數(shù)值積分矩形公式的復(fù)化及誤差分析

1、數(shù)值積分矩形公式的復(fù)化及誤差分析張曉霞(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院甘肅蘭州 730070)摘要：先推導(dǎo)得岀中矩形公式、左矩形公式，然后對(duì)其進(jìn)行復(fù)化，但由于結(jié)果不理想，再對(duì)兩個(gè)公式進(jìn)行遞推，求岀它們的遞推化公式以及對(duì)其誤差進(jìn)行分析，最后舉例說明幾種逼近公式誤差的變化情況；關(guān)鍵詞：中矩形公式，左矩形公式，誤差分析，復(fù)化公式，公式遞推化1引言以前我們?cè)谶M(jìn)行積分運(yùn)算時(shí)，都是先對(duì)被積函數(shù)求出其原函數(shù)，然后代值進(jìn)行計(jì)算，但不 是每個(gè)被積函數(shù)都是能輕易找到其原函數(shù)的，有的甚至找不到它的原函數(shù)，這就要求我們找出另外一種方法來研究積分運(yùn)算.首先我們來定義即將用到的左矩形公式和中矩形公式：b對(duì)于積分I f(x

2、)dx,由積分中值定理知，一點(diǎn)(a,b)，使得abf (x)d(x) =(b-a) f ()aA.若用區(qū)間左端點(diǎn)a的函數(shù)值f(a)作為f()的近似值，則得到我們熟悉的左矩形公式：f ( )2J (b a)f (a)，其積分余項(xiàng)RjI J(ba)2(1)2B.若改用區(qū)間中點(diǎn)c - b的函數(shù)值f (- b)作為f()的近似值，則得到中矩形2 2公式：R (b a)f (a b)，其積分余項(xiàng)Rr I J 口 (b a)3(2)224由于我們導(dǎo)出的左矩形公式和中矩形公式對(duì)積分值的近似估計(jì)誤差很大，所以我們采用復(fù)化求積公式來近似估計(jì)積分的準(zhǔn)確值.2復(fù)化公式所謂復(fù)化1就是指將一個(gè)積分的積分區(qū)間a，b劃分為

3、n等分，在每一個(gè)小區(qū)間 xk，xk 1分值的算法.2. 1復(fù)化左矩形公式b a將積分區(qū)間a,b劃分為n等分,步長(zhǎng)h 一，分點(diǎn)Xka kh, k 0,1, ,n.n對(duì)每一個(gè)小區(qū)間Xk , Xk i采用左矩形公式有bn 1 乂n 1n 1I a f(x)dxk1f(x)dx (Xk1 Xk)f(Xk)hf(Xk)Jn(3)k 0 Xkk 0k 0j n稱為復(fù)化左矩形求積公式，下標(biāo)n表示將區(qū)間a, b劃分為n等分.2. 2復(fù)化中矩形公式類似于復(fù)化左矩形公式，對(duì)每一個(gè)小區(qū)間Xk, Xk 1采用中矩形公式，且令XkXk 1，則有af(x)dxXk 1Xkf (x)dxn 1k0(Xk1 Xk)f(Xk?

4、k0f(Xk?RnRn稱為復(fù)化中矩形求積公式，下標(biāo)n表示將區(qū)間a,b劃分為n等分.33復(fù)化公式的誤差分析3. 1復(fù)化左矩形公式的誤差估計(jì)公式由(1)式對(duì)每個(gè)小區(qū)間有誤差估計(jì)式Ik 1 f(x)dx (Xk 1 Xk) f (Xk) f k)(Xk 1 Xk)2 hf (Xk)f k) h2Xk22其中k介于Xk，Xk 1之間，將上式代入中則有bn 1n 1I f (x)dx I kak 0k 0XkXkf(x)dx1(Xk 1Xk)f(Xk)012k1(xk 10Xk)2f ( k)n 1f ( k)hf(Xk)k 0從而復(fù)化左矩形公式的誤差估計(jì)式為Rn(f) I Jnk)h(b a) 1 n

