矩陣特征值與特征向量的計算yjs

1、1第第8章章 矩陣特征值和特征向量的計算矩陣特征值和特征向量的計算 很多工程計算中，會遇到特征值和特征向量的計算，如：機械、結(jié)構(gòu)或電磁振動中的固有值問題；物理學(xué)中的各種臨界值等。這些特征值的計算往往意義重大。 求解線性方程組的迭代法，重要一點是判斷迭代法的收斂性；判斷方法之一就是看迭代矩陣的特征值的模是否都小于1。2pa()是的高次的多項式，它的求根是很困難的。設(shè)法通過數(shù)值方法是求它的根。通常對某個特征值，可以用些針對性的方法來求其近似值。若要求所有的特征值，則可以對a做一系列的相似變換，“收斂”到對角陣或上（下）三角陣，從而求得所有特征值的近似。n階方陣a的特征值是特征方程 pa()=det

2、(a-e)=0 的根. a的特征向量是齊次線性方程組 (a-e)x=0 的非零解. 特征根和特征向量的定義（復(fù)習(xí)）3定理定理1 ：a r n n， 1, , n為為a的特征值的特征值，則則 niiniiiaatr11)( （2）a的行列式值等于全體特征值之積，即的行列式值等于全體特征值之積，即na 21)det( （1）a的跡數(shù)等于特征值之和，即的跡數(shù)等于特征值之和，即特征根和特征向量的基本結(jié)論。 定理定理2 設(shè)為a r n n的特征值且ax=x，其中x不為0,則（1）c為為ca的特征值（的特征值（c為常數(shù)且不為為常數(shù)且不為0); （2）-p為為a-pi 的特征值，即的特征值，即(a-pi)x

3、=(-p)x; （3 3）k為為ak的特征值；的特征值； （4 4） 設(shè)設(shè)a a為非奇異陣，那么為非奇異陣，那么 且且 為為 特征值，即特征值，即011a.11xxa4定義定義 設(shè)矩陣設(shè)矩陣a, b r n n，若有可逆陣若有可逆陣p，使使 則稱則稱a與與b相似相似。appb1定理定理 若矩陣若矩陣a, b r n n且相似且相似，則則（1）a與與b的特征值完全相同的特征值完全相同；（2）若若x是是b的特征向量的特征向量，則則px便為便為a的特征向量的特征向量。相似矩陣及定義其性質(zhì)58.1 冪法和反冪法冪法和反冪法 8.1.1 冪法冪法 冪法是用來求矩陣a按模最大最大的特征值和相應(yīng)的特征向量的

4、方法.也稱為主特征值主特征值和主特征向量主特征向量。 設(shè)a是單構(gòu)矩陣, 即a有n個線性無關(guān)的特征向量. a的n個特征值為 |1 2 n 對應(yīng)的特征向量為1, 2,n 線性無關(guān). 我們要求1 和1. 冪法的基本思想是取初始非零向量x0rn,作迭代 xk+1=axk =ak+1x0, k=0,1,2, 產(chǎn)生迭代序列xk. 由于1,2,n 線性無關(guān), 從而有 x0 =11+22+nn (8.3)6xk = akx0 =11k1+22k2+nnkn設(shè)|12n , 這時,上式可寫成)()(11222111nknkkknx若10, 則對充分大的k有 111xkkkkkxx111111因而有 niikik,

5、 2 , 1)/()(11xx從而特征向量1 xk.乘冪法的收斂速度取決于|2 /1|的大小. 故有 8.1.1 冪法冪法7因此，常把每一步計算的迭代向量xk規(guī)范化。 對非零向量x,用max(x)表示x的按絕對值最大的分量,稱向量y=x/max(x)為向量x的規(guī)范化向量. 例如, 設(shè)向量x=(2,1,-5,-1)t,則max(x)=-5,y=(-0.4,-0.2,1,0.2)t.可見規(guī)范化向量y總滿足y=1.冪法的規(guī)范化計算公式為: 任取初始向量x0=y0 0 0,計算, 3 , 2 , 1,/kmyxkkk1kkxya)max(kkmy可得)max(00 xaxaxkkk)(max()(21

