動(dòng)力計(jì)算習(xí)題課11

1、一、動(dòng)力計(jì)算中體系的自由度 確定體系上全部質(zhì)量位置所需獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)稱為體系的振動(dòng)自由度。幾點(diǎn)注意：1）對(duì)于具有集中質(zhì)量的體系，其自由度數(shù)并不一定等于集中質(zhì)量數(shù)，可能比它多，也可能比它少。2）體系的自由度與其超靜定次數(shù)無關(guān)。3）在幾何構(gòu)造分析中所說的自由度是剛體系的運(yùn)動(dòng)自由度，動(dòng)力計(jì)算中討論的自由度是變形體系中質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)自由度。也可以運(yùn)用附加支桿法確定。二、單自由度體系的自由振動(dòng)自由振動(dòng)(固有振動(dòng))：振動(dòng)過程中沒有干擾力作用，振動(dòng)是由 初始位移或初始速度(瞬時(shí)沖量)或兩者共同影響下所引起的。（剛度法）（柔度法）振動(dòng)微分方程)sin(aw+t=asincos)(00www+=tvtyty質(zhì)點(diǎn)位移

2、001vytgwa-=振幅:初始相位角:無阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)).(0akymy=+.).()(bmyfyI-=.w2020vya+= 質(zhì)體動(dòng)位移y(t)是以靜力平衡位置為位移零點(diǎn)來確定的，質(zhì)體的重力對(duì)y(t)沒有影響, 但在確定質(zhì)體的最大豎向位移是,則應(yīng)包含位移幅值和自重下的靜位移st=W兩部分在內(nèi).T =wp2mk=wm=1其中是沿質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向的結(jié)構(gòu)柔度系數(shù)，它表示在質(zhì)點(diǎn)上沿振動(dòng)方向加單位荷載使質(zhì)點(diǎn)沿振動(dòng)方向所產(chǎn)生的位移。 k使質(zhì)點(diǎn)沿振動(dòng)方向發(fā)生單位位移時(shí)，須在質(zhì)點(diǎn)上沿振動(dòng)方向施加的力。 結(jié)構(gòu)的自振頻率 (自振周期T )圓頻率工程頻率Tf1=使用于各質(zhì)點(diǎn)慣性力使用于各質(zhì)點(diǎn)慣性力共線的單自

3、由度體系共線的單自由度體系單位:T秒； 弧度/每秒，即2秒內(nèi)振動(dòng)次數(shù)； fHZ（赫芝）即每秒振動(dòng)次數(shù)。 自振周期（頻率）與 且只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和結(jié)構(gòu)的剛度有關(guān)，與荷載和初始干擾因素?zé)o關(guān)。是結(jié)構(gòu)的固有特性。 要改變結(jié)構(gòu)的自振周期，只有從改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度。增大質(zhì)量或降低剛度可降低頻率或提高周期，反之亦然。周期三、 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)在荷載作用下的振動(dòng)。無阻尼有阻尼運(yùn)動(dòng)微分方程穩(wěn)態(tài)解tyyPsin=)sin(a-=tyyP動(dòng)位移幅值stPyy =stPyy =動(dòng)力系數(shù)2211w-=2122222241-+-=ww共振時(shí)=21=阻尼作用很大f對(duì)于簡(jiǎn)諧荷載下的無阻尼受迫振動(dòng)，其質(zhì)點(diǎn)位移（加速度

