線性代數(shù)綜合考試試卷

1、最新線性代數(shù)復(fù)習(xí)試題 （原二教文印中心）現(xiàn)在搬遷至學(xué)生活動中心樓下 最新線性代數(shù)復(fù)習(xí)資料 （原二教文印中心）現(xiàn)在已搬遷至學(xué)生活動中心樓下線訂裝線考試試卷20132014學(xué)年度第 一 學(xué)期 線性代數(shù) 試卷（a卷）適用年級專業(yè)：2013級理工本科考 試 形 式：（ ）開卷、（ ）閉卷二級學(xué)院： 行政班級： 學(xué) 號： 教 學(xué) 班： 任課教師： 姓 名： 注：學(xué)生在答題前，請將以上內(nèi)容完整、準(zhǔn)確填寫，填寫不清者，成績不計。題號一二三四五六七八總分統(tǒng)分人得分得分閱卷人一、選擇題（每小題 3 分，共 15分。請將答案填在下面的表格內(nèi)）1、下列行列式中，等于零的是（ ）。（a） （b） （c）（d）2、設(shè)三

2、階矩陣a,，則=（ ）。 （a）（b）（c）（d）3、設(shè)矩陣，下列結(jié)果不是階方陣的是（ ）。（a）（b）（c） （d）4、n個向量線性無關(guān)，去掉一個向量，則剩下的n1個向量（ ）。 （a）線性相關(guān) （b）線性無關(guān) （c）和原向量組等價 （d）無法確定其線性關(guān)系5、設(shè)矩陣且的特征值為，則=（ ）。（a）4（b）3（c）2（d）1得分閱卷人二、填空題（每題3分，共15分）1、排列453162的逆序數(shù)為 。2、設(shè)a、b均為3階方陣，且，則= 。3、設(shè)=（2，0，1），b=（2，1），則= 。4、向量組的秩為 。5、3階方陣的特征值為則= 。得分閱卷人三、計算行列式或矩陣（每題8分，共 24 分）1、

3、計算行列式 2、解矩陣方程3、設(shè)，求。得分閱卷人4、 計算題（本題共12分）已知矩陣求的列向量組的秩及其一個最大無關(guān)組，并將不屬于該最大無關(guān)組的向量用最大無關(guān)組線性表示。得分閱卷人五、計算題（本題共12分）求非齊次線性方程組的通解。得分閱卷人六、計算題（本題共14分）已知矩陣,（1）求矩陣特征值與特征向量；（2）求正交陣，使得為對角陣，并寫出相應(yīng)的對角陣。得分閱卷人七、計算題（本題共8分）設(shè)二次型,求二次型的矩陣及二次型的秩.20132014學(xué)年度第 一 學(xué)期 線性代數(shù) 試卷（a卷）評閱標(biāo)準(zhǔn)及考核說明適用年級專業(yè)：2013級理工本科考 試 形 式：（ ）開卷、（ ）閉卷得分閱卷人一、教師答題時

4、間： 5 分鐘 選擇題（每小題 3 分，共15分）1、三基類c 2、三基類 b 3、三基類a 4、三基類b 5、三基類d得分閱卷人二、教師答題時間： 5 分鐘填空題（每題 3 分，共 15 分）1、三基類 2、三基類 3、三基類 4、三基類 5、三基類 得分閱卷人三、計算題 （每題 8分，共 24分）1、三基類教師答題時間： 3 分鐘答： （3分） （5分）2、三基類教師答題時間： 3 分鐘 答：設(shè)顯然矩陣可逆，故 （2分）又因為 （4分）所以 （2分）3、三基類教師答題時間： 3 分鐘答： （8分）得分閱卷人四、計算題（本題共12分）一般綜合型教師答題時間： 6 分鐘 答：記 （1分）則 （

