第三章一元函數(shù)積分學及其應用

1、第三章 一元函數(shù)積分學及其應用13.1 定積分的概念、性質、可積準則13.1.1 定積分問題舉例13.1.2 定積分的概念33.1.3 定積分的幾何意義43.1.4 可積準則53.1.5 定積分的性質73.2 微積分基本定理103.2.1 牛頓萊布尼茲公式103.2.2 原函數(shù)存在定理123.3 不定積分163.3.1 不定積分的概念及性質163.3.3 基本積分公式173.3.3 積分法則183.4 定積分的計算303.4.1 定積分的換元法303.4.2 定積分的分部積分法343.5 定積分應用舉例353.5.1 總量的可加性與微元法353.5.2 幾何應用舉例363.5.3 物理、力學應

2、用舉例453.5.4 函數(shù)的平均值493.6 反常積分503.6.1 無窮區(qū)間上的反常積分503.6.2 無界函數(shù)的反常積分533.6.3 反常積分的審斂法 函數(shù)55習題課四59習題課563第三章 一元函數(shù)積分學及其應用3.1 定積分的概念、性質、可積準則3.1.1 定積分問題舉例1. 曲邊梯形的面積設在區(qū)間上非負、連續(xù)。由直線及曲線所圍成的圖形（如圖3-1）稱為曲邊梯形，其中曲線稱為曲邊。圖31我們將劃分成為許多小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點以函數(shù)在該點的函數(shù)值作為這個小區(qū)間上的窄曲邊梯形的變高，則每個小窄曲邊梯形的可近似地看成小窄矩形。從而將這些小窄矩形的面積之和作為曲邊梯形的面積的近似值

3、，并把區(qū)間無限細分下去，即使每個小區(qū)間的長度趨于零，這時所以窄矩形面積之和的極限就可以定義為曲邊梯形的面積。這個定義同時也給出了計算曲邊梯形面積的方法，想詳述于下：（1）劃分：在區(qū)間中任意插入若干個個分點把區(qū)間分成n個小區(qū)間，它們的長度為，經(jīng)過每一個分點處作平行于y軸的直線段，把曲邊梯形分成n個窄曲邊梯形。（2）取點：在每個小區(qū)間上任取一點，以為底、為高的窄矩形近似替代窄曲邊梯形。（3）求和：把這樣得到的n個窄曲邊梯形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值，即（4）求極限：記，則上述條件可表示為。當時，取上述和式的極限便得曲邊梯形的面積類似地我們可以得到變速直線運動的路程3.1.2 定積分的概

4、念換言之，如果由于劃分的不同或取點的不同而導致積分和式的極限不同或極限不存在，則在a,b上一定不可積。例如狄利克雷函數(shù)當點選擇為有理數(shù)時，其積分和為，若選擇無理數(shù)其積分和為0，由此可見積分和在時無極限，從而在a,b不可積。3.1.3 定積分的幾何意義在上時，我們已經(jīng)知道，定積分在幾何上表示由曲線、兩條直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積：在上時，由曲線、兩條直線與軸所圍成的曲邊梯形位于軸的下方，定積分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負值；在上即取得正值又取得負值時，函數(shù)的圖形某些部分在軸的上方，而其他部分在軸的下方（圖32），此時定積分表示軸上方圖形面積減去軸下方圖形面積所得之差。圖32例1 已知函數(shù)

5、在a,b上滿足，試從定積分的幾何意義，比較下述三個數(shù)的大?。?，解 由題設可知，非負函數(shù)在a,b上單調減少且向下凸，其圖形如圖33所示。由定積分的幾何意義知，是曲邊梯形的面積，是矩形的面積，是梯形的面積，故。 圖333.1.4 可積準則例2 利用定義計算定積分。解 因為被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，而連續(xù)函數(shù)是可積的，所以積分與區(qū)間的分法及點的取法無關。因此，為了便于計算，不妨把區(qū)間分成等份，分點為；這樣，每個小區(qū)間的長度；取。于是，得和式 當即時，取上式右端的極限。由定積分的定義，即得所要計算的積分為由定積分的定義，我們很容易的得出定積分的近似計算公式3.1.5 定積分的性質例3 比較與的大小。解

