自由曲線曲面造型技術

1、自由曲線曲面造型技術自由曲線曲面造型技術1、綜述、綜述2、簡單技術、簡單技術1、綜述、綜述自由曲線曲面造型技術是自由曲線曲面造型技術是CAx的理論基礎的理論基礎CAx計算機輔助技術，包括計算機輔助技術，包括 CAD,CAM,CAE,CAPP,CAD computer aided design 計算機輔助設計計算機輔助設計CAM computer aided manufacturing 計算機輔助制造計算機輔助制造CAE computer aided engineering 計算機輔助工程計算機輔助工程CAFD computer aided fixture design 計算機輔助夾具設計計算機

2、輔助夾具設計CAPP computer aided process planning 計算機輔助工藝設計計算機輔助工藝設計CAQ computer aided quality assurance 計算機輔助質(zhì)量保證計算機輔助質(zhì)量保證CATD computer aided tool design 計算機輔助刀具設計計算機輔助刀具設計計算機輔助技術的應用范圍：計算機輔助技術的應用范圍：宇航、汽車、船舶、計算機、宇航、汽車、船舶、計算機、機械、模具、地質(zhì)、氣象、機械、模具、地質(zhì)、氣象、醫(yī)學等等。醫(yī)學等等。從數(shù)學的角度講從數(shù)學的角度講 曲線曲線=一元函數(shù)的圖象（表示）一元函數(shù)的圖象（表示） 曲面曲面=

3、二元函數(shù)的圖象（表示）二元函數(shù)的圖象（表示）所謂所謂“自由自由”，亦即，亦即“不依賴坐標架不依賴坐標架的選取的選取” 圖象表示是函數(shù)的表示方式之一，圖象表示是函數(shù)的表示方式之一，特別函數(shù)沒有解析表達的時候。特別函數(shù)沒有解析表達的時候。 市面上 超人CAD/CAM系統(tǒng) 是集幾何造型與數(shù)控編程于一體的集成化軟件,具有統(tǒng)一的數(shù)據(jù)結構,數(shù)據(jù)管理和用戶界面.系統(tǒng)采用NURBS（Non Uniform Rational B-Spline)方法為造型核心,統(tǒng)一表示二次曲線曲面和自由自由曲線曲面曲線曲面.從根本上解決了不規(guī)則的任意邊界的曲面造型曲面造型問題,解決了復雜零件的四,五坐標加工編程問題,適用于各種刀

4、具端銑和側銑,大大提高了系統(tǒng)的數(shù)控編程能力.可以大面積切除毛坯余量,提高加工效率.系統(tǒng)具有良好的開放性. 自由曲面理論的發(fā)展經(jīng)歷了長期的實踐醞自由曲面理論的發(fā)展經(jīng)歷了長期的實踐醞釀，早在二戰(zhàn)期間，飛機工業(yè)就成功創(chuàng)造了成釀，早在二戰(zhàn)期間，飛機工業(yè)就成功創(chuàng)造了成套的飛機外形及其主要結構件的數(shù)據(jù)定義方法。套的飛機外形及其主要結構件的數(shù)據(jù)定義方法。20世紀世紀60年代年代Coons和和Bzier通過長期從事飛通過長期從事飛機汽車的外形設計加工，提出更加完美、通用機汽車的外形設計加工，提出更加完美、通用的曲面表達式，最終導致了完備的非均勻有理的曲面表達式，最終導致了完備的非均勻有理B樣條樣條(NURBS

5、)曲面理論體系的誕生。曲面理論體系的誕生。 但人們并不安于現(xiàn)狀，繼續(xù)探索新的造型但人們并不安于現(xiàn)狀，繼續(xù)探索新的造型方法。相繼出現(xiàn)了自由變形造型、偏微分方程方法。相繼出現(xiàn)了自由變形造型、偏微分方程造型、能量法造型、小波技術等。這些方法目造型、能量法造型、小波技術等。這些方法目前還處于深入研究階段，有望于前還處于深入研究階段，有望于21世紀得到廣世紀得到廣泛的應用。泛的應用。 插值插值(interpolation)、擬合（、擬合（fitting)和和逼近（逼近（approximation)，一直是曲線曲面，一直是曲線曲面造型基本的方法。造型基本的方法。 自由曲線曲面造型技術是與計算機技自由曲線曲

