2021-2021版高中數(shù)學(xué)第三章統(tǒng)計(jì)案例1.3可線性化的回歸分析學(xué)案北師大版選修2-3

1、1.3 可線性化的回歸分析【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解回歸分析的根本思想.2.通過可線性化的回歸分析， 判斷幾種不同模型的 擬合程度.ET問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一常見的可線性化的回歸模型幕函數(shù)曲線，指數(shù)曲線.倒指數(shù)曲線，對(duì)數(shù)曲線.知識(shí)點(diǎn)二可線性化的回歸分析思考i有些變量間的關(guān)系并不是線性相關(guān)關(guān)系，怎樣確定回歸模型？思考2如果兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性相關(guān)關(guān)系，怎樣求出回歸方程?梳理在大量的實(shí)際問題中，所研究的兩個(gè)變量不一定都呈線性相關(guān)關(guān)系，它們之間可能呈指數(shù)關(guān)系或?qū)?shù)關(guān)系等非線性關(guān)系.在某些情況下可以借助線性回歸模型研究呈非線性關(guān)系 的兩個(gè)變量之間的關(guān)系.題型探究類型一給定函數(shù)模型，求回歸方程例1在彩色顯影中，由經(jīng)驗(yàn)

2、可知：形成染料光學(xué)密度y與析出銀的光學(xué)密度 x由公式y(tǒng) =武b。表示現(xiàn)測(cè)得試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:Xi0.050.060.250.310.070.10yi0.100.141.001.120.230.37Xi0.380.430.140.200.47yi1.191.250.590.791.29試求y對(duì)x的回歸方程.跟蹤訓(xùn)練1在試驗(yàn)中得到變量y與x的數(shù)據(jù)如下表:x0.066 70.038 80.033 30.027 30.022 5y39.442.941.043.149.21由經(jīng)驗(yàn)知，y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，試求y與x之間的回歸曲線方程，當(dāng)xo = 0.038z.時(shí)，預(yù)測(cè)yo的值.類型二選取函數(shù)模型，求回

3、歸方程例2下表所示是一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)：x0.50.25160.1250.1y64138205285360(1) 作出散點(diǎn)圖，并猜想 y與x之間的關(guān)系；利用所得的函數(shù)模型，預(yù)測(cè)x = 10時(shí)y的值.反思與感悟?qū)嶋H問題中非線性相關(guān)的函數(shù)模型的選取(1) 采集數(shù)據(jù)，畫出散點(diǎn)圖.(2) 根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布狀態(tài)，選取所有可能的函數(shù)類型.(3) 作變量代換，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù).(4) 作出線性相關(guān)的散點(diǎn)圖，或計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)r,通過比擬選定函數(shù)模型.(5) 求回歸直線方程，并檢查.作出預(yù)報(bào).跟蹤訓(xùn)練2對(duì)兩個(gè)變量x, y取得4組數(shù)據(jù)(1,1) , (2,1.2), (3 , 1.3) , (4,1.37)，

4、甲、乙、丙三人分別求得數(shù)學(xué)模型如下：甲 y= 0.1 x + 1,2乙 y=- 0.05 x + 0.35 x + 0.7 ,x丙 y=- 0.8 0.5 +1.4，試判斷三人誰的數(shù)學(xué)模型更接近于客觀實(shí)際.當(dāng)堂訓(xùn)練的形式為()a,經(jīng)過非線性化回歸分析之后，可以轉(zhuǎn)化成A. u= c+ bxB. u= b+ cxC. y = b+ cxD. y= c + bx3.在一次試驗(yàn)中,當(dāng)變量1 1 1x的取值分別為1, , , 4時(shí)，變量y的值分別為2,3,4,5，那么1y與-的回歸方程為()xA y = -+ 1C. y = 2x + 1D. y= x 14某地今年上半年患某種傳染病的人數(shù)y(人)與月份

5、x(月)之間滿足函數(shù)關(guān)系，模型為y =bxae，確定這個(gè)函數(shù)解析式為 .月份X/月123456人數(shù)y/人526168747883-規(guī)律與方法 .1. 對(duì)于具有非線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，可以通過對(duì)變量進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為線性回歸問題 去解決.2. 建立回歸模型的步驟(1) 確定研究對(duì)象，明確變量關(guān)系.(2) 畫出散點(diǎn)圖，觀察變量之間的關(guān)系.(3) 由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型.(4) 按一定規(guī)那么估計(jì)回歸方程中的參數(shù).合案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一by= axb y= aebx y = aex y = a+ bln x知識(shí)點(diǎn)二思考1首先要作出散點(diǎn)圖，如果散點(diǎn)圖中的樣本點(diǎn)并沒有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，那么兩個(gè)變量