6、121111niikiniikiii實際計算時，考慮到當(dāng)11時，xk的非零向量趨于無窮； 當(dāng)11時, xk趨于零；導(dǎo)致計算機會出現(xiàn)上溢或下溢。 8.1.1 冪法冪法8所以)max()max(lim111111kkx其收斂速度由比值|2/1|來確定.又由于)(max)(max2111211111niikiniikiii)max(max()max()max(0101xaxaaxymkkkkk所以1limkkm因此,當(dāng)k充分大時可取: 1 mk , 1 xk.)max(00 xxxkkkaa)(max()(21121111niikiniikiii 8.1.1 冪法冪法9算法8.1 冪法 程序見p17

7、4。(1)輸入矩陣a，非零初始向量y0，最大迭代次數(shù)n，精度 ，置k:=0，u=0；(2) 計算 mk = max (yk)； (3)計算(4) 若 |mk-u| |n| 0對應(yīng)的特征向量為1, 2, n, 則有a-1的特征值為1211111nnn對應(yīng)的特征向量為n, n-1, 1.要想求n和n只需對a-1應(yīng)用乘冪法,任取初始向量x0=y00, 作11kkyxa)max(kkxm , 3 , 2 , 1,/kmxykkk15也可將上式改寫成, 3 , 2 , 1,/kmxykkk)max(kkxm 11kkyxa1kkyxa)max(kkxm , 3 , 2 , 1,/)8 . 8(kmxyk

8、kk式(8.8)稱為反冪法. 顯然有)max(/lim,1limnnkknkkymxx每一步求xk需要求解線性方程組, 可采用lu分解法求解.8.1.3 反冪法反冪法16征值求指定點附近的某個特是利用“原點位移”，反冪法的一個重要應(yīng)用和對應(yīng)的特征向量。,.,2 , 1,)()(11niaai存在，顯然其特征值為如果矩陣ia的一個的特征值是。如果對應(yīng)的特征向量仍然是jiaani),.,2 , 1( 近似值，且,jiaaij法計算相應(yīng)的特征值和的主特征值，可用反冪是即11)()(iaaaj特征向量，計算公式為。,.2 , 1),max(/,)(, 0 100kakkkkkxxyyxiaxy(8.9

9、)分解進行可以先將為了節(jié)省計算工作量，lua )(ia ,)(luia a8.1.3 反冪法反冪法17程序見p178，例8.3則每次迭代只需解二個三角形方程組，因此實用的公式為。,.2 , 1),max(/,;)( , 0100kzuyakkkkkkkxxyxlzluiaxy8.1.3 反冪法反冪法18 jacobi方法是求實對稱矩陣全部全部特征值和特征向量的一種矩陣變換方法。8.2 jacobi 方法方法 實對稱矩陣a具有下列性質(zhì)： (1)a的特征值均為實數(shù);其對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)且兩兩正交。 (2) 存在正交矩陣q，使qtaq=diag(1,2,n),而且 q的第i個列向量恰為i的特征向

10、量; （3）若記a1=qtaq, 則a1仍為對稱矩陣. 直接找直接找q不大可能。我們可以構(gòu)造一系列特殊形式的正交陣不大可能。我們可以構(gòu)造一系列特殊形式的正交陣q1,.,qn對對a作正交變換，作正交變換，使得使得對角元素比重對角元素比重逐次增加逐次增加，非對非對角元變小。角元變小。當(dāng)非對角元已經(jīng)小得無足輕重時，當(dāng)非對角元已經(jīng)小得無足輕重時，可以近似認為對角元就是可以近似認為對角元就是a的所有特征值。的所有特征值。jacobi方法就是這樣一類方法。方法就是這樣一類方法。19平面解析幾何中的平面坐標旋轉(zhuǎn)變換表示平面上坐標軸旋轉(zhuǎn)角的變換.8.2.1 平面旋轉(zhuǎn)矩陣平面旋轉(zhuǎn)矩陣(旋轉(zhuǎn)正交相似變換）旋轉(zhuǎn)正交

