第十章市場狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率預(yù)測

1、市場狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率預(yù)測（馬爾科夫預(yù)測法） 在現(xiàn)實中，市場是競爭性的活動，競爭結(jié)局是優(yōu)勝劣汰，那么市場狀態(tài)也會不斷轉(zhuǎn)移，參與市場競爭的個體，無不關(guān)心市場狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，希望了解、把握市場狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律，預(yù)測出市場狀態(tài)轉(zhuǎn)移的各種可能性。本章利用markov過程理論的一些基本方法，預(yù)測市場占有率、狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律以及期望利潤。 第一節(jié)、馬爾科夫鏈基本概念 馬爾柯夫（馬爾柯夫（a.a markov 俄國數(shù)學(xué)家）。俄國數(shù)學(xué)家）。 2020世紀(jì)初，他在研究中發(fā)現(xiàn)自然界中有一類事物的變世紀(jì)初，他在研究中發(fā)現(xiàn)自然界中有一類事物的變化過程僅與事物的化過程僅與事物的近期狀況有關(guān)，近期狀況有關(guān)，而與事物的過去狀而與事物的過去狀

2、態(tài)無關(guān)。態(tài)無關(guān)。 例：設(shè)備維修和更新、人才結(jié)構(gòu)變化、資金流向、市例：設(shè)備維修和更新、人才結(jié)構(gòu)變化、資金流向、市場需求變化等許多經(jīng)濟(jì)行為都可用這一類過程來描述場需求變化等許多經(jīng)濟(jì)行為都可用這一類過程來描述或近似?；蚪啤?所謂所謂馬爾柯夫鏈馬爾柯夫鏈，就是一種，就是一種隨機(jī)時間序列，隨機(jī)時間序列，它在將來它在將來取什么值只與它現(xiàn)在的取值有關(guān)，而與它過去取什么取什么值只與它現(xiàn)在的取值有關(guān)，而與它過去取什么值無關(guān)，即值無關(guān)，即無后效性。無后效性。具備這個性質(zhì)的離散型隨機(jī)過具備這個性質(zhì)的離散型隨機(jī)過程，稱為程，稱為馬爾柯夫鏈。馬爾柯夫鏈。 1、狀態(tài)與狀態(tài)變量、狀態(tài)與狀態(tài)變量 狀態(tài)：狀態(tài)：客觀事物可能出

3、現(xiàn)或存在的狀況?？陀^事物可能出現(xiàn)或存在的狀況。 如：商品可能如：商品可能暢銷暢銷也可能也可能滯銷滯銷；機(jī)器運轉(zhuǎn)可能；機(jī)器運轉(zhuǎn)可能正常正常也可也可能能故障故障等。等。 同一事物不同狀態(tài)之間必須同一事物不同狀態(tài)之間必須相互獨立相互獨立:不能同時存在兩不能同時存在兩種狀態(tài)。種狀態(tài)。 客觀事物的狀態(tài)不是固定不變的，它可能處于這種狀態(tài)，客觀事物的狀態(tài)不是固定不變的，它可能處于這種狀態(tài)，也可能處于那種狀態(tài)，往往條件變化，狀態(tài)也會發(fā)生變也可能處于那種狀態(tài)，往往條件變化，狀態(tài)也會發(fā)生變化。如某種產(chǎn)品在市場上本來是滯銷的，但是由于銷售化。如某種產(chǎn)品在市場上本來是滯銷的，但是由于銷售渠道變化了，或者消費心理發(fā)生了

4、變化等，它便可能變渠道變化了，或者消費心理發(fā)生了變化等，它便可能變?yōu)闀充N產(chǎn)品。為暢銷產(chǎn)品。1234p33p22p44p41p42p31p32 用用狀態(tài)變量狀態(tài)變量來表示狀態(tài)：來表示狀態(tài)：它表示隨機(jī)運動系統(tǒng)，在時刻它表示隨機(jī)運動系統(tǒng)，在時刻 狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移：客觀事物由一種狀態(tài)到另一種狀態(tài)的客觀事物由一種狀態(tài)到另一種狀態(tài)的變化。變化。如：由于產(chǎn)品質(zhì)量或替代產(chǎn)品的變化，市場上如：由于產(chǎn)品質(zhì)量或替代產(chǎn)品的變化，市場上產(chǎn)品可能由產(chǎn)品可能由暢銷暢銷變?yōu)樽優(yōu)闇N滯銷。 , 2 , 1, 2 , 1tniixt), 2 , 1( tt所處的狀態(tài)為所處的狀態(tài)為), 2 , 1(nii 2、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率狀態(tài)轉(zhuǎn)移

