隨機信號分析習(xí)題

1、 隨機信號分析習(xí)題一1. 設(shè)函數(shù)，試證明是某個隨機變量的分布函數(shù)。并求下列概率：，。2. 設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為，求。3. 設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 求：（1）邊沿密度， （2）條件概率密度，4. 設(shè)離散型隨機變量的可能取值為，取每個值的概率都為，又設(shè)隨機變量。（1）求的可能取值（2）確定Y的分布。（3）求。5. 設(shè)兩個離散隨機變量，的聯(lián)合概率密度為：試求：（1）與不相關(guān)時的所有值。 （2）與統(tǒng)計獨立時所有值。6. 二維隨機變量（，）滿足：為在0，2上均勻分布的隨機變量，討論，的獨立性與相關(guān)性。7. 已知隨機變量X的概率密度為，求的概率密度。8. 兩個隨機變量，已知其聯(lián)合概率密度為,求的概率

2、密度？9. 設(shè)是零均值，單位方差的高斯隨機變量，如圖，求的概率密度10. 設(shè)隨機變量和是另兩個隨機變量和的函數(shù)設(shè)，是相互獨立的高斯變量。求隨機變量和的聯(lián)合概率密度函數(shù)。11. 設(shè)隨機變量和是另兩個隨機變量和的函數(shù)已知，求聯(lián)合概率密度函數(shù)。12. 設(shè)隨機變量為均勻分布，其概率密度（1）求的特征函數(shù),。（2）由，求。13. 用特征函數(shù)方法求兩個數(shù)學(xué)期望為0，方差為1，互相獨立的高斯隨機變量和之和的概率密度。14. 證明若依均方收斂，即 ，則必依概率收斂于。15. 設(shè)和為兩個二階矩實隨機變量序列，和為兩個二階矩實隨機變量。若，求證。隨機信號分析習(xí)題二1. 設(shè)正弦波隨機過程為其中為常數(shù)；為均勻分布在內(nèi)

3、的隨機變量，即(1) 試求時，的一維概率密度；(2) 試求時，的一維概率密度。2. 若隨機過程為式中，為在區(qū)間上均勻分布的隨機變量，求及。3. 設(shè)隨機振幅信號為其中為常數(shù)；是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量。求該隨機信號的均值、方差、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。4. 設(shè)隨機相位信號式中、皆為常數(shù)，為均勻分布在上的隨機變量。求該隨機信號的均值、方差、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。5. 設(shè)，其中，為實常數(shù)，試求。6. 數(shù)學(xué)期望為、相關(guān)函數(shù)為的隨機信號輸入微分電路，該電路輸出隨機信號。求的均值和相關(guān)函數(shù)。7. 設(shè)隨機信號，其中是均值為5、方差為1的隨機變量?，F(xiàn)設(shè)新的隨機信號。試求的均值、相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)和方差。8. 利用重復(fù)

4、拋擲硬幣的實驗定義一個隨機過程設(shè)“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”的概率都為1/2。(1) 求的一維分布函數(shù)和；(2) 求的二維分布函數(shù)。9. 給定一個隨機過程和任一實數(shù)，定義另一個隨機過程證明的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)分別為的一維和二維分布函數(shù)。10. 定義隨機過程，為正常數(shù)，設(shè)，且與相互獨立，令，試求與。11. 考慮一維隨機游動過程，其中，為一取值和的隨機變量，已知，且，相互獨立，試求：1) ;2) 和。12. 考慮隨機過程，其樣本函數(shù)是周期性鋸齒波。兩個典型的樣本函數(shù)如圖所示。每個樣本函數(shù)都具有相同的形狀，將時刻以后出現(xiàn)的第一個零值時刻記為，假設(shè)是一個均勻分布的隨機變量求的一維概率密度tTT0X(t

