微積分基本公式課件

1、 在上一節(jié)我們已經(jīng)看到，直接用定義在上一節(jié)我們已經(jīng)看到，直接用定義計算定積分是十分繁難的，因此我們期計算定積分是十分繁難的，因此我們期望尋求一種計算定積分的簡便而又一般望尋求一種計算定積分的簡便而又一般的方法。我們將會發(fā)現(xiàn)定積分與不定積的方法。我們將會發(fā)現(xiàn)定積分與不定積分之間有著十分密切的聯(lián)系，從而可以分之間有著十分密切的聯(lián)系，從而可以利用不定積分來計算定積分。利用不定積分來計算定積分。微積分基本公式微積分基本公式微積分基本公式變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系 設(shè)某物體作直線運動，已知速度設(shè)某物體作直線運動，已知速度)(tvv 是時是時間間隔間間隔,

2、21TT上上t的一個連續(xù)函數(shù)，且的一個連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.變速直線運動中路程為變速直線運動中路程為 21)(TTdttv另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12TsTs ).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其中其中 一、問題的提出一、問題的提出微積分基本公式 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，并并且且設(shè)設(shè)x為為,ba上上的的一一點點， xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)( 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動動，則則對對于于每

3、每一一個個取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個個對對應(yīng)應(yīng)值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個個函函數(shù)數(shù)，.)()( xadttfx記記積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) 二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)微積分基本公式abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 積分上限函數(shù)的性質(zhì)積分上限函數(shù)的性質(zhì)xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x

4、微積分基本公式 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x微積分基本公式一般情況一般情況 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導(dǎo)導(dǎo)， 則則dttfxFxbxa )()()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xF 為為 )()()()(xbxadttfdxdxF )()()()(xaxafxbxbf 注注此定理表明連續(xù)函數(shù)取變上限定積分再對此定理表明連續(xù)函數(shù)取變上限定積分再對上限自變量上限自變量 x 求導(dǎo)，其結(jié)

5、果就等于被積求導(dǎo)，其結(jié)果就等于被積函數(shù)在上限自變量函數(shù)在上限自變量 x 處的函數(shù)值處的函數(shù)值若上限不是若上限不是 x 而是而是 x 的函數(shù)的函數(shù) a(x)，則求導(dǎo)時必須按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進行則求導(dǎo)時必須按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進行 )()()()(xaaxaxafdttfdxd微積分基本公式 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF 例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 00分析分析：這是這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.解解 1cos2xtdtedxd,cos1

6、2 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 證證微積分基本公式21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 例例 2 2 設(shè)設(shè))(xf在在),( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且0)( xf.證證明明函函數(shù)數(shù) xxdttfdtttfxF00)()()(在在),0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).證證 xdtttfdxd0)()(xxf xdttfdxd0)(),(xf 微積分基本公式 ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf 2000)()()()()()( xxxdtt

7、fdtttfxfdttfxxfxF,0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).微積分基本公式例例 3 3 設(shè)設(shè))(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，且且1)( xf.證證明明 1)(20 dttfxx在在1 , 0上上只只有有一一個個解解.證證令令, 1)(2)(0 dttfxxFx, 1)( xf, 0)(2)( xfxF)(xF在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf所以所以0)( xF即原方程在即原方程在1 , 0上只有一個

8、解上只有一個解.0 微積分基本公式 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一個上的一個原函數(shù)原函數(shù). .定理的重要意義：定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系間的聯(lián)系. 定理定理2 2（原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理）微積分基本公式 前述變速直線運動的路程問題表明：前述變速直線運動的路程問題表明：定積分的值等于被積函數(shù)的一個原函數(shù)定積分的值等于被積函數(shù)的一個原函數(shù)在時間

9、區(qū)間上的增量，這個事實啟發(fā)我在時間區(qū)間上的增量，這個事實啟發(fā)我們?nèi)タ疾煲话愕那闆r，得到肯定的回答。們?nèi)タ疾煲话愕那闆r，得到肯定的回答。這就是微積分基本公式。這就是微積分基本公式。定理定理 3 3（微積分基本公式）（微積分基本公式）如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(aFbFdxxfba . . 三、三、Newton-Leibniz公式公式微積分基本公式 已知已知)(xF是是)(xf的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)，又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù),CxxF )()(,bax 令令ax ,)(

10、)(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ,)()(CdttfxFxa ),()()(aFxFdttfxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式 證證微積分基本公式)()()(aFbFdxxfba baxF)( 注注微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： (1) 一一個個連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分等等于于它它在在該該區(qū)區(qū)間間上上的的任任意意一一個個原原函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的增增量量. （2） N-L公式揭示了積分學(xué)兩類基本問題公式揭示了積分學(xué)兩類基本問題不定積分與定積分兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系不定積分與定

11、積分兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系（3）求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題）求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題. （4） 為定積分的計算提供了一個普遍、有效而又為定積分的計算提供了一個普遍、有效而又簡便的方法，使得定積分的計算大為簡化。簡便的方法，使得定積分的計算大為簡化。注意注意當(dāng)當(dāng)ba 時，時，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.微積分基本公式.)1sincos2(20 dxxx解解 原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1 上上規(guī)規(guī)定定當(dāng)當(dāng)1

12、x時時，5)( xf, 102152dxxdx原式原式xyo126 例例4 4 求求 微積分基本公式例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知xyo2xy xy 122 ,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原原式式.211 微積分基本公式例例7 7 求求 .112dxx 解解當(dāng)當(dāng)0 x時時，x1的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 例例 8 8 計計算算曲曲線線xysin 在在, 0 上上與與x軸軸所所圍圍 成成的的平平面面圖圖形形的的面面積積. 解解 面積面積 0sin xdxA 0cos x. 2 xyo 微積分基本公式1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xadttfx)()(2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xfx 3.微積分基本公式微積分基本公式)()()(aFbFdxxfba 牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系稱之為微積分基本公式。之間的關(guān)系稱之為微積分基本公式。注意注意 使用公式的條件使用公式的條件（1）被積函數(shù)）被積函數(shù) f(x) 連續(xù)連續(xù) （2）F（x）是）是 f(x) 在在 該區(qū)間上的任一原函數(shù)該區(qū)間上的任一原函數(shù)四、小結(jié)四、