李海東-準確把握概念核心

1、準確把握概念核心準確把握概念核心 設計自然教學過程設計自然教學過程努力提高教學質(zhì)量努力提高教學質(zhì)量 人民教育出版社中學數(shù)學室人民教育出版社中學數(shù)學室 李海東李海東 當前數(shù)學教學中存在的問題當前數(shù)學教學中存在的問題 提高研究教材的水平提高研究教材的水平 重視核心概念教學重視核心概念教學 重視思想方法的教學重視思想方法的教學 基于概念核心、數(shù)學思想方法的教學設計基于概念核心、數(shù)學思想方法的教學設計 設計自然的教學過程，提高課堂教學效益設計自然的教學過程，提高課堂教學效益 國際數(shù)學課程改革的大背景國際數(shù)學課程改革的大背景 新數(shù)運動新數(shù)運動（20世紀世紀50、60年代）年代） 回到基礎回到基礎（20世

2、紀世紀70年代）年代） 問題解決問題解決（20世紀世紀80年代）年代） 標準運動標準運動（20世紀世紀90年代至今）年代至今） 求變求變革新革新反思反思批判批判回歸回歸 一、當前數(shù)學教學中存在的問題一、當前數(shù)學教學中存在的問題新世紀我國基礎教育課程改革新世紀我國基礎教育課程改革上世紀的數(shù)學教育改革上世紀的數(shù)學教育改革20012001義教數(shù)學課程標準義教數(shù)學課程標準 20052005全部使用全部使用20042004普通高中數(shù)學課程標準普通高中數(shù)學課程標準 20122012全部使用全部使用義教數(shù)學課程標準修訂義教數(shù)學課程標準修訂 20052005開始開始 20072007征求意見稿征求意見稿 20

3、102010修改稿修改稿 20112011年頒布年頒布 20122012使用新教材使用新教材學習理念學習理念 冷靜思考冷靜思考探索創(chuàng)新探索創(chuàng)新 實踐提高實踐提高 教師反映的問題教師反映的問題 新課程提倡的理念難把握；新教材的改革設計難新課程提倡的理念難把握；新教材的改革設計難適應；教學方式、學習方式的變革難跟上；課程適應；教學方式、學習方式的變革難跟上；課程改革與考試評價制度的改革不配套；等等。改革與考試評價制度的改革不配套；等等?！靶抡n改后中學數(shù)學教材特點的比較研究新課改后中學數(shù)學教材特點的比較研究”課題的調(diào)查結(jié)課題的調(diào)查結(jié)論論認可教材的主要變化，但實際教學效果不明顯。認可教材的主要變化，但

4、實際教學效果不明顯。教材的主要變化教材的主要變化 1.1.更重視數(shù)學知識的更重視數(shù)學知識的學習過程學習過程，加強教材的啟發(fā)性、探究性、發(fā)展，加強教材的啟發(fā)性、探究性、發(fā)展性；性； 2.2.更重視數(shù)學知識與更重視數(shù)學知識與實際問題實際問題的聯(lián)系，加強教材對實際背景與實際的聯(lián)系，加強教材對實際背景與實際應用的反映。應用的反映。本次課程改革，各個版本的教材在呈現(xiàn)方式上都作了很大的改進，本次課程改革，各個版本的教材在呈現(xiàn)方式上都作了很大的改進，教材中都設計了一些引導學生思維的欄目，注意留給學生探索與交教材中都設計了一些引導學生思維的欄目，注意留給學生探索與交流的空間，選材注重與學生現(xiàn)實生活的聯(lián)系等等。

5、從統(tǒng)計結(jié)果來看流的空間，選材注重與學生現(xiàn)實生活的聯(lián)系等等。從統(tǒng)計結(jié)果來看，教師對教材的這些處理還是比較認可的。但是，盡管教師認可教，教師對教材的這些處理還是比較認可的。但是，盡管教師認可教材的呈現(xiàn)方式，學生的學習興趣和學習的自主性并沒有明顯的提高材的呈現(xiàn)方式，學生的學習興趣和學習的自主性并沒有明顯的提高，這應當引起我們的注意。，這應當引起我們的注意。課標教材中設置的引導課標教材中設置的引導思維的欄目（如思維的欄目（如“想一想一想想”“”“探究探究”等）對學等）對學生掌握相關內(nèi)容生掌握相關內(nèi)容對于課標教材中設置的對于課標教材中設置的引導學生思維的欄目數(shù)引導學生思維的欄目數(shù)量，您認為量，您認為課標

6、教材給學生探課標教材給學生探索和交流的空間索和交流的空間課標教材聯(lián)系生課標教材聯(lián)系生活實際的問題活實際的問題課標教材的教學中，課標教材的教學中，學生的學習興趣學生的學習興趣課標教材的教學中，課標教材的教學中，學生學習的自主性學生學習的自主性 能力方面?zhèn)鹘y(tǒng)優(yōu)勢降低，改革倡導的能力沒有顯著提高。能力方面?zhèn)鹘y(tǒng)優(yōu)勢降低，改革倡導的能力沒有顯著提高。 對于學生對基礎知識和基本技能的掌握，教師的態(tài)度比較對于學生對基礎知識和基本技能的掌握，教師的態(tài)度比較中性。對于傳統(tǒng)的中性。對于傳統(tǒng)的“三大能力三大能力”中的運算能力和邏輯思維中的運算能力和邏輯思維能力，教師的評價是負面的。對于同是能力，教師的評價是負面的。

7、對于同是“三大能力三大能力”的空的空間想象能力，教師的評價是正面的。另外，本次課程改革，間想象能力，教師的評價是正面的。另外，本次課程改革，從課程標準到各個版本的教材，都注意加強了對學生解決從課程標準到各個版本的教材，都注意加強了對學生解決實際問題能力、探究能力、數(shù)學表達與交流能力的培養(yǎng)。實際問題能力、探究能力、數(shù)學表達與交流能力的培養(yǎng)。但從調(diào)查結(jié)果來看，教師的選擇出現(xiàn)了分化，三個問題的但從調(diào)查結(jié)果來看，教師的選擇出現(xiàn)了分化，三個問題的回答，選擇回答，選擇“提高提高”“”“差不多差不多”“”“降低降低”的比例大致相同，的比例大致相同，并沒有得到我們預期并沒有得到我們預期“提高提高”的結(jié)果。的結(jié)

8、果。使用課標教材后，使用課標教材后，學生的運算能力與學生的運算能力與您的預期相比您的預期相比使用課標教材后，使用課標教材后，學生的邏輯思維能學生的邏輯思維能力與您的預期相比力與您的預期相比使用課標教材后，使用課標教材后，學生的解決實際學生的解決實際問題的能力與您問題的能力與您的預期相比的預期相比使用課標教材后，使用課標教材后，學生的自主探究能學生的自主探究能力與您的預期相比力與您的預期相比 客觀原因客觀原因 影響教材實驗及其效果的因素是復雜的。比如，影響教材實驗及其效果的因素是復雜的。比如，由于班額普遍偏大（初中班額在由于班額普遍偏大（初中班額在50人以上的占人以上的占77%強，在強，在60人