5、概率客觀事物可能有客觀事物可能有 共共 n 種狀態(tài)，其中每次種狀態(tài)，其中每次只能處于一種狀態(tài)，則每一狀態(tài)都具有只能處于一種狀態(tài)，則每一狀態(tài)都具有 n 個轉(zhuǎn)向個轉(zhuǎn)向（包括轉(zhuǎn)向自身），即（包括轉(zhuǎn)向自身），即 。由于狀態(tài)轉(zhuǎn)移是隨機(jī)的，因此，必須用概率來描述由于狀態(tài)轉(zhuǎn)移是隨機(jī)的，因此，必須用概率來描述狀態(tài)轉(zhuǎn)移可能性的大小，將這種轉(zhuǎn)移的可能性用狀態(tài)轉(zhuǎn)移可能性的大小，將這種轉(zhuǎn)移的可能性用概率描述，就是概率描述，就是狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率neee,2112,iiinee eeee 寫成數(shù)學(xué)表達(dá)式為： p( xt+1 = j | xt = it , xt-1 = it1,x1 = i1) =p( xt+1

6、= j | xt = it ) 定義：pij = p( xt+1 = j | xt = i) 即在xt = i的條件下，使 xt+1 = j的條件概率，是從 i狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移到j(luò)狀態(tài)的概率，因此它又稱一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。 由狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，由于共有n個狀態(tài)，所以有 3、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 （1）一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 系統(tǒng)有n個狀態(tài)，描述各種狀態(tài)下向其他狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率矩陣 p11 p12 p1n 定義為 p21 p22 p2n : : : pn1 pn2 pnn 這是一個n階方陣，滿足概率矩陣性質(zhì) 1） pij 0,i,j = 1,2, , n 非負(fù)性性質(zhì) 2） pij = 1 行元素和為1 ,i=1,2,nnn

7、 p = 如： w1 = 1/4, 1/4, 1/2, 0 w2 = 1/3, 0, 2/3 w3 = 1/4, 1/4, 1/4, 1/2 w4 = 1/3, 1/3, -1/3,0, 2/3 3）若a和b分別為概率矩陣時，則ab為概率矩陣。 概率向量非概率向量 例：例：某地區(qū)有甲、乙、丙三家食品廠生產(chǎn)同一種某地區(qū)有甲、乙、丙三家食品廠生產(chǎn)同一種食品，有一千個用戶（或購貨點），假定在研究食品，有一千個用戶（或購貨點），假定在研究期間無新用戶加入也無老用戶退出，只有用戶的期間無新用戶加入也無老用戶退出，只有用戶的轉(zhuǎn)移，已知轉(zhuǎn)移，已知 2009 2009 年年 5 5 月份有月份有 500 50

8、0 戶是甲廠的戶是甲廠的顧客；顧客；400 400 戶是乙廠的顧客；戶是乙廠的顧客；100 100 戶是丙廠的顧戶是丙廠的顧客?？?。6 6 月份，甲廠有月份，甲廠有400 400 戶原來的顧客，上月的戶原來的顧客，上月的顧客有顧客有 50 50 戶轉(zhuǎn)乙廠，戶轉(zhuǎn)乙廠，50 50 戶轉(zhuǎn)丙廠；乙廠有戶轉(zhuǎn)丙廠；乙廠有 300 300 戶原來的顧客，上月的顧客有戶原來的顧客，上月的顧客有 20 20 戶轉(zhuǎn)甲廠，戶轉(zhuǎn)甲廠，80 80 戶轉(zhuǎn)丙廠；丙廠有戶轉(zhuǎn)丙廠；丙廠有 80 80 戶原來的顧客，上月的顧戶原來的顧客，上月的顧客有客有 10 10 戶轉(zhuǎn)甲廠，戶轉(zhuǎn)甲廠，10 10 戶轉(zhuǎn)乙廠。戶轉(zhuǎn)乙廠。計算其狀態(tài)