6、 在區(qū)間上有，從而 ，故。例4 證明：。證明 設，則。令，得 而，即在上，最大值為，最小值為，從而即例5 設在a,b上連續(xù)，若，證明。證明 若不恒等于零，則存在，使得，不妨設，則由的連續(xù)性知，對，存在，使時，即，故與矛盾，故。例5 設在0,1上可微，且滿足，證明：存在，使得證明 令。由積分中值定理，存在，使得因此。在由羅爾定理知，存在，使，即作業(yè)（定義）2，4（1），（幾何意義）5（1）（3），7，9。3.2 微積分基本定理前面我們看到使用定義來求定積分，工作量很大，如果是更復雜的函數(shù)，那么工作量會更大。下面我們從實際問題出發(fā)，來探討定積分的計算3.2.1 牛頓萊布尼茲公式一、變速直線運動中位

7、置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設作直線運動的物體在時刻時所在位置為，速度為。（為討論方便假設）。由第一節(jié)的例子，我們知道物體在時間間隔內經(jīng)過的路程可以用速度函數(shù)在上的定積分 來表達；另一方面，這一路程又可以通過位置函數(shù)在區(qū)間上的增量 來表達。由此可見，位置函數(shù)與速度函數(shù)之間有如下關系： （1）因為，即位置函數(shù)是速度函數(shù)的原函數(shù)，所以關系（1）表示，速度函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于的原函數(shù)在區(qū)間上的增量。該結論具有普遍意義。例1 計算第一節(jié)中的定積分。解 由牛頓萊布尼茨公式。例2 計算。解 例3 計算。解 例4 計算正弦曲線在上與軸所圍成的平面圖形的面積（圖34）的面積。解 例5 汽車以每小時36km速

8、度行駛，到某處需要減速停車。設汽車以等加速度剎車。問從開始剎車到停車，汽車駛過了多少距離。解 首先算出從開始剎車到停車經(jīng)過的時間。設開始剎車的時刻為，此時汽車速度剎車后汽車減速，其速度為 當汽車停住時，速度，故從解得 于是即在剎車后，汽車需駛過10m才能停住。3.2.2 原函數(shù)存在定理如果函數(shù)可積布一定具有原函數(shù)。例如，函數(shù)在上可積，且，但在上并無原函數(shù)。事實上，假如時在上的一個原函數(shù)，則故存在常數(shù)，使同理，存在常數(shù)，使由于在上可微，從而在上連續(xù)，故，這樣就得出， 故矛盾。但是牛頓萊布尼茲定理仍可用于分段連續(xù)的函數(shù)，可在每個連續(xù)區(qū)間上分別計算定積分然后相加，而計算每個子區(qū)間上的定積分時，仍可使

9、用牛頓萊布尼茲公式。例6 設函數(shù)求。解 例7 計算下列函數(shù)的導數(shù)（1） ；（2）；（3）；（4）解 （1）（2）（3）（4）例8 求解 這時一個型不定式，由洛必達法則注意;例9 設在內連續(xù)且，證明函數(shù)在內為單調增加的函數(shù)。證 由積分上限函數(shù)的導數(shù)，得當時，故得，從而在內為單調增加的函數(shù)。作業(yè)2，4，5（3），7，8，10，113.3 不定積分3.3.1 不定積分的概念及性質例1 求.解 由于,所以是的一個原函數(shù).因此.例2 .解 由于,所以.例3 設曲線通過點(1,2),且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍,求此曲線的方程.解 設所求曲線方程為,按題設,曲線上任一點處的切線斜率為,即是

