4-4-2-圓與扇形(二).教師版(總27頁)

1、圓與扇形例題精講研究圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規(guī)則圖形，通過變動圖形的位置或?qū)D形進行分割、旋轉(zhuǎn)、拼補，使它變成可以計算出面積的規(guī)則圖形來計算它們的面積圓的面積；扇形的面積；圓的周長；扇形的弧長一、 跟曲線有關(guān)的圖形元素：扇形：扇形由在的角的兩邊和這兩邊所截一段圓弧圍成的圖形，扇形是圓的一部分我們經(jīng)常說的圓、圓、圓等等其實都是扇形，而這個幾分之幾表示的其實是這個扇形的圓心角占這個圓周角的幾分之幾那么一般的求法是什么呢？關(guān)鍵是比如：扇形的面積所在圓的面積；扇形中的弧長部分所在圓的周長扇形的周長所在圓的周長2半徑(易錯點是把扇形的周長等同于扇形的弧長)弓形：弓

2、形一般不要求周長，主要求面積一般來說，弓形面積扇形面積-三角形面積(除了半圓)”彎角”：如圖： 彎角的面積正方形-扇形”谷子”：如圖： “谷子”的面積弓形面積二、 常用的思想方法：轉(zhuǎn)化思想(復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，不熟悉的轉(zhuǎn)化為熟悉的)等積變形(割補、平移、旋轉(zhuǎn)等)借來還去(加減法)外圍入手(從會求的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的”關(guān)系”)板塊二 曲線型面積計算【例 1】 如圖，已知扇形的面積是半圓面積的倍，則角的度數(shù)是_【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】填空【解析】 設(shè)半圓的半徑為1，則半圓面積為，扇形的面積為因為扇形的面積為，所以，得到，即角的度數(shù)是60度【答案】60度【例 2

3、】 如下圖，直角三角形的兩條直角邊分別長和，分別以為圓心，為半徑畫圓，已知圖中陰影部分的面積是，那么角是多少度()【考點】圓與扇形 【難度】4星 【題型】解答【解析】 ,三角形內(nèi)兩扇形面積和為，根據(jù)扇形面積公式兩扇形面積和為,所以,.【答案】60度【例 3】 如圖，大小兩圓的相交部分(即陰影區(qū)域)的面積是大圓面積的，是小圓面積的如果量得小圓的半徑是5厘米，那么大圓半徑是多少厘米？【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 小圓的面積為，則大小圓相交部分面積為,那么大圓的面積為，而，所以大圓半徑為厘米【答案】7.5【例 4】 有七根直徑5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它們勒緊成一捆(如圖

4、)，此時橡皮筋的長度是多少厘米？(取3) 【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 由右圖知，繩長等于6個線段與6個弧長之和將圖中與弧相似的6個弧所對的圓心角平移拼補，可得到6個角的和是，所以弧所對的圓心角是，6個弧合起來等于直徑5厘米的圓的周長而線段等于塑料管的直徑，由此知繩長為：(厘米)【答案】45【例 5】 如圖，邊長為12厘米的正五邊形，分別以正五邊形的5個頂點為圓心，12厘米為半徑作圓弧，請問：中間陰影部分的周長是多少？()【考點】圓與扇形 【難度】4星 【題型】解答【解析】 如圖，點是在以為中心的扇形上，所以，同理，則是正三角形，同理，有是正三角形有，正五邊形的一個內(nèi)角

5、是，因此，也就是說圓弧的長度是半徑為12厘米的圓周的一部分，這樣相同的圓弧有5個，所以中間陰影部分的周長是【答案】12.56【例 6】 如圖是一個對稱圖形比較黑色部分面積與灰色部分面積的大小，得：黑色部分面積_灰色部分面積【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】填空【解析】 圖中四個小圓的半徑為大圓半徑的一半，所以每個小圓的面積等于大圓面積的，則4個小圓的面積之和等于大圓的面積而4個小圓重疊的部分為灰色部分，未覆蓋的部分為黑色部分，所以這兩部分面積相等，即灰色部分與黑色部分面積相等【答案】相等【例 7】 如圖，大圓半徑為小圓的直徑，已知圖中陰影部分面積為，空白部分面積為，那么這兩個部分的面積之