9、轉(zhuǎn)移概率。計算其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。 解：由題意得 6 月份顧客轉(zhuǎn)移表 1：甲乙丙合計甲4002010430乙5030010360丙508080210合計50040010010008 . 0100801 . 0100101 . 0100102 . 04008075. 040030005. 0400201 . 0500501 . 0500508 . 0500400333231232221131211 ppppppppp1112132122233132330.80.10.10.05 0.75 0.20.10.10.8pppppppppp （2）穩(wěn)定性假設(shè) 若系統(tǒng)的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率不隨時間變化，即轉(zhuǎn)移矩陣

10、在各個時刻都相同，稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 這個假設(shè)稱為穩(wěn)定性假設(shè)。蛙跳問題屬于此類，后面的討論均假定滿足穩(wěn)定性條件。 （3）k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移由狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率記為 p(xt+k =j | xt = i) = pij(k) i,j = 1,2, , n 定義：k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為： p11(k) p12(k) p1n(k) p = : : : pn1(k) pn2(k) pnn (k) 當(dāng)系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性假設(shè)時 p = p = p p p 其中p為一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 即當(dāng)系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性假設(shè)時，k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的k次方. k k k 例：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)為n = 3，求從

11、狀態(tài)1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)2的 二步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率. 解：作狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖 解法一：由狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖： 1 1 2: p11 p12 1 2 2: p12 p22 1 3 2: p13 p32 p12 = p11 p12 + p12 p22 +p13 p32 = p1i pi2 132p13p32 p11p12p12p22 解法二： k = 2, n = 3 p11(2) p12 (2) p13(2) p = p21(2) p22 (2) p23(2) p31(2) p32(2) p33(2) p11 p12 p13 p11 p12 p13 = pp = p21 p22 p23 p21 p22 p23 p31 p

12、32 p33 p31 p32 p33 得： p12(2) = p11 p12 + p12 p22 +p13 p32 = p1i pi2 (2) 例:設(shè)味精的市場狀態(tài)及其一步轉(zhuǎn)移概率如下： 求第一季度暢銷，經(jīng)過兩個季度后，保持暢銷的概率。解：經(jīng)過兩個季度，即進(jìn)行了兩次轉(zhuǎn)移，故得可得為0.55 0.50.50.60.4p(2)2(2)(2)1112(2)(2)21220.50.50.50.50.60.40.60.40.550450.540.46pppppp 第二節(jié)第二節(jié) 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的估算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的估算 主觀概率法主觀概率法（一般缺乏歷史統(tǒng)計資料或資料不全情況下使（一般缺乏歷史統(tǒng)計資料或資料不

13、全情況下使用）用） 統(tǒng)計估算法。統(tǒng)計估算法。 例2：設(shè)味精市場的銷售記錄共有 6 年 24 個季度的數(shù)據(jù)，見表。求味精銷售轉(zhuǎn)移概率矩陣。季度季度123456789101112銷售銷售狀態(tài)狀態(tài)暢暢1暢暢1滯滯2暢暢1滯滯2滯滯2暢暢1暢暢1暢暢1滯滯2暢暢1滯滯2季度季度131415161718192021222324銷售銷售狀態(tài)狀態(tài)暢暢1暢暢1滯滯2滯滯2暢暢1暢暢1滯滯2暢暢1滯滯2暢暢1暢暢1暢暢1 已連續(xù)統(tǒng)計六年共24個季度，確定暢銷，滯銷界限，即只允許出現(xiàn)兩種狀態(tài)，且具備無后效性。 設(shè)狀態(tài)1為暢銷，狀態(tài)2為滯銷,作出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖: 圖中: p11為當(dāng)前暢銷，連續(xù)暢銷概率； p12為當(dāng)前暢

