高一數(shù)學(xué)圓與方程

1、高一數(shù)學(xué)圓與方程課程總結(jié)圓與方程q & a1圓與方程 1.圓心為點c(8，-3)，且過點a(5，1)的圓的標準方程為（ ） a.(x+8)2+(y-3)2=5b.(x-8)2+(y+3)2=5 c.(x+8)2+(y-3)2=25 d.(x-8)2+(y+3)2=25 1.圓心為點c(8，-3)，且過點a(5，1)的圓的標準方程為（ ） a.(x+8)2+(y-3)2=5b.(x-8)2+(y+3)2=5 c.(x+8)2+(y-3)2=25 d.(x-8)2+(y+3)2=25 半徑 所以所求的圓的標準方程為 (x-8)2+(y+3)2=25.選d.2(85)2( 31)5rca ，d 2.

2、方程y=對應(yīng)的曲線是（ ） 24x 2.方程y=對應(yīng)的曲線是（ ） 原曲線方程可化為x2+y2=4（y0），表示下半圓,選a.24xa 3.半徑為5且圓心在y軸上的圓與x軸相切，則圓的方程為（ ） a.x2+y2+10y=0 b.x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0 c.x2+y2-10y=0 d.x2+y2+10 x=0或x2+y2-10 x=0 3.半徑為5且圓心在y軸上的圓與x軸相切，則圓的方程為（ ） a.x2+y2+10y=0 b.x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0 c.x2+y2-10y=0 d.x2+y2+10 x=0或x2+y2-10 x=0b 設(shè)圓心為（

3、0，b），由題意，則圓的方程為x2+（y-b）2=b2. 因為半徑為5.所以 =5,b=5. 故圓的方程為x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0.選b. 易錯點：圓心的位置可能在y軸上半軸或下半軸.b 4.已知圓c1：(x+1)2+(y-1)2=1，圓c2與圓c1關(guān)于直線x-y-1=0對稱，則圓c2的方程為. 4.已知圓c1：(x+1)2+(y-1)2=1，圓c2與圓c1關(guān)于直線x-y-1=0對稱，則圓c2的方程為. 設(shè)圓c2的圓心為（a，b），則依題意， 對稱圓的半徑不變，為1，故填(x-2)2+（y+2）2=1.(x-2)2+(y+2)2=1有有，解得：，解得：a=2b=-2.11

4、1022ab111ba 5.若圓x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0關(guān)于直線x-y+1=0對稱，則實數(shù)a=. 5.若圓x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0關(guān)于直線x-y+1=0對稱，則實數(shù)a=. 依題意直線x-y+1=0，過已知圓的圓心 所以 解得a=3或a=-1，當a=-1時，方程x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0不能表示圓，所以只能取a=3.填3. 易錯點：方程x2+y2+dx+ey+f=0僅在d2+e2-4f0時才表示圓，因此需檢驗不等式是否成立.321,2aa （），21102aa ， 1.圓的定義：平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫做圓，定點叫做圓

5、心，定長叫做圓的半徑. 2.圓的方程 （1）標準方程：以（a,b）為圓心，r（r0）為半徑的圓的標準方程為（x-a）2+（y-b）2=r2. （2）一般方程：x2+y2+dx+ey+f=0. 當d2+e2-4f0時，表示圓的一般方程，其圓心的坐標為 半徑 當d2+e2-4f=0時，只表示一個點； 當d2+e2-4fr2; 若點m（x0,y0）在圓c上，則（x0-a）2+（y0-b）2=r2; 若點m（x0,y0）在圓c內(nèi)，則（x0-a）2+（y0-b）2 dr2、直線與圓相切 = d=r3、直線與圓相交 = drr+r|o1o2|=r+rr-r|o1o2|r+r|o1o2|=r-r|o1o2|

6、r-r外切外切相交相交內(nèi)切內(nèi)切內(nèi)含內(nèi)含rro1 1o2 2rro1 1o2 2rro1 1o2 2rro1 1o2 2rro1 1o2 25.圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓設(shè)圓o1的半徑為的半徑為r1，圓，圓o2的半徑為的半徑為r2， 6.對稱問題: 圓（x-a）2+（y-b）2=r2 關(guān)于直線x=0的對稱圓的方程為（x+a）2+（y-b）2=r2; 關(guān)于直線y=0的對稱圓的方程為（x-a）2+（y+b）2=r2； 關(guān)于直線y=x的對稱圓的方程為（x-b）2+（y-a）2=r2； 關(guān)于直線y=-x的對稱圓的方程為（x+b）2+（y+a）2=r2.bababaxxxxxx427.7.與圓有