6、比是多少？(圓周率取) 【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 如圖添加輔助線，小圓內(nèi)部的陰影部分可以填到外側(cè)來，這樣，空白部分就是一個圓的內(nèi)接正方形設(shè)大圓半徑為，則，所以移動圖形是解這種題目的最好方法，一定要找出圖形之間的關(guān)系【答案】57:100【例 8】 用一塊面積為36平方厘米的圓形鋁板下料，從中裁出了7個同樣大小的圓鋁板問：所余下的邊角料的總面積是多少平方厘米？【考點】圓與扇形 【難度】4星 【題型】解答【解析】 大圓直徑是小圓的3倍，半徑也是3倍，小圓面積大圓面積，小圓面積，個小圓總面積，邊角料面積(平方厘米)【答案】8【例 9】 如圖，若圖中的圓和半圓都兩兩相切，兩個

7、小圓和三個半圓的半徑都是1求陰影部分的面積【考點】圓與扇形 【難度】4星 【題型】解答【解析】 由于直接求陰影部分面積太麻煩，所以考慮采用增加面積的方法來構(gòu)造新圖形由右圖可見，陰影部分面積等于大圓面積減去一個小圓面積，再加上的小扇形面積(即小圓面積)，所以相當(dāng)于大圓面積減去小圓面積而大圓的半徑為小圓的3倍，所以其面積為小圓的倍，那么陰影部分面積為【答案】2.5【例 10】 如圖所示，求陰影面積，圖中是一個正六邊形，面積為1040平方厘米，空白部分是6個半徑為10厘米的小扇形(圓周率取)【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 所要求的陰影面積是用正六邊形的面積減去六個小扇形面積、正

8、六邊形的面積已知，現(xiàn)在關(guān)鍵是小扇形面積如何求，有扇形面積公式可求得，需要知道半徑和扇形弧的度數(shù)，由已知正六邊形每邊所對圓心角為60，那么，又知四邊形是平行四邊形，所以，這樣就可求出扇形的面積和為(平方厘米)，陰影部分的面積(平方厘米)【答案】412【例 11】 (09年第十四屆華杯賽初賽)如下圖所示，是半圓的直徑，是圓心，是的中點，是弦的中點若是上一點，半圓的面積等于12平方厘米，則圖中陰影部分的面積是 平方厘米【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】填空【解析】 如下圖所示，連接、本題中由于、是半圓的兩個三等分點，是的中點，是弦的中點，可見這個圖形是對稱的，由對稱性可知與平行由此可得的面積與

9、的面積相等，所以陰影部分面積等于扇形面積的一半，而扇形的面積又等于半圓面積的，所以陰影部分面積等于半圓面積的，為平方厘米【答案】2【鞏固】如圖，、是以為直徑的半圓的三等分點，是圓心，且半徑為6求圖中陰影部分的面積【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 如圖，連接、由于、是半圓的三等分點，所以和都是正三角形，那么與是平行的所以的面積與的面積相等，那么陰影部分的面積等于扇形的面積，為【答案】18.84【例 12】 如圖，兩個半徑為1的半圓垂直相交，橫放的半圓直徑通過豎放半圓的圓心，求圖中兩塊陰影部分的面積之差(取3)【考點】圓與扇形 【難度】4星 【題型】解答【解析】 本題要求兩塊陰

