二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算PPT課件

1、1二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算 一、二重積分的極坐標(biāo)計(jì)算公式一、二重積分的極坐標(biāo)計(jì)算公式二、典型例題二、典型例題2o d d d d.:多于兩點(diǎn)多于兩點(diǎn)的邊界曲線相交不的邊界曲線相交不與與內(nèi)部的射線內(nèi)部的射線過(guò)閉區(qū)域過(guò)閉區(qū)域出發(fā)且穿出發(fā)且穿從極點(diǎn)從極點(diǎn)的特點(diǎn)的特點(diǎn)區(qū)域區(qū)域ddod考慮典型小閉區(qū)域考慮典型小閉區(qū)域 曲邊四邊形區(qū)域曲邊四邊形區(qū)域 dd ddd 極坐標(biāo)系中的面積元素極坐標(biāo)系中的面積元素一、二重積分的極坐標(biāo)計(jì)算公式3 sincosyx dddd yx 二重積分的變量從直角二重積分的變量從直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)的變換公式坐標(biāo)到極坐標(biāo)的變換公式 ddfyxyxf dd)s

2、in,cos(dd),(o d d d d4計(jì)算方法計(jì)算方法化為二次積分化為二次積分o d)(1 )(2 ),()(:21d.20 ),()(0,)(),(2121 c其其中中5o d)(1 )(2 ef)(1 )(2 ),()(:,21 上取定上取定在在 )()(21d)sin,cos()( ff,: .d)( f df dd)sin,cos( d d)sin,cos()()(21 f )()(21d)sin,cos(df6適用范圍適用范圍;,)1(極極坐坐標(biāo)標(biāo)計(jì)計(jì)算算可可考考慮慮用用圓圓環(huán)環(huán)或或扇扇形形區(qū)區(qū)域域時(shí)時(shí)為為圓圓域域通通常常簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單程程表表示示比比較較的的邊邊界界曲曲線線用用極極

3、坐坐標(biāo)標(biāo)方方積積分分區(qū)區(qū)域域dd.,)2(22標(biāo)計(jì)算標(biāo)計(jì)算式時(shí)可以考慮使用極坐式時(shí)可以考慮使用極坐的因的因通常當(dāng)被積函數(shù)中含有通常當(dāng)被積函數(shù)中含有并易于積分并易于積分函數(shù)表達(dá)式可以簡(jiǎn)化函數(shù)表達(dá)式可以簡(jiǎn)化被積函數(shù)使用極坐標(biāo)后被積函數(shù)使用極坐標(biāo)后yx 7二重積分化為二次積分幾種常見(jiàn)的情形二重積分化為二次積分幾種常見(jiàn)的情形 o d)(1 )(2 .),()(:21 d情情況況一一： df dd)sin,cos( o )(1 )(2 d;d)sin,cos(d)()(21 f8.),(0: d情情況況二二： o d )( 二重積分化為二次積分幾種常見(jiàn)的情形二重積分化為二次積分幾種常見(jiàn)的情形 df dd

4、)sin,cos(;d)sin,cos(d)(0 f9.20 ),(0: d情情況況三三： o)( d.dd , dsd 的的面面積積區(qū)區(qū)域域以以上上各各種種情情形形二重積分化為二次積分幾種常見(jiàn)的情形二重積分化為二次積分幾種常見(jiàn)的情形 df dd)sin,cos(;d)sin,cos(d20)(0 f10.,dde22222ayxadyxdyx 的的圓圓域域?yàn)闉榘氚霃綇绞鞘侵兄行男脑谠谠c(diǎn)點(diǎn)其其中中計(jì)計(jì)算算解解 adyxyx020deddde222 ).e1(2a .20,0: ad二、典型例題例例1 111.10 ,11),(,dd),(2 xxyxyxdyxyxfd其其中中積積分分化化為

5、為極極坐坐標(biāo)標(biāo)形形式式的的二二次次將將解解, 1 圓的方程為圓的方程為,cossin1 直直線線方方程程為為 dyxyxfdd),(所以所以.d)sin,cos(d1cossin120 f ,sin,cos yx因因?yàn)闉? yx122 yx例例2 212.de,102 xx計(jì)計(jì)算算結(jié)結(jié)果果利利用用例例21 dsd 顯然顯然例例3 3解解| ),(2221ryxyxd 2| ),(2222ryxyxd 0, 0 yx0 ,0| ),(ryrxyxs 1d2dss1d2drr2, 0e22 yx因?yàn)橐驗(yàn)?syxyxdde22.dde222 dyxyx 122dde dyxyx所以所以13 ryrx

6、yx00dede22;)de(202 rxx r00ded22 );e1(42r );e1(422r syxyxidde22又又因因?yàn)闉?122dde1dyxyxi 222dde 2dyxyxi同同理理14,41 i,42 i),(4 ni所所以以根根據(jù)據(jù)夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則, 21iii 因因?yàn)闉?;e1(4)de()e1(4 222220rrxrx 所所以以 , 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) r.4)de( 202 xx即即15.03, 03,4,2:,dd)(222222所所圍圍成成的的平平面面區(qū)區(qū)域域計(jì)計(jì)算算 xyyxyyxyyxdyxyxd邊界曲線的極坐標(biāo)方程邊界曲線的極坐標(biāo)方程 sin2222 yyx s

7、in4422 yyx603 yx303 xy dyxyxdd)(22解解 sin4sin2236dd).32(15 例例4 416. 41:,dd)sin(222222 yxdyxyxyxd求求解解 1dd)sin(4dd)sin(22222222ddyxyxyxyxyxyx dsind42120 1d. 4 積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱, ,被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱軸對(duì)稱. .例例5 517.)(2)(222222222所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積和和求由曲線求由曲線ayxyxayx .4 1ddss 根根據(jù)據(jù)對(duì)對(duì)稱稱性性 2cos2)(2)(22222

8、2ayxayx aayx 222).6,( 2cos2aaa得交點(diǎn)得交點(diǎn) 1d例例6 6解解18 1dd4ddddyxyxs 2cos260dd4aa).33(2 a19.)0(24222222部分立體的體積部分立體的體積的那的那所截得的含在圓柱面內(nèi)所截得的含在圓柱面內(nèi)被圓柱面被圓柱面計(jì)算一個(gè)球體計(jì)算一個(gè)球體 aaxyxazyx例例7 720,20,cos20: ad dyxyxavdd44222 cos202220d4d4aa).322(3323 a解解xyoa2daxyx222 21.4)()2()(2)()1(:,dd22222222xyyxyxyxdyxxyid 雙紐線所圍成雙紐線所圍成由下列由下列其中積分區(qū)域其中積分區(qū)域計(jì)算計(jì)算,2cos2)1(2 雙雙紐紐線線的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程為為.見(jiàn)圖見(jiàn)圖其所圍區(qū)域其所圍區(qū)域 d,是是奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于而而被被積積函函數(shù)數(shù)軸軸對(duì)對(duì)稱稱關(guān)關(guān)于于由由于于積積分分區(qū)區(qū)域域yxyxd. 0dd dyxxy故故xyo例例8 8解解22,2sin2)2(2 雙雙紐紐線線的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程為為.見(jiàn)圖見(jiàn)圖其所圍區(qū)域其所圍區(qū)域 d,關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱稱由由于于積積分分區(qū)區(qū)域域d滿滿足足而而被被積積函函數(shù)數(shù)xyyxf