6、面造型技術是與計算機技術同步發(fā)展的。術同步發(fā)展的。 樣條函數(shù)由樣條函數(shù)由Schoenberg于于1946年提出；年提出；第一臺電子計算機第一臺電子計算機1946年年2月問世。并非月問世。并非是巧合。是巧合。1.1 研究現(xiàn)狀研究現(xiàn)狀 從傳統(tǒng)的曲面表示、曲面相交和曲面從傳統(tǒng)的曲面表示、曲面相交和曲面拼接，擴充到曲面變形、曲面重建、曲拼接，擴充到曲面變形、曲面重建、曲面簡化、曲面轉(zhuǎn)換和曲面等距性。面簡化、曲面轉(zhuǎn)換和曲面等距性。 1.1.1 曲面變形曲面變形 1.1.2 曲面重建 1.1.3 曲面簡化 1.1.4 曲面轉(zhuǎn)換 1.1.5 曲面等距性1.1.1 曲面變形曲面變形（Deformation o

7、r Shape Blending) 傳統(tǒng)的NURBS模型僅允許調(diào)整控制頂點或權因子來局部改變曲面形狀。 計算機動畫業(yè)和實體造型業(yè)需要與曲面表示方法無關的變形方法或性狀調(diào)配方法。1.1.2 曲面重建（Reconstuction) 從曲面上的部分采樣信息來恢復原始曲面的幾何模型。稱為曲面重建。 轎車車身設計和人臉類雕塑曲面的動畫制作中，常先用油泥制模，在作三維型值點采樣； 醫(yī)學圖像可視化中，先用CT切片來得到人體臟器表面三維數(shù)據(jù)。1.1.3 曲面簡化（Surfaces Simplification) 從三維重建后的離散曲面或造型軟件的輸出結果中除去冗(rong)余信息而又保證模型的準確度，以利于圖

8、形的實時性、數(shù)據(jù)存儲的經(jīng)濟性和數(shù)據(jù)傳輸?shù)目焖傩浴?.1.4 曲面轉(zhuǎn)換(Conversion) 同一張曲面可以表示為不同的數(shù)學形式，這一思想不僅有理論意義，而且具有工業(yè)應用的現(xiàn)實意義。1.1.5 曲面等距性(offset) 在計算機圖形及加工中有廣泛的應用。（如：平面到柱面）clear,close;close;x=-3:0.1:3;y=1:0.1:5;X,Y=meshgrid(x,y);Z=(X+Y);figure(1)plot3(X,Y,Z)figure(2)N=100;R=1 1;X,Y,Z = CYLINDER(R,N);plot3(X,Y,Z);hold on;plot3(X(1,:),

9、Y(1,:),Z(1,:);hold onplot3(X(2,:),Y(2,:),Z(2,:);1.2 發(fā)展趨勢1.2.1 能量優(yōu)化法1.2.2偏微分方程法(PDE)1.2.3流1.2.4小波技術（略）這些技術21世紀有望被CAD/CAM技術所采用。1.2.1 能量優(yōu)化法 1987，加那大Terzopoulos, 基于物理能量模型的可變形曲線曲面造型技術引人計算機圖形學，用Lagrange方程建立能量模型，并用差分法解偏微分方程。有時問題會化為多目標規(guī)劃問題.由柔性的薄膜形成的表面被最優(yōu)化問題決定: min c*x+0.5*x*H*x : low = x 其中 c*x + 0.5*x*H*x

10、能量函數(shù)不連續(xù)的近似值 H = delsq(numgrid(S,30+2); (numgrid數(shù)據(jù)格子)h = 1/(30-1);c = -h2*ones(302,1);1.2.2偏微分方程法(PDE) 主要用于船體、飛機、螺旋槳葉片等外形。1.2.3 流 人們希望所設計的運動物體外型具有“流線型”2、 簡單技術(插值與擬合)2.12.1曲曲 線線 擬擬 合合 問問 題題 的的 提提 法法已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上 n個點個點（xi,yi) i=1,n, 尋求一個函數(shù)（曲線）尋求一個函數(shù)（曲線）y=f(x), 使使 f(x) 在某種準則下與所在某種準則下與所有

11、數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好。有數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好。 +xyy=f(x)(xi,yi)i i 為點為點（xi,yi) 與與曲線曲線 y=f(x) 的距離的距離曲線插值的定義曲線插值的定義已知已知 n+1個節(jié)點個節(jié)點, 1 , 0(),(njyxjj其中其中jx互不相同，不妨設互不相同，不妨設),10bxxxan求任一插值點求任一插值點)(*jxx 處的插值處的插值.*y0 x1xnx0y1y節(jié)點可視為由節(jié)點可視為由)(xgy 產(chǎn)生產(chǎn)生,，g表達式復雜表達式復雜,，或無封閉形式或無封閉形式,，或未知或未知.。*x*y 構造一個構造一個(相對簡單的相對簡單的)函數(shù)函數(shù)),(xfy

12、 通過全部節(jié)點通過全部節(jié)點, 即即), 1 ,0()(njyxfjj再用再用)(xf計算插值，即計算插值，即).(*xfy 0 x1xnx0y1y*x*y擬合與插值的關系擬合與插值的關系 函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構造一個函數(shù)作函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構造一個函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學方法上是完全不同為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學方法上是完全不同的。的。 實例：實例：下面數(shù)據(jù)是某次實驗所得，希望得到X和 f之間的關系？x124791 21 31 51 7f1 .53 .96 .611 .71 5 .61 8 .81 9 .62 0 .62 1 .