10、影部分的面積之差，可以先分別求出兩塊陰影部分的面積，再計算它們的差，但是這樣較為繁瑣由于是要求面積之差，可以考慮先從面積較大的陰影中割去與面積較小的陰影相同的圖形，再求剩余圖形的面積如右圖所示，可知弓形或均與弓形相同，所以不妨割去弓形剩下的圖形中，容易看出來與是平行的，所以與的面積相等，所以剩余圖形的面積與扇形的面積相等，而扇形的面積為，所以圖中兩塊陰影部分的面積之差為【答案】0.5【例 13】 如圖，兩個正方形擺放在一起，其中大正方形邊長為12，那么陰影部分面積是多少？(圓周率取)【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 方法一：設(shè)小正方形的邊長為，則三角形與梯形 的面積均為陰影

11、部分為：大正方形梯形三角形右上角不規(guī)則部分大正方形右上角不規(guī)則部分圓因此陰影部分面積為：方法二：連接、，設(shè)與的交點為，由于四邊形是梯形，根據(jù)梯形蝴蝶定理有，所以【答案】113.04【鞏固】如右圖，兩個正方形邊長分別是10和6，求陰影部分的面積(取3) 【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 (法1)觀察可知陰影部分面積等于三角形的面積減去月牙的面積，那么求出月牙的面積就成了解題的關(guān)鍵月牙的面積為正方形的面積減去四分之一圓：；則陰影部分的面積為三角形的面積減去月牙的面積，為：(法2)觀察可知和是平行的，于是連接、則與面積相等，那么陰影部分面積等于與小弓形的面積之和，也就等于與扇形的

12、面積之和，為：【答案】39【例 14】 如圖，是等腰直角三角形，是半圓周的中點，是半圓的直徑已知，那么陰影部分的面積是多少？(圓周率取) 【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 連接、，如圖，平行于，則在梯形中，對角線交于點，那么與面積相等，則陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為與圓內(nèi)的小弓形的面積和的面積為：；弓形面積： ；陰影部分面積為：【答案】32.125【例 15】 圖中給出了兩個對齊擺放的正方形，并以小正方形中右上頂點為圓心，邊長為半徑作一個扇形，按圖中所給長度陰影部分面積為 ；() 【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】填空【解析】 連接小正方形,有圖可見同理，【答案】28.56【

13、例 16】 如圖，圖形中的曲線是用半徑長度的比為的6條半圓曲線連成的問：涂有陰影的部分的面積與未涂有陰影的部分的面積的比是多少？【考點】圓與扇形 【難度】4星 【題型】解答【解析】 假設(shè)最小圓的半徑為，則三種半圓曲線的半徑分別為，和 陰影部分的面積為：，空白部分的面積為：， 則陰影部分面積與空白部分面積的比為【答案】5:11【例 17】 (西城實驗考題)奧運會的會徽是五環(huán)圖，一個五環(huán)圖是由內(nèi)圓直徑為6厘米，外圓直徑為8厘米的五個環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形(陰影部分)的面積都相等，已知五個圓環(huán)蓋住的面積是平方厘米，求每個小曲邊四邊形的面積()【考點】圓與扇形 【難度】4星 【題型】解答【

14、解析】 每個圓環(huán)的面積為：(平方厘米)；五個圓環(huán)的面積和為：(平方厘米)；八個陰影的面積為：(平方厘米)；每個陰影的面積為：(平方厘米)【答案】4.1【例 18】 已知正方形的邊長為10厘米，過它的四個頂點作一個大圓，過它的各邊中點作一個小圓，再將對邊中點用直線連擎起來得右圖那么，圖中陰影部分的總面積等于_方厘米()【考點】圓與扇形 【難度】4星 【題型】填空【解析】【答案】39.25【例 19】 如圖，ABCD是邊長為a的正方形，以AB、BC、CD、DA分別為直徑畫半圓，求這四個半圓弧所圍成的陰影部分的面積(取3)【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 這道題目是很常見的面積計

