重積分的復習

1、定定 義義幾何意義幾何意義性性 質質計算法計算法應應 用用二重積分二重積分定定 義義幾何意義幾何意義性性 質質計算法計算法應應 用用三重積分三重積分一、主要內容一、主要內容二重積分的定義二重積分的定義定義定義 設設),(yxf是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域 d 上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域 d 任意分成任意分成 n 個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域1 ，,2 ，,n 其中其中 i 表示第表示第 i 個小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每 個個 i 上任取一點上任取一點 ),(ii ，作乘積，作乘積 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并作和，并作和 iini

2、if ),(1， 如如果果當當各各小小閉閉區(qū)區(qū)域域的的直直徑徑中中的的最最大大值值 趨趨近近于于零零時時， 這這和和式式的的極極限限存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)),(yxf在在閉閉 區(qū)區(qū)域域 d 上上的的二二重重積積分分，記記為為 ddyxf ),(，即即 ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . 二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值值xzyod),(yxfz i ),(ii xzyo),(yxfz

3、 di ),(ii 二重積分的性質二重積分的性質性質性質 當當 k 為常數(shù)時，為常數(shù)時，.),(),( dddyxfkdyxkf 性質性質 ddyxgyxf ),(),(.),(),( dddyxgdyxf 性質性質對區(qū)域具有可加性對區(qū)域具有可加性.),(),(),(21 ddddyxfdyxfdyxf 性質性質 若若 為為d的面積，的面積，.1 dddd )(21ddd 性質性質若在若在d上上),(),(yxgyxf .),(),( dddyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( dddyxfdyxf 則有則有設設m、m分分別別是是),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域 d 上上的的最最大大 值值和

4、和最最小小值值， 為為 d 的的面面積積，則則 性質性質設設函函數(shù)數(shù)),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域d上上連連續(xù)續(xù)， 為為d的的面面 積積，則則在在d上上至至少少存存在在一一點點),( 使使得得 性質性質 dmdyxfm ),( ),(),(fdyxfd二重積分的計算二重積分的計算,:bxad ).()(21xyx x型型.),(),()()(21 dbaxxdyyxfdxdyxf （）直角坐標系下（）直角坐標系下.),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf ,:dycd ).()(21yxy y型型（）極坐標系下（）極坐標系下.)sin,cos()()(21 rdrrrfd dr

5、drdrrf )sin,cos(, ).()(21 r )(2 r)(1 raodd.)sin,cos()(0 rdrrrfd, ).(0 r drdrdrrf )sin,cos()( r aod d :d :doa drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd).(0 r)( r,20 d :注意：注意：當被積函數(shù)為當被積函數(shù)為),(22yxf 積分區(qū)域是圓或積分區(qū)域是圓或圓的一部分時，在極坐標系下化為二次積分，圓的一部分時，在極坐標系下化為二次積分，?？珊喕嬎恪３？珊喕嬎?。二重積分的應用二重積分的應用(1) (1) 體積體積之之間間直直柱柱體體的的

6、體體積積與與區(qū)區(qū)域域在在曲曲面面dyxfz),( ddxdyyxfv.),(設設s曲面的方程為：曲面的方程為：).,(yxfz 曲面曲面s的面積為的面積為;122dxdyyzxzaxyd (2) (2) 曲面積曲面積(3) (3) 重心重心當薄片是均勻的，重心稱為當薄片是均勻的，重心稱為形心形心. .,1 dxdax .1 dyday dda 其其中中,),(),( dddyxdyxxx .),(),( dddyxdyxyy 設設有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域d，在在點點 ),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在d上上連連 續(xù)續(xù)

7、，平平面面薄薄片片的的重重心心 薄片對薄片對軸上單位質點的引力軸上單位質點的引力設設有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域d，在在點點 ),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在d上上連連 續(xù)續(xù)，計計算算該該平平面面薄薄片片對對位位于于 z軸軸上上的的點點 ), 0 , 0(0am處處的的單單位位質質點點的的引引力力)0( a ,zyxffff ,)(),(23222 dayxxyxgfdx ,)(),(23222 dayxyyxgfdy .)(),(23222 dayxyxagfdz g 為引力常數(shù)為引力常數(shù)(4) (4) 引力引力d二

