梯度旋度散度

1、梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因?yàn)槿呤侨N偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算形式。這里假設(shè)讀者已經(jīng)了解了三者的定義。它們的符號(hào)分別記作如下：從符號(hào)中可以獲得這樣的信息：求梯度是針對(duì)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，求梯度的結(jié)果是得到一個(gè)矢量函數(shù)。這里稱為勢函數(shù)；求散度則是針對(duì)一個(gè)矢量函數(shù)，得到的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，跟求梯度是反一下的；求旋度是針對(duì)一個(gè)矢量函數(shù)，得到的還是一個(gè)矢量函數(shù)。這三種關(guān)系可以從定義式很直觀地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以連續(xù)作用兩次，而一維波動(dòng)方程具有如下的形式(1)其中a為一實(shí)數(shù)，于是可以設(shè)

2、想，對(duì)于一個(gè)矢量函數(shù)來說，要求得它的波動(dòng)方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先給出梯度、散度和旋度的計(jì)算式：(2)(3)(4)旋度公式略顯復(fù)雜。這里結(jié)合麥克斯韋電磁場理論，來討論前面幾個(gè)“X度的X度”。I.梯度的散度：根據(jù)麥克斯韋方程有：而(5)則電勢的梯度的散度為這是一個(gè)三維空間上的標(biāo)量函數(shù)，常記作(6)稱為泊松方程，而算符2稱為拉普拉斯算符。事實(shí)上因?yàn)槎x所以有當(dāng)然，這只是一種記憶方式。當(dāng)空間內(nèi)無電荷分布時(shí)，即=0，則稱為拉普拉斯方程當(dāng)我們僅需要考慮一維情況時(shí)，比如電荷均勻分布的無限大平行板電容器之間（不包含極板）的電場，我們知道該電場只有一個(gè)指向，場強(qiáng)處處相等，于是該電場滿足一維

3、拉普拉斯方程，即這就是說如果那邊平行板電容器的負(fù)極板接地，則板間一點(diǎn)處的電壓與該點(diǎn)距負(fù)極板的距離呈線性關(guān)系。II.散度的梯度：散度的梯度，從上面的公式中可以看到結(jié)果會(huì)比較復(fù)雜，但是它的物理意義卻是很明確的，因?yàn)閺柠溈怂鬼f方程可以看出空間某點(diǎn)處電場的散度是該點(diǎn)處的電荷密度，那么再求梯度就是空間中電荷密度的梯度。這就好比說清水中滴入一滴紅墨水，起初水面紅色濃度最高，杯底濃度最低，這樣水面與杯底形成一個(gè)濃度梯度，紅墨水由水面向杯底擴(kuò)散，最后均勻。在半導(dǎo)體中，載流子分布的不均勻會(huì)導(dǎo)致擴(kuò)散電流。散度的梯度這個(gè)概念其實(shí)不常用，因?yàn)橛?jì)算復(fù)雜，但在后面講用它來推導(dǎo)一個(gè)矢量恒等式。III.梯度的旋度：對(duì)于梯度的

4、旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有由于勢函數(shù)在空間一點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)往往是有二階連續(xù)混合偏導(dǎo)數(shù)的，因此上式的結(jié)果為0.所以說梯度的旋度為零，它的物理意義也是很明確的。比如一個(gè)人從海平面爬到一座山上，無論它是從山的陡坡爬上去還是從緩坡爬上去，亦或者坐直升機(jī)上去，重力對(duì)他所做的功總是相等的，即力場的做工只與位移有關(guān)，而與路徑無關(guān)，這樣的場稱為保守場，而保守場是無旋場。再比如繪有等高線的地圖，如果某點(diǎn)只有一個(gè)一根等高線穿過，那么該點(diǎn)有一個(gè)確定的相對(duì)高度。如果該點(diǎn)有兩條或以上的等高線穿過，則這個(gè)點(diǎn)處在懸崖邊上，這個(gè)點(diǎn)處是不可微，也就沒有求梯度的意義。IV.旋度的散度：求旋度的散度也是將(4)式代入(3)