15、算問題陰影部分是一個花瓣狀的不規(guī)則圖形，不能直接通過面積公式求解，觀察發(fā)現(xiàn)陰影部分是一個對稱圖形，我們只需要在陰影部分的對稱軸上作兩條輔助線就明了了如圖，這樣陰影部分就劃分成了4個半圓減去三角形，我們可以求得， 【答案】【鞏固】如圖，正方形ABCD的邊長為4厘米，分別以B、D為圓心以4厘米為半徑在正方形內(nèi)畫圓求陰影部分面積(取3)【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 由題可知，圖中陰影部分是兩個扇形重疊的部分，我們可以利用容斥原理從圖形整體上考慮來求陰影部分面積；同樣，我們也可以通過作輔助線直接求陰影部分的面積解法一：把兩個扇形放在一起得到1個正方形的同時還重疊了一塊陰影部分則

16、陰影部分的面積為；解法二：連接AC，我們發(fā)現(xiàn)陰影部分面積的一半就是扇形減去三角形的面積，所以陰影部分面積【答案】8【例 20】 (四中考題)已知三角形是直角三角形，求陰影部分的面積【考點】圓與扇形 【難度】4星 【題型】解答【解析】 從圖中可以看出，陰影部分的面積等于兩個半圓的面積和與直角三角形的面積之差，所以陰影部分的面積為：()【答案】3.85【例 21】 （奧林匹克決賽試題）在桌面上放置個兩兩重疊、形狀相同的圓形紙片.它們的面積都是平方厘米，蓋住桌面的總面積是平方厘米，張紙片共同重疊的面積是平方厘米.那么圖中個陰影部分的面積的和 是平方厘米.【考點】圓與扇形 【難度】4星 【題型】填空【

17、解析】 根據(jù)容斥原理得，所以（平方厘米）【答案】72【例 22】 如圖所示，是一邊長為的正方形，是的中點，而是的中點以為圓心、半徑為的四分之一圓的圓弧交于，以為圓心、半徑為的四分之一圓的圓弧交于點，若圖中和兩塊面積之差為(其中、為正整數(shù))，請問之值為何？ 【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】國際小學(xué)數(shù)學(xué)競賽【解析】 (法1)，而，所以，(法)如右上圖，所以，故【答案】11【鞏固】在圖中，兩個四分之一圓弧的半徑分別是2和4，求兩個陰影部分的面積差(圓周率取)【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 我們只要看清楚陰影部分如何構(gòu)成則不難求解左邊的陰影是大扇形減去小扇形

18、，再扣除一個長方形中的不規(guī)則白色部分，而右邊的陰影是長方形扣除這塊不規(guī)則白色部分，那么它們的差應(yīng)為大扇形減去小扇形，再減去長方形則為：【答案】1.42【例 23】 如圖，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半徑AE6厘米，扇形CBF的半徑CB4厘米，求陰影部分的面積(取3)【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 方法一：觀察發(fā)現(xiàn)，陰影部分屬于一個大的扇形，而這個扇形除了陰影部分之外，還有一個不規(guī)則的空白部分ABFD在左上，求出這個不規(guī)則部分的面積就成了解決這個問題的關(guān)鍵我們先確定ABFD的面積，因為不規(guī)則部分ABFD與扇形BCF共同構(gòu)成長方形ABCD，所以不規(guī)則部分

19、ABFD的面積為(平方厘米)，再從扇形ABE中考慮，讓扇形ABE減去ABFD的面積，則有陰影部分面積為(平方厘米)方法二：利用容斥原理(平方厘米)【答案】15【鞏固】求圖中陰影部分的面積【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 陰影部分面積半圓面積扇形面積三角形面積【答案】41.04【鞏固】如右圖，正方形的邊長為5厘米，則圖中陰影部分的面積是 平方厘米，()【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】填空【解析】 觀察可知陰影部分是被以為半徑的扇形、以為直徑的半圓形和對角線分割出來的，分頭求各小塊陰影部分面積明顯不是很方便，我們發(fā)現(xiàn)如果能求出左下邊空白部分的面積，就很容易求出陰影部分的