4、和慣 性力）與干擾力作同步簡(jiǎn)諧振動(dòng)；f對(duì)于簡(jiǎn)諧荷載下的有阻尼受迫振動(dòng)其質(zhì)點(diǎn)位移（加速度和慣性 力）與干擾力之間存在一個(gè)相位差，兩者總是不同時(shí)達(dá)到最 大值。tyymPwsin2=+.tyyymPwwsin22=+.f當(dāng)荷載作用在單自由度體系的質(zhì)點(diǎn)上時(shí)，不論是否考慮阻尼，各 截面的動(dòng)內(nèi)力和動(dòng)位移可采用統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)，只需將干擾力 幅值乘以動(dòng)力系數(shù)，按靜力方法來計(jì)算即可。 f阻尼對(duì)振動(dòng)的影響 1、考慮阻尼時(shí)體系的自振頻率減小，周期增大。221,1ww-=-=TTrr當(dāng)0.2, 可近似取.TTrr= ,ww2、自由振動(dòng)的振幅 ae-t 隨時(shí)間單調(diào)衰減，最后停止。3、試驗(yàn)測(cè)定阻尼比nkkyyn+=ln2

5、1pyk和yk+n是相隔n個(gè)周期的兩個(gè)振幅。 l/2l/2l/2EImmk例1：建立圖示體系的運(yùn)動(dòng) 微分方程，并求自振 頻率和周期。EImm kl解：用剛度法： 作受力圖kmTmk102,102pwpw=ll/2EIEIm1l解：用柔度法作單位彎矩圖EIlEIlEIl263333=+=EImlTmlEIm222,2133pwpw=23lm.2lm.0232322=+=lkllmllmlMA.0410=+km.02=+w.例2:已知m=300kg，EI=90105Nm2，l=4m，k=48EI/l3，F(xiàn)=20kN，=80s-1。求：(1)無阻尼時(shí)梁中點(diǎn)的動(dòng)位移幅值；(2)當(dāng)=0.05時(shí)，梁中點(diǎn)的

6、動(dòng)位移幅值和最大動(dòng)力彎矩。 FsintEIl/2l/2mk解 ：1、求自振頻率 1EIk1/2f11k2121EIl19253=EIl483+f11=13531116.13443005109019251921-=smlEImfw2、求無阻尼時(shí)的跨中動(dòng)位移幅值552. 1=1122-=w16.134801122-=cmmEIlFFfyP575. 01075. 5552. 1109019245102019253533311=-mkNFFlMd.04.31552. 120444max=3、求有阻尼時(shí)的跨中動(dòng)位移幅值.2122222241-+-=ww546.116.1348005.0416.13480

7、121222222=+-=-cmmEIlFFfyP573. 01073. 5546. 1109019245102019253533311=-4、求有阻尼時(shí)的跨中動(dòng)彎矩幅值一般方法：當(dāng)位移y=ypsin(t)達(dá)幅值時(shí)otg3 . 52221=-=-wwat=90 ot=1.19 s此時(shí)慣性力幅值:NymIp1100200573. 08030022=此時(shí)荷載值:NtFtF19918)19. 180sin(20000sin)(=產(chǎn)生動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力幅值的外力:NtFIP309201991811002)(=+=+=mkNPlMc=92.304492.304max 30.92kNEIk30.92kN.m動(dòng)

8、力彎矩幅值圖注意:1、由于干擾力作用在質(zhì)點(diǎn)上且沿振動(dòng)方向，故位移和彎 矩動(dòng)力系數(shù)相同,可按比例算法計(jì)算。 2、考慮與不考慮阻尼的動(dòng)位移幅值相差不大。這是因?yàn)?頻率比/=80/134.16=0.596,在共振區(qū)之外的緣故。比例算法: 本例動(dòng)荷載與慣性力共線, 故可用比例算法P=F=1.54620000=30920N運(yùn)動(dòng)方程：m tFyywsin2=+.2wmFFyst=荷載幅值引起的靜位移2211w-=動(dòng)力系數(shù)位移穩(wěn)態(tài)反應(yīng)為與動(dòng)荷載同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。兩者同時(shí)達(dá)到幅值。ymtmyymIst22sin:=-= 慣性力慣性力與位移同方向同時(shí)達(dá)到幅值。stymI2max=動(dòng)內(nèi)力計(jì)算：當(dāng)動(dòng)荷載作用在單自由