5、2 n k(k)由于f (x)在a,b上連續(xù),k均為a,b的內(nèi)點(diǎn)，所以由中值定理知,存在一點(diǎn)a,b ,1使得丄nk)f ()，所以有R(f) I Jn (b2J)f ()a, b(5)Rn(f)稱為復(fù)化左矩形公式的誤差估計(jì)式，下標(biāo)n表示將區(qū)間a,b劃分為n等分.3. 2復(fù)化中矩形公式的誤差估計(jì)公式類似于復(fù)化左矩形的誤差公式，同樣可得復(fù)化中矩形公式的誤差估計(jì)公式En(f)I Rn3 n 1刃 k0f (k)2h (b a) 1n k 024n 1f (k)其中k(Xk，Xk 1),由于f(x)在a,b上連續(xù),k均為a,b的內(nèi)點(diǎn)，所以由中值定理知，存在一點(diǎn)1a, b，使得 -nf ( k)f ()

6、,所以有En(f) IRn2h-f (),24a,b(6)4矩形公式的遞推化雖然復(fù)化求積方法對(duì)提高精度是行之有效的，但在使用求積公式之前必須給出合適的步 長(zhǎng)，步長(zhǎng)太長(zhǎng),精度難以保證，步長(zhǎng)太小,又會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量的增加.而事先給出一個(gè)合適的步長(zhǎng)往 往是困難的，那到底怎樣選取步長(zhǎng)才是合適的呢實(shí)際計(jì)算中常常采用變步長(zhǎng)的方案 ，即在步長(zhǎng)逐次分半(即步長(zhǎng)二分)的過程中，反復(fù)利用復(fù)化求積公式進(jìn)行計(jì)算，直至所求得的積分值滿足精度要求為止.4. 1左矩形公式的遞推公式及誤差變步長(zhǎng)過程中左矩形的計(jì)算規(guī)律：將求積區(qū)間a,b分成n等份,則一共有n 1個(gè)分點(diǎn),按左矩形公式計(jì)算Jn ,需要提供n個(gè)函數(shù)值,如果將積分區(qū)間再分

7、一次 ，則分點(diǎn)增至2n 1個(gè),將二分前后兩個(gè)積分值聯(lián)系Xk Xk 1Xk,k 2 2f(x,其中代2起來加以考慮，注意到每個(gè)子區(qū)間 Xk,Xk 1經(jīng)過二分只增加了一個(gè)分點(diǎn) 利用復(fù)化的左矩形公式求得該子區(qū)間上的積分值為h f(xk)2h 口 表二分前的步長(zhǎng)，將每個(gè)子區(qū)間上的積分值相加得(7)h n 1hJ2nf (xk)f (xk 1 )n 1f(Xk)h n 1112f (xk J 2 Jn O R12 k 022h b從而根據(jù)左矩形公式的誤差公式I Jn巴2 af (x)dx h f(b) f (a)得，積分值的截2 k o2 k o斷誤差大致與h成正比，因此當(dāng)步長(zhǎng)二分后，誤差將減至原有誤差

8、的1/2,即有-一仏 1Jn與J2n相當(dāng)接近,Jn，因此，如果用這個(gè)I Jn 2移項(xiàng)整理得I J?. J2n Jn，由此可見只要二分前后的兩個(gè)積分值就可以保證計(jì)算結(jié)果誤差很小，積分近似值J2n的誤差大致等于J2n誤差值作為J2n的一種補(bǔ)償，可以期望得到的J J2nJ2nJn 2J2n J n可能是更好的結(jié)果.4. 2中矩形公式的遞推公式及誤差同理對(duì)中矩形公式也一樣，將求積區(qū)間a,b分成n等份，則一共有n 1個(gè)分點(diǎn)，按中矩形公式計(jì)算Rn，需要提供n 1個(gè)函數(shù)值，如果將積分區(qū)間再分一次，則分點(diǎn)增至 2n+l個(gè),將二分前后兩個(gè)積分值聯(lián)系起來加以考慮，注意到每個(gè)子區(qū)間 xk，xk 1經(jīng)過二分只增加了一