9、以上占人以上占41.82；高中班額在；高中班額在50人人以上的占以上的占76.44%，在，在60人以上的占人以上的占38.12 ），以），以及受升學、考試等的影響，盡管教師認可教材重及受升學、考試等的影響，盡管教師認可教材重視數(shù)學知識的學習過程、加強啟發(fā)性及探究性等視數(shù)學知識的學習過程、加強啟發(fā)性及探究性等處理方式，但這些措施在實際教學中往往難以到處理方式，但這些措施在實際教學中往往難以到落實。落實。 反思我們自己的問題反思我們自己的問題 教學層面的問題教學層面的問題 數(shù)學教學數(shù)學教學“不自然不自然”，強加于人；，強加于人； 缺乏問題意識；缺乏問題意識； 重結(jié)果輕過程，重結(jié)果輕過程，“掐頭去尾

10、燒中段掐頭去尾燒中段”； 重解題技能技巧輕普適性思考方法的概括，方法論層次的重解題技能技巧輕普適性思考方法的概括，方法論層次的內(nèi)容滲透不夠，機械模仿多獨立思考少，數(shù)學思維層次不內(nèi)容滲透不夠，機械模仿多獨立思考少，數(shù)學思維層次不高；高； “重邏輯而輕思想重邏輯而輕思想”。強調(diào)細枝末節(jié)多關注基本概念、核。強調(diào)細枝末節(jié)多關注基本概念、核心數(shù)學思想少，對學生數(shù)學素養(yǎng)的提高不利。心數(shù)學思想少，對學生數(shù)學素養(yǎng)的提高不利。 學生學習方法單一，被動。學生自主歸納抽象結(jié)論少，不學生學習方法單一，被動。學生自主歸納抽象結(jié)論少，不利于創(chuàng)新精神的培養(yǎng)。利于創(chuàng)新精神的培養(yǎng)。 教師層面的問題教師層面的問題 對數(shù)學課程、教

11、材的體系結(jié)構(gòu)、內(nèi)容及其組織方式把握不對數(shù)學課程、教材的體系結(jié)構(gòu)、內(nèi)容及其組織方式把握不準；對中學數(shù)學概念的核心把握不準確，對概念所反映的準；對中學數(shù)學概念的核心把握不準確，對概念所反映的思想方法的理解水平不高；思想方法的理解水平不高； 只能抽象籠統(tǒng)地描述數(shù)學教學目標，導致教學措施無的放只能抽象籠統(tǒng)地描述數(shù)學教學目標，導致教學措施無的放矢，對是否已經(jīng)達成教學目標心中無數(shù)；對自己設計的教矢，對是否已經(jīng)達成教學目標心中無數(shù)；對自己設計的教學方案不能取得預期效果，不能從設計層面給出令人信服學方案不能取得預期效果，不能從設計層面給出令人信服的解釋，往往只把問題歸咎于教學系統(tǒng)的復雜性；的解釋，往往只把問題

12、歸咎于教學系統(tǒng)的復雜性； 采取的教學方法、策略和模式都比較單一，機械地套用一采取的教學方法、策略和模式都比較單一，機械地套用一些已有的解決教學問題方案，缺乏根據(jù)教學問題和教學條些已有的解決教學問題方案，缺乏根據(jù)教學問題和教學條件創(chuàng)建解決教學問題的新方法。件創(chuàng)建解決教學問題的新方法。例例 對概率的頻率定義的錯誤理解對概率的頻率定義的錯誤理解 頻率的穩(wěn)定值就是概率的估計值。頻率的穩(wěn)定值就是概率的估計值。 隨著試驗次數(shù)的增加，頻率就越來越接近于概隨著試驗次數(shù)的增加，頻率就越來越接近于概率。率。 用頻率估計概率，一定要大量重復試驗。用頻率估計概率，一定要大量重復試驗。 必然事件與概率為必然事件與概率為

13、1等價，不可能事件與概率等價，不可能事件與概率為為0等價，隨機事件的概率大于等價，隨機事件的概率大于0而小于而小于1 。lim()1nmPpnlimnmpn例例 平方差公式的教學中的思想方法平方差公式的教學中的思想方法 公式教學的基本過程：公式教學的基本過程：歸納公式（歸納公式（“舉三反一舉三反一”，概括其本質(zhì)屬性）概括其本質(zhì)屬性）表示公式（文字、符號語言表示公式（文字、符號語言表示）表示）辨析公式（明確其結(jié)構(gòu)特征）辨析公式（明確其結(jié)構(gòu)特征）應用公應用公式（式（“舉一反三舉一反三”）。）。例例 如何闡述教學目標如何闡述教學目標 目標：目標：理解正數(shù)與負數(shù)的概念理解正數(shù)與負數(shù)的概念 目標解析：目

14、標解析： 了解：通過實際例子，感受引入負數(shù)的必要性，了解：通過實際例子，感受引入負數(shù)的必要性，會用正、負數(shù)表示一對具有相反意義的量；進而會用正、負數(shù)表示一對具有相反意義的量；進而初步獲得正數(shù)、負數(shù)的抽象概念。初步獲得正數(shù)、負數(shù)的抽象概念。 理解：能用正負數(shù)表示實際問題中的數(shù)量，并理解：能用正負數(shù)表示實際問題中的數(shù)量，并隨著絕對值、相反數(shù)等概念的學習，逐漸熟練地隨著絕對值、相反數(shù)等概念的學習，逐漸熟練地進行正、負數(shù)的運算。進行正、負數(shù)的運算。例例. .努力改進教學方式努力改進教學方式 講授法、討論法、自學輔導法、發(fā)現(xiàn)法講授法、討論法、自學輔導法、發(fā)現(xiàn)法 啟發(fā)式啟發(fā)式 在教學方式的改進中，最重要的

15、是要讓學生有自己積極在教學方式的改進中，最重要的是要讓學生有自己積極地、獨立地進行數(shù)學思考的空間。不管是傳授式還是活地、獨立地進行數(shù)學思考的空間。不管是傳授式還是活動式（相應的，學生學習方式是接受式或發(fā)現(xiàn)式），只動式（相應的，學生學習方式是接受式或發(fā)現(xiàn)式），只要學生有思維的自主，就是學生的自主地位得到體現(xiàn)。要學生有思維的自主，就是學生的自主地位得到體現(xiàn)。 根據(jù)數(shù)學知識的認知需要，為學生設置恰當?shù)慕虒W情景，根據(jù)數(shù)學知識的認知需要，為學生設置恰當?shù)慕虒W情景，通過恰時恰點的問題引導學生的學習活動，充分使用通過恰時恰點的問題引導學生的學習活動，充分使用“先行組織者先行組織者”，在思想方法上多做引導，在