7、關(guān)的弦長問題與圓有關(guān)的弦長問題幾何方法：幾何方法：代數(shù)方法：代數(shù)方法：rd da ab bo o222|drab解析幾何中，解決圓的弦長、弦心距的計算常常利用幾解析幾何中，解決圓的弦長、弦心距的計算常常利用幾何方法何方法. .其中其中k k是直線的斜率，是直線的斜率，x xa a、x xb b是直線和圓交點的橫坐標是直線和圓交點的橫坐標, ,且且baxxkab)1 (|2圓圓x2+y2=r2，圓上一點為圓上一點為( (x x0，y y0)，則此點的切線方程為則此點的切線方程為x x0 x+y0y=r2圓圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為圓上一點為(x0，y0)，則過此點的則過此點的

8、切線方程為切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r28.過圓上一點的切線方程：過圓上一點的切線方程：9. 兩圓相交的弦的方程兩圓相交的弦的方程 o1：x2+y2+d1x+e1y+f1=0和和 o2：x2+y2+d2x+e2y+f2=0相交時，相交時，公共弦方程為公共弦方程為(d1-d2)x+(e1-e2)y+(f1-f2)=0. 10.圓系方程：圓系方程：設(shè)圓設(shè)圓c1 x2+y2+d1x+e1y+f1=0和圓和圓c2 x2+y2+d2x+e2y+f2=0若兩圓相交，則過交若兩圓相交，則過交點的圓系方程為點的圓系方程為x2+y2+d1x+e1y+f1+(x2+y2+d2x+e

9、2y+f2)=0 (為參為參數(shù)，圓系中不包括圓數(shù)，圓系中不包括圓c2，=-1為兩圓的公共弦為兩圓的公共弦所在直線方程所在直線方程)設(shè)圓設(shè)圓c x2+y2+dx+ey+f=0與直線與直線l：ax+by+c=0，若直線與圓相交，則過交點的圓若直線與圓相交，則過交點的圓系方程為系方程為x2+y2+dx+ey+f+(ax+by+c)=0(為參為參數(shù)數(shù)) 重點突破：圓的方程 （）求過兩點a（1,4）,b（3,2）,且圓心在直線y=0上的圓的標準方程，并判斷點p（2,4）與圓的位置關(guān)系. （）求過a（4,1），b（6，-3）c（-3,0）三點的圓的方程，并求這個圓半徑長和圓心c坐標. （）欲求圓的標準方程

10、，只需求出圓心坐標和圓的半徑，而要判斷點p與圓的位置關(guān)系，只需看點p與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系.（）設(shè)出圓的方程，解方程組即可. （）解法1：（待定系數(shù)法）設(shè)圓的標準方程為（x-a）2+（y-b）2=r2， 因為圓心在y=0上,故b=0， 所以圓的方程為（x-a）2+y2=r2 又因為該圓過a（1,4）,b（3,2）兩點,則 （1-a）2+16=r2 （3-a）2+4=r2，解得，解得a=-1，r2=20. 解法2：（直接求出圓心坐標和半徑）因為圓過a（1,4）,b（3,2）兩點， 所以圓心必在線段ab的中垂線l上,又因為kab=-1,故l的斜率為1, 又ab的中點為（2，3）,故線段a

11、b的中垂線l的方程為x-y+1=0.4213 又知圓心在直線y=0上,故圓心為c(-1，0)， 所以半徑 故所求圓的方程為(x+1)2+y2=20. 又點p(2,4)到圓心(-1，0)的距離為 所以點p在圓外. 2211420rac 2221425dpcr ， ()設(shè)圓的方程為x2+y2+dx+ey+f=0， 因為三點a(4,1)，b(6，-3)，c(-3,0)都在圓上， 所以它們的坐標都是方程的解，將它們的坐標代入方程得， 42+12+4d+e+f=0 62+(-3)2+6d-3e+f=0 (-3)2+02-3d+0e+f=0，解得，解得d=-2e=6f=-15. 所以圓的方程為x2+y2-

12、2x+6y-15=0， 即（x-1）2+（y+3）2=25， 所以圓心坐標為（1，-3），半徑為r=5. “待定系數(shù)法”是求圓的方程的常用方法.一般的，在選用圓的方程形式時，若問題涉及圓心和半徑，則選用標準方程比較簡便，否則選用一般方程方便些. 根據(jù)下列條件求圓的方程. （）圓過p（4,-2）,q（-1,3）兩點，且在y軸上截得的線段長為4 . （）已知圓的半徑為 ，圓心在直線y=2x上，圓被直線x-y=0截得的弦長為4 .3102 ()設(shè)圓的方程為x2+y2+dx+ey+f=0. 4d-2e+f=-20 d-3e-f=10， 令x=0,由得y2+ey+f=0. 由已知 其中y1,y2是方程的