5、)A13. 將上題中的鋸齒波過程作一點改動，使每個脈沖的幅度為服從麥克斯韋(Maxwell)分布的隨機變量其中的定義和上題相同。假設(shè)不同脈沖的幅度之間統(tǒng)計獨立，并均與統(tǒng)計獨立，求的一維概率密度。Y(t)tTT014. 考慮一個正弦振蕩器，由于器件的熱噪聲和分布參數(shù)的影響，振蕩器的輸出正弦波可視為一個隨機過程其中振幅、角頻率和相位是相互獨立的隨機變量，并且已知：求的一維概率密度。隨機信號分析習(xí)題三1. 設(shè)有零均值的平穩(wěn)過程，其相關(guān)函數(shù)為，令 求的方差函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。2. 設(shè)是平穩(wěn)過程，且，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差。3. 設(shè)隨機過程 其中平穩(wěn)過程和及隨機變量三者相互獨立，且，的相關(guān)函數(shù)為，的相

6、關(guān)函數(shù)為，又，。求的數(shù)學(xué)期望，方差和相關(guān)函數(shù)。4. 設(shè)平穩(wěn)過程，其相關(guān)函數(shù)為，且，是常數(shù)。證明：(1) (2) 5. 設(shè)，其中是常數(shù)，是隨機變量，具有概率密度函數(shù)討論的嚴(yán)平穩(wěn)性。6. 設(shè)是任意的隨機變量，是與相互獨立的，且在上服從均勻分布的隨機變量，令，是常數(shù)，證明是嚴(yán)平穩(wěn)過程。7. 設(shè)是一個零均值的平穩(wěn)過程，而且不恒等于一個隨機變量，令，。判斷是否為平穩(wěn)過程。8. 設(shè)，其中和是相互獨立的隨機變量，且，。(1) 求的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)；(2) 證明是寬平穩(wěn)過程，但不是嚴(yán)平穩(wěn)過程。9.(上節(jié)習(xí)題課的例題12)考慮隨機過程，其樣本函數(shù)是周期性鋸齒波。兩個典型的樣本函數(shù)如圖所示。每個樣本函數(shù)都具有相

7、同的形狀，將時刻以后出現(xiàn)的第一個零值時刻記為，假設(shè)是一個均勻分布的隨機變量判斷平穩(wěn)性。tTT0X(t)A10. (上節(jié)習(xí)題課的例題14)考慮一個正弦振蕩器，由于器件的熱噪聲和分布參數(shù)的影響，振蕩器的輸出正弦波可視為一個隨機過程其中振幅、角頻率和相位是相互獨立的隨機變量，并且已知(1)求的一維概率密度；(2) 是一階平穩(wěn)過程嗎？11. 設(shè)是平穩(wěn)過程，其協(xié)方差是絕對可積，即。證明的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。12. 設(shè)隨機過程，其中是一平穩(wěn)過程，是與無關(guān)的隨機變量，討論過程的遍歷性。13. 設(shè)，其中是常數(shù)，和是相互獨立的隨機變量，且，研究的各態(tài)歷經(jīng)性。14. 隨機過程，其中是具有一、二階矩的隨機變量，但不

8、服從單點或兩點分布，討論它的各態(tài)歷經(jīng)性。隨機信號分析習(xí)題四1. 已知平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)如下，試求它的功率譜密度(1) (2) 2. 設(shè)為一個隨機電報波過程，它的一個樣本函數(shù)如圖所示。已知在任一時刻波形取和的概率相同，在時間間隔內(nèi)波形變號的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布(1) 求的自相關(guān)函數(shù)；(2) 求的功率譜密度函數(shù)。3. 已知平穩(wěn)過程和的功率譜密度為求和的自相關(guān)函數(shù)和均方值。4. 若是平穩(wěn)隨機過程，如圖所示證明過程的功率譜密度為延時5. 設(shè)是一個平穩(wěn)過程的功率譜密度函數(shù)，證明不可能是平穩(wěn)過程的功率譜密度函數(shù)。6. 設(shè)隨機過程，其中為常量，和為相互獨立的隨機變量，且均勻分布于，的一維概率密度為偶函數(shù)