16、具體細節(jié)，在思想方法上多做引導，在具體細節(jié)上讓學生自己多動手做、多閱讀、多思考、多交流，讓上讓學生自己多動手做、多閱讀、多思考、多交流，讓學生多發(fā)表意見，教師自己參與到學生的活動中去，多學生多發(fā)表意見，教師自己參與到學生的活動中去，多聽少講，在關鍵點上讓學生有機會提出自己的見解。聽少講，在關鍵點上讓學生有機會提出自己的見解。教學方式教學方式教師主導取教師主導取向的接受式向的接受式學生自主取學生自主取向的活動式向的活動式主動被動有意義有意義（啟發(fā)式）（啟發(fā)式）機械機械 （注入式）（注入式）有意義有意義（理解、探究）（理解、探究）機械機械（死記硬背）（死記硬背）二、提高研究教材的水平二、提高研究教

17、材的水平 仔細分析教材編寫意圖：教材中的每一句話都是經(jīng)過仔細分析教材編寫意圖：教材中的每一句話都是經(jīng)過仔細推敲的，教材中的例題是經(jīng)過反復打磨的，習題仔細推敲的，教材中的例題是經(jīng)過反復打磨的，習題是經(jīng)過精挑細選的。是經(jīng)過精挑細選的。 內(nèi)容順序不應隨意調(diào)整；例子不是不可以換，但換內(nèi)容順序不應隨意調(diào)整；例子不是不可以換，但換的時候要想清楚理由。的時候要想清楚理由。例例 負數(shù)的引入負數(shù)的引入例例 一元一次方程的整體安排一元一次方程的整體安排例例 等腰三角形在軸對稱之后研究等腰三角形在軸對稱之后研究 關于核心概念關于核心概念 基礎性基礎性在相應領域具有基礎地位，并能形成聯(lián)系通暢在相應領域具有基礎地位，并

18、能形成聯(lián)系通暢的結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu) 發(fā)展性發(fā)展性具有自我生長的活力，容易在新情境中引發(fā)新具有自我生長的活力，容易在新情境中引發(fā)新思想和新方法思想和新方法 可行性可行性與學生的思維發(fā)展水平和數(shù)學學習方式保持一與學生的思維發(fā)展水平和數(shù)學學習方式保持一致，是可學、能學的致，是可學、能學的 例如：代數(shù)中的運算律（分配律）就比因式分解的一些具例如：代數(shù)中的運算律（分配律）就比因式分解的一些具體方法和技巧（十字相乘法）有更高的理論和實踐價值體方法和技巧（十字相乘法）有更高的理論和實踐價值三、重視核心概念的教學三、重視核心概念的教學 推廣推廣 類比類比 當前內(nèi)容當前內(nèi)容 聯(lián)系聯(lián)系 特殊化特殊化例例 有理數(shù)及其運算有

19、理數(shù)及其運算 在數(shù)與代數(shù)領域，有理數(shù)及其運算是一切運在數(shù)與代數(shù)領域，有理數(shù)及其運算是一切運算系統(tǒng)的基礎。將其他運算的對象和數(shù)作類比，算系統(tǒng)的基礎。將其他運算的對象和數(shù)作類比，可以使我們得到很多研究方法方面的啟示。可以使我們得到很多研究方法方面的啟示。 數(shù)數(shù)運算（加、乘、指數(shù)運算）和逆運算運算（加、乘、指數(shù)運算）和逆運算運算律運算律 大小關系大小關系 式式運算（加、乘、指數(shù)運算）和逆運算運算（加、乘、指數(shù)運算）和逆運算運算律運算律 大小關系大小關系 解代數(shù)方程解代數(shù)方程有系統(tǒng)地運用運算律（特別是分配律）去有系統(tǒng)地運用運算律（特別是分配律）去簡化所給的代數(shù)方程，并最終化歸為簡化所給的代數(shù)方程，并最

20、終化歸為x=a的形式。的形式。 向量向量運算運算運算律運算律向量法向量法 向量法實際上是利用向量表示空間基本元素，將空間的向量法實際上是利用向量表示空間基本元素，將空間的基本性質(zhì)和基本定理的轉(zhuǎn)化成為向量運算律的系統(tǒng)運用?；拘再|(zhì)和基本定理的轉(zhuǎn)化成為向量運算律的系統(tǒng)運用。 數(shù)式通性數(shù)式通性整式整式 數(shù)式通性數(shù)式通性分式分式 數(shù)式通性數(shù)式通性二次根式二次根式 加強概念教學加強概念教學 概念教學的核心概念教學的核心概括概括（同類事物的共同本質(zhì)特征）（同類事物的共同本質(zhì)特征） 概括是形成和掌握概念的前提；遷移的實質(zhì)就是概括；概概括是形成和掌握概念的前提；遷移的實質(zhì)就是概括；概括是一切思維品質(zhì)的基礎；概

21、括能力是思維能力的基礎。括是一切思維品質(zhì)的基礎；概括能力是思維能力的基礎。 “舉三反一舉三反一”與與“舉一反三舉一反三” 舉三反一舉三反一分化分化用典型、豐富的具體事例，分析、用典型、豐富的具體事例，分析、綜合、比較而概括出共同本質(zhì)屬性；綜合、比較而概括出共同本質(zhì)屬性； 舉一反三舉一反三類化類化把共同本質(zhì)屬性推廣到同類事物中；把共同本質(zhì)屬性推廣到同類事物中； 對具體例證進行分化、類化是概念教學的重要步驟，教會對具體例證進行分化、類化是概念教學的重要步驟，教會學生自己分析材料、比較屬性是教學的重要任務；發(fā)現(xiàn)關學生自己分析材料、比較屬性是教學的重要任務；發(fā)現(xiàn)關系的能力是很重要的。系的能力是很重要的

22、。概念教學的基本環(huán)節(jié)概念教學的基本環(huán)節(jié) 概念的引入概念的引入從數(shù)學概念體系的發(fā)展過程或解決實際問從數(shù)學概念體系的發(fā)展過程或解決實際問題的需要引入概念；題的需要引入概念； 概念的形成概念的形成提供提供典型豐富的具體例證，進行屬性的分典型豐富的具體例證，進行屬性的分析、比較、綜合，概括共同本質(zhì)特征得到本質(zhì)屬性；析、比較、綜合，概括共同本質(zhì)特征得到本質(zhì)屬性； 概念的明確與表示概念的明確與表示下定義，給出準確的數(shù)學語言描述下定義，給出準確的數(shù)學語言描述（文字的、符號的）；（文字的、符號的）； 概念的辨析概念的辨析以實例為載體分析關鍵詞的含義（恰當使以實例為載體分析關鍵詞的含義（恰當使用反例）；用反例）

