李海東-準(zhǔn)確把握概念核心

1、準(zhǔn)確把握概念核心準(zhǔn)確把握概念核心 設(shè)計(jì)自然教學(xué)過程設(shè)計(jì)自然教學(xué)過程努力提高教學(xué)質(zhì)量努力提高教學(xué)質(zhì)量 人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室 李海東李海東 當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題 提高研究教材的水平提高研究教材的水平 重視核心概念教學(xué)重視核心概念教學(xué) 重視思想方法的教學(xué)重視思想方法的教學(xué) 基于概念核心、數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)設(shè)計(jì)基于概念核心、數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)自然的教學(xué)過程，提高課堂教學(xué)效益設(shè)計(jì)自然的教學(xué)過程，提高課堂教學(xué)效益 國際數(shù)學(xué)課程改革的大背景國際數(shù)學(xué)課程改革的大背景 新數(shù)運(yùn)動新數(shù)運(yùn)動（20世紀(jì)世紀(jì)50、60年代）年代） 回到基礎(chǔ)回到基礎(chǔ)（20世

2、紀(jì)世紀(jì)70年代）年代） 問題解決問題解決（20世紀(jì)世紀(jì)80年代）年代） 標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)動標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)動（20世紀(jì)世紀(jì)90年代至今）年代至今） 求變求變革新革新反思反思批判批判回歸回歸 一、當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題一、當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題新世紀(jì)我國基礎(chǔ)教育課程改革新世紀(jì)我國基礎(chǔ)教育課程改革上世紀(jì)的數(shù)學(xué)教育改革上世紀(jì)的數(shù)學(xué)教育改革20012001義教數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)義教數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 20052005全部使用全部使用20042004普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 20122012全部使用全部使用義教數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂義教數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂 20052005開始開始 20072007征求意見稿征求意見稿 20

3、102010修改稿修改稿 20112011年頒布年頒布 20122012使用新教材使用新教材學(xué)習(xí)理念學(xué)習(xí)理念 冷靜思考冷靜思考探索創(chuàng)新探索創(chuàng)新 實(shí)踐提高實(shí)踐提高 教師反映的問題教師反映的問題 新課程提倡的理念難把握；新教材的改革設(shè)計(jì)難新課程提倡的理念難把握；新教材的改革設(shè)計(jì)難適應(yīng)；教學(xué)方式、學(xué)習(xí)方式的變革難跟上；課程適應(yīng)；教學(xué)方式、學(xué)習(xí)方式的變革難跟上；課程改革與考試評價(jià)制度的改革不配套；等等。改革與考試評價(jià)制度的改革不配套；等等?！靶抡n改后中學(xué)數(shù)學(xué)教材特點(diǎn)的比較研究新課改后中學(xué)數(shù)學(xué)教材特點(diǎn)的比較研究”課題的調(diào)查結(jié)課題的調(diào)查結(jié)論論認(rèn)可教材的主要變化，但實(shí)際教學(xué)效果不明顯。認(rèn)可教材的主要變化，但

4、實(shí)際教學(xué)效果不明顯。教材的主要變化教材的主要變化 1.1.更重視數(shù)學(xué)知識的更重視數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程學(xué)習(xí)過程，加強(qiáng)教材的啟發(fā)性、探究性、發(fā)展，加強(qiáng)教材的啟發(fā)性、探究性、發(fā)展性；性； 2.2.更重視數(shù)學(xué)知識與更重視數(shù)學(xué)知識與實(shí)際問題實(shí)際問題的聯(lián)系，加強(qiáng)教材對實(shí)際背景與實(shí)際的聯(lián)系，加強(qiáng)教材對實(shí)際背景與實(shí)際應(yīng)用的反映。應(yīng)用的反映。本次課程改革，各個(gè)版本的教材在呈現(xiàn)方式上都作了很大的改進(jìn)，本次課程改革，各個(gè)版本的教材在呈現(xiàn)方式上都作了很大的改進(jìn)，教材中都設(shè)計(jì)了一些引導(dǎo)學(xué)生思維的欄目，注意留給學(xué)生探索與交教材中都設(shè)計(jì)了一些引導(dǎo)學(xué)生思維的欄目，注意留給學(xué)生探索與交流的空間，選材注重與學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系等等。