5、6分）所以的列向量組的秩為3 （1分）的列向量組的一個最大無關(guān)組為 （2分）并且； （2分）得分閱卷人五、計算題（本題共12分）一般綜合型教師答題時間： 6 分鐘 解：記非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為，常數(shù)項為，則 （1分） （6分）所以對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系為； （2分）非齊次線性方程組的一個特解為 （2分）所以方程組的通解為： （1分）得分閱卷人六、計算題（本題共14分）綜合型教師答題時間： 10 分鐘 答：（1）的特征多項式為所以的特征值為 （3分）當(dāng)時，解方程。由得基礎(chǔ)解系，所以是對應(yīng)于的全部特征向量。 （2分）當(dāng)時，解方程。由得基礎(chǔ)解系，所以是對應(yīng)于的全部特征向量。 （2分）當(dāng)時，

6、解方程，即。由得基礎(chǔ)解系，所以是對應(yīng)于的全部特征向量。 （2分）（2）因為是矩陣的不同的特征值的特征向量，所以為正交向量組。 對它們進(jìn)行單位化：令，則為正交陣 （3分）且。 （2分）得分閱卷人七、計算題（本題共8分）三基類教師答題時間： 5 分鐘解: 由 , （2分）可得二次型的矩陣為: . （2分）又由, （2分）得,故二次型的秩為3. （2分）攀枝花學(xué)院考試試卷20132014學(xué)年度第 一 學(xué)期 線性代數(shù) 試卷（b卷）適用年級專業(yè)：2013級理工本科考 試 形 式：（ ）開卷、（ ）閉卷二級學(xué)院： 行政班級： 學(xué) 號： 教 學(xué) 班： 任課教師： 姓 名： 注：學(xué)生在答題前，請將以上內(nèi)容完整

7、、準(zhǔn)確填寫，填寫不清者，成績不計。題號一二三四五六七總分統(tǒng)分人得分得分閱卷人一、選擇題（每小題 3 分，共 15分。請將答案填在相應(yīng)括號內(nèi)）1、設(shè)為階方陣，且，則矩陣的行列式=（ ）。a、6b、-6c、d、2、行列式，則=（ ）。a、0b、1c、2d、33、個維向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的充分必要條件（ ）。a、中都不是零向量b、不都是零向量c、中任一個向量均可用該組的其余向量線性表示d、中至少有一個向量可用該組的其余向量線性表示4、使 ，都是線性方程組的解，只要系數(shù)矩陣為（ ）。a、 b、 c、 d、5、階方陣有個不同特征值是能相似對角化的（ ）條件。a、充分非必要b、必要非充分c、充分必要d

8、、既非充分也非必要得分閱卷人二、填空題（每題3分，共15分）1、5階行列式展開式中項的符號是 。2、設(shè)矩陣，則=。3、若向量組可由向量組線性表示，則。4、已知線性方程組有唯一解，則= 。5、3階方陣的特征值為則= 。得分閱卷人三、計算行列式或矩陣（每題8分，共 24 分）1、求 2、已知，求3、設(shè)，向量滿足，求向量。得分閱卷人四、計算題（本題共12分）已知矩陣求的列向量組的秩及其一個最大無關(guān)組，并將不屬于該最大無關(guān)組的向量用最大無關(guān)組線性表示。得分閱卷人五、計算題（本題共12分）設(shè)線性方程組，若增廣矩陣問滿足什么條件時：（1）方程組有唯一解；（2）方程組無解；（3）方程組有無窮多解，并求方程組

9、有無窮多解時的通解。得分閱卷人六、計算題（本題共14分）已知矩陣（1）求矩陣特征值與特征向量；（2）求正交陣，使得為對角陣，并寫出相應(yīng)的對角陣。得分閱卷人七、計算題（本題共8分）設(shè)二次型,求二次型的矩陣及其秩。20132014學(xué)年度第 一 學(xué)期 線性代數(shù) 試卷（b卷）評閱標(biāo)準(zhǔn)及考核說明適用年級專業(yè)：2013級理工本科考 試 形 式：（ ）開卷、（ ）閉卷得分閱卷人一、教師答題時間： 5 分鐘 選擇題（每小題 3 分，共15分。請將答案填在相應(yīng)括號內(nèi)）1、三基類c 2、三基類b 3、三基類d 4、三基類a 5、三基類a得分閱卷人二、教師答題時間： 5 分鐘填空題（每題 3 分，共 15 分）1、