23、； 概念的鞏固應用概念的鞏固應用用概念作判斷的具體事例，形成用概用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟；念作判斷的具體步驟； 概念的概念的“精致精致”納入概念系統(tǒng)，建立與相關概念的聯(lián)納入概念系統(tǒng)，建立與相關概念的聯(lián)系。系。例例 反比例函數(shù)概念的教學反比例函數(shù)概念的教學 勻速運動路程固定，速度與時間的關系；商品總價固定，勻速運動路程固定，速度與時間的關系；商品總價固定，單價與商品數(shù)量的關系；長方形面積固定，長與寬的關單價與商品數(shù)量的關系；長方形面積固定，長與寬的關系；系； 讓學生概括共同本質(zhì)特征（函數(shù)關系，反比例關系）；讓學生概括共同本質(zhì)特征（函數(shù)關系，反比例關系）； 下定義下定義給

24、出反比例函數(shù)的文字和符號描述；給出反比例函數(shù)的文字和符號描述； 辨析：從反比例關系、函數(shù)兩方面辨析概念，注意反例的辨析：從反比例關系、函數(shù)兩方面辨析概念，注意反例的使用，如讓學生思考函數(shù)使用，如讓學生思考函數(shù)y=1/xy=1/x2 2是不是反比例函數(shù)；是不是反比例函數(shù)； 例題例題用概念作判斷的用概念作判斷的“操作步驟操作步驟”，強調(diào)，強調(diào)“自變量自變量x x與相應的函數(shù)值與相應的函數(shù)值y y是否成反比例關系是否成反比例關系”，可以用反例讓學，可以用反例讓學生分析，使學生進一步明確生分析，使學生進一步明確“求反比例函數(shù)求反比例函數(shù)”的含義；的含義； 通過與一般函數(shù)概念、正比例函數(shù)概念等比較，進一

25、步明通過與一般函數(shù)概念、正比例函數(shù)概念等比較，進一步明確反比例函數(shù)反映了確反比例函數(shù)反映了“一類事物一類事物”的變化規(guī)律，使學生逐的變化規(guī)律，使學生逐步學會用反比例函數(shù)刻畫事物的變化規(guī)律。步學會用反比例函數(shù)刻畫事物的變化規(guī)律。關于概念教學的一些要求關于概念教學的一些要求（1 1）采?。┎扇　皻w納式歸納式”進行概念教學，讓學生經(jīng)歷概進行概念教學，讓學生經(jīng)歷概 念的概括過程；念的概括過程；（2 2）正確、充分地提供概念的變式；）正確、充分地提供概念的變式；（3 3）適當應用反例；）適當應用反例；（4 4）在概念的系統(tǒng)中學習概念，建立概念的）在概念的系統(tǒng)中學習概念，建立概念的“多元多元 聯(lián)系表示聯(lián)系

26、表示”；（5 5）精心設計練習。）精心設計練習。四、重視思想方法的教學四、重視思想方法的教學 什么是數(shù)學思想方法？什么是數(shù)學思想方法？ 數(shù)學思想是對數(shù)學對象的本質(zhì)認識，是對具體的數(shù)學數(shù)學思想是對數(shù)學對象的本質(zhì)認識，是對具體的數(shù)學概念、命題、規(guī)律方法等的認識過程中提煉概括的基概念、命題、規(guī)律方法等的認識過程中提煉概括的基本觀點和根本想法，對數(shù)學活動具有普遍的指導意義，本觀點和根本想法，對數(shù)學活動具有普遍的指導意義，是數(shù)學活動的指導思想。數(shù)學方法是指數(shù)學活動中所是數(shù)學活動的指導思想。數(shù)學方法是指數(shù)學活動中所采用的途徑、方式、手段、策略等。二者有很強的聯(lián)采用的途徑、方式、手段、策略等。二者有很強的聯(lián)

27、系性。通常，在強調(diào)數(shù)學活動的指導思想時稱數(shù)學思系性。通常，在強調(diào)數(shù)學活動的指導思想時稱數(shù)學思想，在強調(diào)具體操作過程時稱數(shù)學方法。想，在強調(diào)具體操作過程時稱數(shù)學方法。 數(shù)學思想方法的層次性數(shù)學思想方法的層次性 （1）解題術）解題術與某些特殊問題聯(lián)系在一起的方法，在與某些特殊問題聯(lián)系在一起的方法，在特定環(huán)境中發(fā)揮作用，具有較固定的操作程序。特定環(huán)境中發(fā)揮作用，具有較固定的操作程序。 求差法求差法 （2）解題通法）解題通法解決一類問題時可以采用的共同方法，解決一類問題時可以采用的共同方法，操作程序不是很具體，但適用范圍比較廣泛。操作程序不是很具體，但適用范圍比較廣泛。換元法換元法 配配方法方法 數(shù)學

28、歸納法數(shù)學歸納法 （3）數(shù)學思想）數(shù)學思想對數(shù)學及其對象，對數(shù)學的概念、命對數(shù)學及其對象，對數(shù)學的概念、命題、法則、原理以及數(shù)學方法的本質(zhì)性認識，程序性弱，題、法則、原理以及數(shù)學方法的本質(zhì)性認識，程序性弱，功能性強。功能性強。分類思想分類思想 化歸思想化歸思想 函數(shù)思想函數(shù)思想 數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合 極極限思想限思想 統(tǒng)計思想統(tǒng)計思想 （4）數(shù)學觀念）數(shù)學觀念數(shù)學思想方法的最高境界，認識客觀數(shù)學思想方法的最高境界，認識客觀世界的哲學思想。世界的哲學思想。 例：二元一次方程組解法中的數(shù)學思想方法例：二元一次方程組解法中的數(shù)學思想方法 化歸化歸消元消元代入（加減）代入（加減）恒等變換（整體代換）恒等變

29、換（整體代換） 新課標中的新課標中的“基本思想基本思想” 獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知基礎知識、基識、基 本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。 抽象：抽象：把與數(shù)學有關的知識引入數(shù)學內(nèi)部；把與數(shù)學有關的知識引入數(shù)學內(nèi)部； 推理：推理：促進數(shù)學內(nèi)部的發(fā)展；促進數(shù)學內(nèi)部的發(fā)展； 模型：模型：溝通數(shù)學與外部世界的橋梁。溝通數(shù)學與外部世界的橋梁。 例：一元二次方程中的基本思想例：一元二次方程中的基本思想 數(shù)學思想方法教學的層次性數(shù)學思想方法教學的層次性 滲透。滲透。在具體的數(shù)學知識的教學中，融進某些抽象的數(shù)學在具

30、體的數(shù)學知識的教學中，融進某些抽象的數(shù)學思想方法，使學生對這些思想方法有一些初步的感覺或直思想方法，使學生對這些思想方法有一些初步的感覺或直覺。例如，集合與對應、公理化與結(jié)構(gòu)化、極限、算法與覺。例如，集合與對應、公理化與結(jié)構(gòu)化、極限、算法與程序化的思想方法等。程序化的思想方法等。 介紹。介紹。把某些數(shù)學思想方法在適當時候引進到數(shù)學知識中，把某些數(shù)學思想方法在適當時候引進到數(shù)學知識中，使學生對這些思想方法由初步的理解，有一定的理性認識。使學生對這些思想方法由初步的理解，有一定的理性認識。例如，符號與變元表示、模型化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、例如，符號與變元表示、模型化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、概率統(tǒng)