20、面積了，我們再觀察可以發(fā)現(xiàn)左下邊空白部分的面積就等于三角形的面積減去扇形的面積，那么我們的思路就很清楚了因為，所以扇形的面積為：(平方厘米)，那么左下邊空白的面積為：(平方厘米)，又因為半圓面積為：(平方厘米)，所以陰影部分面積為：(平方厘米)【答案】7.125【例 24】 如圖所示，陰影部分的面積為多少？(圓周率取)【考點】圓與扇形 【難度】4星 【題型】解答【解析】 圖中、兩部分的面積分別等于右邊兩幅圖中的、的面積所以【答案】【鞏固】圖中陰影部分的面積是 (取) 【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】填空【解析】 如右上圖，虛線將陰影部分分成兩部分，分別計算這兩部分的面積，再相加即可得到

21、陰影部分的面積所分成的弓形的面積為：；另一部分的面積為：；所以陰影部分面積為：【答案】1.92【例 25】 已知右圖中正方形的邊長為20厘米，中間的三段圓弧分別以、為圓心，求陰影部分的面積()【考點】圓與扇形 【難度】4星 【題型】解答【解析】 圖中兩塊陰影部分的面積相等，可以先求出其中一塊的面積而這一塊的面積，等于大正方形的面積減去一個扇形的面積，再減去角上的小空白部分的面積，為：(平方厘米)，所以陰影部分的面積為(平方厘米)【答案】150【例 26】 一個長方形的長為9，寬為6，一個半徑為l的圓在這個長方形內(nèi)任意運動，在長方形內(nèi)這圓無法運動到的部分，面積的和是_(取3)【考點】圓與扇形 【

22、難度】3星 【題型】填空【解析】 方法一：圓在長方形內(nèi)部無法運動到的地方就是長方形的四個角，而圓在角處運動時的情況如左下圖，圓無法運動到的部分是圖中陰影部分，那么我們可以先求出陰影部分面積，四個角的情況都相似，我們就可以求出總的面積是陰影部分面積的四倍陰影部分面積是小正方形面積減去扇形面積，所以我們可以得到：每個角陰影部分面積為；那么圓無法運動到的部分面積為 方法二：如果把四個角拼起來，則陰影如右上圖所示，則陰影面積為【答案】1【例 27】 已知半圓所在的圓的面積為平方厘米，求陰影部分的面積()【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 由于陰影部分是一個不規(guī)則圖形，所以要設(shè)法把它轉(zhuǎn)

23、化成規(guī)則圖形來計算從圖中可以看出，陰影部分的面積是一個的扇形與一個等腰直角三角形的面積差由于半圓的面積為平方厘米，所以因此：(平方厘米)由于是等腰直角三角形，所以因此：扇形的面積(平方厘米)所以，陰影部分的面積等于：(平方厘米)【答案】5.7【例 28】 如圖，等腰直角三角形ABC的腰為10；以A為圓心，EF為圓弧，組成扇形AEF；兩個陰影部分的面積相等求扇形所在的圓面積【考點】圓與扇形 【難度】4星 【題型】解答【解析】 題目已經(jīng)明確告訴我們ABC是等腰直角三角形，AEF是扇形，所以看似沒有關(guān)系的兩個陰影部分通過空白部分聯(lián)系起來等腰直角三角形的角A為45度，則扇形所在圓的面積為扇形面積的8倍

24、而扇形面積與等腰直角三角形面積相等，即，則圓的面積為【答案】400【例 29】 如圖，直角三角形ABC中，AB是圓的直徑，且，陰影甲的面積比陰影乙的面積大7，求BC長()【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 因為兩塊陰影部分都是不規(guī)則圖形，單獨對待它們無法運用面積公式進行處理，而解題的關(guān)鍵就是如何把它們聯(lián)系起來，我們發(fā)現(xiàn)把兩塊陰影加上中間的一塊，則變成1個半圓和1個直角三角形，這個時候我們就可以利用面積公式來求解了因為陰影甲比陰影乙面積大7，也就是半圓面積比直角三角形面積大7半圓面積為：，則直角三角形的面積為1577150，可得BC21502015【答案】15【鞏固】三角形是直