9、，即，求證的功率譜密度為7. 設(shè)和是聯(lián)合平穩(wěn)的。試證明8. 給定一個隨機過程式中，和為常數(shù)，為均勻分布于的隨機變量（1） 求的平均功率；（2） 求的功率譜密度。9. 若平穩(wěn)過程的功率譜密度為，又有式中，為常數(shù)，求功率譜密度。10. 設(shè)和是兩個相互獨立的平穩(wěn)過程，均值函數(shù)和都不為零，已知和，以及和的功率譜密度和，令，試計算和。11. 已知隨機變量和的聯(lián)合概率密度為其中(1) 求邊緣分布和；(2) 證明和不相關(guān)，但不統(tǒng)計獨立。12. 一個零均值高斯過程，其協(xié)方差為求在時刻，抽樣的三維概率密度。13. 設(shè)隨機過程其中為常數(shù)，和是兩個相互獨立的高斯隨機變量，已知求的一維概率密度函數(shù)。14. 設(shè)為平穩(wěn)高

10、斯過程，其均值為零，自相關(guān)函數(shù)為，求隨機變量的概率密度函數(shù)。15. 設(shè)為一個零均值高斯過程，其功率譜密度如圖所示，若每秒對取樣一次，得到樣本集合，求前個樣本的聯(lián)合概率密度。隨機信號分析習(xí)題五1. 非周期平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)為式中，和是正實常數(shù)，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為其中為正實常數(shù)，求該系統(tǒng)輸出過程的均值。2. 假設(shè)低通濾波器的傳輸函數(shù)與沖激響應(yīng)如下，輸入為白噪聲，其功率譜密度為，求(1) 濾波器輸出功率譜密度；(2) 濾波器輸出自相關(guān)函數(shù)；(3) 證明3. 設(shè)有沖激響應(yīng)為的線性系統(tǒng)，系統(tǒng)輸入為零均值、平穩(wěn)過程，該過程的自相關(guān)函數(shù)為問：具備什么條件，可使輸入過程與輸出過程在時刻的隨機變量不相關(guān)。4.

11、設(shè)是純隨機序列，且在與間均勻分布，試?yán)孟铝袨V波方程求出，與的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度。5. 線性系統(tǒng)的輸入為平穩(wěn)過程，其功率譜為，設(shè)為輸出。(1) 求誤差過程的功率譜密度函數(shù)；(2) 考慮RC電路，設(shè)輸入為一個二元波過程，求。RC6. 一個平均電路如下圖所示(1) 證明系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)為(2) 設(shè)輸入過程的功率譜密度為，求輸出過程的功率譜密度。7. 設(shè)輸入為白噪聲過程，其自相關(guān)函數(shù)為。求(1) 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)；(2) 輸出過程的均方值。41/31/8 F1/6 F8. 證明均值為零、自相關(guān)函數(shù)為的白噪聲通過一個理想積分器后輸出方程的均方值為。9. 在習(xí)題5所示的RC電路中，設(shè)輸入過程的自

12、相關(guān)函數(shù)為，求輸出過程的功率譜密度函數(shù)，自相關(guān)函數(shù)和均方值。10. 假設(shè)某線性系統(tǒng)如圖所示，試用頻域分析方法求出：(1) 系統(tǒng)的傳輸函數(shù)；(2) 當(dāng)輸入是譜密度為的白噪聲時。輸出的均方值。(提示：利用積分)延遲T11. 隨機過程滿足微分方程其中對于任意，都為白噪聲，其自相關(guān)函數(shù)。證明的自相關(guān)函數(shù)滿足方程，其中，初始條件為，。12. 如下圖所示系統(tǒng)中輸入同時作用于兩個系統(tǒng)(1) 求輸出和的互譜密度；(2) 設(shè)是零均值的具有單位譜高的白噪聲，若要使和為不相關(guān)過程，和應(yīng)滿足什么條件？13. 如下圖所示系統(tǒng)中，若已知，并已知輸入是均值為零，譜密度為的高斯白噪聲，求輸出過程的一維概率密度。延時T隨機信號

13、分析習(xí)題六1. 分別求下列信號的希爾伯特變換(1) 。(2) 。2. 試求下列信號的解析信號及復(fù)數(shù)包絡(luò)：(1) 指數(shù)衰落正弦波(2) 調(diào)幅波(3) 線性調(diào)制波3. 設(shè)低頻信號的頻譜為證明當(dāng)時，有4. 試證：(1) 偶函數(shù)的希爾伯特變換為奇函數(shù)；(2) 奇函數(shù)的希爾伯特變換為偶函數(shù)。5. 試證：(1) ；(2) ；6. 設(shè)為的希爾伯特變換，證明：(1) 和在范圍內(nèi)的功率相等，即(2) 在范圍內(nèi)，和是正交的，即。 7. 證明下式成立，其中為平穩(wěn)隨機過程，為的解析信號：(1) ；(2) 8. 一個線性系統(tǒng)輸入為時，相應(yīng)的輸出為。證明若該系統(tǒng)的輸入為的希爾伯特變換，則相應(yīng)的輸出的希爾伯特變換為。9.