10、三基類 負(fù)號 2、三基類 3、三基類 4、三基類35、三基類 24得分閱卷人三、計算題 （每題 8分，共 24分）1、三基類教師答題時間： 3 分鐘答： （4分） （4分）2、三基類教師答題時間： 3 分鐘 答： （3分） （3分）所以 （2分）3、三基類教師答題時間： 3 分鐘答：由得 （3分）所以 （5分）得分閱卷人四、計算題（本題共12分）一般綜合型教師答題時間： 6 分鐘 答：記 （1分）則 （6分）所以的列向量組的秩為3； （1分）的列向量組的一個最大無關(guān)組為； （2分）并且； 。 （2分）得分閱卷人五、計算題（本題共12分）一般綜合型教師答題時間： 6 分鐘 解：當(dāng)時,，此時方程組

11、有唯一解； （2分）當(dāng)且時，此時方程組無解； （2分） 且時，此時方程組有無窮多解。 （2分） （4分）所以方程組的通解為： （2分）得分閱卷人六、計算題（本題共14分）綜合型教師答題時間： 10 分鐘 答：（1）的特征多項式為所以的特征值為 （3分）當(dāng)時，解方程。由得基礎(chǔ)解系，所以是對應(yīng)于的全部特征向量； （2分）當(dāng)時，解方程。由得基礎(chǔ)解系，所以是對應(yīng)于的全部特征向量； （2分）當(dāng)時，解方程。由得基礎(chǔ)解系，所以是對應(yīng)于的全部特征向量。 （2分）（2）因為是矩陣的不同的特征值的特征向量，所以為正交向量組。對它們進(jìn)行單位化：令 （3分），則為正交陣 （1分）且。 （1分）得分閱卷人七、計算題（本

12、題共8分）三基類教師答題時間： 5 分鐘 解: 將原二次型化為 （2分）可得二次型的矩陣 . （2分）又由 , （2分）得,故二次型的秩為3. （2分）線訂裝線攀枝花學(xué)院考試試卷20122013 學(xué)年度第 二 學(xué)期線性代數(shù)試卷（ a 卷）適用年級專業(yè)：2012級理工經(jīng)管類本科教學(xué)班考 試 形 式：（ ）開卷、（ ）閉卷二級學(xué)院： 行政班級： 學(xué) 號： 教 學(xué) 班： 任課教師： 姓 名： 注：學(xué)生在答題前，請將以上內(nèi)容完整、準(zhǔn)確填寫，填寫不清者，成績不計。題號一二三四五六七八總分統(tǒng)分人得分得分閱卷人一、填空題（每小題 2 分，共 10 分）：1、排列5173642的逆序數(shù)為_.2、已知四階行列式

13、的第二行元素分別為 ，他們的代數(shù)余子式分別為，則行列式=.3、設(shè)為4階方陣，且，則 .4、設(shè)是矩陣，且線性方程組有唯一解，則的列向量組線性 .5、如果一個二次型的標(biāo)準(zhǔn)型為，則此二次型的秩為 .得分閱卷人二、選擇題（每題 2分，共 10 分，每題只有一個正確答案）：1、若階矩陣互換第一, 二行后得矩陣, 則必有（ ）.； ； ； .2、設(shè)為同階方陣，為單位矩陣，若，則下列各式中總成立的是（ ）.； ； ； .3、 設(shè)是非齊次線性方程組對應(yīng)的齊次線性方程組，那么下列敘述正確的是（ ）.如果只有零解，那么有唯一解;如果有非零解，那么有無窮多個解;如果有無窮多個解, 那么只有零解; 如果有無窮多個解,

