橢圓知識點(diǎn)總結(jié)

1、-作者xxxx-日期xxxx橢圓知識點(diǎn)總結(jié)【精品文檔】橢圓知識點(diǎn)知識要點(diǎn)小結(jié)：知識點(diǎn)一：橢圓的定義平面內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù) ,這個(gè)動點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距.注意：若，則動點(diǎn)的軌跡為線段；若，則動點(diǎn)的軌跡無圖形.知識點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中2當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；注意：1只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)， 才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；3橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

2、，知識點(diǎn)三：橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓：的簡單幾何性質(zhì)（1）對稱性：對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：說明：把換成、或把換成、或把、同時(shí)換成、原方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，這個(gè)對稱中心稱為橢圓的中心。（2）范圍：橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，。（3）頂點(diǎn)：橢圓的對稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。橢圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為 ， 線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率：橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。因?yàn)?，所以的取值范圍是。?/p>

3、接近1，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時(shí)橢圓就越接近于圓。 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：（1）；（2）；（3）；知識點(diǎn)四：橢圓 與 的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，焦距 范圍，對稱性關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)，軸長長軸長=，短軸長= 離心率準(zhǔn)線方程焦半徑，注意：橢圓，的相同點(diǎn)：形狀、大小都相同；參數(shù)間的關(guān)系都有和，；不同點(diǎn)：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同。規(guī)律方法： 1如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？ 任何橢圓都有一個(gè)對稱中心，兩條對稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)

4、，對稱軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：兩個(gè)定形條件；一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。 2橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：，且?？山柚覉D理解記憶： 顯然：恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看，的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)

5、坐標(biāo)軸上。 4方程是表示橢圓的條件方程可化為，即，所以只有A、B、C同號，且AB時(shí)，方程表示橢圓。當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上。5求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法： 待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點(diǎn)，則c相同。與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為，此類問題常用待定系數(shù)法求解。7判斷曲線關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)對稱的依據(jù)： 若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱； 若把曲線方程中

6、的換成，方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱； 若把曲線方程中的、同時(shí)換成、，方程不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。8如何求解與焦點(diǎn)三角形PF1F2（P為橢圓上的點(diǎn)）有關(guān)的計(jì)算問題？ 思路分析：與焦點(diǎn)三角形PF1F2有關(guān)的計(jì)算問題時(shí)，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算解題。將有關(guān)線段，有關(guān)角 ()結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系. 9如何計(jì)算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？ 長軸與短軸的長短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率，因?yàn)?，用表示為。顯然：當(dāng)越小時(shí)，越大，橢圓形狀越扁；當(dāng)越大，越小，橢圓形狀越趨近于圓。（一）橢圓及其性質(zhì)1、橢圓的定義（1）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距

7、離的和等于常數(shù)（大于|F1 F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。（2）一動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(gè)內(nèi)常數(shù)，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓 其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)就是離心率2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程3、橢圓的參數(shù)方程4、離心率: 橢圓焦距與長軸長之比 橢圓的準(zhǔn)線方程左準(zhǔn)線 右準(zhǔn)線（二）、橢圓的焦半徑橢圓的焦半徑公式：（左焦半徑） （右焦半徑） 其中是離心率 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的焦半徑公式： （ 其中分別是橢圓的下上焦點(diǎn)）（三）、直線與橢圓問題（韋達(dá)定理的運(yùn)用）1、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點(diǎn)，則 弦長 例1. 已知橢

8、圓及直線yxm。（1）當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）求被橢圓截得的最長弦所在的直線的方程。2、已知弦AB的中點(diǎn)，研究AB的斜率和方程AB是橢圓1(ab0)的一條弦，中點(diǎn)M坐標(biāo)為(x0，y0)，則AB的斜率為.運(yùn)用點(diǎn)差法求AB的斜率，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)A、B都在橢圓上，兩式相減得0，0，即.故kAB.例、過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程。（四）、四種題型與三種方法四種題型1：已知橢圓C：內(nèi)有一點(diǎn)A（2，1），F(xiàn)是橢圓C的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上的動點(diǎn)，求PA+PF的最小值。2： 已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)A（2，1），F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上

9、動點(diǎn)，求PA+PF|的最大值與最小值。3：已知橢圓外一點(diǎn)A（5，6），l為橢圓的左準(zhǔn)線，P為橢圓上動點(diǎn)，點(diǎn)P到l的距離為d，求|PA|+的最小值。4：定長為d()的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在橢圓上移動，求AB的中點(diǎn)M到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離。三種方法1：橢圓的切線與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn)， 求三角形OAB的最小面積 。2：已知橢圓 和直線 l:x-y+9=0 ，在l上取一點(diǎn)M ，經(jīng)過點(diǎn)M且以橢圓的焦 點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓，求M在何處時(shí)所作橢圓的長軸最短，并求此橢圓方程 。3：過橢圓的焦點(diǎn)的直線交橢圓A,B兩點(diǎn) ，求面積的最大值 。課堂總結(jié)（一）橢圓及其性質(zhì) （二）橢圓的焦半徑 （三）直線與橢圓問題（

10、韋達(dá)定理的運(yùn)用）（四）四種題型與三種方法課后同步練習(xí)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 , 離心率是_，準(zhǔn)線方程是_.1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1的直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，則MNF2的周長為( )A8 B16 C25 D32上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（ ）A.5 B.6 C,那么它的焦距是 （ ） A.6 B.3 C.3 D. 表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是 A.（0，+） B.(0,2) C.(1,+) D.(0,1) 6設(shè)為定點(diǎn)，|=6，動點(diǎn)M滿足，則動點(diǎn)M的軌跡是（ ）A.橢圓 B.直線 C.圓 D.線段 +=1，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍為 .F1

11、（-2，0），F(xiàn)2（2，0），并且經(jīng)過點(diǎn)P（），則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是_ _A（-1，-2）且與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)相同的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是_ _ P（，-2），Q（-2，1）兩點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是_ _ _的離心率是，則k的值等于 .ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓y21上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC的周長是 .1、F2分別為橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，POF2是面積為的正三角形，則b2的值是 上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為焦點(diǎn)，則 15.在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為(A) (B) (C) (D)是右焦點(diǎn)為的橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，則“成等差數(shù)列”是“”的（ ）（A）充要條件 （B）必要不充分條件 （C）充分不必要條件