31、計、分類、化歸的思想方法等。概率統(tǒng)計、分類、化歸的思想方法等。 突出。突出。在介紹的基礎上經(jīng)常性地予以強調(diào)，使學生能加以在介紹的基礎上經(jīng)常性地予以強調(diào)，使學生能加以運用。初中數(shù)學教學中要突出的有數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、運用。初中數(shù)學教學中要突出的有數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸的思想方法等?；瘹w的思想方法等。 加強數(shù)學思想方法的教學加強數(shù)學思想方法的教學 數(shù)學思想方法具有過程性的特點，數(shù)學概念和原數(shù)學思想方法具有過程性的特點，數(shù)學概念和原理的形成過程是進行數(shù)學思想方法教學的載體；理的形成過程是進行數(shù)學思想方法教學的載體；數(shù)學思想方法還具有活動性的特點，學生頭腦中數(shù)學思想方法還具有活動性的特點，學生頭

32、腦中的數(shù)學思想方法也是在數(shù)學學習活動中逐步形成的數(shù)學思想方法也是在數(shù)學學習活動中逐步形成的。這就的。這就要求我們精心設計教學過程，從問題的要求我們精心設計教學過程，從問題的提出、情景的創(chuàng)設，到教學方法的選擇，整個教提出、情景的創(chuàng)設，到教學方法的選擇，整個教學過程都要精心設計安排，有意識有目的地進行學過程都要精心設計安排，有意識有目的地進行數(shù)學思想方法的教學。數(shù)學思想方法的教學。 1 1引入過程重視引入過程重視“先行組織者先行組織者”的使用，加強研究方法的的使用，加強研究方法的指導。指導。 例：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)例：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) 通常的做法：回顧正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并列出表格，

33、通常的做法：回顧正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并列出表格，列出解析式、形狀、位置、圖象趨勢、增減性等，接下來列出解析式、形狀、位置、圖象趨勢、增減性等，接下來類比這些內(nèi)容研究反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)。類比這些內(nèi)容研究反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)。 先行組織者策略：要研究反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，首先先行組織者策略：要研究反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，首先思考我們研究過哪些函數(shù)的圖象和性質(zhì)？是怎么研究的？思考我們研究過哪些函數(shù)的圖象和性質(zhì)？是怎么研究的？要研究那些問題？研究的方法是什么？要研究那些問題？研究的方法是什么？ 2 2設計好的問題，讓學生經(jīng)歷思想方法的形成過程。設計好的問題，讓學生經(jīng)歷思想方法的形成過程。

34、例：二元一次方程組的解法例：二元一次方程組的解法 新問題是什么？學習過什么老問題？將新問題轉(zhuǎn)化為老問新問題是什么？學習過什么老問題？將新問題轉(zhuǎn)化為老問題就是化未知為已知、化復雜為簡單、化陌生為熟悉、化題就是化未知為已知、化復雜為簡單、化陌生為熟悉、化困難為容易的化歸思想。困難為容易的化歸思想。 怎樣將新問題轉(zhuǎn)化為老問題？這種怎樣將新問題轉(zhuǎn)化為老問題？這種“將未知數(shù)的個數(shù)由多將未知數(shù)的個數(shù)由多化少、逐一解決化少、逐一解決”的思想就是消元思想。的思想就是消元思想。 怎樣消元？也就產(chǎn)生了代入與加減兩種消元的方法。怎樣消元？也就產(chǎn)生了代入與加減兩種消元的方法。 如何如何“代入代入”與與“加減加減”？需

35、要具體的代數(shù)的恒等變換的？需要具體的代數(shù)的恒等變換的方法。方法。 3 3發(fā)揮小結(jié)的作用，讓學生學習的思想方法也納入認知發(fā)揮小結(jié)的作用，讓學生學習的思想方法也納入認知系統(tǒng)。系統(tǒng)。 例：代入消元法的框圖例：代入消元法的框圖3. 3. 加強研究方法的引導，提高課堂教學的思想加強研究方法的引導，提高課堂教學的思想性。性。 不要把數(shù)學教學蛻化為不要把數(shù)學教學蛻化為“解題教學解題教學”，進一步蛻化為，進一步蛻化為 “ “刺激刺激反應反應”訓練。訓練。 提高思想性的做法提高思想性的做法加強加強“先行組織者先行組織者”的使用的使用, ,加強研究方法的指導加強研究方法的指導. . 過程與結(jié)果并重，加強過程性過程

36、與結(jié)果并重，加強過程性沒有過程等于沒有沒有過程等于沒有思想。思想。例例 如和研究研究四邊形如和研究研究四邊形 研究的問題研究的問題 一般四邊形：組成元素、度量（內(nèi)角和等問題）；一般四邊形：組成元素、度量（內(nèi)角和等問題）； 特殊四邊形：從邊的特殊性和角的特殊性入手；特殊四邊形：從邊的特殊性和角的特殊性入手； 邊的特殊邊的特殊平行四邊形：性質(zhì)和判定；平行四邊形：性質(zhì)和判定；“性質(zhì)性質(zhì)”研研究的是在究的是在“平行四邊形平行四邊形”的條件下，它的組成元素有什么的條件下，它的組成元素有什么普遍規(guī)律，如邊的大小關系、內(nèi)角的關系、對角線的關系普遍規(guī)律，如邊的大小關系、內(nèi)角的關系、對角線的關系等；等；“判定判

37、定”研究的是具備什么條件的四邊形才是平行四研究的是具備什么條件的四邊形才是平行四邊形；其他度量問題；邊形；其他度量問題； 角的特殊角的特殊矩形，邊的特殊矩形，邊的特殊菱形，邊角都特菱形，邊角都特殊殊正方形，都要研究性質(zhì)和判定。正方形，都要研究性質(zhì)和判定。 研究的方法研究的方法 化歸為三角形、平行線等已有知識?；瘹w為三角形、平行線等已有知識。 特殊的平行四邊形的研究要注意特殊的三角形的知識：矩特殊的平行四邊形的研究要注意特殊的三角形的知識：矩形形直角三角形；菱形直角三角形；菱形等腰三角形。等腰三角形。例例 研究方法的聯(lián)系研究方法的聯(lián)系 函數(shù)性質(zhì)的討論函數(shù)性質(zhì)的討論 （正比例函數(shù)（正比例函數(shù)一次函

38、數(shù)一次函數(shù)反比例函數(shù)反比例函數(shù) 二次函數(shù)）二次函數(shù)） 研究內(nèi)容：自變量取值范圍、函數(shù)的圖象、研究內(nèi)容：自變量取值范圍、函數(shù)的圖象、 函數(shù)的增減性函數(shù)的增減性 研究方法：畫函數(shù)圖象，觀察歸納，數(shù)形結(jié)合等。研究方法：畫函數(shù)圖象，觀察歸納，數(shù)形結(jié)合等。 三步曲三步曲 相關的問題：圖象與坐標軸的交點、何時函數(shù)值大相關的問題：圖象與坐標軸的交點、何時函數(shù)值大 于零或小于零等。于零或小于零等。 對對”與圓有關的位置關系與圓有關的位置關系”的處理的處理 24.2.1 24.2.1 點和圓的位置關系點和圓的位置關系 24.2.2 24.2.2 直線和圓的位置關系直線和圓的位置關系 24.2.3 24.2.3