14、 那么有非零解.4、設(shè)4階矩陣的特征值為2、2、3、-1，則（ ）. 6； -6； 12； -12.5、設(shè)矩陣為正交陣，下列說法錯誤的是（ ）.； ； 的列向量為單位向量；.得分閱卷人三、計算題（每題8分，共 32分）：1、計算行列式 .2、已知, 求.3、已知，求矩陣.4、已知齊次線性方程組有非零解, 其中, 求的值.得分閱卷人四、證明題（共8分）已知向量組線性無關(guān)，若向量組滿足： ， ， ；判斷向量組的線性相關(guān)性.得分閱卷人五、（共 10分）求矩陣對應(yīng)的列向量組的秩，并求一個最大無關(guān)組 .得分閱卷人六、（共 10分）設(shè)三元非齊次線性方程組,若,且是兩個已知解向量,求的通解.得分閱卷人七、（

15、共 10分）已知方陣的特征值為1）求的值；2）判斷是否可以對角化.得分閱卷人八、（共 10分）已知二次型： ，用正交變換化此二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并求正交變換矩陣.20122013 學(xué)年度第 二 學(xué)期線性代數(shù)試卷（ a 卷）評閱標(biāo)準(zhǔn)及考核說明適用年級專業(yè)：2012級理工經(jīng)管類本科教學(xué)班考 試 形 式：（ ）開卷、（ ）閉卷得分閱卷人一、填空題三基類 教師答題時間： 2分鐘（每小題 2分，共 10 分）1、12; 2、1; 3、8; 4、無關(guān); 5、3.得分閱卷人二、選擇題三基類 教師答題時間： 2分鐘（每題2分，共 10分）1、c； 2、a; 3、d； 4、d； 5、a；得分閱卷人三、計算題三基類教

16、師答題時間： 15 分鐘（每題8分，共32分），1、解：由= （2分）. （6分）2、解： （3分） . （5分）3、解： （3分） （3分）. （2分）4、解： 由 , （5分）即 , （2分）得 . （1分）得分閱卷人四、證明題三基類 教師答題時間： 5分鐘（8分）證明：由， （2分）由，可逆，故兩個向量組可相互線性表出,因此兩個向量組等價. （3分）由向量組線性無關(guān)，得,有, （2分）故向量組線性無關(guān) . （1分） 得分閱卷人五、 一般綜合型 教師答題時間： 5分鐘（10分）解：由，（4分）故向量組的秩為2， （3分）最大無關(guān)組為和. （3分） 得分閱卷人六、 一般綜合型 教師答題時間：

17、 5分鐘（10分） 解: 由得的基礎(chǔ)解系含一個非零向量, .（4分）故 為的基礎(chǔ)解系. .（4分）從而的通解: ,為任意常數(shù). .（2分） 得分閱卷人七、 一般綜合型 教師答題時間： 5分鐘（10分） 解：1）由已知, （3分） 得 (2分) 2）當(dāng)時，由， （2分）得 ，故對應(yīng)兩個線性無關(guān)的特征向量，(2分)故 可以對角化. （1分）得分閱卷人八、 綜合型 教師答題時間：10分鐘（10分）解: 由(2分)令得。 (2分)對應(yīng)特征向量為,. (3分)單位化，得令()= (2分)由正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，為。 (1分)線訂裝線攀枝花學(xué)院考試試卷20122013學(xué)年度第 二 學(xué)期線性代數(shù)試卷

18、（ b 卷）適用年級專業(yè)：2012級理工經(jīng)管類本科教學(xué)班考 試 形 式：（ ）開卷、（ ）閉卷二級學(xué)院： 行政班級： 學(xué) 號： 教 學(xué) 班： 任課教師： 姓 名： 注：學(xué)生在答題前，請將以上內(nèi)容完整、準(zhǔn)確填寫，填寫不清者，成績不計。題號一二三四五六七八總分統(tǒng)分人得分得分閱卷人一、填空題（每小題 2 分，共 10 分）：1、已知行列式，交換的第1,2兩行后得，則 .2、三階方陣的行列式，則 .3、設(shè),若有無窮多解，則= .4、設(shè)矩陣，則該矩陣對應(yīng)的列向量組一定線性 .5、若向量與向量的內(nèi)積為2，則_.得分閱卷人二、選擇題（每題 2分，共 10 分，每題只有一個正確答案）：1、設(shè)二階矩陣，則的逆矩