25、角三角形，陰影的面積比陰影的面積小，求的長度【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 由于陰影的面積比陰影的面積小，根據(jù)差不變原理，直角三角形面積減去半圓面積為，則直角三角形面積為()，的長度為()【答案】12.53【鞏固】 如圖，三角形是直角三角形，陰影部分比陰影部分的面積小28平方厘米，長40厘米求的長度？(取) 【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 圖中半圓的直徑為，所以其面積為 有空白部分與的面積和為628，又-，所以、部分的面積和有直角三角形的面積為所以厘米【答案】32.8【例 30】 圖中的長方形的長與寬的比為，求陰影部分的面積【考點】圓與扇形 【難度】

26、3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】十三分，入學(xué)測試題【解析】 如下圖，設(shè)半圓的圓心為，連接從圖中可以看出，根據(jù)勾股定理可得陰影部分面積等于半圓的面積減去長方形的面積，為：【答案】244【例 31】 如圖，求陰影部分的面積(取3)【考點】圓與扇形 【難度】4星 【題型】解答【解析】 如圖，圖中陰影部分為月牙兒狀，月牙兒形狀與扇形和弓形都不相同，目前我們還不能直接求出 它們的面積，那么我們應(yīng)該怎么來解決呢？首先，我們分析下月牙兒狀是怎么產(chǎn)生的，觀察發(fā)現(xiàn)月牙兒形是兩條圓弧所夾部分，再分析可以知道，兩條圓弧分別是不同圓的圓周的一部分，那么我們就找到了解決問題的方法了陰影部分面積小圓面積中圓面積三角形面積大圓

27、面積6【答案】6【例 32】 如圖，直角三角形的三條邊長度為，它的內(nèi)部放了一個半圓，圖中陰影部分的面積為多少？【考點】圓與扇形 【難度】4星 【題型】解答【解析】 ，設(shè)半圓半徑為，直角三角形面積用表示為：又因為三角形直角邊都已知，所以它的面積為，所以，所以【答案】【例 33】 大圓半徑為，小圓半徑為，兩個同心圓構(gòu)成一個環(huán)形以圓心為頂點，半徑為邊長作一個正方形：再以為頂點，以為邊長作一個小正方形圖中陰影部分的面積為平方厘米，求環(huán)形面積(圓周率取)【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】華校第一學(xué)期，期中測試，第6題【解析】 環(huán)形的面積應(yīng)該用大圓的面積減去小圓的面積，但分別求出兩個圓

28、的面積顯然不可能題中已知陰影部分的面積，也就是平方厘米，那么環(huán)形的面積為：(平方厘米)【答案】157【鞏固】圖中陰影部分的面積是，求圓環(huán)的面積【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 設(shè)大圓半徑為，小圓半徑為，依題有，即則圓環(huán)面積為：【答案】157【例 34】 已知圖中正方形的面積是20平方厘米，則圖中里外兩個圓的面積之和是 (取)【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】101中學(xué)，考題【解析】 設(shè)圖中大圓的半徑為，正方形的邊長為，則小圓的直徑等于正方形的邊長，所以小圓的半徑為，大圓的直徑等于正方形的對角線長，即，得所以，大圓的面積與正方形的面積之比為：，所以大圓面積

29、為：；小圓的面積與正方形的面積之比為：，所以小圓的面積為：；兩個圓的面積之和為：(平方厘米)【答案】47.1【鞏固】圖中小圓的面積是30平方厘米，則大圓的面積是 平方厘米(取)【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】填空【解析】 設(shè)圖中大圓的半徑為，正方形的邊長為，則小圓的直徑等于正方形的邊長，所以小圓的半徑為，大圓的直徑等于正方形的對角線長，即，得所以，大圓的面積與小圓的面積之比為：，即大圓的面積是小圓面積的2倍，大圓的面積為(平方厘米)【答案】60【鞏固】(2008年四中考題)圖中大正方形邊長為，小正方形的面積是 【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】填空【解析】 設(shè)圖中小正方形的邊長為