39、圓和圓的位置關系圓和圓的位置關系 研究的對象研究的對象-兩個圖形間的位置關系兩個圖形間的位置關系 研究的方法研究的方法-將兩個圖形間的位置關系分類，從幾何、將兩個圖形間的位置關系分類，從幾何、代數(shù)兩方面分析特性代數(shù)兩方面分析特性 關注的問題關注的問題-（1 1）幾何特性（交點個數(shù)及區(qū)域分布）幾何特性（交點個數(shù)及區(qū)域分布） （2 2）代數(shù)特性（）代數(shù)特性（“兩圖形間的距離兩圖形間的距離”與半徑的比較）與半徑的比較） 數(shù)形結(jié)合兩方面討論數(shù)形結(jié)合兩方面討論 教學設計的基本線索教學設計的基本線索 內(nèi)容和內(nèi)容解析；內(nèi)容和內(nèi)容解析； 目標和目標解析；目標和目標解析； 教學問題診斷分析；教學問題診斷分析；

40、教學支持條件分析教學支持條件分析 教學過程設計；教學過程設計； 目標檢測的設計。目標檢測的設計。 五、基于概念核心、思想方法的教學設計五、基于概念核心、思想方法的教學設計1 1內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容和內(nèi)容解析 內(nèi)容：針對內(nèi)容：針對“核心概念核心概念”內(nèi)涵和外延的準確表達；內(nèi)涵和外延的準確表達； 內(nèi)容解析：內(nèi)容解析：重點是在揭示概念內(nèi)涵的基礎上，說重點是在揭示概念內(nèi)涵的基礎上，說明概念的核心之所在，并要對概念在中學數(shù)學中明概念的核心之所在，并要對概念在中學數(shù)學中的地位進行分析，其中隱含的思想方法要做出明的地位進行分析，其中隱含的思想方法要做出明確表述。在此基礎上闡明教學重點。確表述。在此基礎上闡明教

41、學重點。 例例 “ “函數(shù)函數(shù)”概念的核心概念的核心 函數(shù)概念的發(fā)展歷史函數(shù)概念的發(fā)展歷史 函數(shù)的產(chǎn)生來自研究變量的需要。函數(shù)的產(chǎn)生來自研究變量的需要。 1717世紀，伽利略、笛卡爾等已注意到一個變量對另一個變世紀，伽利略、笛卡爾等已注意到一個變量對另一個變量的依賴關系。牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分時雖未給函數(shù)量的依賴關系。牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分時雖未給函數(shù)下明確的定義，但實際上已形成對變量之間的對應關系的下明確的定義，但實際上已形成對變量之間的對應關系的關注。關注。 1818世紀，函數(shù)被認為是由變量世紀，函數(shù)被認為是由變量x x和常量構(gòu)成的式子。約翰和常量構(gòu)成的式子。約翰 貝努利：貝努利：“由

42、任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量。由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量。” ” 歐拉這個定義稱為解析函數(shù)，并進一步把它按照含有的運歐拉這個定義稱為解析函數(shù)，并進一步把它按照含有的運算種類區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)。算種類區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)。 1919世紀，對函數(shù)的認識發(fā)展到強調(diào)對應關系?？挛鳎菏兰o，對函數(shù)的認識發(fā)展到強調(diào)對應關系?？挛鳎骸霸谠谀承┳償?shù)間存在著一定的關系，當一經(jīng)給定其中某一變數(shù)某些變數(shù)間存在著一定的關系，當一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時，則將最初的變數(shù)叫的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。自變量，其他各變數(shù)叫做

43、函數(shù)?！备道锶~發(fā)現(xiàn)函數(shù)也可以傅里葉發(fā)現(xiàn)函數(shù)也可以用曲線表示，也可以用式子表示，使對函數(shù)的認識跳出式用曲線表示，也可以用式子表示，使對函數(shù)的認識跳出式子的限制。當集合論在數(shù)學中占有重要地位之后，維布倫子的限制。當集合論在數(shù)學中占有重要地位之后，維布倫用用“集合集合”之間的之間的“對應對應”給出了近代函數(shù)定義，使得函給出了近代函數(shù)定義，使得函數(shù)概念具有三個要素即對應關系、定義域及值域。數(shù)概念具有三個要素即對應關系、定義域及值域。 2020世紀后，現(xiàn)代函數(shù)概念世紀后，現(xiàn)代函數(shù)概念“集合之間的映射集合之間的映射”方式定方式定義形成，即義形成，即“若存在若存在集合集合M到到N的一個映射的一個映射f，則稱

44、在集合，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為上定義一個函數(shù)，記為y=f(x)，其中，其中x 是是M的任一元素，的任一元素，y是是x在在N中的像中的像?！?初中階段引入的函數(shù)概念，是從運動變化的觀點出發(fā)，強初中階段引入的函數(shù)概念，是從運動變化的觀點出發(fā)，強調(diào)的是對于函數(shù)概念的形式化的定義，用調(diào)的是對于函數(shù)概念的形式化的定義，用“變量變量”來描述來描述函數(shù)；到高中之后，再進一步從集合、對應的觀點，來刻函數(shù)；到高中之后，再進一步從集合、對應的觀點，來刻畫函數(shù)的概念畫函數(shù)的概念 初中階段的初中階段的函數(shù)定義為：在一個變化過程中，如果有兩個函數(shù)定義為：在一個變化過程中，如果有兩個變量變量x和和y，并且對于，

45、并且對于x的每一個確定的值，的每一個確定的值，y都有唯一確定都有唯一確定的值與它對應，則稱的值與它對應，則稱x為自變量，為自變量，y為為x的函數(shù)的函數(shù) 分析初中的定義中對函數(shù)概念內(nèi)涵的文字描述，可以發(fā)現(xiàn)，分析初中的定義中對函數(shù)概念內(nèi)涵的文字描述，可以發(fā)現(xiàn)，它強調(diào)了近代函數(shù)定義中的它強調(diào)了近代函數(shù)定義中的“對應對應”，并且明確了是，并且明確了是“單單值對應值對應”，這又是吸收了現(xiàn)代函數(shù)概念中對，這又是吸收了現(xiàn)代函數(shù)概念中對“映射映射”的要的要求求 ，但是沒有從，但是沒有從“集合集合”角度描述函數(shù)，因而未明確涉角度描述函數(shù)，因而未明確涉及定義域及值域及定義域及值域 初中數(shù)學中函數(shù)概念的核心，是函數(shù)