14、銷，轉(zhuǎn)滯銷概率； p22為當(dāng)前滯銷，連續(xù)滯銷概率； p21為當(dāng)前滯銷，轉(zhuǎn)暢銷概率。 12p22p11p12p21 共共24個季度數(shù)據(jù)，其中有個季度數(shù)據(jù)，其中有15個季度暢銷，個季度暢銷，9個季度滯銷，個季度滯銷，現(xiàn)分別統(tǒng)計出現(xiàn)分別統(tǒng)計出:連續(xù)暢銷、由暢轉(zhuǎn)滯、由滯轉(zhuǎn)暢和連續(xù)滯連續(xù)暢銷、由暢轉(zhuǎn)滯、由滯轉(zhuǎn)暢和連續(xù)滯銷銷的次數(shù)。的次數(shù)。第二十四個季度為暢銷，但后續(xù)是什么狀態(tài)不知，故計算時第二十四個季度為暢銷，但后續(xù)是什么狀態(tài)不知，故計算時不能采用，只用于第二十三季度統(tǒng)計。不能采用，只用于第二十三季度統(tǒng)計。有：有： p11 = 7/(7 + 7) = 0.5; p12 = 7/(7 + 7) = 0.5

15、; p21 = 7/(7 + 2) = 0.78; p22 = 2/(7 + 2) = 0.22則則 p = 0.5 0.5 0. 0.22此式說明了：若本季度暢銷，則下季度暢銷和滯銷的可能性此式說明了：若本季度暢銷，則下季度暢銷和滯銷的可能性各占一半各占一半 若本季度滯銷，則下季度滯銷有若本季度滯銷，則下季度滯銷有78%的把握，滯銷風(fēng)險的把握，滯銷風(fēng)險22% 二步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為： 0.5 0.5 0.5 0.5 0.78 0.22 0.78 0.22 0.64 0.36 0.5616 0.4384 p11(2) p12(2) p21(2) p22(2) = = p = p =22 （2）初始

16、狀態(tài)概率向量）初始狀態(tài)概率向量 記記 為過程的開始時刻，為過程的開始時刻， ， 則則稱：稱： 為為初始狀態(tài)概率向量、初始狀態(tài)概率向量、已知馬爾科夫鏈的已知馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移矩陣轉(zhuǎn)移矩陣 以及初始狀以及初始狀態(tài)概率向量態(tài)概率向量p(0) ，則任一時刻的狀態(tài)概率分布也，則任一時刻的狀態(tài)概率分布也就確定了：就確定了：對對 k 1 ，記，記 則由全概率公式有：則由全概率公式有：0t)0(0()0(itxxip12(0)(0),(0),(0)npppp( )( )()kkijpp( )ikp kp xi( )1( )(0),1,2,;1nkijjijp kppin k 若記若記向量向量則上式可寫為：則上式

17、可寫為： 由此可得由此可得12( )( ),( ),( )np kp kp kpk( )( )(0)(0)kkp kpppp( )(1)p kp kp機(jī)床運行存在正常和故障兩種狀態(tài)。由于出現(xiàn)故障帶有隨機(jī)性，故可將機(jī)床運行存在正常和故障兩種狀態(tài)。由于出現(xiàn)故障帶有隨機(jī)性，故可將機(jī)床運行看作一個隨時間變化的隨機(jī)系統(tǒng)。機(jī)床運行看作一個隨時間變化的隨機(jī)系統(tǒng)。 機(jī)床以后的狀態(tài)只與其以前的狀態(tài)有關(guān)，而與過去的狀態(tài)無關(guān)機(jī)床以后的狀態(tài)只與其以前的狀態(tài)有關(guān)，而與過去的狀態(tài)無關(guān)( (有無后有無后效性效性) )。因此，機(jī)床的運行可看作馬爾科夫鏈。因此，機(jī)床的運行可看作馬爾科夫鏈。 如機(jī)床運行過程中出現(xiàn)故障，表示為從狀

18、態(tài)如機(jī)床運行過程中出現(xiàn)故障，表示為從狀態(tài) 1 轉(zhuǎn)移到狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài) 2 ；處于故障狀態(tài)的機(jī)床經(jīng)維修恢復(fù)到正常狀態(tài)即從狀態(tài)；處于故障狀態(tài)的機(jī)床經(jīng)維修恢復(fù)到正常狀態(tài)即從狀態(tài) 2 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)移到狀態(tài)1。 現(xiàn)以現(xiàn)以1個月為時間單位，經(jīng)統(tǒng)計知：從某月到下月機(jī)床出現(xiàn)個月為時間單位，經(jīng)統(tǒng)計知：從某月到下月機(jī)床出現(xiàn)故障的概率為故障的概率為0.2 ，即，即 p12 = 0.2 。保持正常狀態(tài)的概率為為。保持正常狀態(tài)的概率為為 p11 = 0.8 。在這一時間，故障機(jī)床經(jīng)維修返回正常狀態(tài)的概率為。在這一時間，故障機(jī)床經(jīng)維修返回正常狀態(tài)的概率為 0.9 ，即，即 p21 = 0.9 ；不能修好的概率為；不能修好的