5、從統(tǒng)計(jì)結(jié)果來看流的空間，選材注重與學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系等等。從統(tǒng)計(jì)結(jié)果來看，教師對教材的這些處理還是比較認(rèn)可的。但是，盡管教師認(rèn)可教，教師對教材的這些處理還是比較認(rèn)可的。但是，盡管教師認(rèn)可教材的呈現(xiàn)方式，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)的自主性并沒有明顯的提高材的呈現(xiàn)方式，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)的自主性并沒有明顯的提高，這應(yīng)當(dāng)引起我們的注意。，這應(yīng)當(dāng)引起我們的注意。課標(biāo)教材中設(shè)置的引導(dǎo)課標(biāo)教材中設(shè)置的引導(dǎo)思維的欄目（如思維的欄目（如“想一想一想想”“”“探究探究”等）對學(xué)等）對學(xué)生掌握相關(guān)內(nèi)容生掌握相關(guān)內(nèi)容對于課標(biāo)教材中設(shè)置的對于課標(biāo)教材中設(shè)置的引導(dǎo)學(xué)生思維的欄目數(shù)引導(dǎo)學(xué)生思維的欄目數(shù)量，您認(rèn)為量，您認(rèn)為課標(biāo)

6、教材給學(xué)生探課標(biāo)教材給學(xué)生探索和交流的空間索和交流的空間課標(biāo)教材聯(lián)系生課標(biāo)教材聯(lián)系生活實(shí)際的問題活實(shí)際的問題課標(biāo)教材的教學(xué)中，課標(biāo)教材的教學(xué)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣課標(biāo)教材的教學(xué)中，課標(biāo)教材的教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性 能力方面?zhèn)鹘y(tǒng)優(yōu)勢降低，改革倡導(dǎo)的能力沒有顯著提高。能力方面?zhèn)鹘y(tǒng)優(yōu)勢降低，改革倡導(dǎo)的能力沒有顯著提高。 對于學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握，教師的態(tài)度比較對于學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握，教師的態(tài)度比較中性。對于傳統(tǒng)的中性。對于傳統(tǒng)的“三大能力三大能力”中的運(yùn)算能力和邏輯思維中的運(yùn)算能力和邏輯思維能力，教師的評價(jià)是負(fù)面的。對于同是能力，教師的評價(jià)是負(fù)面的。

7、對于同是“三大能力三大能力”的空的空間想象能力，教師的評價(jià)是正面的。另外，本次課程改革，間想象能力，教師的評價(jià)是正面的。另外，本次課程改革，從課程標(biāo)準(zhǔn)到各個(gè)版本的教材，都注意加強(qiáng)了對學(xué)生解決從課程標(biāo)準(zhǔn)到各個(gè)版本的教材，都注意加強(qiáng)了對學(xué)生解決實(shí)際問題能力、探究能力、數(shù)學(xué)表達(dá)與交流能力的培養(yǎng)。實(shí)際問題能力、探究能力、數(shù)學(xué)表達(dá)與交流能力的培養(yǎng)。但從調(diào)查結(jié)果來看，教師的選擇出現(xiàn)了分化，三個(gè)問題的但從調(diào)查結(jié)果來看，教師的選擇出現(xiàn)了分化，三個(gè)問題的回答，選擇回答，選擇“提高提高”“”“差不多差不多”“”“降低降低”的比例大致相同，的比例大致相同，并沒有得到我們預(yù)期并沒有得到我們預(yù)期“提高提高”的結(jié)果。的結(jié)

8、果。使用課標(biāo)教材后，使用課標(biāo)教材后，學(xué)生的運(yùn)算能力與學(xué)生的運(yùn)算能力與您的預(yù)期相比您的預(yù)期相比使用課標(biāo)教材后，使用課標(biāo)教材后，學(xué)生的邏輯思維能學(xué)生的邏輯思維能力與您的預(yù)期相比力與您的預(yù)期相比使用課標(biāo)教材后，使用課標(biāo)教材后，學(xué)生的解決實(shí)際學(xué)生的解決實(shí)際問題的能力與您問題的能力與您的預(yù)期相比的預(yù)期相比使用課標(biāo)教材后，使用課標(biāo)教材后，學(xué)生的自主探究能學(xué)生的自主探究能力與您的預(yù)期相比力與您的預(yù)期相比 客觀原因客觀原因 影響教材實(shí)驗(yàn)及其效果的因素是復(fù)雜的。比如，影響教材實(shí)驗(yàn)及其效果的因素是復(fù)雜的。比如，由于班額普遍偏大（初中班額在由于班額普遍偏大（初中班額在50人以上的占人以上的占77%強(qiáng)，在強(qiáng)，在60人

