高考數(shù)學(xué)百大經(jīng)典例題詳解：任意角的三角函數(shù)

1、例1 下列說法中，正確的是 a第一象限的角是銳角b銳角是第一象限的角c小于90的角是銳角d0到90的角是第一象限的角【分析】本題涉及了幾個基本概念，即“第一象限的角”、“銳角”、“小于90的角”和“0到90的角”在角的概念推廣以后，這些概念容易混淆因此，弄清楚這些概念及它們之間的區(qū)別，是正確解答本題的關(guān)鍵【解】第一象限的角可表示為|k36090k360，kz，銳角可表示為|090，小于90的角為|90，0到90的角為|090因此，銳角的集合是第一象限角的集合當k=0時的子集，故(a)，(c)，(d)均不正確，應(yīng)選(b)(90)分別是第幾象限角？【分析】 由sincos0，所以在二、四象限；由s

2、intan0，所以在二、三象限因此為第二象限的角，然后由角的【解】(1)由題設(shè)可知是第二象限的角，即90k360180k360(kz)，的角(2)因為 1802k36023602k360(kz)，所以2是第三、第四象限角或終邊在y軸非正半軸上的角(3)解法一：因為 90+k360180k360(kz)，所以 180k36090k360(kz)故 90k36090k360(kz)因此90是第四象限的角解法二：因為角的終邊在第二象限，所以的終邊在第三象限將的終邊按逆時針旋轉(zhuǎn)90，可知90的終邊在第四象限內(nèi)【說明】在確定形如k180角的象限時，一般要分k為偶數(shù)或奇數(shù)討論；確定象限時，k與k是等效的例

3、3 已知集合e=|cossin，02，f=|tansin，那么ef是區(qū)間 【分析】 解答本題必須熟練掌握各個象限三角函數(shù)的符號、各個象限的三角函數(shù)值隨角的變化而遞增或遞減的變化情況可由三角函數(shù)的性質(zhì)判斷，也可由三角函數(shù)線判斷用代入特殊值排除錯誤答案的方法解答本題也比較容易【解法一】 由正、余弦函數(shù)的性質(zhì)，【解法二】由單位圓中的正弦線和正切線容易看出，對于二、四象限的角，atmp，即tansin，由正弦線和余弦線可看出，當應(yīng)選(a)可排除(c)，(d)，得(a)【說明】本題解法很多，用三角函數(shù)線還可以有以下解法：因為第一、三象限均有atmp，即tansin，所以(b)，(c)，(d)均不成立用排

4、除法也有些別的方法，可自己練習(xí)例 4 (1)已知角終邊上一點p(3k，4k)(k0)，求sin，cos，tan的值；【分析】利用三角函數(shù)的定義進行三角式的求值、化簡和證明，是三兩個象限，因此必須分兩種情況討論【解】(1)因為x3k，y=4k，例5 一個扇形的周長為l，求扇形的半徑、圓心角各取何值時，此扇形的面積最大【分析】解答本題，需靈活運用弧度制下的求弧長和求面積公式本題是求扇形面積的最大值，因此應(yīng)想法寫出面積s以半徑r為自變量的函數(shù)表達式，再用配方法求出半徑r和已知周長l的關(guān)系【解】設(shè)扇形面積為s，半徑為r，圓心角為，則扇形弧長為l2r所以【說明】在學(xué)習(xí)弧度制以后，用弧度制表示的求弧長與扇

5、形面積公形的問題中，中心角用弧度表示較方便本例實際上推導(dǎo)出一個重要公式，即當扇形周長為定值時，怎樣選取中心角可使面積得到最大值本題也可將面積表示為的函數(shù)式，用判別式來解【分析】第(1)小題因在第二象限，因此只有一組解；第(2)小題給了正弦函數(shù)值，但沒有確定角的象限，因此有兩組解；第(3)小題角可能在四個象限或是軸線角，因此需分兩種情況討論【解】(3)因為sin=m(|m|1)，所以可能在四個象限或的終邊在x軸上例7(1)已知 tan=m，求sin的值；【分析】(1)已知tan的值求sin或cos，一般可將tan母都是sin和cos的同次式，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan的式子求值，轉(zhuǎn)化的方法是將分子、分母

6、同除以cos(或cos2，這里cos0)，即可根據(jù)已知條件求值【說明】 由tan的值求sin和cos的值，有一些書上利用公很容易推出，所以不用專門推導(dǎo)和記憶這些公式，這類問題由現(xiàn)有的關(guān)系式和方法均可解決函數(shù)的定義來證明由左邊=右邊，所以原式成立【證法三】(根據(jù)三角函數(shù)定義)設(shè)p(x，y)是角終邊上的任意一點，則左邊=左邊，故等式成立例9 化簡或求值：【分析】 解本題的關(guān)鍵是熟練地應(yīng)用正、余弦的誘導(dǎo)公式和記住特殊角的三角函數(shù)值=sincos(因為為第三象限角)例10 (1)若 f(cos x)=cos9x，求f(sin x)的表達式； 【分析】在(1)中理解函數(shù)符號的含義，并將f(sin x)化成f(cos(90x)是充分利用已