5、式即可。若令(7)則從而將上面三式相加結(jié)果也為零。所以說旋度的散度為零，這就意味著一個(gè)散度場任意疊加上一個(gè)有旋場不會(huì)改變其散度，也就是說光憑矢量場的散度無法唯一地確定這個(gè)矢量場。而光憑矢量場的旋度也無法唯一地確定這個(gè)矢量，這是因?yàn)橛行龍隹梢辕B加上這么一個(gè)矢量場而不改變其旋度，而這個(gè)矢量場是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度。V.旋度的旋度：旋度的旋度將是本文的重點(diǎn)。若所研究的空間范圍內(nèi)是無源的，即=0，J=0，則根據(jù)麥克斯韋方程有：(8)(9)(10)(11)對(duì)(9)式兩端取旋度(12)再將(8)式代入(12)式有(13)看到這里容易讓人想到式(1)，前面說式(1)的方程為一維波動(dòng)方程，那么跟(13)式有什么

6、聯(lián)系呢？棘手的問題是算旋度已經(jīng)夠復(fù)雜了，算旋度的旋度豈不是更費(fèi)周折？幸好有矢量恒等式可以利用來幫助簡化計(jì)算，這里要用到前面所講的散度的梯度。即有：(14)這里拉普拉斯算子作用于一個(gè)矢量函數(shù)時(shí)，意義變得不明確了，它和前面的幾個(gè)“X度的X度”都不一樣，實(shí)際上它有這樣的定義：(15)為了驗(yàn)證式(14)還是要對(duì)計(jì)算“旋度的旋度”，但以后可以直接利用該式。還是做(7)式那樣的處理，即令則于是(16)而令(17)兩式相減有(18)類似地有由于所關(guān)心的空間內(nèi)是無源的，所以式(13)變成(19)這個(gè)方程很重要，稱為三維波動(dòng)方程，這也從理論上揭示了電磁波的存在。它的各分量展開后比較復(fù)雜，實(shí)際上我們無法繪制出一個(gè)

7、向四面八方傳播的波的振動(dòng)圖像，但好在可以畫出一維和二維的波，從而了解波的性質(zhì)。有些事物我們無法在現(xiàn)實(shí)世界中呈現(xiàn)，或繪制出圖形，但是數(shù)學(xué)上卻可以計(jì)算且有確切的物理意義，比如高于三維的空間，不得不感嘆數(shù)學(xué)的神奇，感嘆我們生活的世界的神奇。VI.幾個(gè)矢量恒等式：前面已經(jīng)介紹了一個(gè)矢量恒等式，還有其他幾個(gè)重要的恒等式。由于三種“度”是三種不同微分算法，雖然有些場合可以把當(dāng)做一個(gè)普通的矢量來處理，但并不總是正確的，這一點(diǎn)需要引起注意。這里“”乘的優(yōu)先級(jí)高于“”乘對(duì)于普通三個(gè)不共面的矢量A、B、C則有ABC=CAB=BCA。得到的結(jié)果是令三個(gè)矢量共起點(diǎn)，以三個(gè)矢量的模為棱構(gòu)成的六面體的體積或它的負(fù)值。但是

8、對(duì)于算子，則一般但是一般有實(shí)際上上面的矢量恒等式就是上式的擴(kuò)展梯度、散度和旋度 (2011-09-12 20:36:08)轉(zhuǎn)載標(biāo)簽：旋度散度梯度矢量場拉普拉斯算子波動(dòng)方程分類：電子技術(shù)梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因?yàn)槿呤侨N偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算形式。這里假設(shè)讀者已經(jīng)了解了三者的定義。它們的符號(hào)分別記作如下：從符號(hào)中可以獲得這樣的信息：求梯度是針對(duì)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，求梯度的結(jié)果是得到一個(gè)矢量函數(shù)。這里稱為勢函數(shù)；求散度則是針對(duì)一個(gè)矢量函數(shù)，得到的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，跟求梯度是反一下的；求旋度是針對(duì)一個(gè)矢量函數(shù)，得到的還是一個(gè)矢量函數(shù)。這三種關(guān)系可以從定義式很直觀地看出，因此可以

9、求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以連續(xù)作用兩次，而一維波動(dòng)方程具有如下的形式(1)其中a為一實(shí)數(shù)，于是可以設(shè)想，對(duì)于一個(gè)矢量函數(shù)來說，要求得它的波動(dòng)方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先給出梯度、散度和旋度的計(jì)算式：(2)(3)(4)旋度公式略顯復(fù)雜。這里結(jié)合麥克斯韋電磁場理論，來討論前面幾個(gè)“X度的X度”。I.梯度的散度：根據(jù)麥克斯韋方程有：而(5)則電勢的梯度的散度為這是一個(gè)三維空間上的標(biāo)量函數(shù)，常記作(6)稱為泊松方程，而算符2稱為拉普拉斯算符。事實(shí)上因?yàn)槎x所以有當(dāng)然，這只是一種記憶方式。當(dāng)空間內(nèi)無電荷分布時(shí)，即=0，