11、相似變換） 1122cossinsincosyxyx 在三維空間直角坐標系中,ox1y1平面繞著oz1軸旋轉(zhuǎn)角的坐標變換為1112221000cossin0sincoszyxzyx 一般地, 在n維向量空間rn中, 沿著xi yj平面旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣為20行第行第jiij11cossin11sincos11)(r稱rij()為平面旋轉(zhuǎn)矩陣或平面旋轉(zhuǎn)矩陣或givens變換矩陣變換矩陣. rij()具有下列性質(zhì): i j 8.2.1 平面旋轉(zhuǎn)矩陣平面旋轉(zhuǎn)矩陣(旋轉(zhuǎn)正交相似變換）旋轉(zhuǎn)正交相似變換） 21xxxx1,.,t t1 12 2n n（ ）將將向向量量 = =的的第第j j個個分分量量約約化

12、化為為零零。,cossinsincos1,., ;,i jiijjijkkyrxyxxyxxyxkn ki j, ,若若令令，有有 111,222121212cossinsincoscossinsincosyxryxxxxxxx jy調(diào)調(diào)整整 ，可可將將 約約化化為為零零。0tanjjixyx令令，得得,.,i jrxx xxxt t12n12n左左乘乘向向量量 = =只只改改變變 的的第第i i個個分分量量和和第第j j個個分分量量。jxix 8.2.1 平面旋轉(zhuǎn)矩陣平面旋轉(zhuǎn)矩陣(旋轉(zhuǎn)正交相似變換）旋轉(zhuǎn)正交相似變換） 2222cosiiijxxcrxx 所所以以，取取22,0iijijjyc

13、xsxrxxy 于于是是 ,., ,.,0,.,.i jiijnrxxxr xxxxt t1 1- -1 1+ +1 1j j- -1 1+ +1 1= = (2) rij()為正交矩陣,即rij-1()=rijt(); (3) 如果a為對稱矩陣, 則rijt()arij()也為對稱矩陣, 且與a有相同的特征值. (4) rijt()a僅改變a的第i行與第j行元素,arij()僅改變a的第i列與第j列元素.8.2.1 平面旋轉(zhuǎn)矩陣平面旋轉(zhuǎn)矩陣(旋轉(zhuǎn)正交相似變換）旋轉(zhuǎn)正交相似變換） 22sinjjijxxsrxx 23 設(shè)實對稱矩陣a=(apq)nn ,記b=rijt()arij()=(bpq)

14、nn則它們元素之間有如下關(guān)系:。jimjilabbjilaabbjilaabbaaabbaaabaaablmmllmiljlljjljlilliilijiijjjiijijjjiijjijjjiiii,;,sincos,sincos,2coscossin)(,cossin2cossin,cossin2sincos2222所以有2222jliljlilaabb22222222ijjjiiijjjiiaaabbb),(2222jilaabbljliljli8.2.1 平面旋轉(zhuǎn)矩陣平面旋轉(zhuǎn)矩陣(旋轉(zhuǎn)正交相似變換）旋轉(zhuǎn)正交相似變換） （8.14）24從而22ffabnjiijnjiijab1212,，

15、即由上面兩式可得222222ijlkklijlkklaabb21221222ijnkkkijnkkkaabb 如果aij0, 適當(dāng)選取角, 使02cos2sin)(21ijiijjjiijaaabb只需角滿足)15. 8(4|,tan2tan122cot2daaaijjjii8.2.1 平面旋轉(zhuǎn)矩陣平面旋轉(zhuǎn)矩陣(旋轉(zhuǎn)正交相似變換）旋轉(zhuǎn)正交相似變換） 25 由式(8.15),令t=tan,則t滿足方程t2+2dt-1=0為保證|/4,取絕對值較小的根,有)18. 8(0,10,)1)sgn(2dddddt于是,1/1cos2tc)19. 8(1/sin2tts且且0),(),(),(222222