19、概率為 p22 = 0.1 。 由機(jī)床的一步轉(zhuǎn)移概率得：由機(jī)床的一步轉(zhuǎn)移概率得：狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣： 若已知本月機(jī)床的狀態(tài)向量若已知本月機(jī)床的狀態(tài)向量 p(0) = (0.85，0.15)，要求預(yù)，要求預(yù)測機(jī)床測機(jī)床兩個月后的狀態(tài)。兩個月后的狀態(tài)。 求出兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣求出兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣111221220.80.20.90.1ppppp2(2)20.80.20.820.180.90.10.810.19pp本月處于正常狀態(tài)的機(jī)床兩月后仍然處于正常狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率為0.82，轉(zhuǎn)移到故障狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率為0.18。本月處于故障狀態(tài)的機(jī)床兩月后轉(zhuǎn)移到正常狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率為0.81，仍然處于故

20、障狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率為0.19。 預(yù)測：兩個月后的狀態(tài)向量預(yù)測：兩個月后的狀態(tài)向量220.80.2(2)(0)0.850.150.81850.18150.90.1ppp第三節(jié) 市場占有率預(yù)測 商品在市場上參與競爭，都擁有顧客，并由此而產(chǎn)生銷售，事實上，同一商品在某一地區(qū)所有的n個商家（或不同品牌的n個同類產(chǎn)品）都擁有各自的顧客，產(chǎn)生各自銷售額，于是產(chǎn)生了市場占有率定義：設(shè)某一確定市場某商品有n個不同品牌（或n個商家）投入銷售，第i個商家在第j期的市場占有率 si(j) = xi(j)/x i =1,2, n 其中 xi(j)為第i個商家在第j期的銷售額（或擁有顧客數(shù)） x為同類產(chǎn)品在市場上總銷售額

21、（或顧客數(shù)）市場占有率所需數(shù)據(jù)可通過顧客抽樣調(diào)查得到。 一般地,首先考慮初始條件,設(shè)當(dāng)前狀態(tài)（即j = 0 ） 為 s(0) = s1(0) s2(0) sn(0)第i個商家 si(0) = xi(0)/x xi(0) = si(0) x即當(dāng)前第i個商家市場占有率與初始市場占有率及市場總量有關(guān).同時假定滿足無后效性及穩(wěn)定性假設(shè).由于銷售商品的流通性質(zhì),有第i個商家第j期銷售狀況為 xi(k) = x1(0)p1i(k) + x2(0)p2i(k)+ + xn(0)pni(k) = xs1(0)p1i(k) +xs2(0)p2i(k) + + xsn(0)pni(k) p1i(k) = xs1(

22、0) s2(0) sn(0) p2i(k) : pni(k) 有：si(k) = xi(k)/x p1i(k) = s1(0) s2(0) sn(0) p2i(k) : pni(k)故可用矩陣式表達(dá)所有狀態(tài): s1(k),s2(k), ,sn(k)= s1(0),s2(0), ,sn(0) p即 s(k) = s(0) p 當(dāng)滿足穩(wěn)定性假設(shè)時,有 s(k) = s(0) p 這個公式稱為已知初始狀態(tài)條件下的市場占有率k步預(yù)測模型. kkk 例:東南亞各國味精市場占有率預(yù)測, 初期工作: a)行銷上海,日本,香港味精,確定狀態(tài)1,2,3. b)市場調(diào)查,求得目前狀況,即初始分布 c)調(diào)查流動狀況