9、度體系的質(zhì)點(diǎn)上時(shí)，各截面的動(dòng)內(nèi)力和動(dòng)位移可采用統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)。先求動(dòng)荷載幅值引起的靜位移、靜內(nèi)力及動(dòng)力系數(shù)，將靜位移、靜內(nèi)力乘以即得動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力的幅值。當(dāng)動(dòng)荷載不作用在質(zhì)點(diǎn)或與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向不一致時(shí)，內(nèi)力動(dòng)力 系數(shù)與位移動(dòng)力系數(shù)不相同?？捎靡韵氯N方法計(jì)算。穩(wěn)態(tài)反應(yīng)：ststyAtAtyy=sinsin振幅A：2、單自由度體系簡(jiǎn)諧荷載下的動(dòng)力反應(yīng)計(jì)算l/2l/2EImMsintABC例：建立圖示梁運(yùn)動(dòng)微分方程 ，求B點(diǎn)的最大動(dòng)位移和最大動(dòng)彎矩。解：1、采用柔度法列運(yùn)動(dòng)微分方程 MsintABCI(t)(tyABC1)(tI111ABCP1MsinttMtItyPsin)()(111+=163l

10、325l10.5l/2111EIlllllEIl7687)325216322(613211=-=C11CP1EIlllEIlP32)25. 025 . 022(61221=-=0.25tmMtytyPwsin)()(1112=+.tlmMsin724=31177681mlEIm=w2、求B點(diǎn)位移幅值yP：MmyyPpp1211)(+=22111w-=MyPpsty=EIlm768732221111w-=-=tMtmytyPsin)()(111+-=.EIlllEIlP32)25. 025 . 022(61221=-=l/2l/2EImMsintABC例：建立圖示梁運(yùn)動(dòng)微分方程 ，求B點(diǎn)的最大動(dòng)

11、位移和最大動(dòng)彎矩。解：3、求動(dòng)彎矩幅值:IMABCpyABC1I111ABCP1M)(32525. 02maxpbmylMM+=163l325l10.50.25C11CMmlMMPb12max32525. 0+=MstPMmlM=+=)851 (412EImlM2565123+=將荷載化成作用在質(zhì)點(diǎn)且與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向一致的荷載mtMsintRsin(b)mtRsin()ty(c)=+(b)中質(zhì)點(diǎn)無位移，無 慣性力，按靜力法 計(jì)算反力。lMR23=(c) 所示是力 作用于 質(zhì)點(diǎn)上的情況。tRsinEIMlEIRlyst2323=EIMlyAst22=內(nèi)力及其它處位移為(b) (c)之和mltMsi

12、nEI()ty(a)A+-=-=-=-=222121232322wMMMMRlMMAD2211w-=+=-=2221,wMstMM內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)與位移動(dòng)力系數(shù)不相同1=m11lEIlEIlP2,321311=利用幅值方程求解位移穩(wěn)態(tài)反應(yīng)為與動(dòng)荷載同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。兩者同時(shí)達(dá)到幅值。ymtmyymIst22sin:=-= 慣性力慣性力與位移同方向同時(shí)達(dá)到幅值。線彈性體系，位移達(dá)幅值時(shí)內(nèi)力也達(dá)幅值穩(wěn)態(tài)反應(yīng)：ststyAtAtyy=sinsin振幅A：MmlEIAAm2振幅方程為：stPPPyEIMlMmMAMAmA=-=+=21)(2111211112+-=+-=+-=-=-=22222211111