8、、典型例題二、典型例題例例1 1解解圍成圍成由由其中其中計算計算2,1,.22 xxyxyddyxd x-型型 xxddyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 ,121:xyxxd例例2 2解解. 10, 11:.2 yxddxyd其其中中計計算算 1d2d3d先去掉絕對值符號，如圖先去掉絕對值符號，如圖 dxydyxdxydddd 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 )0( .),(22202 adyyxfdxiaxxaxa更更換換積積分分次次序序例例3 3解解 ,22,20:2axyxaxax

9、d,321三三部部分分及及分分成成將將積積分分區(qū)區(qū)域域dddd2d1d3d;0,2:2221ayyaaxayd ;2,22:22ayaaxayd ;0,2:223ayaxyaad .),(),(),(20222020222222 ayaaaaayayaaayadxyxfdydxyxfdydxyxfdyi故故例例4 4解解）所所圍圍的的面面積積（取取圓圓外外部部和和圓圓是是由由心心臟臟線線其其中中計計算算ararddyxd )cos1(.22 )cos1(2222aadrdrrddyx 22331)cos1(31da).2922(3 a例例5 5解解所圍成所圍成及及由由其中其中計算計算00, 1

10、.)cos( yxyxddxdyyxyxid,yxvyxu 令令.2,2uvyvux 則則,dd dxyo1 yxd uvovu vu 1 v. 11;0;0 vyxvuyvux即即),(),(vuyxj ,2121212121 ddudvjvuicos故故 vvduvudvcos2110. 1sin211sin22110 vdv例例6 6.)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx證證明明 證證 bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22 babynyxndyyf)(11)(1.)()(111 bandyyfybndxy bbaa例

11、例7 7組成的三棱錐臺組成的三棱錐臺是由六個頂點是由六個頂點，其中，其中計算計算)4 , 2 , 2(),0 , 2 , 2(),0 , 0 , 2(),2 , 1 , 1(),0 , 1 , 1(),0 , 0 , 1(:122fedcbadvyx 解解,abedxoy 面面上上的的投投影影為為梯梯形形在在 為頂?shù)闹w為頂?shù)闹w以梯形以梯形為底，為底，是以梯形是以梯形acfdabed ,軸軸所在平面過所在平面過梯形梯形xacfd, 0 zy 設設其其方方程程為為xyzcafedbo. 02,)2 , 1 , 1( yzc得得其其方方程程為為點點又又因因過過. 21;0;20: xxyyz y

12、xdzdyyxdxdvyx20022212211 xdyyxydx022212 2122ln)2ln(dxxx. 2ln 例例8 8所所圍圍成成的的與與由由其其中中，計計算算22221)(yxzyxzdvzx 解解利用球面坐標利用球面坐標奇奇函函數(shù)數(shù)，的的為為面面為為對對稱稱，關關于于xxzyxfyoz ),(. 0 xdv有有 zdvdvzx)( 1024020sincosdrrrdd.8 例例. 1:222 zyxdvez，計計算算 解解法法，故故采采用用先先二二后后一一為為圓圓域域的的函函數(shù)數(shù)，截截面面被被積積函函數(shù)數(shù)僅僅為為2221)(zyxzdz 上上dvedvezz2 10)(2d

13、zedxdyzzd 102)1(2dzezz.2 例例1010.)()(21)(02000 xxvudttftxdvdudttf證證明明 證證思路：從改變積分次序入手思路：從改變積分次序入手 vvtvudutfdtdttfdu000)()( vdttftv0,)()( xvxvudttftvdvdvdudttf00000)()()( xxtdvtftvdt0)()(.)()(2102 xdttftx思考與練習思考與練習1.1. ),( d化為二次積分化為二次積分將將 dyxf ; 1 , 1 ,1 )1(圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域由由直直線線 yxyxy; 1 , )2(22圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)