23、;上月轉(zhuǎn)本月情況,求出一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率. 1)初始向量: 設(shè) 上海味精狀況為1; 日本味精狀況為2; 香港味精狀況為3;有 s(0) = s1(0) s2(0) s3(0) = 0.4 0.3 0.32)確定一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 p11 p12 p13 0.4 0.3 0.3 p = p21 p22 p23 = 0.6 0.3 0.1 p31 p32 p33 0.6 0.1 0.33),3 步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(假定要預(yù)測3個月后) p11(3) p12(3) p13(3) 0.496 0.252 0.252 p 3= p21(3) p22(3) p23(3) = p = 0.504 0.252 0.2

24、44 p31(3) p32(3) p33(3) 0.504 0.244 0.252 34)預(yù)測三個月后市場 0.496 0.252 0.252 s(3) = s(0)p3 =0.4 0.3 0.3 0.504 0.252 0.244 0.504 0.244 0.252 s1(3) = 0.40.496 +0.30.504 + 0.30.504 = 0.5008 s2(3) = 0.2496 s3(3) = 0.2496 長期市場占有率預(yù)測長期市場占有率預(yù)測:在馬爾可夫鏈中，已知系統(tǒng)的在馬爾可夫鏈中，已知系統(tǒng)的初始狀態(tài)初始狀態(tài)和和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，矩陣，就可推斷出系統(tǒng)在就可推斷出系統(tǒng)

25、在任意任意時刻可能所處的狀態(tài)。時刻可能所處的狀態(tài)?，F(xiàn)在需要研究當(dāng)現(xiàn)在需要研究當(dāng) k 不斷增大時，不斷增大時，p(k) 的變化趨勢。的變化趨勢。如果如果 p 為概率矩陣，且存在為概率矩陣，且存在 m0，使，使 pm 中諸元素皆非中諸元素皆非負(fù)非零。則稱負(fù)非零。則稱 p 為正規(guī)概率矩陣。為正規(guī)概率矩陣。均為正規(guī)概率矩陣。均為正規(guī)概率矩陣。p1為正規(guī)概率矩陣是明顯的（為正規(guī)概率矩陣是明顯的（m = 1） 120.40.601(1)0.60.40.40.6pp及p2是正規(guī)概率矩陣也也易于論證：是正規(guī)概率矩陣也也易于論證：是非正規(guī)概率矩陣。是非正規(guī)概率矩陣。平穩(wěn)分布平穩(wěn)分布如存在如存在非零向量非零向量

26、x=(x1，x2， ，xn)，使得：使得： x p = x2201010.40.60.40.60.40.60.240.76p110(2)0.50.5p 其中：其中：p為一概率矩陣為一概率矩陣 則稱則稱 x 為為 p 的固定概率向量。的固定概率向量。特別地，設(shè)特別地，設(shè) x=(x1，x2， ，xn) 為一為一狀態(tài)概率向量狀態(tài)概率向量， p為狀為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，若態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，若 x p = x即：即：稱稱 x 為該馬爾可夫鏈的一個為該馬爾可夫鏈的一個平穩(wěn)分布平穩(wěn)分布若隨機(jī)過程某時刻的狀態(tài)概率向量若隨機(jī)過程某時刻的狀態(tài)概率向量 p(k) 為平穩(wěn)分為平穩(wěn)分布，則稱過程處于平衡狀態(tài)布，則稱過程處于

27、平衡狀態(tài)。（。（x p = x）11,2,.,niijjix pxjn一旦過程處于平衡狀態(tài)，則經(jīng)過一步或多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移之后，一旦過程處于平衡狀態(tài)，則經(jīng)過一步或多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移之后，其狀態(tài)概率分布保持不變，也就是說，過程一旦處于平衡其狀態(tài)概率分布保持不變，也就是說，過程一旦處于平衡狀態(tài)后將永遠(yuǎn)處于平衡狀態(tài)。狀態(tài)后將永遠(yuǎn)處于平衡狀態(tài)。對于所討論的對于所討論的狀態(tài)有限狀態(tài)有限（即（即n個狀態(tài)）的馬爾可夫鏈，平穩(wěn)個狀態(tài)）的馬爾可夫鏈，平穩(wěn)分布必定存在。分布必定存在。特別地，當(dāng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為特別地，當(dāng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為正規(guī)概率矩陣正規(guī)概率矩陣時，平穩(wěn)時，平穩(wěn)分布唯一分布唯一。正規(guī)概率矩陣的這一性質(zhì)很有實用價值。正