10、則稱為拉普拉斯方程當(dāng)我們僅需要考慮一維情況時(shí)，比如電荷均勻分布的無限大平行板電容器之間（不包含極板）的電場，我們知道該電場只有一個(gè)指向，場強(qiáng)處處相等，于是該電場滿足一維拉普拉斯方程，即這就是說如果那邊平行板電容器的負(fù)極板接地，則板間一點(diǎn)處的電壓與該點(diǎn)距負(fù)極板的距離呈線性關(guān)系。II.散度的梯度：散度的梯度，從上面的公式中可以看到結(jié)果會(huì)比較復(fù)雜，但是它的物理意義卻是很明確的，因?yàn)閺柠溈怂鬼f方程可以看出空間某點(diǎn)處電場的散度是該點(diǎn)處的電荷密度，那么再求梯度就是空間中電荷密度的梯度。這就好比說清水中滴入一滴紅墨水，起初水面紅色濃度最高，杯底濃度最低，這樣水面與杯底形成一個(gè)濃度梯度，紅墨水由水面向杯底擴(kuò)散

11、，最后均勻。在半導(dǎo)體中，載流子分布的不均勻會(huì)導(dǎo)致擴(kuò)散電流。散度的梯度這個(gè)概念其實(shí)不常用，因?yàn)橛?jì)算復(fù)雜，但在后面講用它來推導(dǎo)一個(gè)矢量恒等式。III.梯度的旋度：對(duì)于梯度的旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有由于勢函數(shù)在空間一點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)往往是有二階連續(xù)混合偏導(dǎo)數(shù)的，因此上式的結(jié)果為0.所以說梯度的旋度為零，它的物理意義也是很明確的。比如一個(gè)人從海平面爬到一座山上，無論它是從山的陡坡爬上去還是從緩坡爬上去，亦或者坐直升機(jī)上去，重力對(duì)他所做的功總是相等的，即力場的做工只與位移有關(guān)，而與路徑無關(guān)，這樣的場稱為保守場，而保守場是無旋場。再比如繪有等高線的地圖，如果某點(diǎn)只有一個(gè)一根等高線穿過，那么該點(diǎn)有一

12、個(gè)確定的相對(duì)高度。如果該點(diǎn)有兩條或以上的等高線穿過，則這個(gè)點(diǎn)處在懸崖邊上，這個(gè)點(diǎn)處是不可微，也就沒有求梯度的意義。IV.旋度的散度：求旋度的散度也是將(4)式代入(3)式即可。若令(7)則從而將上面三式相加結(jié)果也為零。所以說旋度的散度為零，這就意味著一個(gè)散度場任意疊加上一個(gè)有旋場不會(huì)改變其散度，也就是說光憑矢量場的散度無法唯一地確定這個(gè)矢量場。而光憑矢量場的旋度也無法唯一地確定這個(gè)矢量，這是因?yàn)橛行龍隹梢辕B加上這么一個(gè)矢量場而不改變其旋度，而這個(gè)矢量場是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度。V.旋度的旋度：旋度的旋度將是本文的重點(diǎn)。若所研究的空間范圍內(nèi)是無源的，即=0，J=0，則根據(jù)麥克斯韋方程有：(8)(9)

13、(10)(11)對(duì)(9)式兩端取旋度(12)再將(8)式代入(12)式有(13)看到這里容易讓人想到式(1)，前面說式(1)的方程為一維波動(dòng)方程，那么跟(13)式有什么聯(lián)系呢？棘手的問題是算旋度已經(jīng)夠復(fù)雜了，算旋度的旋度豈不是更費(fèi)周折？幸好有矢量恒等式可以利用來幫助簡化計(jì)算，這里要用到前面所講的散度的梯度。即有：(14)這里拉普拉斯算子作用于一個(gè)矢量函數(shù)時(shí)，意義變得不明確了，它和前面的幾個(gè)“X度的X度”都不一樣，實(shí)際上它有這樣的定義：(15)為了驗(yàn)證式(14)還是要對(duì)計(jì)算“旋度的旋度”，但以后可以直接利用該式。還是做(7)式那樣的處理，即令則于是(16)而令(17)兩式相減有(18)類似地有由

