曲線的極坐標方程課件

1、曲線的極坐標方程曲線的極坐標方程曲線的極坐標方程 52 曲線的極坐標方程曲線的極坐標方程 在極坐標系中，用在極坐標系中，用，=0表示曲線的方表示曲線的方 程程 。 一些基本曲線的方程：一些基本曲線的方程： =r = 0 (0) = 0 (R) o xo x00rooxxoPP(2，P( ，2 /3 = 2 = 2 3曲線的極坐標方程 ooooxxxxc(a，0)c(a， /2)c(a， )c(a，- /2)P( ， )P( ， )P( ， )P( ， ) =2acos =2acos( - )= -2acos =2acos( -3 /2)= -2asin =2asin 曲線的極坐標方程 xxxx

2、P( ， )P( ， )P( ， )P( ， )ooooaaaa =asec =acsc =asec( -3 /2)=-acsc =asec( - )= -asec 曲線的極坐標方程 ) c( 0， 0)raP( ， )P( ， )余弦定理余弦定理r2= 2+ 02- 2 0cos( - 0)正弦定理正弦定理 = sin( - )asin( - ) = asin sin( - )ooxx曲線的極坐標方程 P47 三種圓錐曲線的統(tǒng)一的極坐標方程三種圓錐曲線的統(tǒng)一的極坐標方程 動點動點M到定點到定點(焦點焦點)F與到定直線與到定直線(準線準線)L的的 距離的比為距離的比為e，求點，求點M的極坐標方

3、程。的極坐標方程。 分析：以焦點分析：以焦點F為極點，為極點， 如圖建立極坐標系。如圖建立極坐標系。F到到L 的離的離|FK|=p，M，為軌為軌 軌上的任一點。軌上的任一點。 把條件把條件 = e，用極坐標表示，用極坐標表示=e 解出解出 = KFHM( ， )x|MF|MH| P+ cos ep1-ecos 曲線的極坐標方程 上述方程統(tǒng)一表示橢圓、雙曲線、拋物線上述方程統(tǒng)一表示橢圓、雙曲線、拋物線 FLxLFxxFL當當0e1時，方程表示時，方程表示橢圓，橢圓，F(xiàn)是左焦點，是左焦點，L是左準線。是左準線。當當1e時，方程表示雙時，方程表示雙曲線，曲線，F(xiàn)是右焦點，是右焦點，L是右準線。是右準

4、線。當當e=1時，方程表示拋時，方程表示拋物線，物線，F(xiàn)是焦點，是焦點，L是是準線，開口向右。準線，開口向右。曲線的極坐標方程 圓錐曲線極坐標方程的應用圓錐曲線極坐標方程的應用 例例 5 (1) 以拋物線以拋物線y2=5x的焦點為極點，對稱軸的焦點為極點，對稱軸 向右的方向為極軸的正方向，且向右的方向為極軸的正方向，且x軸與極軸的軸與極軸的 長度單位相同，求拋物線的極坐標方程。長度單位相同，求拋物線的極坐標方程。 分析：設所求的拋物線的極坐標方程為分析：設所求的拋物線的極坐標方程為 = ，基中，基中e=1，p是焦點到準線的是焦點到準線的 距離，距離，p= ，代入上式得所求的拋物線，代入上式得所

5、求的拋物線 = = ep1-ecos 521- cos 1 252- 2cos 5曲線的極坐標方程 (2) 以橢圓以橢圓 + = 1的左焦點為極點，長軸的左焦點為極點，長軸 向右的方向為極軸的正方向，且向右的方向為極軸的正方向，且x軸與極軸的軸與極軸的 長度單位相同，求橢的極坐標方程。長度單位相同，求橢的極坐標方程。 分析：根據(jù)已知條件，可設所求的橢圓的分析：根據(jù)已知條件，可設所求的橢圓的 極極 坐標方程為坐標方程為 = ，由橢圓的直角坐標，由橢圓的直角坐標 方程求得方程求得 a=5，b=4，c=3，e= ， p= -3+ = ，代入上式，代入上式 = = x2y21625ep1-ecos 3