14、證明若加到系統(tǒng)的輸入為，則相應(yīng)的輸出為對應(yīng)于的解析信號，即10. 設(shè)譜密度為的零均值高斯白噪聲通過一個理想帶通濾波器，此濾波器的增益為1，中心頻率為，帶寬為。試求濾波器輸出端的窄帶過程及其同相和正交分量的自相關(guān)函數(shù)、。11. 設(shè)窄帶過程的功率譜如圖所示，試求：(1) 的同相和正交分量的功率譜密度。(2) 互譜密度。-740-4-5475712. 設(shè)如圖所示系統(tǒng)的輸入是譜密度為的零均值高斯白噪聲，在上服從均勻分布，且與統(tǒng)計獨立。其中兩個濾波器的通帶分別為和。(1) 求輸出過程的功率譜密度。(2) 求的方差。帶通低通13. 零均值平穩(wěn)窄帶噪聲具有對稱功率譜，其相關(guān)函數(shù)為，求正交和同相分量的相關(guān)函數(shù)

15、、和方差、，并求互相關(guān)函數(shù)、。14. 對于零均值，方差為的窄帶平穩(wěn)高斯過程求證：包絡(luò)在任意時刻所給出的隨機變量其數(shù)學(xué)期望值與方差分別為。15. 試證：均值為零、方差為1的窄帶平穩(wěn)高斯過程，其任意時刻的包絡(luò)平方的數(shù)學(xué)期望為2，方差為4。隨機信號分析習(xí)題七1. 設(shè)是均值為零的實正態(tài)平穩(wěn)過程，相關(guān)函數(shù)為，(1) 證明是平穩(wěn)過程.(2) 求相關(guān)系數(shù)2. 設(shè)是均值為零的實正態(tài)平穩(wěn)過程，相關(guān)函數(shù)為，求的均值和自相關(guān)函數(shù).3. 設(shè)是均值為零的實正態(tài)平穩(wěn)過程，相關(guān)函數(shù)為，功率譜密度為，,(1) 求的一維概率密度分布.(2) 求的二維概率密度分布.(3) 證明也是一個平穩(wěn)過程.(4) 求的功率譜密度.4. 系統(tǒng)

16、輸入是均值為零的實正態(tài)平穩(wěn)隨機信號，通過系統(tǒng)輸出功率譜密度為試求、各自的自相關(guān)函數(shù).5. 信號和噪聲同時作用于平方律檢波器，信號，其中和為常數(shù)，為均勻分布的隨機變量，噪聲為零均值的高斯隨機過程，相關(guān)函數(shù)為，信號和噪聲是不相關(guān)的，求輸出信號的均值、方差、自相關(guān)函數(shù)和功率譜.6. 設(shè)一非線性系統(tǒng)的傳輸特性為其輸入為零均值的平穩(wěn)高斯噪聲，方差為，相關(guān)函數(shù)為，用多項式變換的矩函數(shù)法求輸出的自相關(guān)函數(shù)(多項式展開只取前3項).7. 系統(tǒng)輸入是均值為零，方差為1的高斯白噪聲，用特征函數(shù)法求非線性系統(tǒng)輸出端的自相關(guān)函數(shù)函數(shù).8. 系統(tǒng)輸入是均值為零，方差為1的高斯白噪聲，通過一線性檢波器用特征函數(shù)法求系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù). 9. 窄帶正態(tài)隨機過程，通過平方律檢波器求檢波器輸出端的均值和方差.隨機信號分析習(xí)題八1.設(shè)有三個狀態(tài)的馬氏鏈，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為求.2. 設(shè)有三個狀態(tài)的馬氏鏈，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為 對，求和.3.設(shè)有三個狀態(tài)的馬氏鏈，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為求(1)何時此鏈具有遍歷性