二面角的平面角的五種基本圖形及作法

1、.二面角的的五種基本圖形及其平面角的作法舒云水 求二面角的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確作出二面角的平面角，下面介紹二面角的五種基本圖形及其平面角作法在具體立體幾何題中二面角常以圖1的形式給出，二面角的兩個(gè)面以三角形（下文稱為面三角形）的形式出現(xiàn)，分析好這兩個(gè)面三角形的圖形性質(zhì)特點(diǎn)，是作好二面角的平面角的關(guān)鍵還有一條線也是非常重要的，這條線是兩個(gè)面三角形不在二面角棱上的另一個(gè)頂點(diǎn)（如圖1中的 、）的連線（下文稱為頂點(diǎn)連線）為了敘述方便，將兩個(gè)面三角形的公共邊稱為棱底邊，圖1中的線段為二面角的棱底邊圖圖1 圖2 圖3 圖4圖5 圖6 圖7 圖81. 基本圖形一：兩個(gè)面三角形都是以棱底邊為底邊的等腰三角形如圖2，在

2、二面角中，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：底邊上的中線與高重合，取底邊BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE、ED，則AEBC，DEBC，AED為二面角的平面角2.基本圖形二：兩個(gè)面三角形關(guān)于棱底邊對(duì)稱全等如圖3，在二面角中，ABCDBC，A與D是對(duì)應(yīng)點(diǎn)因?yàn)閮蓚€(gè)三角形對(duì)稱全等，過A作AEBC于E，連結(jié)DE，則DEBC，AED為二面角的平面角3. 基本圖形三：頂點(diǎn)連線垂直于二面角的一面如圖4，在二面角中，AD 平面BCD，過D作DEBC于E，連結(jié)AE，根據(jù)三垂線定理知AEBC，AED為二面角的平面角這種情況在高考題中出現(xiàn)最多4. 基本圖形四：二面角的一個(gè)面三角形頂點(diǎn)（不在二面角棱上的頂點(diǎn)）也在的第三個(gè)平面內(nèi)，第三個(gè)平面與

3、二面角的另一面垂直如圖5，二面角的面三角形ABC的頂點(diǎn)A在第三個(gè)平面ABD內(nèi)，平面ABD平面BCD，根據(jù)平面ABD平面BCD，過A作AEBD于E，則AE平面BCD下一步作法同基本圖形三：過垂足E作EGBC于G，連結(jié)AG，則AGE為二面角的平面角5. 基本圖形五：無棱二面角如圖6，兩個(gè)面三角形只有一個(gè)公共點(diǎn)在棱上，這種圖形要作二面角的平面角，關(guān)鍵是要作出二面角的棱下面分兩種情況談作棱問題（1）兩個(gè)面三角形不過公共點(diǎn)的兩邊平行，如圖7，ABCD，易證AB、CD都與棱平行，此時(shí)不需作出棱，過O分別作OEAB于E，OFCD于F，則OE、OF都與棱垂直，EOF為所求二面角的平面角（2）兩個(gè)面三角形不過公共點(diǎn)的兩邊在同一個(gè)平面內(nèi)但不平行，如圖8，AB不平行CD，AB、CD在同一個(gè)平面內(nèi)，延長(zhǎng)AB、CD交于點(diǎn)E，連結(jié)OE，