13、1MATLAB(cn)問題：問題：給定一批數(shù)據(jù)點，需確定滿足特定要求的曲線或曲面解決方案：解決方案：若不要求曲線（面）通過所有數(shù)據(jù)點，而是要求它反映對象整體的變化趨勢，這就是數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)擬合，又稱曲線擬合或曲面擬合。若要求所求曲線（面）通過所給所有數(shù)據(jù)點，就是插值問題插值問題；最臨近插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結果：最臨近插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結果：曲線擬合的方法有很多種，主要有曲線擬合的方法有很多種，主要有1、多項式擬合、多項式擬合2、線性最小二乘法、線性最小二乘法3 、非線性最小二乘法、非線性最小二乘法4、根據(jù)具體情況取指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等、根據(jù)具體情況取指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函

14、數(shù)等擬合擬合5、分段擬合、分段擬合 等等等等曲線擬合問題最常用的解法曲線擬合問題最常用的解法線性最小二乘法的基本思路線性最小二乘法的基本思路第一步: :先選定一組函數(shù)先選定一組函數(shù) r1(x), r2(x), rm(x), mn, 令令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ +amrm(x) （1）其中其中 a1,a2, am 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。 第二步: 確定確定a1,a2, am 的準則（最小二乘準則）：的準則（最小二乘準則）：使使n個點個點（xi,yi) 與與曲線曲線 y=f(x) 的距離的距離 i 的平方和最小的平方和最小 。記記 )2()()(),(211211221ii

15、knimkkininiiimyxrayxfaaaJ 問題歸結為，求問題歸結為，求 a1,a2, am 使使 J(a1,a2, am) 最小。最小。+xyy=f(x)(xi,yi)i i 為點為點（xi,yi) 與與曲線曲線 y=f(x) 的距離的距離2、插值、插值曲線插值的方法也很多曲線插值的方法也很多, 主要有主要有1)多項式插值多項式插值2)樣條插值樣條插值(B樣條樣條,三次樣條三次樣條)3)最臨近值插值最臨近值插值4)線性插值線性插值等等等等比分段線性插值更光滑。比分段線性插值更光滑。xyxi-1 xiab 在數(shù)學上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的k階導數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有

16、k階光滑性。 光滑性的階次越高，則越光滑。是否存在較低次的分段多項式達到較高階光滑性的方法？三次樣條插值就是一個很好的例子。樣條插值樣條插值 三次樣條插值, 1,),()(1nixxxxsxSiii,)()3), 1 ,0()()2), 1()()10223niiiiiiixxCxSniyxSnidxcxbxaxs) 1, 1()()(),()(),()(111 nixsxsxsxsxsxsiiiiiiiiiiii自然邊界條件）(0)()()40 nxSxS)(,)4)3)2xSdcbaiiii)()(limxgxSng g( (x x) )為被插值函數(shù)為被插值函數(shù)。用用MATLABMATLA

17、B作插值計算作插值計算一維插值函數(shù)：一維插值函數(shù)：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法插值方法被插值點被插值點插值節(jié)點插值節(jié)點xixi處的插處的插值結果值結果nearest ：最鄰近插值：最鄰近插值linear ： 線性插值；線性插值；spline ： 三次樣條插三次樣條插值；值；cubic ： 立方插值。立方插值。缺省時：缺省時： 分段線性插值。分段線性插值。 注意：所有的插值方法都要求注意：所有的插值方法都要求x x是單調(diào)的，并且是單調(diào)的，并且xi不不能夠超過能夠超過x的范圍。的范圍。xy機翼下輪廓線X035791 11 21 31 41 5Y01 . 21 . 72

18、 . 02 . 12 . 01 . 81 . 21 . 01 . 6例例 已知飛機下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求已知飛機下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求x每改變每改變0.1時的時的y值。值。To MATLAB(plane)二維插值二維插值一、一、二維插值定義二維插值定義二、網(wǎng)格節(jié)點插值法二、網(wǎng)格節(jié)點插值法三、用三、用MatlabMatlab解插值問題解插值問題最鄰近插值最鄰近插值分片線性插值分片線性插值雙線性插值雙線性插值網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值散點數(shù)據(jù)的插值散點數(shù)據(jù)的插值二維插值的定義二維插值的定義 xyO O第一種（網(wǎng)格節(jié)點）：第一種（網(wǎng)格節(jié)點）： 已知已知 m n個節(jié)點個節(jié)點 ),2 , 1;

