lián)系在一起。在時域分析中， 求某線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應時，若已知外加信號f(t)及系統(tǒng)的單位沖激響應h(t), 則有 )()()(thtftyf 在頻域分析中，若知道F(j)=Ff(t)，H(j)=Fh(t)， 則據(jù)卷積性質(zhì)可知 ( )()()fF ytH jF j第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 7. 頻域卷積頻域卷積 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 應用頻移性質(zhì)，可知 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 8. 時域微分時域微分 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 例如，我們知道 , 利用時域微分性質(zhì)顯然有 1)(tjt )(

59、 此性質(zhì)表明，在時域中對信號f(t)求導數(shù)， 對應于頻域中用j乘f(t)的頻譜函數(shù)。如果應用此性質(zhì)對微分方程兩端求傅里葉變換， 即可將微分方程變換成代數(shù)方程。從理論上講，這就為微分方程的求解找到了一種新的方法。 此性質(zhì)還可推廣到f(t)的n階導數(shù)， 即 )()()(jFjdttfdnnn第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 9. 時域積分時域積分 第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 時域積分性質(zhì)多用于F(0)=0的情況，而F(0)=0表明f(t)的頻譜函數(shù)中直流分量的頻譜密度為零。 =0第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 例例 3.5-4 求圖 3.5-5(a)所示梯形信號f(t)的頻譜函數(shù)。 解解

60、若直接按定義求圖示信號的頻譜，會遇到形如te-jt的繁復積分求解問題。而利用時域積分性質(zhì)，則很容易求解。 將f(t)求導，得到圖 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，將f1(t)再求導， 得到圖 3.5-5(c)所示的f2(t)， 顯然有 )()()()()()()(12btatatbtabAtftftf第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 圖 3.5-5 梯形信號及其求導的波形toA b(a)a abto b(b)af1(t) f (t) abAb aAb ato b(c)af2(t) f (t) abAb aAb af (t)第3章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析 據(jù)時移性質(zhì)有據(jù)時移性質(zhì)有第3章