深究陰影部分面積的求法

1、深究陰影部分面積的求法 近年中考中頻頻出現(xiàn)求陰影部分面積的考題.這類試題主要考查同學(xué)們的觀察分析能力、圖形變換能力和綜合運用知識的能力,不少同學(xué)對此類問題往往展不開思路,因找不準圖形之間的關(guān)系而無法解答.下面介紹幾種常用的方法,供大家參考. 一、和差法 例1如圖1所示,在RtABC中,AC=8,BC=6,C=90,分別以AB、BC、AC為直徑作三個半圓,那么陰影部分的面積為(平方單位). 解析:由題意得:在RtABC中,AC2+BC2=AB2,SABC=12ACBC=1268=24,故S陰影=S半圓AC+S半圓BC-S半圓AB+SABC=(AC2)2+(BC2)2-(AB2)+24=24. 二

2、、類比法 例2如圖2,已知A、B、C、D、E是反比例函數(shù)y=16x(x0)圖象上5個整數(shù)點(橫、縱坐標均為整數(shù)),分別從這些點向橫軸或縱軸作垂線段,由垂線段所在的正方形邊長為半徑作四分之一圓周的兩條弧,組成如圖所示的5個橄欖形(陰影部分),則這5個橄欖形的面積總和是(用含的代數(shù)式表示). 解析:由題意,首先根據(jù)能夠整除16的正整數(shù),求出圖象上的五個整數(shù)點分別為(1,16)、(2,8)、(4,4)、(8,2)、(16,1),其次利用扇形面積公式求弓形面積,即每一個橄欖形面積的一半.當點P位于點(4,4)時,S橄欖形=2(9042360-S等腰三角形)=8-16,其余四個計算方法同上.它們的面積從

3、左到右分別為12-1,2-4,12-1.所以橄欖形面積總和為13-26. 三、割補法 例3如圖3,在RtABC中,BAC=90,AB=AC=2,若以AB為直徑的圓交BC于點D,則圖中陰影部分面積是. 解析:連接AD,由題意得ADBC,又在RtABC中,BAC=90,AB=AC=2,所以AD=BD=CD=2,從而有S弓形BD=S弓形AD,即把弓形BD割下后恰好補到弓形AD的位置,從而陰影部分的面積補成ACD的面積. 故有S陰影=SACD=12ADCD=1222=1. 四、代數(shù)法 例4如圖4,長方形ABCD中放置9個形狀、大小都相同的小長方形,求其陰影部分面積. 解析:此題陰影部分面積直接求解難度

4、較大.若根據(jù)圖形的特征,能求出小長方形的面積,則陰影部分的面積易求. 設(shè)長方形的長為x,寬為y.根據(jù)題意得解得 7+3y=x+2y,x+4y=22.解得x=10,y=3. S陰影=(7+9)22-9103=82. 五、平移變換法 例5如圖5,P內(nèi)含于O,O的弦AB切P于點C,且ABOP.若陰影部分的面積為,則弦AB的長為(). A.3B.4C.6D.9 解析:仔細觀察圖形的特征,就會發(fā)現(xiàn)若把P向右平移使點P與點O重合,兩圓成為同心圓,如圖6,則陰影部分面積沒有變.連接OA、OC,則有OCAB,由垂徑定理得AC=BC. S陰影=S大圓-S小圓=(OA2-OC2)=AC2=9. AC=3,AB=6. 答案為C. 第 3 頁 共 3