13、2122212311wwwMMlmMlMmMAlmMMpPA直接建立運(yùn)動(dòng)方程求解。mltMsinEIym ()tyPtMymy111sin+-= 宜列柔度方程：tmPyywsin*2=+ 或：111*1121wPMPm=，其中：mtPsin*EIym ()tyEIMlEIlPylMPEIlEIlstP23,23,2,323*21311=2211w-=EIMlyAst22=1=m11l動(dòng)內(nèi)力計(jì)算例6. 測(cè)圖示剛架動(dòng)力特性。加力20kN時(shí)頂部側(cè)移 2cm，振動(dòng)一周 T=1.4s后，回?cái)[1.6cm，求系統(tǒng)的阻尼比、大梁的重量W及 6周后的振幅。k2k2W=mg解：(1)求W：kNgkW6 .4869

14、812200496. 024 . 12=p由skgWT4 . 122=pwp(2)求sT148. 42=pw(3)求,0355. 06 . 12ln21=pwwww=-=212)999. 0(1r(4)6周后的振幅TTtteeeyywww=+-)(10006106)6(6000=+-yyeeeyyTTttwwwcmy524. 0226 . 166=多自由度體系的自由振動(dòng) （以兩個(gè)自由度為例）主要目的：1）求自振頻率；2）確定振型。（由于阻尼對(duì) 頻率和振型的影響很小，不考慮阻尼。）1、頻率方程和頻率a）剛度法導(dǎo)出的頻率方程：0222221121211=-=mkkkmkDww21211222112

15、2221112221112122121mmkkkkmkmkmkmk-+=、w或：b）柔度法導(dǎo)出的頻率方程：0222211122111=-=mmmmD2)(4)()(2121122211222211122211112mmmmmm-+=22111,1ww=或：2、振型： 振型是指體系按某一頻率發(fā)生振動(dòng)的形式。注意： 1）振型是在特定的初始條件下才能出現(xiàn)的一種振動(dòng)形式。任一瞬時(shí)各質(zhì)點(diǎn)位移的比值不變，即結(jié)構(gòu)的變形形式不變。 2）對(duì)于每一自振頻率，體系有一個(gè)確定的相應(yīng)振型。a）剛度法導(dǎo)出的振型公式：b）柔度法導(dǎo)出的振型公式：212211122212w=-=mkkYY112111122111w=-=mkk

16、YY111112122111=-=mmYY221112122212=-=mmYY振型常數(shù) 12 必具有相反的正負(fù)號(hào)。3）振型正交性：12212221212111:; 0mmYYmYYm-=+或可用來檢查所求振型是否正確。例：計(jì)算體系的自振頻率和振型llmEIEIP1=1P2=12Ml1MlEIlllEI343133311=+=EIlllEI221322112=EIl3322=1）求柔度系數(shù)2)(4)()(2121122211222211122211112mmmmmm-+=()()()EImlEImlEIml32312232, 11262. 0,5404.-+=2）代公

17、式（15.45）求頻率3223118147. 21,8057. 01mlEImlEI=ww3）代公式（15.49）求振型414. 211262. 03/45 . 02212-=-=YY4141. 015404. 13/45 . 011112122111=-=-=mmYY10.414第一振型第一振型12.414llEI=常數(shù)mml 求圖示體系的頻率、振型，并演算正交性。1ll/81M2M13l/85l/81l1MEIlllllEI48318313223132311=-+=EIlllEI16833121322112=1l2MEIllllEI48783318532213222=-=2)(4)()(2

18、121122211222211122211112mmmmmm-+=()()()EImlEImlEIml332232, 11381. 0 ,6535. 03731473173196=-+=322311691. 21,237. 11mlEImlEI=ww1227. 0111112122111=-=mmYY1237. 8121112122212-=-=mmYY01237. 81001227. 01=-Tmm例: 試求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率；如初始條件為 Y10=0.02m, Y20=0.00473m,初速為零，體系作何種振動(dòng)。llm2=mm1=m EI1=EIEI2EI333113023212lEIlEIlEIk=+=3321623lEIlEIk-=-=llm2=mm1=m EI1=EIEI2EI331222623lEIlEIkk=-=2121122211222211122211122, 12121mmkkkkmkmkmkmk-+=w322321 , 258. 442.3166302