16、jiijkllkklkjikkjjkkjikkiikijjjiijjijjjiiiibbjilkabbjikcasabbjiksacabbcsacasabcsasacab8.2.1 平面旋轉(zhuǎn)矩陣平面旋轉(zhuǎn)矩陣(旋轉(zhuǎn)正交相似變換）旋轉(zhuǎn)正交相似變換） （8.20）26的）表示（，用的對角線元素的平方和）表示（如果用aasaad非對角線元素的平方和，非對角線元素的平方和，則對trarb 由2222ijijaasbsaadbd）（）（）（）（22ffab222222ijlkklijlkklaabb21221222ijnkkkijnkkkaabb方法的計算過程。依據(jù)。下面說明陣特征值和特征向量的方法求矩這

17、就是和減少了的非對角線元素的平方而增加了的對角線元素的平方和比的對角線元素的平方和這說明jacobijacobiabaabijij.2,2228.2.1 平面旋轉(zhuǎn)矩陣平面旋轉(zhuǎn)矩陣(旋轉(zhuǎn)正交相似變換）旋轉(zhuǎn)正交相似變換） 得得27 ?？稍O(shè)值最大的中選擇非對角元中絕對（先在)0()0(0)ijijaaaa，平面旋轉(zhuǎn)矩陣已經(jīng)對角化了。再選擇否則1)0(, 0raaij換實施一系列平面旋轉(zhuǎn)變對，繼續(xù)這個過程，連續(xù)，計算，再類似的選擇。計算出的元素使arararaaarartijt212221)1(11010為充分小為止。的非對角線元素全化大的元素，直到將消除非對角線絕對值最a我們有以下的收斂性定理保證上

18、述計算過程。我們有以下的收斂性定理保證上述計算過程。8.2.2 jacobi方法方法 28 jacobi收斂性定理收斂性定理, 2 , 1,1kraraaratkkkknn轉(zhuǎn)變換施行上述一系列平面旋為實對稱矩陣，設(shè)。（則有0)limkkas證證由于設(shè),max)()(klmmlkijaa,)(2)()(2)(1kijkkaasas則有）。）（）（）（1211nnasaskk定理得證。故, 0)(limkkas反復(fù)利用上式，即得。）（）（2,) 1(21101nnnasaskk,)(1()()(2)(2)(kijmlklmkannaas29 限。的對角線元素一定有極我們指出，可以證明ka設(shè)設(shè)k充分

19、大時，有充分大時，有,2112drrarrrratkttkk的近似特征值.的對角線元素就是為對角陣,則kaad 這里需要說明一點這里需要說明一點:并不是對矩陣并不是對矩陣a的每一對非的每一對非對角線非零元素進行一次這樣的變換就能得到對對角線非零元素進行一次這樣的變換就能得到對角陣角陣.因為在用變換消去因為在用變換消去 的時候的時候,只有第只有第 i 行行,第第 j 行行,第第 i 列列,第第 j 列元素在變化列元素在變化,如果如果 或或 為為零零,經(jīng)變換后又往往不是零了經(jīng)變換后又往往不是零了.ijaikajka因此,qk=rt1rt2rtk 的列向量xj (j=1,2,n)為a的近似特征向量.

20、8.2.2 jacobi方法方法 30的全部特征值. 解解 記 a0=a,取i=1,j=2,aij(0)=a12(0)=2,于是有例例 用jacobi 方法計算對稱矩陣612152224a25. 02)0(12)0(22)0(11aaad780776. 0)1)sgn(,2dddt788206. 0)1 (cos212t615412. 0cossin,t從而有1000788206. 0615412. 00615412. 0788206. 01000cossin0sincos)(1ijrr31所以 再取i=2,j=3,aij(1)=a23(1)=2.020190,類似地可得以下依次有602019

21、0. 2961. 0020190. 2561552. 60961. 00438448. 21011rarat241166. 40724794. 00320386. 8631026. 0724794. 0631026. 0438448. 22a496424. 4209614. 00209614. 0320386. 8595192. 00595192. 0183185. 23a496424. 4208653. 0020048. 0208653. 0377576. 80020048. 00125995. 24a例題例題32485239. 40020019. 00388761. 8001073. 00