9、以上占人以上占41.82；高中班額在；高中班額在50人人以上的占以上的占76.44%，在，在60人以上的占人以上的占38.12 ），以），以及受升學(xué)、考試等的影響，盡管教師認(rèn)可教材重及受升學(xué)、考試等的影響，盡管教師認(rèn)可教材重視數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程、加強(qiáng)啟發(fā)性及探究性等視數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程、加強(qiáng)啟發(fā)性及探究性等處理方式，但這些措施在實(shí)際教學(xué)中往往難以到處理方式，但這些措施在實(shí)際教學(xué)中往往難以到落實(shí)。落實(shí)。 反思我們自己的問題反思我們自己的問題 教學(xué)層面的問題教學(xué)層面的問題 數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)“不自然不自然”，強(qiáng)加于人；，強(qiáng)加于人； 缺乏問題意識；缺乏問題意識； 重結(jié)果輕過程，重結(jié)果輕過程，“掐頭去尾

10、燒中段掐頭去尾燒中段”； 重解題技能技巧輕普適性思考方法的概括，方法論層次的重解題技能技巧輕普適性思考方法的概括，方法論層次的內(nèi)容滲透不夠，機(jī)械模仿多獨(dú)立思考少，數(shù)學(xué)思維層次不內(nèi)容滲透不夠，機(jī)械模仿多獨(dú)立思考少，數(shù)學(xué)思維層次不高；高； “重邏輯而輕思想重邏輯而輕思想”。強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)多關(guān)注基本概念、核。強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)多關(guān)注基本概念、核心數(shù)學(xué)思想少，對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高不利。心數(shù)學(xué)思想少，對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高不利。 學(xué)生學(xué)習(xí)方法單一，被動。學(xué)生自主歸納抽象結(jié)論少，不學(xué)生學(xué)習(xí)方法單一，被動。學(xué)生自主歸納抽象結(jié)論少，不利于創(chuàng)新精神的培養(yǎng)。利于創(chuàng)新精神的培養(yǎng)。 教師層面的問題教師層面的問題 對數(shù)學(xué)課程、教

11、材的體系結(jié)構(gòu)、內(nèi)容及其組織方式把握不對數(shù)學(xué)課程、教材的體系結(jié)構(gòu)、內(nèi)容及其組織方式把握不準(zhǔn)；對中學(xué)數(shù)學(xué)概念的核心把握不準(zhǔn)確，對概念所反映的準(zhǔn)；對中學(xué)數(shù)學(xué)概念的核心把握不準(zhǔn)確，對概念所反映的思想方法的理解水平不高；思想方法的理解水平不高； 只能抽象籠統(tǒng)地描述數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，導(dǎo)致教學(xué)措施無的放只能抽象籠統(tǒng)地描述數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，導(dǎo)致教學(xué)措施無的放矢，對是否已經(jīng)達(dá)成教學(xué)目標(biāo)心中無數(shù)；對自己設(shè)計(jì)的教矢，對是否已經(jīng)達(dá)成教學(xué)目標(biāo)心中無數(shù)；對自己設(shè)計(jì)的教學(xué)方案不能取得預(yù)期效果，不能從設(shè)計(jì)層面給出令人信服學(xué)方案不能取得預(yù)期效果，不能從設(shè)計(jì)層面給出令人信服的解釋，往往只把問題歸咎于教學(xué)系統(tǒng)的復(fù)雜性；的解釋，往往只把問題

12、歸咎于教學(xué)系統(tǒng)的復(fù)雜性； 采取的教學(xué)方法、策略和模式都比較單一，機(jī)械地套用一采取的教學(xué)方法、策略和模式都比較單一，機(jī)械地套用一些已有的解決教學(xué)問題方案，缺乏根據(jù)教學(xué)問題和教學(xué)條些已有的解決教學(xué)問題方案，缺乏根據(jù)教學(xué)問題和教學(xué)條件創(chuàng)建解決教學(xué)問題的新方法。件創(chuàng)建解決教學(xué)問題的新方法。例例 對概率的頻率定義的錯(cuò)誤理解對概率的頻率定義的錯(cuò)誤理解 頻率的穩(wěn)定值就是概率的估計(jì)值。頻率的穩(wěn)定值就是概率的估計(jì)值。 隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率就越來越接近于概隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率就越來越接近于概率。率。 用頻率估計(jì)概率，一定要大量重復(fù)試驗(yàn)。用頻率估計(jì)概率，一定要大量重復(fù)試驗(yàn)。 必然事件與概率為必然事件與概率為