46、概念三要素初中數(shù)學中函數(shù)概念的核心，是函數(shù)概念三要素中的對應關系，并且明確其為中的對應關系，并且明確其為“單值對應單值對應”關系。關系。這包括兩個方面的含義：這包括兩個方面的含義： 第一，兩個變量是互相聯(lián)系的，一個變量變化時，第一，兩個變量是互相聯(lián)系的，一個變量變化時，另一個變量也發(fā)生變化；另一個變量也發(fā)生變化； 第二，函數(shù)與自變量之間是單值對應關系，自變第二，函數(shù)與自變量之間是單值對應關系，自變量的值確定后，函數(shù)的值是唯一確定的。量的值確定后，函數(shù)的值是唯一確定的。 函數(shù)是反映客觀世界變化規(guī)律的一種數(shù)學模型。函數(shù)是反映客觀世界變化規(guī)律的一種數(shù)學模型。例例 “ “三線八角三線八角”概念的核心概

47、念的核心 “兩條直線兩條直線”被被“第三條直線所截第三條直線所截”，得到八個，得到八個角。角。 對頂角、內(nèi)錯角、同位角、同旁內(nèi)角，都是關于對頂角、內(nèi)錯角、同位角、同旁內(nèi)角，都是關于一對角的位置關系；一對角的位置關系； 關鍵：根據(jù)結(jié)構(gòu)特征進行分類。關鍵：根據(jù)結(jié)構(gòu)特征進行分類。2 2目標和目標解析目標和目標解析 目標是教學目的的具體化，是教學活動每一階段所要實目標是教學目的的具體化，是教學活動每一階段所要實現(xiàn)的教學結(jié)果，是衡量教學質(zhì)量的標準?，F(xiàn)的教學結(jié)果，是衡量教學質(zhì)量的標準。 目標：用目標：用“了解了解”“”“理解理解”“”“掌握掌握”以及相應的行為動以及相應的行為動詞詞“經(jīng)歷經(jīng)歷”“”“體驗體

48、驗”“”“探究探究”等表述目標；闡明經(jīng)過教等表述目標；闡明經(jīng)過教學，學生將有哪些變化，會做哪些以前不會做的事。學，學生將有哪些變化，會做哪些以前不會做的事。 目標解析：對目標解析：對“了解了解”“”“理解理解”“”“掌握掌握”以及以及“經(jīng)經(jīng)歷歷”“”“體驗體驗”“”“探究探究”的含義進行解析，一般地，核心的含義進行解析，一般地，核心概念的教學目標都應進行適當分解。概念的教學目標都應進行適當分解。 要強調(diào)把能力、態(tài)度等要強調(diào)把能力、態(tài)度等“隱性目標隱性目標”融合到知識、技能融合到知識、技能等等“顯性目標顯性目標”中，以避免空洞闡述中，以避免空洞闡述“隱性目標隱性目標”，使，使目標對教學具有有效的

49、定向作用。目標對教學具有有效的定向作用。 例例 “ “變量與函數(shù)變量與函數(shù)”的教學目標的教學目標目標：目標： 了解常量、變量、函數(shù)的概念了解常量、變量、函數(shù)的概念目標解析：目標解析： 結(jié)合具體實例，體會常量與變量的特征，能指出具體問題結(jié)合具體實例，體會常量與變量的特征，能指出具體問題中的常量、變量中的常量、變量 結(jié)合具體實例，理解具有函數(shù)關系的問題中兩個變量之間結(jié)合具體實例，理解具有函數(shù)關系的問題中兩個變量之間的單值對應關系，能判斷兩個變量間是否具有函數(shù)關系，的單值對應關系，能判斷兩個變量間是否具有函數(shù)關系，能舉出函數(shù)的實例。能舉出函數(shù)的實例。 結(jié)合函數(shù)概念的形成過程結(jié)合函數(shù)概念的形成過程,體

50、會變化與對應的數(shù)學思想，體會變化與對應的數(shù)學思想，感知現(xiàn)實世界中變量之間的相互聯(lián)系并不斷運動變化；體感知現(xiàn)實世界中變量之間的相互聯(lián)系并不斷運動變化；體會從具體的生活實例中抽象概括出數(shù)學知識的方法，會從具體的生活實例中抽象概括出數(shù)學知識的方法，例例 “ “三線八角三線八角”的教學目標的教學目標目標：目標： 識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角（課標）。識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角（課標）。目標解析：目標解析： 正確地分析圖形的結(jié)構(gòu)特征，從中找到正確地分析圖形的結(jié)構(gòu)特征，從中找到“兩條直線兩條直線”和和“第三條直線第三條直線”，確定角的關系（同位角、內(nèi)錯角、同旁，確定角的關系（同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角）。

51、內(nèi)角）。 以以“結(jié)構(gòu)特征結(jié)構(gòu)特征”為依據(jù)，對角進行分類，確定角的特定關為依據(jù)，對角進行分類，確定角的特定關系的思想方法。系的思想方法。3 3教學問題診斷分析教學問題診斷分析 教師應當根據(jù)自己以往的教學經(jīng)驗，數(shù)學內(nèi)在的邏輯關系教師應當根據(jù)自己以往的教學經(jīng)驗，數(shù)學內(nèi)在的邏輯關系以及思維發(fā)展理論，對本內(nèi)容在教與學中可能遇到的障礙以及思維發(fā)展理論，對本內(nèi)容在教與學中可能遇到的障礙進行預測，并對出現(xiàn)障礙的原因進行分析。在上述分析的進行預測，并對出現(xiàn)障礙的原因進行分析。在上述分析的基礎上指出教學難點?；A上指出教學難點。 可以從可以從認知分析認知分析入手，即分析學生已經(jīng)具備的認知基礎入手，即分析學生已經(jīng)具

52、備的認知基礎（包括知識、思想方法和思維發(fā)展基礎），對照教學目標（包括知識、思想方法和思維發(fā)展基礎），對照教學目標還需要具備哪些條件，通過已有基礎和目標之間的差異比還需要具備哪些條件，通過已有基礎和目標之間的差異比較，分析教學中可能出現(xiàn)的障礙。本欄目的內(nèi)容應當做到較，分析教學中可能出現(xiàn)的障礙。本欄目的內(nèi)容應當做到言之有物，以具體數(shù)學內(nèi)容為載體進行說明。言之有物，以具體數(shù)學內(nèi)容為載體進行說明。例例 “ “函數(shù)函數(shù)”中的難點分析中的難點分析 函數(shù)概念具有內(nèi)容的概括性、符號的抽象性、形式的多樣函數(shù)概念具有內(nèi)容的概括性、符號的抽象性、形式的多樣性等特點，初次接觸函數(shù)概念時會感到十分困難。性等特點，初次接