14、域域由由拋拋物物線線xyxy . 0 ,2 ,4 )3(22圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域由由 xxxyxy.2 )4(2xxyx 閉區(qū)域閉區(qū)域2. 改變下列二次積分的積分次序：改變下列二次積分的積分次序：; ),( )1(2121dyyxfdxx . ),( )2(221110dxyxfdyyy 1.1. ),( d化為二次積分化為二次積分將將 dyxf ; 1 , 1 ,1 : )1(圍圍成成 yxyxyd解解d 是是 y型。型。將將 d 向向 y 軸投影。軸投影。 . 10,11 :yyxyd dxdyyxf ),(ddxyxfyy ),(11 10 dy; 1 , : )2(22圍成圍成xy

15、xyd oxy11 121xy 2xy oxy121xy 11 xy求交點：求交點： .1,22xyxy于是，于是， .1 ,2222 :22xyxxdd 是是 x型。型。將將 d 向向 x 軸投影。軸投影。得得).21 ,22( )21 ,22(， ; 1 , : )2(22圍成圍成xyxyd oxy11 121xy 2xy 求交點：求交點： .1,22xyxy2222 dxdyyxf ),(ddyyxfxx ),(221 2222 dx. 0 ,2 ,4 : )3(22圍圍成成 xxxyxydoxy1222xxy 24xy 2在極坐標系中，閉區(qū)域在極坐標系中，閉區(qū)域d 可表示為可表示為.

16、2cos2 r ,20 d ),( dyxf ddrdrrrf )sin ,cos(. )sin ,cos(2cos220 drrrrfd sincosryrxoa cos2 r2 r于是，于是， dxdyyxf ),(ddyyxfxx ),(221 2222 dx.2 : )4(2xxyxd ddrdrrrf )sin ,cos(. )sin ,cos(2cos220 drrrrfd sincosryrxoa cos2 rxy1122xxy xy 2o在極坐標系中，在極坐標系中，d 可表示為可表示為.cos20 r,24 d ),( dyxf ddrdrrrf )sin ,cos(. )si

17、n ,cos(cos2024 drrrrfd2. 改變下列二次積分的積分次序：改變下列二次積分的積分次序：; ),( )1(2121dyyxfdxx . ),( )2(221110dxyxfdyyy 解解(1) 積分區(qū)域為積分區(qū)域為 .1, 21 :2xyxd . 41, 2 :yxyd 2121 ),( xdyyxfdx d),( dyxf. ),( 241 ydxyxfdy將將 d 向向 y 軸投影。軸投影。oxy1212xy 4積分區(qū)域為積分區(qū)域為 . 10 ,11 :22yyxyd .10, 11 :2xyxd將將 d 向向 x 軸投影軸投影,. ),( )2(221110dxyxfd

18、yyy xy11o1 122 yx dxyxfdyyy ),(221110. ),( 21011 xdyyxfdx d),( dyxf3.3.圍圍成成由由其其中中計計算算2,1, .22 xxyxyddyxd 4.4. 10, 11: .2 yxddxyd其其中中計計算算 5.5.sin 21231 xdyydx計計算算6.6. )cos1( . 22）所所圍圍的的面面積積（取取圓圓外外部部線線和和心心臟臟是是由由圓圓其其中中計計算算 ararddyxd7.)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx證證明明3.3.解解圍圍成成由由其其中中計計算算2,1,.22 x

19、xyxyddyxd dyxd22dxyxxx1212 213)(dxxx.49 . ,1, 21 :xyxxdd 是是 x型。型。將將 d 向向 x 軸投影。軸投影。oxyxy 22 xxy1 1 xxdyyxdx12221解解先去掉絕對值符號，先去掉絕對值符號，4.4. 10, 11: .2 yxddxyd其其中中計計算算 1d時，時，當當 2yx . 02 xy . 1, 11 : 21yxxd記記時，時，當當 2xy . 02 xy .0, 11 : 22xyxd記記2d dxydxydxyddd 21 )( )( 222oxy11 1 2202111211)()(xxdyyxdxdyx