22、20019. 0001073. 0125995. 25a485401. 4000009. 0001072. 0000009. 0388761. 800001072. 0125825. 26a485401. 4000009. 00000009. 0388761. 8000125825. 27a從而a的特征值可取為 12.125825, 28.388761, 34.485401 特征向量為r1tr2trkt例題例題33 為了減少搜索非對角線絕對值最大元素時間, 對經(jīng)典的jacobi方法可作進一步改進. 1.循環(huán)循環(huán)jacobi方法方法:按(1,2),(1,3),(1,n),(2,3), (2,4)

23、,(2,n),(n-1,n)的順序, 對每個(i,j)的非零元素aij作jacobi變換,使其零化,逐次重復(fù)掃描下去,直至s(a)為止. 2.過關(guān)過關(guān)jacobi方法方法: 取單調(diào)下降收斂于零的正數(shù)序列k,先以1為關(guān)卡值,依照1中順序,將絕對值超過1的非對角元素零化,待所有非對角元素絕對值均不超過1時,再換下一個關(guān)卡值2 ,直到關(guān)卡值小于給定的精度 .8.2.2 jacobi方法方法 具體算法和程序見p183，p184。34 用用jacobi方法求得的結(jié)果精度一般都比較高，特別是求方法求得的結(jié)果精度一般都比較高，特別是求得的特征向量正交性很好。所以得的特征向量正交性很好。所以jacobi方法是

24、求實對稱矩陣方法是求實對稱矩陣全部特征值和特征向量的一個較好的方法。全部特征值和特征向量的一個較好的方法。 它的弱點是計算量大，對原矩陣是稀疏矩陣，旋轉(zhuǎn)變換后它的弱點是計算量大，對原矩陣是稀疏矩陣，旋轉(zhuǎn)變換后不能保持其稀疏的性質(zhì)。不能保持其稀疏的性質(zhì)。一般適用于階數(shù)不高的矩陣.8.2.2 jacobi方法方法 358.3 qr方法方法111111121112,aaqrq ararqq aqaa 由即。于是即 與 相似。k11 (1,2,). kkkkkaq rkar qaaa將化成相似的上三角陣（或分塊上三角陣），從而求出矩陣 的全部特征值與特征向量。60年代出現(xiàn)的qr算法是目前計算中小型矩陣

25、的全部特征值與特征向量的最有效方法最有效方法。（實矩陣、非奇異。）理論依據(jù)理論依據(jù)：任一非奇異實矩陣都可分解成一個正交矩陣q和一個上三角矩陣r的乘積，而且當(dāng)r的對角元符號取定時，分解是唯一的。 qrqr基本方法的基本思想是利用矩陣的分解通過迭代格式同理可得：ak相似于a(k=2,3,),故他們有相同特征根。36qr方法方法收斂性收斂性 1234*0lim aaankkk收斂矩陣序列一個對角線元素為 的特征值的上三角矩陣，即 37*0lim aakkk收斂矩陣序列或一個特征值易計算的上對角線塊矩陣，即 qr方法收斂性方法收斂性38 qr方法運算量很大，為了減少運算量，常在使用qr方法之前把矩陣a

26、簡化為擬上三角矩陣?；蚍Q之為海森伯格矩陣(次對角元以下的元素全為零)。8.3.2 化一般矩陣為擬上三角矩陣化一般矩陣為擬上三角矩陣 h形狀為形狀為是可約的，則（有一個次對角元如若hnkhhkk),110, 1矩陣的特征值問題。問題約簡為求解較小的形，可把求解特征值的約的否則是不可約。對于可hessenberg可以用鏡面反射矩陣將可以用鏡面反射矩陣將a化為化為hessenberg形形,下面介紹。下面介紹。39定義定義8.2則稱列向量設(shè)向量, 1),(22vvvrvtntvvivh2)(為為鏡面反射矩陣鏡面反射矩陣，或，或householder變換矩陣變換矩陣。houholder矩陣矩陣h=h(v