10、的一個原函數(shù).因為,故必有某個常數(shù)使,即曲線方程為.因所求曲線經(jīng)過點(1,2),故2=1+C,C=1. 于是所求曲線方程為.函數(shù)的原函數(shù)的圖形稱為的積分曲線.本例既是求函數(shù)的通過點(1,2)的那條積分曲線.顯然,這條積分曲線可以由另一條積分曲線(例如)經(jīng)軸方向平移而得(圖3-6).圖3-6由于不定積分是原函數(shù)的全體，所以在幾何上它表示一族曲線，稱為積分曲線族。由不定積分的定義，可得下列性質：,或 ;,或記作 .由此可知不定積分與導數(shù)在忽略常數(shù)的意義下互為逆運算。3.3.3 基本積分公式由上面可知積分是導數(shù)的逆運算,因此容易從導數(shù)公式得到積分公式 是常數(shù)) , (11)(12)(13)(14)(

11、15)例4 求.解.3.3.3 積分法則例5 求.解 例6 求解 例7 求.解 有時被積函數(shù)未必是標準形式,這時需要將被積函數(shù)變形.例8 求.解 .例9 求.解 例10 求.解 2積分形式不變性（湊分法）例11 求.解 令,則,于是,再以代入,即得 .例12 求.解 被積函數(shù).這里缺少這樣一個因子,但由于是個常數(shù),故可改變系數(shù)湊出這個因子:,從而令,便有.一般地,對于積分 .演練熟以后,就可以不用寫出中間變量.例13 求.解 .例14 求.解 .類似可得.例15 求.解 .例16 求.解 .例17 求.解 例18 求.解 .例19 求.解 .例20 求.解 例21 求.解 .或者.由于,所以上

12、述不定積分,也可以表示為.類似可得對于三角函數(shù)表達式,如果包含立方項,分出一個一次方項送進,剩余的平方項使用三角恒等式化簡為一次式;如果包含平方項直接使用三角恒等式化簡為一次式;如果是一次項的乘積,使用積化和差公式.例22 求.解 例23 求.解 例24 求.解 3積分換元法例25 求.解 設,那么 ,于是根式化為三角式,由于,所以 ,于是所求積分為 .例26 求.解 設,那么,于是為了要把及換成的函數(shù),可以根據(jù)作輔助三角形,便有 ,且,因此 ,圖3-7 圖3-8例27 求.解 當時,設,那么,于是 根據(jù)作輔助三角形(圖3-8),得到 ,因此, ,當時,令,則.有上有合起來即為 .從上面我們總

13、結如下:如果被積函數(shù)含有,可以作代換化去根式; 如果被積函數(shù)含有,可以作代換化去根式; 如果被積函數(shù)含有,可以作代換化去根式.除使用三角函數(shù)外也可以使用雙曲函數(shù)進行化簡.例 28 求.解 設,那么,于是當時,有當時,有相同結果.下面時幾個新的公式(16) .(17) .(18)(19) .(20) .(21) (22) (23) ,(24) ,(25) .例29 求.解 .例30 求.解 例31 求.解 4分部積分法例32 求.解 再使用分部積分時,要選好和,選不對可能會越來越麻煩.我們選,那么,代入(2)得,而容易積出,所以 .例33 求.解 ,那么.于是.例34 求.解 總結以上例子,如果

14、被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就可以考慮用分部積分法,并設冪函數(shù)為.例35 求.解 設,那么例36 求.解 設,那么如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積,就可以考慮用分布積分法,并設對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為.例37 求.解 , ,由于上面就是第三項就是所求的積分,把它移動到等號左端去,再兩段同除以2,便得.例38 求.解 移項后得.例39 求其中為正整數(shù).解 當時有即 ,于是由此作遞推公式,并由,即可得. 例40 求.解 令,則.于是 利用例2的結果,并用代回,便得所求積分: .例42 已知的一個原函數(shù)為，求。解 而是的一個原函數(shù)，則從而則作業(yè) （