28、規(guī)概率矩陣的這一性質(zhì)很有實用價值。 因為在市場占有率是達(dá)到平穩(wěn)分布時，顧客（或用戶）的因為在市場占有率是達(dá)到平穩(wěn)分布時，顧客（或用戶）的流動將對市場占有率不起影響。即各市場主體喪失的顧客流動將對市場占有率不起影響。即各市場主體喪失的顧客（或用戶）與爭取到的顧客相抵消（或用戶）與爭取到的顧客相抵消。 利用這一性質(zhì)，即可求得長期市場占有率利用這一性質(zhì)，即可求得長期市場占有率 因因p 是正規(guī)概率矩陣，求解如下方程組是正規(guī)概率矩陣，求解如下方程組 解得：解得： x=0.5,0.25,0.25，即為市場長期占有率311iixpxx第四節(jié) 期望利潤預(yù)測 是考慮:一個與經(jīng)濟(jì)有關(guān)隨機(jī)系統(tǒng)在進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移時,利潤

29、要發(fā)生相應(yīng)變化,例如商品連續(xù)暢銷到滯銷,顯然在這些過程變化時,利潤變化的差距是很大的. 所以有如下的定義: 若馬爾科夫鏈在發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移時,伴隨利潤變化,稱這個馬爾科夫鏈為帶利潤的馬爾科夫鏈. 設(shè)系統(tǒng)有n個狀態(tài) 狀態(tài)i經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j時(即當(dāng)事件發(fā)生時,pij = 1)所獲得的利潤為rij i,j = 1,2, n 于是有利潤矩陣 r11 r12 r1n r = r21 r22 r2n : : : rn1 rn2 rnn 顯然 ,rij 0 盈利 ;rij 0 虧損 ; rij = 0 平衡 由于系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移為隨機(jī)的,得到的利潤也應(yīng)當(dāng)是隨機(jī)的,這個利潤只能是期望利潤. 11、即時期望利潤(一

30、步狀態(tài)轉(zhuǎn)移期望利潤) 考慮狀態(tài) i 狀態(tài)轉(zhuǎn)移 i 1 i 2 i i i n 一步轉(zhuǎn)移概率 pi1 pi2 pii pin 利潤變化 ri1 ri2 rii rin 所以:從i轉(zhuǎn)到1的期望利潤值 p11r11 從i轉(zhuǎn)到2的期望利潤值 p12r12 : : 從i轉(zhuǎn)到i的期望利潤值 piirii : : 從i轉(zhuǎn)到n的期望利潤值 p1nr1n 而從狀態(tài)i開始經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移后所得到的期望利潤值為 pijrij = pi1ri1 + pi2ri2 pinrin 這個值稱為即時期望利潤,又是一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移期望利潤,是概率定義下的利潤均值. 記為 vi = vi = pijrij 特別地vi = 0 ,即當(dāng) k

31、 = 0, 未轉(zhuǎn)移,沒有利潤變化. 10 2. k步轉(zhuǎn)移期望利潤遞推公式 k步轉(zhuǎn)移期望利潤可以分解為兩步,即一步和k1步, 一步轉(zhuǎn)移期望利潤為vi = pijrij 現(xiàn)考慮k1步 首先,從0時刻到1時刻發(fā)生了一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移,假定 狀態(tài)已轉(zhuǎn)移1狀態(tài)(令pij = 1)后,從1狀態(tài)開始 k1 步轉(zhuǎn)移后達(dá)到期望利潤為v1k-1 . 而i狀態(tài)轉(zhuǎn)移到1狀態(tài)的發(fā)生概率為pi1 , 因此i狀態(tài)先轉(zhuǎn)移到1狀態(tài)后的k1步實際期望利潤為 pi1 v1k-1 k1 同理 i狀態(tài)先轉(zhuǎn)到2狀態(tài)后的k1步實際期望利潤為 pi2 v2 即:各實際期望利潤之和,構(gòu)成了初始狀態(tài)為i的 k1步轉(zhuǎn)移后的轉(zhuǎn)移期望利潤 : pijvj k步轉(zhuǎn)移期望利潤 vi = vi +p