9、個(gè)分點(diǎn)xk 1XkXk i，在上述二分后的子區(qū)間上利用復(fù)化的中矩形公式求得該子區(qū)間上的積分值為f(xk 3)，同樣 hk 4代表二分前的步長(zhǎng)，將每個(gè)子區(qū)間n上的積分值相加，得h n2kf(xk Jf (xk 號(hào))(8)根據(jù)中矩形公式的誤差公式h2b f (x)dx f (a) f (b)得，積分值a 2的截?cái)嗾`差大致與h2成正比，因此當(dāng)步長(zhǎng)二分后，誤差將減至原有誤差的1/4，即有| R1丄1,移項(xiàng)整理得1R2n 1 (R2n Rn )侗樣，當(dāng)二分前后的兩個(gè)積分值Rn與3R,n相差很近時(shí)，就可以保證計(jì)算結(jié)果誤差很小，積分近似值R2n的誤差大致等于1-(R2n Rn)，因此，如果用這個(gè)f(XQ誤差

10、值作為31R R2n 3(R2n3可能結(jié)果比較理想.5矩圓公式R2n的一種補(bǔ)償，則可以得到1 一 3n4 - 3&由右圖可見，這樣分割后,形成一些小網(wǎng)格,以上一些工作我們就是通過計(jì)算這些小的矩形條的面積之和進(jìn)而估計(jì)出曲線f (X)在a,b上所圍的面積那么除此之外還有無別的近似計(jì)算方法呢首先，我們?cè)囅耄缬覉D所示，把網(wǎng)格頂端的一些剩下的不全的網(wǎng)格1%薜姿翳彩劃近似為底為h,高為f(xk J f(xk)的三角形，那么前面我們按照左矩形公式算得的矩形條的面積就為bI f(x)dxah /、/ 、+hhhf (xj - f (Xk J f(xQ，整理后為一 f(xjf(XkJ,那么2 22n 1xk

11、1 f (x)dxk 0 Xk(Xk 1k 0Xk)f(Xk)?(f(XkJf(Xk )h n 1(9)2f(Xk) f(xk1) 12 k 0這就是我們所熟知的梯形公式，而梯形公式對(duì)準(zhǔn)確值的逼近程度要優(yōu)于左矩形公式和右矩 形公式，所以這樣的假設(shè)與估計(jì)是成立的，同理我們對(duì)上面算得的中矩形公式也可以加上這 個(gè)小三角形的面積而得到與準(zhǔn)確值更為近的值.bn 1n 1hI a f (x)dxXk 1 f (x)dx (Xk 1 Xk)f(Xkl)-(f (Xk 1) f (Xk)k 0 Xkk 022h n 1-f(Xk1)2f(Xkl) f(Xk)I2 k 02(10) 下面我們來討論另一種情形：即

12、把上述所描寫的三角形換成半徑為h (或f (Xk 1) f (Xk)，為了計(jì)算方便，可以直接看成半徑為h )的圓，那么按照前面我們推導(dǎo)得1 2到的左矩形公式，計(jì)算得到小矩形條的面積為hf(xk)h2,用它來近似積分的準(zhǔn)確值可4得到bI f(x)dxa1Xk 1x f (x)dx0 Xk(Xk 1f（Xk）(11)這就是我們所得到的左矩圓公式.同理按照中矩形公式得到的小矩形條的面積為1）1 h2,用它來近似積分的J 4確值可得到bf(x)dx an 1Xk 10 Xk這就是我們所得到的中矩圓公式.應(yīng)用復(fù)化矩形公式（3）（12）計(jì)算積分I解:f (x) ex, a0,bJnn 1h f(xk)k