15、定義）1，（基本公式）4奇數(shù)，（換元法）8偶數(shù)（分部積分）9 奇數(shù)，10 偶數(shù)11 奇數(shù)，12，15，163.4 定積分的計算3.4.1 定積分的換元法例1 計算解 設，則，且當時，；當時，。于是換元公式也可以反過來用。例2 計算。解 設，則，且當時，；當時，。于是。我們也可以不需要明顯的寫出新變量，從不需要變更積分的上、下限，比如：例3 計算。解 例4 計算解 設，則，且當時，；當時，于是例5 證明（1）若在上連續(xù)且為偶函數(shù)，則 （2）若在上連續(xù)且為奇函數(shù)，則 證 因為對積分作變換，則得于是（1）若為偶函數(shù)，則，從而（2）若為奇函數(shù)，則 ，從而當計算對稱區(qū)間上得積分時，我們可以首先考慮被積函

16、數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，我們可以利用此題進行簡化。例6 若在上連續(xù)，證明（1）；（2），由此計算證 （1）設，則，且當時，；當時，。于是（2） 設，則，且當時，；當時，。于是所以利用上述結論，即得例7 設函數(shù)計算解 設，則，且當時，當時，于是3.4.2 定積分的分部積分法例8 計算解 。例9 計算解 先用換元法，令，則，且當時，；當時，。于是 例10 證明定積分公式證 由此得這個等式叫做積分關于下標的遞推公式。如果把換成，則得同樣地依次進行下去，直到的下標遞減到0或1為止。于是，而 因此作業(yè)1 偶數(shù)，2，3 偶數(shù)，6，7，8，103.5 定積分應用舉例3.5.1 總量的可加性與微元法假設所求量與

17、變量有關，其中，而且對區(qū)間具有可加性，即若將分成若干子區(qū)間時，則相應地也被分成若干部分量，如果任取的一個子區(qū)間，則相應的部分量可以近似地表示成其中是上的連續(xù)函數(shù)，而且是當時比高階的無窮小，則稱微量的微元，記做，即。以微元作為被積表達式在上積分，就得到的積分表達式這種方法叫微元法。3.5.2 幾何應用舉例1 平面圖形的面積例1 求由拋物線與所圍成的平面圖形的面積。解 兩曲線交點橫坐標為。所求面積是非均勻連續(xù)分布在區(qū)間上且對區(qū)間具有可加性的量，因此，可以使用微元法來解決。圖39圖310任取上一個子區(qū)間，該子區(qū)間上相應面積近似地等于以為底，高為的小矩形面積，如圖39 所示微元為從而一般地，假設函數(shù)均

18、在上連續(xù)，且，由及直線所圍成的平面圖形的面積（如圖320）所示為例2 計算拋物線與直線所圍成的圖形的面積。解 這個圖形如圖311所示，求解方程組得交點和，從而知道這圖形在直線及之間。圖311選作為積分變量，則相應于上任一小區(qū)間的窄條面積近似于高為、底為的窄矩形的面積，從而得到面積元素以為被積表達式，在閉區(qū)間上作定積分，便得所求的面積為此題如果選擇作積分變量，則要作兩個定積分，所以要適當?shù)倪x取積分變量，從而使計算方便。例3 求橢圓所圍成的圖形的面積。解 由對稱性可知，只需計算橢圓在第一象限中圖形的面積（如圖312所示），然后乘以4即可，及所求面積根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，應用定積分的換元積分法，令，則

19、，且，于是當時，即為圓的面積某些平面圖形，用極坐標來計算它們的面積比較方便。設由曲線及射線圍成一圖形（簡稱曲邊扇形），現(xiàn)在要計算它的面積（圖312）。這里，在上連續(xù)，且圖312由于當在上變動時，極徑也隨之變動，因此所求圖形的面積不能直接用圓扇形面積的公式來計算。取極角為積分變量，變化區(qū)間為，相應于任一小區(qū)間的窄曲邊梯形的面積可以使用半徑為、中心角為的圓扇形的面積來近似代替，從而得到這窄曲邊梯形的近似值，即曲邊扇形的面積元素為，從而在作定積分，便得所求曲邊扇形的面積為。例4 計算心型線所圍成圖形的面積。圖313解 顯然值需要計算軸上方的面積，在乘以，上方面積的取值范圍為，故2 立體體積平行截面面