6、53253163/5 16/31-3/5cos 165-3cos 曲線的極坐標方程 例例 6 通過拋物線通過拋物線y2=8x的焦點的焦點F，作一條傾斜，作一條傾斜 角為角為 /4的直線，交拋物線于的直線，交拋物線于A、B兩點，求兩點，求 焦點弦焦點弦|AB|的值。的值。 分析：可用以往學過分析：可用以往學過 的方法求焦點弦的長。的方法求焦點弦的長。 也可建立極坐標系解決。也可建立極坐標系解決。 點點F為極點，為極點，x軸正半軸軸正半軸 為極軸，它的極坐標方程為為極軸，它的極坐標方程為 = ， 1= ， 2= |AB|= 1 + 2=16 o F xABy41-cos 1 241-cos /44

7、1-cos5 /4曲線的極坐標方程 P52 53 極坐標和直角坐標的互化極坐標和直角坐標的互化 以直角坐標系以直角坐標系xoy的的 原點為極點，原點為極點，x軸的正方軸的正方 向為極軸，點向為極軸，點M的直角的直角 坐標為坐標為(x，y)，它的極，它的極 坐標為坐標為( ，根據(jù)三角，根據(jù)三角 函數(shù)定義，同一點函數(shù)定義，同一點M的兩種坐標有下面關系的兩種坐標有下面關系 x= cos ， y= sin ， 2=x2+y2 ，tg = (x=0) 一般，根據(jù)一般，根據(jù)M所在象限所在象限 ， 取最小的正角。取最小的正角。oxyM)yx曲線的極坐標方程 公式的應用公式的應用 例例 把點把點M的極坐標的極

8、坐標(-5，)化成直角坐標化成直角坐標 直接代入公式計算直接代入公式計算 x= cos = -5cos /6 =(-5/2) 3 y= sin = -5sin /6= - 5/2 點點M的直角坐標是的直角坐標是(- ，- ) 例例 把點把點M的直角坐標的直角坐標(- 3，-1)化為極坐標化為極坐標 極徑取正值極徑取正值 =2 極角極角 ： tg = ， = 6)Moxy5 3522oxyM 337 6曲線的極坐標方程 同一條曲線在兩個不同坐標系中方程的互化同一條曲線在兩個不同坐標系中方程的互化 P54 例例 3 化圓的直角坐標方程化圓的直角坐標方程x2+y2-2ax=0為為 極坐標方程。極坐標

9、方程。 解題時，應用公式，注意整體替代。把解題時，應用公式，注意整體替代。把 x2+y2= 2，x= cos 代入直角坐標方程得代入直角坐標方程得 2-2a cos = 0( -2acos )=0 所示的極坐標方程是所示的極坐標方程是 =0或或 -2acos =0 =0 是極點，是極點， =2acos 表示以表示以(a，0)為圓心，為圓心，a為為 半徑，且過極點的圓，所以半徑，且過極點的圓，所以 =0不必寫出來。不必寫出來。ox(a，0)曲線的極坐標方程 例例 5 化化 =-4sin +cos 為直角坐標方程為直角坐標方程 解題注意整體替代。解題注意整體替代。 把原極坐標方程兩邊同乘把原極坐標

10、方程兩邊同乘 2 =-4 sin + cos ， 2 =x2+y2 ， cos = x， sin = y，它的直角坐標方程，它的直角坐標方程 是是x2+y2=-4y+x (x- )2+(y+2)2= 在直角坐標系在直角坐標系xoy中中 方程表示的是以方程表示的是以(，-2)為為 圓心圓心 ，為半徑的圓。為半徑的圓。12417oxy122 14曲線的極坐標方程 把極坐標方程把極坐標方程 2sin2 =2tg 化為直角坐標方程化為直角坐標方程 解：把原方程化為解：把原方程化為 sin cos = tg x= cos ，y= sin ， = tg 它的直角坐標方程是它的直角坐標方程是 xy= y(x2-1)=0 y (x-1) (x+1)= 0 從極坐標方程直接看不出方程表示的曲線從極坐標方程直接看不出方程表示的曲線 是什么，化為直角坐標方程后知道它表示的是什么，化為直角坐標方程后知道它表示的 是三條直線：是三條直線：y=0或或x=1或或x=-1xyyx曲線的極坐標方程 P54 例例 4 化圓錐曲線的極坐標方程化圓錐曲線的極坐標方程 = 為直角坐標方程。為直角坐標方程。 解：