20、ydx.1511 . 1, 11 : 21yxxd記記時，時，當當 2xy . 02 xy .0, 11 : 22xyxd記記 dxydxydxyddd 21 )( )( 222 11411242 )212(dxxdxxx5.5.sin 21231 xdyydx計計算算解解積分區(qū)域為積分區(qū)域為 . 21, 31 :yxxd . 20,11 :yyxd將將 d 向向 y 軸投影。軸投影。oxy1221 xy3dxdyydyydxdx 221231sinsin ydxydy11220sin 202sindyyy.24cos1 解解 drdrrdyxdd 22 6.6. )cos1( . 22）所所

21、圍圍的的面面積積（取取圓圓外外部部線線和和心心臟臟是是由由圓圓其其中中計計算算 ararddyxd在極坐標系中，閉區(qū)域在極坐標系中，閉區(qū)域d 可表示為可表示為).cos1( ara,22 )cos1(22 aardrrdoaa2a2 2 22331)cos1(31 da).2922(3 a drdrrdyxdd 22 )cos1(22 aardrrd 證證7.)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx證證明明積分區(qū)域為積分區(qū)域為 ., :xyabxad ., :byabxyd將將 d 向向 y 軸投影。軸投影。oxyaxy bab dyfyxdyyfyxdxdnx

22、anba )()()()(22 dyyxnyfbabyn 1)(11)(.)()(111 bandyyfybn bynbadxyfyxdy)()(2 ., :byabxyd dyfyxdyyfyxdxdnxanba )()()()(22 8.8.10.10. )(3 4 2222所所圍圍成成的的立立體體的的表表面面積積和和錐錐面面求求由由上上半半球球面面yxzyxz . 6 4 2vyxz限限上上的的體體積積所所圍圍成成的的立立體體在在第第一一掛掛及及三三個個坐坐標標面面，平平面面求求由由拋拋物物柱柱面面 9.9.1 部部分分的的面面積積的的有有限限，被被三三個個坐坐標標面面所所割割出出求求平

23、平面面 czbyax8.8. 6 4 2vyxz限限上上的的體體積積所所圍圍成成的的立立體體在在第第一一掛掛及及三三個個坐坐標標面面，平平面面求求由由拋拋物物柱柱面面 oxyz426解解 所求立體可以看成是一個所求立體可以看成是一個曲頂柱體，它的曲頂為曲頂柱體，它的曲頂為,42xz . 60, 20:yxd底為底為于是，于是， dxvd )4(2 dyxdx 60220 )4( 20602)4( dxyx 202)4(6dxx.32 9.9.).0 , 0 , 0( 1 cbaczbyax部分的面積部分的面積的有限的有限，被三個坐標面所割出，被三個坐標面所割出求平面求平面oxyzcab221

24、yzxz 解解,1222222cacbbaab 平面方程平面方程. ybcxaccz ,acxz ,bcyz axyoxydbdxdyyzxzaxyd 122 所求面積所求面積221 yzxz ,1222222cacbbaab axyoxydbdxdyyzxzaxyd 122 所求面積所求面積dxdycacbbaabxyd 2222221abcacbbaab211222222 .21222222cacbba 10.10. )(3 4 2222所所圍圍成成的的立立體體的的表表面面積積和和錐錐面面求求由由上上半半球球面面yxzyxz xyzo解解所求表面分成所求表面分成和和，如圖。，如圖。第一塊（

25、第一塊（ ）在半球面）在半球面上上， 422yxz 第二塊（第二塊（ ）在錐面）在錐面, )(322上上yxz 記為記為 a。記為記為 a 。.面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域先先求求它它們們在在 xoy , )(3,4 2222yxzyxz由由. 1 :22 yxdxy.面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域先先求求它它們們在在 xoy , )(3,4 2222yxzyxz由由, 122 yxz 得得投投影影柱柱面面消消去去xyzo因此，曲面因此，曲面和和在在 xoy 面上面上的投影區(qū)域均為圓域：的投影區(qū)域均為圓域：xoy11xyda的曲面方程為的曲面方程為， 422yxz 221 yzxz ,4222y