14、于所關(guān)心的空間內(nèi)是無源的，所以式(13)變成(19)這個(gè)方程很重要，稱為三維波動(dòng)方程，這也從理論上揭示了電磁波的存在。它的各分量展開后比較復(fù)雜，實(shí)際上我們無法繪制出一個(gè)向四面八方傳播的波的振動(dòng)圖像，但好在可以畫出一維和二維的波，從而了解波的性質(zhì)。有些事物我們無法在現(xiàn)實(shí)世界中呈現(xiàn)，或繪制出圖形，但是數(shù)學(xué)上卻可以計(jì)算且有確切的物理意義，比如高于三維的空間，不得不感嘆數(shù)學(xué)的神奇，感嘆我們生活的世界的神奇。VI.幾個(gè)矢量恒等式：前面已經(jīng)介紹了一個(gè)矢量恒等式，還有其他幾個(gè)重要的恒等式。由于三種“度”是三種不同微分算法，雖然有些場合可以把當(dāng)做一個(gè)普通的矢量來處理，但并不總是正確的，這一點(diǎn)需要引起注意。這里

15、“”乘的優(yōu)先級(jí)高于“”乘對(duì)于普通三個(gè)不共面的矢量A、B、C則有ABC=CAB=BCA。得到的結(jié)果是令三個(gè)矢量共起點(diǎn)，以三個(gè)矢量的模為棱構(gòu)成的六面體的體積或它的負(fù)值。但是對(duì)于算子，則一般但是一般有實(shí)際上上面的矢量恒等式就是上式的擴(kuò)展上兩式相減有記憶上式的方法是記住下標(biāo)的順序是xyz，yzx和zxy。這個(gè)等式相對(duì)容易證明，但前提是要在直角坐標(biāo)下。上兩式相減有記憶上式的方法是記住下標(biāo)的順序是xyz，yzx和zxy。這個(gè)等式相對(duì)容易證明，但前提是要在直角坐標(biāo)下。再談梯度直角坐標(biāo)上的梯度公式為這實(shí)際上是一個(gè)定義式。也就是說梯度就是這么定義來著，不是以其他數(shù)學(xué)定理為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來的。而這里就講一講梯度的幾何

16、意義。實(shí)際上梯度幾何意義是很簡單的，看一維的情況，它就是一個(gè)模為曲線(x)上某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的一維向量。那么二維情況時(shí)，若以XOY平面為參考面，即則梯度的幾何意義是曲面(x,y)上某點(diǎn)處的切平面關(guān)于XOY平面的斜率。而三維以上則變得抽象了，但仍可以此類推。事實(shí)是否如此？一般的教材都是先從方向?qū)?shù)的概念引出梯度。但實(shí)際上求梯度，比求方向?qū)?shù)容易，并且通過求梯度再得到方向?qū)?shù)比通過定義求方向?qū)?shù)要容易得多。因?yàn)橛羞@里el是l方向的單位向量。注意方向?qū)?shù)不是向量。這里關(guān)于二維情況作一個(gè)討論。在我的前一篇文章曲面積分的求法中指出其過程是：先將曲面用垂直于x軸和y軸的平面，將曲面分割成無數(shù)片；每片曲面用平行四

17、邊形近似；再根據(jù)平行四邊形與其對(duì)應(yīng)的XOY平面上的矩形的映射關(guān)系，將曲面積分的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于平面求積分的問題。圖1這里求梯度是得到微分方程，但是跟上述步驟是相似的。見圖1通過對(duì)曲面的微分和近似，得到了圖中所示的平行四邊形ABCD，通過平移，把D點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)。且映射到XOY平面上的矩形PQRD。這里平面ABCD與平面XOY之間的夾角是銳角。由于微分的任意性，只要我們選取適當(dāng)?shù)膁x和dy可以確保BDG等于平面ABCD與平面XOY的夾角。而此時(shí)正是BDG取得最大值的情況。那么按前面的假設(shè)應(yīng)該有而正是由于dx和dy的任意性，使得值得難以直觀地驗(yàn)證上述關(guān)系。而通過方向?qū)?shù)去驗(yàn)證上述關(guān)系顯然不是想要的，今天我們要另辟新路。想到平面法向量與平面夾角之間的關(guān)系，顯然我們可以通過求法向量的方法來解決問題。而平面的法向量的求法，我已在曲面積分的求法一文中闡述。對(duì)于圖1的這種曲面，曲面方程可表示為則作輔助