20、積為已知的立體的體積可以使用定積分計算。圖313如圖313所示，取上述定軸為軸，并設該立體在過點且垂直于軸的兩個平面之間。以表示過點且垂直于軸的截面面積。假定為的已知的連續(xù)函數(shù)。這時，取為積分變量，它的變化區(qū)間為；立體中相應于上任一小區(qū)間的一薄片的體積，近似于底面積為、高為的扁柱體的體積，及體積元素以為被積表達式，在閉區(qū)間上作定積分，便得所求立體的體積例5 一平面經(jīng)過半徑為的圓柱體的底圓中心，并與底圓交成角（圖314）。計算這平面截圓柱體所得立體的體積解 如圖建立坐標系，則立體過軸且垂直于軸的截面是一個直角三角形，其直角邊為及，即及。因而截面積為，于是所求立體體積為圖614旋轉體就是一個平面圖

21、形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體。這條直線叫做旋轉軸。設平面圖形是由連續(xù)曲線、直線及軸所圍成的曲邊梯形，立體是由這個平面圖形繞軸旋轉一周而成的，現(xiàn)在我們使用定積分來計算這種旋轉體的體積。取橫坐標為積分變量，它的變化區(qū)間為。相應于上的任一小區(qū)間的窄曲邊梯形繞軸旋轉而成的薄片的體積近似于以為底半徑，為高的扁圓柱體的體積（圖315），圖315即體積元素。以為被積表達式，在閉區(qū)間上作定積分，便得所求旋轉體體積為。例6 連接坐標原點及點的直線、直線及軸圍成一個直角三角形（圖316）。將它繞軸現(xiàn)在一周構成一個底半徑為、高為的圓錐體。計算這圓錐體的體積。解 過原點及點的直線方程為取橫坐標為積分變量，它

22、的變換區(qū)間為。圓錐體中相應于上任一小區(qū)間的薄片的體積近似于底半徑為、圖316高為的扁圓柱體的體積，及體積元素為于是所求圓錐體的體積為類似于上面的方法，我們可以得到：由曲線、直線與軸所圍成的曲邊梯形，繞軸旋轉一周而成的旋轉體（圖317）的體積為圖317 圖318例7 計算由擺線的一拱，直線所圍成的圖形分別繞軸、軸旋轉而成的旋轉體的體積。解 按旋轉體的體積公式，所述圖形繞軸旋轉而成的旋轉體的體積為所述圖形繞軸旋轉而成的旋轉體的體積可看成平面圖形與（圖318）分別繞軸旋轉而成的旋轉體的體積之差，因此所求的體積為除了按此方式求平面圖繞軸旋轉而成的旋轉體的體積外，我們可以使用下列方式來求繞軸的旋轉體體積

23、。我們可以將上的小窄曲邊梯形繞軸旋轉，則其形成的立體可看作底半徑為、高為、厚為的圓管的體積。高體積為，及該立體的體積元素為，從而將其在上作定積分即得所求體積。圖319。例如上題的第二問，可以使用如下方式求得3 平面曲線的弧長設是曲線弧上的兩個端點（圖320），在弧上依次任取分點，并依次連接相鄰的分點得一內接折線（圖320）。當分點的數(shù)目無限增加且每個小段都縮向一點時，如果此折線的長的極限存在，則稱此極限為曲線弧的弧長，并稱此曲線弧是可求長的。圖320定理 光滑曲線弧是可求長的。設曲線弧由參數(shù)方程 給出，其中在上具有連續(xù)的導數(shù)。則所求弧長為當曲線弧由直角坐標方程給出，其中在上具有一階連續(xù)導數(shù)，這