27、)有如下性質(zhì)：有如下性質(zhì)： 。是對稱正交陣，即1) 1 (hhhht得知又由122 vvvt。ivvvvvvihhhtttt)(442(2)22,xyhxyrxn有記對任何(3) 記記s為以為以v為法向量的平面為法向量的平面,則幾何上則幾何上x與與y=hx關(guān)于平面關(guān)于平面s對稱對稱。因為因為得知xvvihxyt)2( 。vxvyxt)(2上式表明向量上式表明向量x-y與與v平行，注意到平行，注意到y(tǒng)與與x的長度相等，于是的長度相等，于是x經(jīng)變換后的象經(jīng)變換后的象y=hx是是x關(guān)于關(guān)于s對稱的向量，如下圖所示。對稱的向量，如下圖所示。鏡面反射變換鏡面反射變換40 xvyx-y據(jù)前面定義和性質(zhì)，據(jù)

28、前面定義和性質(zhì)，有下面的定理。有下面的定理。，使則有鏡面反射矩陣且設(shè)hyxyxryxn,22定理定理8.4得得hx=y。則有令12,)(22vvvihyxyxvt證證知由yyxxtt。22)()(2)(2yxyxyxyyyxxxxyxttttt鏡面反射變換鏡面反射變換由此可得由此可得。yyxxyxxyxyxxxvvxhxtt)()(222241，使得有鏡面反射矩陣是對該定理的一個重要應(yīng)用hxxxxtn0),(211aehx的計算公式為。矩陣其中hexxsignat)0 , 0 , 1 (,)(121)(21,12211xaauaexuuuiht穩(wěn)定性。值計算的盡量大，從而有利于數(shù)使分母的的符號

29、的選取，是為了關(guān)于a鏡面反射變換鏡面反射變換程序見p187定理得證。定理得證。42只需令，變成應(yīng)用是把一個已知向量該定理的還有一個重要,)0, 0 ,(0),(r121ttncaabaaaa2babav2/122221)nrraaacba（，有利用22表示成可將利用vca,rnvvr0從而有trntrrnrnrtvviivvivh022)(r0rnrhi的符號相反，因此的符號應(yīng)該與其中設(shè)112, )(2rracaccba鏡面反射變換鏡面反射變換再利用c的值反過來計算2/1222211)(nrrraaaasignc43與平面旋轉(zhuǎn)變換不同的是，鏡面反變換可成批的消去向量的非零元與平面旋轉(zhuǎn)變換不同的

30、是，鏡面反變換可成批的消去向量的非零元.將任意矩陣將任意矩陣a簡化為海森伯格矩陣的步驟如下：簡化為海森伯格矩陣的步驟如下：11111111 ,1000 01 householderhhh ahhhhhnhouseholder 首首先先，選選取取矩矩陣陣使使得得經(jīng)經(jīng)相相似似變變換換后后的的矩矩陣陣的的第第一一列列中中有有盡盡可可能能多多的的零零元元素素。為為此此，應(yīng)應(yīng)取取為為如如下下形形式式其其中中為為階階矩矩陣陣。111211111221121311212131(,) ,(,) ,tttnnaa hh ahh ah a haaaaaaaa 于于是是有有 其其中中鏡面反射變換鏡面反射變換4422

31、2222111111.(, 0) 0,2nnnntaaaaahh ah ahn 只只要要取取使使得得就就會會使使得得變變換換后后的的矩矩陣陣的的第第一一列列出出現(xiàn)現(xiàn)個個零零元元。鏡面反射變換鏡面反射變換45鏡面反射變換鏡面反射變換2211221222211221000*0100*00*0022, .nnnhouseholderhh h ah hhnnhouseholderhhhhh h ah hhhhhessenberg 同同理理，可可構(gòu)構(gòu)造造如如下下列列形形式式矩矩陣陣使使得得* *如如此此進進行行次次，可可以以構(gòu)構(gòu)造造個個矩矩陣陣使使得得其其中中為為上上矩矩陣陣ah。特特別別地地，當(dāng)當(dāng) 為