30、，由于圓的直徑等于大正方形的邊長，所以圓的直徑為，而從圖中可以看出，圓的直徑等于小正方形的對角線長，所以，故，即小正方形的面積為【答案】【鞏固】一些正方形內(nèi)接于一些同心圓，如圖所示已知最小圓的半徑為，請問陰影部分的面積為多少平方厘米？(取)【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】臺灣小學(xué)數(shù)學(xué)競賽選拔，復(fù)賽【解析】 我們將陰影部分的面積分為內(nèi)圈、中圈、外圈三部分來計算內(nèi)圈等于內(nèi)圓面積減去內(nèi)部正方形的面積，也就是內(nèi)圓的直徑為中部正方形的邊長，即為，中部正方形的對角線等于中圓的直徑，于是中圈陰影部分面積是中圓的直徑的平方即為外部正方形的面積，即為，外部正方形的對角線的平方即為外圓的直徑

31、的平方，即為，所以外圈陰影部分的面積是所以陰影部分的面積是(平方厘米)【答案】8【例 35】 圖中大正方形邊長為，將其每條邊進行三等分，連出四條虛線，再將虛線的中點連出一個正方形(如圖)，在這個正方形中畫出一個最大的圓，則圓的面積是多少？()【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 圓的直徑也就是外切正方形的邊長，它的長為：圓的面積為：【答案】12.56【例 36】 如下圖所示，兩個相同的正方形，左圖中陰影部分是9個圓，右圖中陰影部分是16個圓哪個圖中陰影部分的面積大？為什么？ 【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 設(shè)正方形的邊長為，每一個圓的半徑為，則正方形的每一

32、條邊上都有個圓，從而正方形內(nèi)部共有個圓，于是這些圓的總面積為：可見陰影部分的面積與正方形的面積的比是固定的，也就是說陰影部分的面積只與正方形的邊長有關(guān)系，與圓的半徑無關(guān)，無論圓的半徑怎樣變化，只要正方形的邊長不變，那么陰影部分的面積就是一定的 由于上圖中兩個正方形的邊長相同，所以兩圖中陰影部分的面積相等【答案】相等【例 37】 如圖，在方格表中，分別以、為圓心，半徑為3、2、1，圓心角都是的三段圓弧與正方形的邊界圍成了兩個帶形，那么這兩個帶形的面積之比 【考點】圓與扇形 【難度】5星 【題型】解答【解析】 如右圖，仔細觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)帶形的面積等于曲邊三角形的面積減去曲邊三角形 的面積，而這兩

33、個曲邊三角形的面積都可以在各自所在的正方形內(nèi)求出所以，的面積；同理可求得帶形的面積：帶形的面積曲邊三角形的面積曲邊三角形的面積；所以，【答案】5:3【例 38】 如圖中，正方形的邊長是，兩個頂點正好在圓心上，求圖形的總面積是多少？(圓周率取)【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 【答案】142.75【例 39】 如圖，AB與CD是兩條垂直的直徑，圓O的半徑為15，是以C為圓心，AC為半徑的圓弧 求陰影部分面積【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 陰影部分是個月牙形，不能直接通過面積公式求，那么我們可以把陰影部分看成半圓加上三角形ABC再減去扇形ACB的結(jié)果半圓面