24、時曲線弧有參數(shù)方程從而所求的弧長為當曲線弧由極坐標方程給出，其中在上具有連續(xù)導數(shù)，則由直角坐標與極坐標的關系可得從而所求弧長為例8 計算曲線上相應于叢到的一段?。▓D321）的弧長度。解 由上述公式得圖321例9 求阿基米德螺線相應于叢0到一段（圖322）的弧長解 圖3224 旋轉體的側面積設由連續(xù)的導數(shù)，圖323為由曲線（），及軸所圍曲邊梯形繞軸旋轉一周所形成的旋轉體。在內任取一小區(qū)間，該小區(qū)間上對應的小弧段繞軸旋轉一周后生成的小圓圈面積近似為這就是旋轉體側面積的微元，于是得到旋轉體側面積的計算公式類似可得，由曲線及軸所圍曲邊梯形繞軸旋轉，所得旋轉體的側面積公式圖 3-23圖324例10 設有

25、曲線，過原點作其切線，求此切線與曲線及軸圍成的平面圖形繞軸旋轉一周，所得到旋轉體的全面積（圖3-24）解 ，則該曲線過原點的的切線為，將代入，解得，于是切點為，切線方程為。由曲線繞軸旋轉一周所得旋轉面的面積由直線段繞軸旋轉一周所得到旋轉面的面積因此，所求旋轉體的全面積為3.5.3 物理、力學應用舉例1 作功問題假設物體在變力的作用下，沿軸由點移動到點（圖325），這里力函數(shù)連續(xù)。圖325任取的一個子區(qū)間，由于很小，在上可視為不變，用在點的值近似代替在上的值，這樣在上所作的功近似地等于，即為功的微元，于是，在上所作的功為例11 把一個帶電荷量的點電荷放在軸上坐標原點處，它產(chǎn)生一個電場。這個電場對

26、周圍的電荷由作用力。由物理學知道，如果由一個單位正電荷放在這個電場中距離原點為的地方，那么電場對它的作用力的大小為為常數(shù))。如圖326，當這個單位點電荷在電場中從處沿軸移動到處時，計算電場力對它所作的功。解 在上述移動過程中，電場對這單位點電荷的作用力是變的，取為積分變量，它的變化區(qū) 圖326間為。設為上的一個小區(qū)間。當單位點電荷從移動到時，電場力對它所作的功近似于，即功元素為于是所求功為例12 一圓柱體的貯水桶高為5m，底圓半徑為3m。桶內盛滿了水。試問要把桶內的水全部吸出需作多少功？解 作軸如圖327所示。取深度為積分變量。它的變化區(qū)間為，相應于上任一小區(qū)間的一薄層水的高度為。因此如的單位

27、為，這薄層水的重力為9.8 kN。把這薄層水吸出桶外需作的功近似地為此即功元素。于是所求的功為圖3272 液體的靜壓力問題在水深為處的壓強為，這里為水的密度，時重力加速度。如果有一面積為的平板水平地放置在水深為處，那么，平板一側所受的水壓力為。如果平板鉛直的放置在水中，那么，由于水深不同的點處壓強不相等，平板一側所受的水壓力就不能用上述方法計算。例13 一個橫放著的圓柱形水桶，桶內盛有半桶水（圖328(a)）。設桶的的半徑為，水的密度為，計算桶的一個端面上所受的壓力。圖328解 桶的一個端面是圓片，所以現(xiàn)在要計算的是當水平面通過圓心時，鉛直放置的一個半圓片的一側所受到的水壓力。如圖建立坐標系，

28、則壓力元素為于是所求壓力為3引力問題從物理學知道，質量分別為，相距為的量質點間的引力的大小為其中為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質點的連線方向。如果要計算細棒對質點的引力，由于細棒上各點與該質點的距離是變化的。且各點對質點的引力的方向也是變化的，因此就不能用上述公式來計算。例14 設有一長度為、線密度為的均勻細直棒，在其中垂線上距棒單位處有一質量為的質點。試計算該棒對質點的引力。解 取坐標系如圖329所示，使棒位于軸上，質點位于軸上，棒的中點為原點。取為積分變量，它的變化區(qū)間為。設為上任一小區(qū)間。把細直棒上相應于的一段近似地看成質點，其質量為，與相距。因此可以按照兩質點間的引力計算公式求出這段細直