13、兩根， (y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=e2-4f=48， 聯(lián)立方程解得d=-2,e=0,f=-12或d=-10,e=-8,f=4， 故所求的圓的方程為x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10 x-8y+4=0.將將p,q點的坐標代入式得點的坐標代入式得124 3yy， ()解法1：設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=10， 由圓心在直線y=2x上，得b=2a， 由圓在直線x-y=0截得的弦長為4 ， 將y=x代入(x-a)2+(y-b)2=10. 整理得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0. 由弦長公式得 化簡得a-b=2. 解得a=2,b=4或a=-2,b=

14、-4, 所以所求圓方程為(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.22222 ()2(10)4 2abab， 解法2：根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)：半徑，弦長的一半，弦心距構(gòu)成直角三角形，由勾股定理， 可得弦心距 因為弦心距等于圓心（a,b）到直線x-y=0的距離， 所以 又已知b=2a， 解得a=2,b=4或a=-2,b=-4. 所以所求圓方程為（x-2）2+（y-4）2=10或（x+2）2+（y+4）2=10.224 210822dr（）22abd ， 求以圓求以圓c c1 x x2+y2-12x-2y-13=0和圓和圓c c2：x x2+y2+12x+16y-25=0的公

15、共弦為直徑的圓的方程的公共弦為直徑的圓的方程 求以圓求以圓c c1 x x2+y2-12x-2y-13=0和圓和圓c c2：x x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦為直徑的圓的方程的公共弦為直徑的圓的方程解法一： 相減得公共弦所在直線方程為4x+3y-2=0 所求圓以ab為直徑， 于是圓的方程為(x-2)2+(y+2)2=25 .解法二：解法二：設(shè)所求圓的方程為：設(shè)所求圓的方程為：x2+y2-12x-2y-13+(x2+y2+12x+16y-25)=0(為參數(shù)為參數(shù)) 圓心圓心c應(yīng)在公共弦應(yīng)在公共弦ab所在直線上所在直線上， 所求圓的方程為所求圓的方程為x2+y2-4x+4y-17=0

16、 重點突破：與圓有關(guān)的最值問題 例3.已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0 （）求y-x的最大值和最小值, （）求x2+y2的最大值和最小值. 根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助于平面幾何知識，數(shù)形結(jié)合求解. 方程x2+y2-4x+1=0變形為(x-2)2+y2=3，所表示的圖形是圓. ()y-x看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當直線y=x+b與圓相切時， 縱截距b取得最大值和最小值，此時 解得b=-2 , 所以y-x的最大值為-2+ ，最小值為-2- .203,2b 666 （）x2+y2表示圓上一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心連線和圓的兩個交點處取得最大值和最小值

17、. 又圓心到原點的距離為 所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4;最小值是(2- )2=7-4 . 涉及與圓有關(guān)的最值，可以借助圓的幾何性質(zhì)，依照數(shù)形結(jié)合思想進行求解；聯(lián)想過兩點的直線的斜率公式，兩點間距離公式，過定點的直線系或平行線系等知識的應(yīng)用.2220002（） （），3333 已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0，求的最大值與最小值. 設(shè)=k，即y=kx，當直線y=kx與圓相切時，斜率k取得最大值和最小值.因為圓心（2,0）到直線y=kx的距離為，所以 得k= . 所以yxyx322031kk ，3maxmin33.yyxx （ ），（ ） 已知圓x2+y2+x-6y+m

18、=0和直線x+2y-3=0交于p，q兩點，且opoq（o為坐標原點），求該圓的圓心坐標及半徑. 利用opoq得到o點在以pq為直徑的圓上，在利用勾股定理求解. 設(shè)已知圓的圓心為c，弦pq中點為m， 因為cmpq,所以kcm=2， 所以cm所在直線的方程為 即：y=2x+4.y=2x+4x+2y-3=0, 解得m的坐標為（-1，2）.1322yx（），由方程組由方程組 則以pq為直徑的圓可設(shè)為(x+1)2+(y-2)2=r2， 因為opoq所以點o在以pq為直徑的圓上. 所以(0+1)2+(0-2)2=r2，即r2=5，mq2=5. 在rtcmq中，因為cq2=cm2+mq2， 所以 所以m=3

19、.所以半徑為，圓心為(- ，3). 在解決與圓有關(guān)的問題中.借助與圓的幾何性質(zhì)，往往會使得思路簡潔明了，簡化運算.221164132 25.24m （）（） （）5212 1.求圓的方程常用待定系數(shù)法，步驟大致是： 根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程； 根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或d,e,f的方程組； 解出a,b,r或d,e,f代入標準方程或一般方程. 2.研究與圓有關(guān)的最值問題時，可借助圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解，一般地 形如形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的斜率的最值問題； 形如t=ax+by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題； 形如v=（x-a）2+（y-b）2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的最值問題.ybuxa 3.點與圓的位置關(guān)系可利用點與圓心的距離和半徑r的大小來判斷. 4.圓的問題的解題技巧：處理有關(guān)圓的問題，要特別注意圓心半徑及平