19、陣（ ）. ； ；.2、若階矩陣、滿足，則（ ）. ； ； ； .3、元齊次線性方程組有非零解的充要條件是（ ）. ; ;；.4、向量組線性相關(guān)的充要條件是（ ）.中至少有一個零向量；中至少有兩個向量成比例；中每個向量都能由其余向量線性表出；中至少有一個向量能由其余向量線性表出.5、若矩陣與相似，則正確的結(jié)論是（ ）. 與的特征值不相同; 與特征值不完全相同;與有相同的特征值; 與的特征值沒有關(guān)系.得分閱卷人三、計算題（每題8分，共 32分）：1、計算行列式：.2、已知，求.3、已知可逆,求.4、設(shè)向量組,線性相關(guān)，求.得分閱卷人四、證明題（8分）已知向量組和滿足： ， ， ；證明：向量組線性

20、相關(guān). 得分閱卷人五、（10分）已知：向量組， ，；求向量組的秩,并求一個極大無關(guān)組.得分閱卷人六、（10分）已知矩陣及滿足: ,且,若,求線性方程組的通解.得分閱卷人七、（10分）已知矩陣 ，求的特征值及.得分閱卷人八、（10分）設(shè)二次型 ，用正交變換化此二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并求正交變換矩陣.20122013 學(xué)年度第 二 學(xué)期線性代數(shù)試卷（ b 卷）評閱標(biāo)準(zhǔn)及考核說明適用年級專業(yè)：2012級理工經(jīng)管類本科教學(xué)班考 試 形 式：（ ）開卷、（ ）閉卷得分閱卷人一、填空題三基類 教師答題時間： 2分鐘（每小題 2分，共 10分）1、-2; 2、-4; 3、6; 4、2; 5、相關(guān).得分閱卷人二、選

21、擇題三基類 教師答題時間： 2分鐘（每題2分，共 10分）1、d； 2、c; 3、b； 4、d； 5、c；得分閱卷人三、計算題三基類教師答題時間： 15 分鐘（每題8分，共32分），1、解: （4分）.（4分）2、解: （4分）.（4分）3、解:由 （2分）（3分）故 （3分）4、解：令 ， （4分）得，故. （4分）得分閱卷人四、證明題三基類 教師答題時間： 5分鐘 （8分）證明：由,令（4分）由,得向量組線性相關(guān). （4分）得分閱卷人五、 一般綜合型 教師答題時間： 5分鐘（10分）解：由； (2分) (3分)得向量組的秩為2； (2分)可選取為一個極大無關(guān)組。. (3分)得分閱卷人六、

22、一般綜合型 教師答題時間： 5分鐘（10分）解: 由已知是方程組的一個解向量, （3分）是方程組的一個解向量, （3分）又由,得的基礎(chǔ)解系只含一個非零解向量, （3分）方程組的通解為: ,為任意常數(shù). （1分） 得分閱卷人七、 一般綜合型 教師答題時間： 5分鐘（10分） 解：由. (4分)故特征值:；. (2分)=10. . (4分)得分閱卷人八、 綜合型 教師答題時間：10分鐘（10分）解：由 ， (2分) 令 得特征值1，2，5. . (2分)對應(yīng)特征向量，。. (2分)單位化后，可得正交矩陣，. (2分) 由正交變換，得標(biāo)準(zhǔn)型為：。 (2分) 2011-2012 a一、選擇題（每小題

23、3 分，共 15 分。請將答案填在下面的表格內(nèi)）1、設(shè)a為n階方陣，且，則=（ ）.a 、 b 、 c、 d、 2、設(shè)為階矩陣，則下列不正確的是（ ）. a、 b 、若，則或c、 d 、3、向量組線性相關(guān)的充要條件是（ ）. a、 中至少有一個零向量 b、中至少有兩個向量成比例 c、中至少一個向量可由其余向量線性表示d、中每一個向量可由其余向量線性表示4、設(shè)為矩陣，齊次線性方程組僅有零解的充要條件是（ ）. 、的列向量線性無關(guān) 、的列向量線性相關(guān)、的行向量線性無關(guān) 、的行向量線性相關(guān)5、設(shè)且a 的特征值為，則=（ ）. a、 1 b、 2 c、 3 d、 4二、填空題（每題 3 分，共 15