29、棒對質點的引力的大小為，從而求出在水平方向分力的近似值，即細直棒對質點 圖329的引力在水平方向分力的元素為于是得引力在水平方向的分力為由對稱性知，引力在鉛直方向分力為。當細直棒的長度很大時，可視趨于無窮。此時，引力的大小為，方向與細直棒垂直且由指向細棒。3.5.4 函數(shù)的平均值例15 求全波整流電流的平均值。解 全波整流電流的周期，求周期函數(shù)的平均值指的是求一個周期上的平均值，于是作業(yè) (面積)1(2)(4)，2（3）（體積）5，6，7，10，13，15，173.6 反常積分例1 計算反常積分。解 這個反常積分值的幾何意義是：當、時，雖然圖57中陰影部分向左、右無限延伸，但其面積卻有極限值。

30、簡單地說，它是位于曲線的下方，軸上方的圖形面積。例2 計算反常積分是常數(shù)，且）。解 例3 證明反常積分當時收斂，當時發(fā)散。解 當時，當時，因此，當時，這反常積分收斂，其值為；當時，這反常積分發(fā)散。3.6.2 無界函數(shù)的反常積分例4 計算反常積分 解 因為，所以點是瑕點，于是這個反常積分值的幾何意義是：位于曲線之下，軸之上，直線之間的圖形面積例5 討論反常積分的收斂性。解 被積函數(shù)在積分區(qū)間上除外連續(xù)，且由于圖58，即反常積分發(fā)散，所以反常積分的瑕點，就會得到以下的錯誤結果：例6 證明反常積分當時收斂；當時發(fā)散。證 當時，當時，因此，當時，這反常積分，其值為；當時，這反常積分發(fā)散。例7 求反常積

31、分。解 這里，積分上限為，且下限為被積函數(shù)的瑕點。令，則時時。于是再令，取時時。于是3.6.3 反常積分的審斂法 函數(shù)例8 判別反常積分的收斂性。解 由于，根據(jù)比較審斂法1，這個反常積分收斂。例9 判斷反常積分的收斂性。解 由于根據(jù)極限收斂法1，所給反常積分收斂。例10 判斷反常積分的收斂性。解 由于根據(jù)極限收斂法1，所給反常積分發(fā)散。例11 判定反常積分都是常數(shù)，且）的收斂性。解 因為，而收斂，從而收斂，再由定理5可知所給反常積分收斂。二、無界函數(shù)的反常積分的審斂法例12 判定反常積分的收斂性。解 這里是被積函數(shù)的瑕點。由洛必達法則知根據(jù)極限審斂法2，所給反常積分發(fā)散。對于無界函數(shù)的反常積分

32、也有類似定理5 的結論。作業(yè) 1 奇數(shù)，3，4偶數(shù)第三章復習X.1 積分換元的幾種形式1 利用三角函數(shù)代換，變根式積分為三角有理式積分求解 令，則于是練習 求2 倒代換（即令）設分別為被積函數(shù)的分子、分母關于的最高次數(shù)，當時，可以考慮使用倒代換。求解 令，則，于是原式練習 3 指數(shù)代換（適用于被積函數(shù)由所構成的代數(shù)式）令，求解 令，原式練習 求X.2 有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分形為，（1）其中和都是非負整數(shù)；及都是實數(shù)，并且。假定分子與分母之間沒有公因式，當時，稱（1）為真分式；否則為假分式。利用多項式的除法，總可以將一個假分式轉換為一個多項式與一個真分式的和。而多項式的積分容易求得，所

33、以只需要討論真分式的積分。真分式由如下性質:如果真分式在實數(shù)范圍內能分解稱一次因式與二次質因式的乘積，如（其中那么真分式可以分解成如下部分分式之和： （2）其中及等都是常數(shù)。對于（2）式應注意以下兩點：1）分母中如果有因式，那么分解后有下列個部分分式之和其中都是常數(shù)，特別地，如果，那么分解后有；2）分母中如果有因式，其中，那么分解后有下列個部分分式之和其中都是常數(shù)，特別地，如果。那么分解后有。然后我們可以使用待定系數(shù)法，或者直接代入的特殊值求出系數(shù)例如，真分式可分解成其中為待定系數(shù)，可以用如下的方法求出待定系數(shù)。第一種方法 兩端去分母后，得 或（3）因為這時恒等式，等式兩端的系數(shù)和常數(shù)項必須分