53、觸函數(shù)概念時會感到十分困難。 函數(shù)作為從數(shù)量角度反映變化規(guī)律的數(shù)學模型，涉及到很函數(shù)作為從數(shù)量角度反映變化規(guī)律的數(shù)學模型，涉及到很多復雜的層次和許多相關的上位概念，這將直接導致學生多復雜的層次和許多相關的上位概念，這將直接導致學生在概括函數(shù)概念時出現(xiàn)障礙。其中的層次主要有：（在概括函數(shù)概念時出現(xiàn)障礙。其中的層次主要有：（1 1）在一個在一個“變化變化”過程中；（過程中；（2 2）存在）存在“兩個兩個”變量；（變量；（3 3）這兩個變量具有一定的這兩個變量具有一定的“聯(lián)系聯(lián)系”；（；（4 4）一個變量的變化）一個變量的變化會引起另一個變量也會引起另一個變量也“隨之隨之”變化；（變化；（5 5）兩

54、個變量存在）兩個變量存在“單值對應單值對應”的關系。相關的上位概念主要有變量、對應、的關系。相關的上位概念主要有變量、對應、唯一、確定等。唯一、確定等。 學生在學習函數(shù)概念之前，接觸的基本上是常量數(shù)學的內(nèi)學生在學習函數(shù)概念之前，接觸的基本上是常量數(shù)學的內(nèi)容，是靜態(tài)的數(shù)學知識。而函數(shù)研究的是變量與變量之間容，是靜態(tài)的數(shù)學知識。而函數(shù)研究的是變量與變量之間的關系，其特征是變化的、發(fā)展的、處于兩個量的相互聯(lián)的關系，其特征是變化的、發(fā)展的、處于兩個量的相互聯(lián)系之中的。因此，了解函數(shù)的概念，需要學生的思維達到系之中的。因此，了解函數(shù)的概念，需要學生的思維達到辨證思維的形態(tài)。然而，此時學生的辨證思維水平還

55、不很辨證思維的形態(tài)。然而，此時學生的辨證思維水平還不很成熟，這個矛盾是函數(shù)概念學習中認知障礙的根源。成熟，這個矛盾是函數(shù)概念學習中認知障礙的根源。 教學難點：函數(shù)概念形成中的抽象與概括，對教學難點：函數(shù)概念形成中的抽象與概括，對“單值對應單值對應”的理解。的理解。例例 “ “三線八角三線八角”中的難點中的難點 學生初次接觸平面幾何關于位置關系、大小度量學生初次接觸平面幾何關于位置關系、大小度量的討論，除在思想方法上存在困難外，對于認識的討論，除在思想方法上存在困難外，對于認識幾何問題的一般程序也存在困難。復雜的圖形會幾何問題的一般程序也存在困難。復雜的圖形會使學生感到無從下手。使學生感到無從下

56、手。 教學難點：對圖形結(jié)構(gòu)特點的理解并正確地對角教學難點：對圖形結(jié)構(gòu)特點的理解并正確地對角分類；在具體（變式）圖形中正確找出有關的角。分類；在具體（變式）圖形中正確找出有關的角。 B和和BCE可以看成是直線可以看成是直線 ， 被直線被直線 所截得的所截得的 角；角；B和和BCD可以看成是直可以看成是直線線 ， 被直線被直線 所截得的所截得的 角。角。 B E A C D 兩個角的公共邊就是截線兩個角的公共邊就是截線4 4教學支持條件分析教學支持條件分析（根據(jù)需要）（根據(jù)需要） 為了有效實現(xiàn)教學目標，根據(jù)問題診斷分析和學為了有效實現(xiàn)教學目標，根據(jù)問題診斷分析和學習行為分析，分析應當采取哪些教學支

57、持條件，習行為分析，分析應當采取哪些教學支持條件，以幫助學生更有效地進行數(shù)學思維，使他們更好以幫助學生更有效地進行數(shù)學思維，使他們更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律。當前，可以適當?shù)貍?cè)重于信息地發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律。當前，可以適當?shù)貍?cè)重于信息技術的使用，以構(gòu)建有利于學生建立概念的技術的使用，以構(gòu)建有利于學生建立概念的“多多元聯(lián)系表示元聯(lián)系表示”的教學情境。的教學情境。5 5教學過程設計教學過程設計 強調(diào)教學過程的內(nèi)在邏輯線索；強調(diào)教學過程的內(nèi)在邏輯線索； 給出學生思考和操作的具體描述；突出核心概念的思給出學生思考和操作的具體描述；突出核心概念的思維建構(gòu)和技能操作過程，突出思想方法的領悟過程分維建構(gòu)和技能操作過程，突出

58、思想方法的領悟過程分析；析； 以以“問題串問題串”方式呈現(xiàn)為主，應當認真思考每一問題方式呈現(xiàn)為主，應當認真思考每一問題的設計意圖、師生活動預設，以及需要概括的概念要的設計意圖、師生活動預設，以及需要概括的概念要點、思想方法，需要進行的技能訓練，需要培養(yǎng)的能點、思想方法，需要進行的技能訓練，需要培養(yǎng)的能力，等；力，等； 根據(jù)內(nèi)容特點設計教學過程，如基于問題解決的設計，根據(jù)內(nèi)容特點設計教學過程，如基于問題解決的設計，講授式教學設計，自主探究式教學設計，合作交流式講授式教學設計，自主探究式教學設計，合作交流式教學設計，等。教學設計，等。 6 6目標檢測設計目標檢測設計 習題、練習方式的檢測。要明確每

59、一個（組）習習題、練習方式的檢測。要明確每一個（組）習題或練習的設計。題或練習的設計。 注意防止一步到位，過早給綜合題、難題有害無注意防止一步到位，過早給綜合題、難題有害無益；打不好基礎就談不上發(fā)展。益；打不好基礎就談不上發(fā)展。例例 “ “變量與函數(shù)變量與函數(shù)”檢測題檢測題1 1在計算器上按照下面的程序進行操作：在計算器上按照下面的程序進行操作：填表：填表：顯示的數(shù)顯示的數(shù)y是輸入的數(shù)是輸入的數(shù)x的函數(shù)嗎？為什么？的函數(shù)嗎？為什么？ 2用用10cm長的繩子圍成長方形長的繩子圍成長方形 （1）若長方形一邊長為）若長方形一邊長為3cm，面積為多少？，面積為多少？ （2）若長方形的一邊長為）若長方形

60、的一邊長為xcm，面積為，面積為Scm2，試用含，試用含x的式子表示的式子表示S（3）S是是x的函數(shù)嗎？為什么？的函數(shù)嗎？為什么？輸入x（任意一個數(shù)）2+5=按鍵顯示y（計算結(jié)果）x12-40101y3 3下列曲線中，哪個表示下列曲線中，哪個表示y y是是x x的函數(shù)？為什么？的函數(shù)？為什么？評析：評析：通過三種形式（表格、解析式、圖象）來呈現(xiàn)問題，且問題的難通過三種形式（表格、解析式、圖象）來呈現(xiàn)問題，且問題的難度拾階而上，在突出本節(jié)課主體知識的同時，還為下一節(jié)課學習函數(shù)的度拾階而上，在突出本節(jié)課主體知識的同時，還為下一節(jié)課學習函數(shù)的三種表示形式埋下了伏筆三種表示形式埋下了伏筆商榷：商榷：練