24、分）1、若三階方陣的特征值為，則的值為 .2、矩陣 則 = .3、已知向量組線性無關(guān)，若向量組的線性相關(guān)性為 . 4、設(shè)a b均為3階方陣，且，則| . 5、矩陣對應(yīng)的二次型是_.三、求解下列行列式或矩陣（第1,2題 8 分，第3題10分，共 26分）1、 . 2、若矩陣，求.3、已知a=，又，求.四、證明題（每題 8 分，共 8 分）已知是齊次線性方程組的兩個線性無關(guān)的解，是非齊次線性方程組的解，求證,線性無關(guān).五、求解下列方程組（每題 10 分，共 20 分）1、求非齊次線性方程組的通解.2、設(shè)4元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，,是非齊次線性方程組的三個解向量，且 求該方程組的通解六

25、、綜合計算題（每題 8 分，共 16 分）1、設(shè)向量組為：求該向量組的秩及其一個最大無關(guān)組，并將不屬于最大線性無關(guān)組的向量用最大線性無關(guān)組線性表示.2、已知二次型 求一正交變換，把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形. 2011-2012 a 答案一、選擇題（每小題 3 分，共 15分。請將答案填在下面的表格內(nèi)）1、 2、 3、 4、 5、 二、填空題（每題3分，共 15分）1、 2、 3、線性相關(guān) 4、 5、三、求解下列行列式或矩陣（第1,2題 8 分，第3題10分，共 26分）1、 解：利用行列式的性質(zhì)：（2分）按第一列展開：（4分）再按第二列展開：（2分）2、解：因為(4分)（4分）3、 解：（1分） （2

26、分）（5分）故（2分）四、證明題（8分） 已知是齊次線性方程組的兩個線性無關(guān)的解，是非齊次線性方程組的解，求證,線性無關(guān).證明： 設(shè) （2分）方程兩邊左乘以矩陣因為是齊次線性方程組的兩個線性無關(guān)的解，是非齊次線性方程組的解，所以： （2分） 固有：（2分）線性無關(guān)，所以 即：所以,線性無關(guān)。（2分）五、求解下列方程組（每題10分，共20分）1、解：（2分）（4分）故通解為：（4分）2、解：利用已知可知：為的一個解（4分）由題意可知：可作為的基礎(chǔ)解系（3分）故通解為：（3分）六、綜合計算題（每題8分，共16分）1、 解：構(gòu)造矩陣（4分）得到：秩（t）=3，為一個最大無關(guān)組（2分）（2分）2、解：

27、（1分）,令（2分）當(dāng)時，,則單位化：（1分）當(dāng)時，,則 ，（1分）當(dāng)時，,則 ，（1分）故正交陣故做正交變換，使得：（2分）2011-2012b 一、選擇題（每小題 3 分，共 15 分。請將答案填在下面的表格內(nèi)）1、由五個四維向量組成的向量組的線性相關(guān)性（ ）.a: 線性相關(guān)b: 線性無關(guān) c : 無法確定2、5、設(shè)三階矩陣，判斷二次型的正定性（ ）.a: 負(fù)定b: 半正定 c: 正定 d: 無法確定3、的充要條件是（ ）.a: b: 零不是的特征值c: 為行滿秩矩陣d: 為列滿秩矩陣4、設(shè)a是3階方陣，aj是a的第列（j1，2，3），矩陣b=；若，則=（ ）.a: b: 2 c.: d: 5、設(shè)是階實對稱矩陣，則下列說法正確的是（ ）.a: 的任意兩個不同的特征值所對應(yīng)的特征向量一定是正交的. b: 的特征值一定為正.c: 不一定有個線性無關(guān)的特征向量.d: 一定有個不同的特征值二、填空題（每題 3