34、別相等，于是有 從而解得第二種方法 在恒等式（3）中代入特殊的值，從而求出待定的常數(shù)。在（3）式中令 ，得；令 ，得.同樣得到例1 求.解 因為,所以例2 求.解 由于被積函數(shù)的分母是二次質因式,所以應另想方法.因為分子是一次式,而分母的導數(shù),由于分子是一次式,而分母的導數(shù)也是一次式,所以可以把分子拆成兩部分之和:一部分是分母的導數(shù)乘上一個常數(shù)因子;另一部分是常數(shù),即 這樣,所求的積分可計算如下:例3 求.解 因為,兩端去分母,得.(4) 令,得;令,得,把的值代入(4)式,并令,得,即.所以例4 求.解 因為 ,所以 當有理函數(shù)分解為多項式及部分分式之和以后,只出現(xiàn)多項式、及等三類函數(shù).前兩

35、類函數(shù)的積分很簡單,下面討論積分.將分母中的二次質因式配方得 ,故令,并記,其中,于是.當時(如例2 ),有.當時, ,上式最后一個積分的求發(fā)見上節(jié)例9.這樣我們就將有理函數(shù)的積分求出來了.由此,可得,有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).二、三角有理式的積分例5 求.解 由三角學知道,與都可以用的有理式表示，即，所以如果作變換，那么 ，而，從而 .于是本例使用的代換稱為萬能代換，對三角有理式的積分都可以使用三、簡單無理式的積分例6 求.解 為了去掉根號，可以設，于是，從而積分為例7 求.解 令，則，得例8 求解 為了同時去掉各個根式，得令例9 求.解 為了去定掉根式，可以設，于是，從而所求積分為四、

36、含有反三角函數(shù)的不定積分絕大多數(shù)這類題課直接令反三角函數(shù)為新變量求解求解 令于是 原積分 練習 求五、抽象函數(shù)的不定積分所謂抽象函數(shù)的不定積分，是指被積函數(shù)由抽象函數(shù)所構成的一類積分，其解法同樣可用換元法和分部積分法求解 原式練習六、分段函數(shù)的不定積分設，求解 當時，當時，當時，由于原函數(shù)的連續(xù)性，分別考慮在處的左、右極限可知有，解之，有 ，令 ，則練習 求。X.3 幾種特殊形式的定積分計算一、 分段函數(shù)的積分（1）要認清積分限是被積函數(shù)定義域的哪個區(qū)間段的端點，然后按段積分求和。（2）當被積函數(shù)是給定函數(shù)與某一簡單函數(shù)復合而成的函數(shù)時，要通過變量代換將其化為給定函數(shù)的形式。切記：與此同時積分

37、限也要相應改變。設，求 解 當時，當時，綜上所述，可知練習 求積分二、 被積函數(shù)帶有絕對值符號的積分再作積分運算前取點絕對值，其方法是先令絕對值內的式子等于“0”，在積分區(qū)間內求出根，再據(jù)此把積分區(qū)間分成若干個子區(qū)間，各子區(qū)間上的被積函數(shù)的絕對值就可以去掉了（注意符號?。┣蟆＞毩?三、 被積函數(shù)中含有“變上限積分“的積分用分部積分法做，將變上限的積分取作，其余的部分取作設，求。解 練習 設，求四、 對稱區(qū)間上的積分或者考察被積函數(shù)是否為奇偶函數(shù)，用奇偶函數(shù)積分的“特性”處理，或作負變換處理。例1 設在上連續(xù)，且對任何有，計算；在令，則有又，即，可知為奇函數(shù)。于是0例2 。解 令，則 故五、 由三角有理式與其他初等函數(shù)通過四則運算或復合而成的函數(shù)的積分通過變量代換把原積分分解成可抵消或易積分