34、積為，三角形ABC面積為，又因為三角形面積也等于，所以，那么扇形ACB的面積為陰影部分面積 225 (平方厘米)【答案】225【例 40】 如下圖所示，曲線和是兩個半圓平行于如果大半圓的半徑是1米，那么陰影部分是多少平方米？(取)【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 如左下圖所示，弓形的面積等于扇形的面積與三角形的面積之差，為(平方米)，半圓的面積為(平方米)，所以陰影部分的面積為(平方米)【答案】1.07【例 41】 在右圖所示的正方形中，對角線長2厘米扇形是以為圓心，以為半徑的圓的一部分 求陰影部分的面積 【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 如右圖所示，因

35、為，所以陰影部分的面積為：(平方厘米)另解：觀察可知陰影部分面積等于半圓面積與扇形面積之和減去正方形的面積，所以陰影部分的面積為(平方厘米)【答案】1.14【例 42】 某仿古錢幣直徑為厘米，錢幣內(nèi)孔邊緣恰好是圓心在錢幣外緣均勻分布的等弧(如圖)求錢幣在桌面上能覆蓋的面積為多少？ 【考點】圓與扇形 【難度】3星 【題型】解答【解析】 將古錢幣分成個部分，外部的個弓形的面積和等于大圓減去內(nèi)接正方形，中間的四個扇形的面積恰好等于內(nèi)接正方形內(nèi)的內(nèi)切圓面積，所以總面積等于：【答案】10.84【例 43】 傳說古老的天竺國有一座鐘樓，鐘樓上有一座大鐘，這座大鐘的鐘面有10平方米每當(dāng)太陽西下，鐘面就會出現(xiàn)

36、奇妙的陰影(如右圖)那么，陰影部分的面積是 平方米【考點】圓與扇形 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】小學(xué)生數(shù)學(xué)報【解析】 等積變形，對應(yīng)思想將中間的正三角形旋轉(zhuǎn)如右圖，圖中陰影部分的面積與原圖陰影部分的面積相等由與，與面積相等，推知陰影部分占圓面積的一半(平方米)【答案】5【鞏固】圖中是一個鐘表的圓面，圖中陰影部分甲與陰影部分乙的面積之比是多少？【考點】圓與扇形 【難度】5星 【題型】解答【解析】 根據(jù)圖形特點，可以把陰影部分甲與乙分別從不同的角度進行分解：陰影部分甲的扇形三角形小弓形；陰影部分乙三角形小弓形；由于扇形的面積容易求得，所以問題的關(guān)鍵在于確定弓形與三角形的面積：綜上所述：陰影

37、部分甲的面積圓的面積的圓的面積的所以甲、乙面積之比為【答案】1:1【鞏固】傳說古老的天竺國有一座鐘樓，鐘樓上有一座大鐘，這座大鐘的鐘面有10平方米每當(dāng)太陽西下，鐘面就會出現(xiàn)奇妙的陰影(如左下圖)那么，陰影部分的面積是多少平方米？ 【考點】圓與扇形 【難度】4星 【題型】解答【解析】 在這個題目中，陰影部分和空白部分都是不規(guī)則圖形，那么我們既無法通過面積公式直接求出陰影部分面積，也無法通過求出空白部分面積，再用大圓面積減去空白部分面積求解，這個時候，我們只能利用整體思想，通過轉(zhuǎn)化，尋找陰影部分與整體圖形的關(guān)系將原題圖中的等邊三角形旋轉(zhuǎn)30(注意，只轉(zhuǎn)三角形，圓形不動)，得到右上圖因為、都是等邊三角形，所以四邊形是菱形，推知與面積相等又因為弦所對的弓形與弦所對的弓形面積相等，所以扇形中陰影部分面積占一半同理，在扇形、扇形中，陰影部分面積也占一半所以，陰影部分面積占圓面積的一半，是(平方米)【答案】5【鞏固】如圖，已知三角形是邊長為26厘米的正三角形，圓的半徑為厘米求陰影部分的面積【考點】圓與扇形 【難度】5星 【題型】解答【解析】 直接解決總陰影面積每塊陰影面積(大弓形小弓形)關(guān)鍵在于大弓形中三角形的面積，設(shè)為弧