19、,.,2 , 1(),(njmizyxijji 其中其中jiyx ,互不相同，不妨設互不相同，不妨設bxxxam 21dyyycn 21 構造一個二元函數(shù)構造一個二元函數(shù)),(yxfz 通過全部已知節(jié)點通過全部已知節(jié)點,即即再用再用),(yxf計算插值，即計算插值，即).,(*yxfz ),1 ,0;,1 ,0(),(njmizyxfijji 第二種（散亂節(jié)點）：第二種（散亂節(jié)點）： yx0 0已知已知n個節(jié)點個節(jié)點),.,2 , 1(),(nizyxiii 其中其中),(iiyx互不相同，互不相同， 構造一個二元函數(shù)構造一個二元函數(shù)),(yxfz 通過全部已知節(jié)點通過全部已知節(jié)點,即即),1

20、 ,0(),(nizyxfiii 再用再用),(yxf計算插值，即計算插值，即).,(*yxfz 雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構成。雙線性插值函數(shù)的形式如下：)dcy)(bax()y, x(f其中有四個待定系數(shù)，利用該函數(shù)在矩形的四個頂點（插值節(jié)點）的函數(shù)值，得到四個代數(shù)方程，正好確定四個系數(shù)。雙線性插值雙線性插值x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O O 要求要求x0,y0 x0,y0單調(diào)；單調(diào)；x x，y y可取可取為矩陣，或為矩陣，或x x取取行向量，行向量，y y取為列向量，取為列向量，x,yx,y的值分別不能超出的值分別不能超出x0,y0 x0

21、,y0的范圍。的范圍。z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)被插值點插值方法用用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值作網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值插值節(jié)點被插值點的函數(shù)值nearestnearest 最鄰近插值最鄰近插值linearlinear 雙線性插值雙線性插值cubiccubic 雙三次插值雙三次插值缺省時缺省時, , 雙線性插值雙線性插值例例 山區(qū)地貌：山區(qū)地貌： 在某山區(qū)測得一些地點的高程如下表。平面區(qū)域為在某山區(qū)測得一些地點的高程如下表。平面區(qū)域為 1200=x=4000,1200=y=3600)試作出該山區(qū)的地貌圖和等高線圖，并對幾種插值方法進行比較。試作出該山區(qū)的地貌圖

22、和等高線圖，并對幾種插值方法進行比較。 X Y12001600200024002800320036004000120011301250128012301040900500700160013201450142014001300700900850200013901500150014009001100106095024001500120011001350145012001150101028001500120011001550160015501380107032001500155016001550160016001600155036001480150015501510143013001200980 通

23、過此例對最近鄰點插值、雙線性插值方法和雙三次插值方法的插值效果進行比較。To MATLAB (moutain) 插值函數(shù)插值函數(shù)griddata格式為格式為: cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method）用用MATLABMATLAB作散點數(shù)據(jù)的插值計算作散點數(shù)據(jù)的插值計算 要求要求cxcx取行向量，取行向量，cycy取為列向量取為列向量。被插值點插值方法插值節(jié)點被插值點的函數(shù)值nearestnearest 最鄰近插值最鄰近插值linearlinear 雙線性插值雙線性插值cubiccubic 雙三次插值雙三次插值v4- Matlab提供的插值方法提供的插值方法缺省時缺省時,

24、 , 雙線性插值雙線性插值 例例 汽車外形。汽車外形。clear;closex1= -2.1 0 2.1 2.1 2.1 -2.1 -2.1 -2.1 -2.1;x2= -2,0,2,2,2,0,-2,-2,-2;x3=-1.5,1.5;x4=-1.5,1.5,1.5,1.5,-1.5,-1.5,-1.5;x5=-2,2,2,-2,0;y1=-4-.1 -4-.1 -4-.1 0 4+.1 4+.1 4.1 0 -4-0.1;y2=-4,-4,-4,0,4,4,4,0,-4;y5=-2,-2,2,2,0;y3=-3,-3;y4=-2,-2,0,2,2,0,-2;z1=0 0 0 0 0 0 0 0 0;z2=1,1,1,1,1,1,1,1,1;z3=1.2,1.2;z4=1.5,1.5,1.5,1.5,1.5,1.5,1.5;z5=1,1,1,1,1.7figure(1);plot3(x1,y1,z1);hold on; plot3(x2,y2,z2);hold on;plot3(x4,y4,z4);hold on;plot3(x3,y3,z3);hol