13、0R (ba ba)f(/n 1P h f(xk)k 0f (x)dx(Xk 1xJf (Xk y和（4）計(jì)算以及遞推公式（7）與（h 口丄n 2nh2f（XQ）4h Q(12)8）和矩圓公式（11）1exdx的近似值，并與其準(zhǔn)確值作相應(yīng)的比較.01 / 2，分點(diǎn)個(gè)數(shù)R2n1,2, ,8;XkRnf (xk Jkh,(k0,1,2,1f(xk 00f(xk 弓)1f(Xk?4 hn)當(dāng)h取不同值時(shí)各種算法對(duì)積分的估計(jì)值與近似解的比較J (b a)f(a)所用h公式 1/21/41/61/81/101/121/141/16JRRnJ 2nR2nPQ精確解I通過上表容易看出，當(dāng)步長(zhǎng)h逐漸變小時(shí)，不

14、論是復(fù)化公式還是遞推公式，它們對(duì)準(zhǔn)確值的逼近效果都顯著提高，即h越小，逼近效果越好；另一方面容易看出，中矩形公式比左矩形對(duì)準(zhǔn)確值的近似程度更高，當(dāng)然其復(fù)化公式的近似程度也比左矩形復(fù)化公式的精確度高；還有我們最后推出的(7)式與(8)式，它比起各自的復(fù)化公式來，逼近效果也相對(duì)較好， 同樣地中矩形公式的復(fù)化公式比(7)式的逼近效果要好由(11)的結(jié)果可知在除 n 1之外，它的計(jì)算結(jié)果是比較理想的；明顯的問題是(12)式的計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確值的差距特別大，因?yàn)閷?duì)于復(fù)化的中矩形公式而言，精確度已經(jīng)是比較好的了，那么，如果我們?cè)偃プ?12)式那樣的逼近，勢(shì)必導(dǎo)致出現(xiàn)大的波動(dòng)這樣的公式是不完美的，所以對(duì)這樣的

15、公式完全可以舍 去.只要我們選取合適的步長(zhǎng)，分別利用它們各自的遞推公式算出的近似值比它們自己的復(fù)化公式精確度要高很多.6結(jié)論：通過本文的論述， 得出復(fù)化求積公式比原近似公式的精確度高；同樣地，復(fù)化中矩形公式的逼近效果比復(fù)化左矩形公式對(duì)準(zhǔn)確值的逼近效果好;另外，通過公式的遞推化之后，我們得出遞推化的公式比復(fù)化求積公式的精確度高;理所當(dāng)然，隨著 n 的不斷增大，誤差逐漸減小，當(dāng) n 到一定程度大時(shí)，會(huì)無限接近準(zhǔn)確值參考文獻(xiàn)：1李慶楊，王能超，易大義 .數(shù)值分析 M.4 版.武漢 :華中科技大學(xué)出版社， 2006.2 王仁宏.數(shù)值逼近M.北京:高等教育出版社，1999.3 李岳生，黃友謙 .數(shù)值逼近

16、 M. 北京:人民教育出版社， 1978.4 李曉紅，堵秀風(fēng)，張永勝，王延臣.計(jì)算方法 M. 北京:北京航空航天大學(xué)出版社， 2006.5 馬東升，雷永軍 .數(shù)值計(jì)算方法 M.2 版. 武漢:機(jī)械工業(yè)出版社， 2001.6 張韻華，奚梅成，陳效群 .數(shù)值計(jì)算方法與算法 M.2 版.北京:科學(xué)出版社， 2000.Numerical integration of rectangular complex formula and error analysisZhang Xiaoxia(College of Mathematics and Information Sciences Northwest Normal University LanzhouGansu 730070)Abstract: Firstly, we deduced in the rectangle formula, the left rectangle formula, and then carry out restoration of them. Because the result is not satisfied with our expectations, so we try