32、為實實對對稱稱矩矩陣陣，則則經(jīng)經(jīng)過過上上述述正正交交變變換換后后，變變?yōu)闉槿龑墙顷囮嚒?6522 23 2105 2 22 202100241a 鏡面反射變換鏡面反射變換例例：用householder變換將矩陣a化為上hessenberg陣解解：求housholder矩陣1222,02hh 有有12, (2,2)2(1,0)(22,2) tttu ，其中47 22222104422201222224422 鏡面反射變換鏡面反射變換2 2ttuuhiu u21000010022 0022220022h 482112 1000522232010010522222200220210220241

33、0022100052510100103222 000223220012220022hhha hh 于于 是是 有有鏡面反射變換鏡面反射變換 用用household方法對矩陣方法對矩陣a作正交相似變換作正交相似變換, 使使a相似與上相似與上hessenberg陣，程序見陣，程序見p19049(1)(1)(1)11121(1)(1)(1)21222(1)(1)1 1 nnnnnnbbbbbbbbbngivensbqr 對對上上h essenberg陣h essenberg陣, ,通通常常用用個個變變換換陣陣可可將將它它化化成成上上三三角角矩矩陣陣，從從而而得得到到 的的分分解解式式。、用、用 gi

34、vensgivens變換對上變換對上hessenberghessenberg陣作陣作qrqr分解分解具體步驟：具體步驟：(1)210 b 假設(shè)假設(shè)（否則進行下一步）（否則進行下一步）取旋轉(zhuǎn)矩陣r(1,2)1111cossin00sincos00001 1 50(2)(2)(2)112131(2)(2)(2)22232(2)(2)(2)1232333(2)(2)1(1)(1)(1)(1)1121111112111(1,2) cos, sin, . nnnnnnnrbbbbbbrbbbbbbbbbrbbrr 其其中中1111cossin00 sincos000011 、用、用 givensgive

35、ns變換對上變換對上hessenberghessenberg陣作陣作qrqr分解分解512322222( 3 )( 3 )( 3 )( 3 )11213111( 3 )( 3 )( 3 )223212( 3 )( 3 )( 3 )333132( 3 )( 3 )4341 0(10cossinsincos (3, 2)11 (3 , 2)nnnnnnnbrrbbbbrbbbbbbrbbb （）設(shè)設(shè)否否 則則 進進 行行 下下 一一 步步 ） ， 再再 取取 旋旋 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 矩矩 陣陣 則則3( 3 )4( 3 )( 3 )1( 2 )( 2 )( 2 )2( 2 )23222222223222 co

36、s, sin, ()() .nnnnnbbbbbbrbbrr 其其 中中、用、用 givensgivens變換對上變換對上hessenberghessenberg陣作陣作qrqr分解分解521( )( )( )( )1111111( )( )( )11111( )( )( )1( )( )( )1111( )( )1 (1, ) kkkkkkkknnkkkkkkknknkkkkkknknkkkkkknknkknnnnbr kk brbbbbrbbbbhhbbbbb 1k 假假設(shè)設(shè)上上述述過過程程已已進進行行了了步步，有有、用、用 givensgivens變換對上變換對上hessenberghe

37、ssenberg陣作陣作qrqr分解分解53()1()()1()2()21 0,11 (1,)cossinsincos1 cos, sin, ()() .kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkbr kkbbrrrbb 設(shè)設(shè)取取其其中中、用、用 givensgivens變換對上變換對上hessenberghessenberg陣作陣作qrqr分解分解54(1)(1)(1)11111(1)(1)1(1)(1)(1)111111(1)(1)(1)21212(1)(1)1 (1, )kkkkknkkkkkknkkkkkkkknknkkkkkknknkknnnnrbbbrbbr kk bbbhbbhhbb 于于是是、用、用 givensgivens變換對上變換對上hessenberghessenberg陣作陣作qrqr分解分解因此，最多做n-1旋轉(zhuǎn)變換，即得( )( )( )( )112131( )( )2232( )33( ,1) (2,1)(1,2)nnnnnnnnnnnhr n nr nnrbrbbbrbbrrbr55( ,1),(2,3, , )r