26、x dxy 極坐標系下表示：極坐標系下表示：,20 . 10 r xyddxdyyx2242dxdyyzxzxyd 122 aao1xyda的曲面方程為的曲面方程為， 422yxz 221 yzxz ,4222yx a xyddxdyyx2242 xydrdrdr 242a xyddxdyyx2242 xydrdrdr 242 1022042drrrd ).32(4 dxdyyzxzxyd 122 aa 的曲面方程為的曲面方程為221 yzxz , 2 , )(322yxz xyddxdy2xoy11xyd.2 所求面積所求面積 a = a+ a).325(2 一、選擇題一、選擇題: : 1

27、1、 xdyyxfdx1010),(=( )=( ) (a) (a) 1010),(dxyxfdyx； (b) (b) xdxyxfdy1010),(； (c) (c) 1010),(dxyxfdy； (d) (d) ydxyxfdy1010),(. . 2 2、設、設d為為222ayx , ,當當 a( )( )時時, , ddxdyyxa222. . (a) 1 (a) 1 ； (b) (b) 323 ； (c) (c) 343； (d) (d) 321 . .測測 驗驗 題題 3 3、當、當d是是( )( )圍成的區(qū)域時圍成的區(qū)域時, ,二重積分二重積分 ddxdy=1.=1. (a)

28、(a)x軸軸, ,y軸及軸及022 yx；( (b)b)31,21 yx ； (c) (c)x軸軸, ,y軸及軸及3, 4 yx；(d)(d). 1, 1 yxyx 4 4、 dxydxdyxe的值為的值為( ).( ).其中區(qū)域為其中區(qū)域為d 01, 10 yx. . (a) (a) e1 ； (b) (b) e ； (c) (c) e1 ； (d) 1 . (d) 1 . 5 5、設設 ddxdyyxi)(22, ,其其中中d由由222ayx 所所 圍圍成成, ,則則i= =( ( ) ). . ( (a a) )40220ardrada ; ;( (b b) )4022021ardrrd

29、a ; ; ( (c c) )3022032adrrda ; ;( (d d) )402202 aadrada . . 6 6、設設 是是由由三三個個坐坐標標面面與與平平面面zyx 2= =1 1 所所圍圍成成的的 空空間間區(qū)區(qū)域域, ,則則 xdxdydz= =( ( ) ). . ( (a a) ) 481 ； ( (b b) ) 481 ； ( (c c) ) 241 ； ( (d d) ) 241 . . 7 7、設、設 是錐面是錐面, 0(222222 abyaxcz)0, 0 cb與平面與平面 czyx , 0, 0所圍成的空間區(qū)域在第一卦限所圍成的空間區(qū)域在第一卦限的的 部分部分

30、, ,則則 dxdydzzxy=( ).=( ). (a) (a) cba22361； (b) (b) bba22361； (c) (c) acb22361； (d) (d) abc361. . 8 8、計算、計算 zdvi, ,其其1,222 zyxz為為中中圍成的圍成的 立體立體, ,則正確的解法為則正確的解法為( )( )和和( ).( ). 9 9、曲面、曲面22yxz 包含在圓柱包含在圓柱xyx222 內部的那內部的那 部分面積部分面積 s( ).( ).(a)(a) 3； (b) (b) 2；(c)(c) 5； (d) (d) 22. . 10 10、由直線、由直線2, 2, 2

31、yxyx所圍成的質量分布均勻所圍成的質量分布均勻 ( (設面密度為設面密度為 ) )的平面薄板的平面薄板, ,關于關于x軸的轉動慣量軸的轉動慣量 xi= =( ).( ). (a) (a) 3； (b) (b) 5； (c) (c) 4； (d) (d) 6. . (a) (a) 101020zdzrdrdi；(b)(b) 11020rzdzrdrdi； (c) (c) 11020rrdrdzdi； (d) (d) zzrdrddzi02010. .二、計算下列二重積分二、計算下列二重積分: : 1 1、 ddyx )(22, ,其中其中d是閉區(qū)域是閉區(qū)域: : .0 ,sin0 xxy 2 2、 ddxy arctan, ,其中其中d是由直線是由直線0 y及圓周及圓周 1, 42222 yxyx, ,xy 所圍成的在第一象所圍成的在第一象 限內