6、不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，不能直接利用線性回歸方程來建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系.這時(shí)可以根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，觀察樣本點(diǎn)是否呈指數(shù)函數(shù)關(guān)系或二次函數(shù)關(guān)系，選定適當(dāng)?shù)幕貧w模型.思考2 可以通過對(duì)解釋變量進(jìn)行變換，如對(duì)數(shù)變換或平方變換，先得到另外兩個(gè)變量間的 回歸方程，再得到所求兩個(gè)變量的回歸方程.題型探究-b例1解 由題意知，對(duì)于給定的公式y(tǒng)= Aexb0兩邊取自然對(duì)數(shù)，得ln y= In A+二,z.1與線性回歸方程相對(duì)照可以看出，只要取u = -，v= In y, a= In A,就有v= a+ bu.x這是v對(duì)u的線性回歸方程，對(duì)此我們?cè)偬子孟嚓P(guān)性檢驗(yàn)，求回歸系數(shù)b和a.題目中所給1的數(shù)據(jù)由變換u=

7、-, v= In y,變?yōu)槿缦卤硭镜臄?shù)據(jù).xu20.00016.6674.0003.22614.28610.000Vi2.3031.96600.1131.4700.994u2.6322.3267.1435.0002.128Vi0.1740.2230.5280.2360.255可求得 b 0.146 , a0.548 , v = 0.548 0.146 u.把u和v轉(zhuǎn)換回來，可得Iny= 0.548 0.146x0.548二 y = e0.1460.548=e0.1460.146e =1.73 e 丁0.146回歸曲線方程為 y= 1.73 e1跟蹤訓(xùn)練1解 令z= -，那么y = a+ bz

8、,由數(shù)據(jù)制成下表:X1 z=-x14.992 525.773 230.030 036.630 044.444y39.442.941.043.149.2計(jì)算得 z = 30.373 9 , y = 43.120 0 ,5g 1Ziyi = 6 693.002 6,5_ - 2g Zi= 5 107.859 8.i = 125 z y = 6 548.612 8,5 z = 4 612.869 0.5g yi - 5 z y于是有b=52 2g!zi - 5 z0.291 7.6 693.002 6 6 548.612 85 107.859 8 - 4 612.869 0 a= y - b z 3

9、4.26.0 291 7 y與x之間的回歸曲線方程是y = 34.26 +.x當(dāng) X0 = 0.038 時(shí)，yo 41.94，即 y。的值約為 41.94.例2解1散點(diǎn)圖如下圖，從散點(diǎn)圖可以看出y與x不具有線性相關(guān)關(guān)系.根據(jù)已有知識(shí)發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在函數(shù)y = b+ a的圖像的周圍，其中a, b為待定參數(shù)，令xX1=-，y = y,由數(shù)據(jù)制成下表: X序號(hào)ix iy i/ 2x i/ 2 y ix iy i126444 096128241381619 044552362053642 0251 230482856481 2252 280510360100129 6003 600301 052220

10、275 9907 790x = 6, y = 210.4 ,5故召X 2- 5( T，)2= 40,52 2召y i-5( y ) = 54 649.2 ,7790 5X 6X 210.4r = 0.999 7 ,40X 54 649.2由于r非常接近于1, x 與y具有很強(qiáng)的線性關(guān)系，計(jì)算知，b36.95, a= 210.4 36.95 X6= 11.3 , y = 11.3 + 36.95 x,36.95 y對(duì)x的回歸曲線方程為 y = 11.3.x亠 36.95 當(dāng) x = 10 時(shí)，y = 11.3 = 7.605.跟蹤訓(xùn)練2 解 甲模型，當(dāng)x= 1時(shí)，y= 1.1 ;當(dāng)x = 2時(shí)，

11、y = 1.2 ;當(dāng) x= 3 時(shí)，y= 1.3 ;當(dāng) x= 4 時(shí)，y= 1.4.乙模型，當(dāng)x = 1時(shí)，y = 1 ;當(dāng)x = 2時(shí)，y = 1.2 ;當(dāng) x= 3 時(shí)，y= 1.3 ;當(dāng) x= 4 時(shí)，y= 1.3.丙模型，當(dāng)x = 1時(shí)，y = 1 ;當(dāng)x = 2時(shí)，y = 1.2 ;當(dāng) x= 3 時(shí)，y= 1.3 ;當(dāng) x= 4 時(shí)，y= 1.35.觀察4組數(shù)據(jù)并對(duì)照知，丙的數(shù)學(xué)模型更接近于客觀實(shí)際.當(dāng)堂訓(xùn)練1. B 2.A3.A4. y = e3.910 3 + 0.090 5 x解析 設(shè) u= In y, c = In a,得 u= c+ bx,那么u與x的數(shù)據(jù)關(guān)系如下表：x123456u= In y3.954.114.224.304.364.426 6由上表，得耳=“ =21,葛u = 25.36 ,6 6_ - 2 _ - 2刀 Xi= 91,刀 Ui = 107.339 ,i = 17 i = 176刀 Xi