13、1等價(jià)，不可能事件與概率等價(jià)，不可能事件與概率為為0等價(jià)，隨機(jī)事件的概率大于等價(jià)，隨機(jī)事件的概率大于0而小于而小于1 。lim()1nmPpnlimnmpn例例 平方差公式的教學(xué)中的思想方法平方差公式的教學(xué)中的思想方法 公式教學(xué)的基本過程：公式教學(xué)的基本過程：歸納公式（歸納公式（“舉三反一舉三反一”，概括其本質(zhì)屬性）概括其本質(zhì)屬性）表示公式（文字、符號語言表示公式（文字、符號語言表示）表示）辨析公式（明確其結(jié)構(gòu)特征）辨析公式（明確其結(jié)構(gòu)特征）應(yīng)用公應(yīng)用公式（式（“舉一反三舉一反三”）。）。例例 如何闡述教學(xué)目標(biāo)如何闡述教學(xué)目標(biāo) 目標(biāo)：目標(biāo)：理解正數(shù)與負(fù)數(shù)的概念理解正數(shù)與負(fù)數(shù)的概念 目標(biāo)解析：目

14、標(biāo)解析： 了解：通過實(shí)際例子，感受引入負(fù)數(shù)的必要性，了解：通過實(shí)際例子，感受引入負(fù)數(shù)的必要性，會用正、負(fù)數(shù)表示一對具有相反意義的量；進(jìn)而會用正、負(fù)數(shù)表示一對具有相反意義的量；進(jìn)而初步獲得正數(shù)、負(fù)數(shù)的抽象概念。初步獲得正數(shù)、負(fù)數(shù)的抽象概念。 理解：能用正負(fù)數(shù)表示實(shí)際問題中的數(shù)量，并理解：能用正負(fù)數(shù)表示實(shí)際問題中的數(shù)量，并隨著絕對值、相反數(shù)等概念的學(xué)習(xí)，逐漸熟練地隨著絕對值、相反數(shù)等概念的學(xué)習(xí)，逐漸熟練地進(jìn)行正、負(fù)數(shù)的運(yùn)算。進(jìn)行正、負(fù)數(shù)的運(yùn)算。例例. .努力改進(jìn)教學(xué)方式努力改進(jìn)教學(xué)方式 講授法、討論法、自學(xué)輔導(dǎo)法、發(fā)現(xiàn)法講授法、討論法、自學(xué)輔導(dǎo)法、發(fā)現(xiàn)法 啟發(fā)式啟發(fā)式 在教學(xué)方式的改進(jìn)中，最重要的

15、是要讓學(xué)生有自己積極在教學(xué)方式的改進(jìn)中，最重要的是要讓學(xué)生有自己積極地、獨(dú)立地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的空間。不管是傳授式還是活地、獨(dú)立地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的空間。不管是傳授式還是活動式（相應(yīng)的，學(xué)生學(xué)習(xí)方式是接受式或發(fā)現(xiàn)式），只動式（相應(yīng)的，學(xué)生學(xué)習(xí)方式是接受式或發(fā)現(xiàn)式），只要學(xué)生有思維的自主，就是學(xué)生的自主地位得到體現(xiàn)。要學(xué)生有思維的自主，就是學(xué)生的自主地位得到體現(xiàn)。 根據(jù)數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知需要，為學(xué)生設(shè)置恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情景，根據(jù)數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知需要，為學(xué)生設(shè)置恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情景，通過恰時(shí)恰點(diǎn)的問題引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，充分使用通過恰時(shí)恰點(diǎn)的問題引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，充分使用“先行組織者先行組織者”，在思想方法上多做引導(dǎo)，在

16、具體細(xì)節(jié)，在思想方法上多做引導(dǎo)，在具體細(xì)節(jié)上讓學(xué)生自己多動手做、多閱讀、多思考、多交流，讓上讓學(xué)生自己多動手做、多閱讀、多思考、多交流，讓學(xué)生多發(fā)表意見，教師自己參與到學(xué)生的活動中去，多學(xué)生多發(fā)表意見，教師自己參與到學(xué)生的活動中去，多聽少講，在關(guān)鍵點(diǎn)上讓學(xué)生有機(jī)會提出自己的見解。聽少講，在關(guān)鍵點(diǎn)上讓學(xué)生有機(jī)會提出自己的見解。教學(xué)方式教學(xué)方式教師主導(dǎo)取教師主導(dǎo)取向的接受式向的接受式學(xué)生自主取學(xué)生自主取向的活動式向的活動式主動被動有意義有意義（啟發(fā)式）（啟發(fā)式）機(jī)械機(jī)械 （注入式）（注入式）有意義有意義（理解、探究）（理解、探究）機(jī)械機(jī)械（死記硬背）（死記硬背）二、提高研究教材的水平二、提高研究教

17、材的水平 仔細(xì)分析教材編寫意圖：教材中的每一句話都是經(jīng)過仔細(xì)分析教材編寫意圖：教材中的每一句話都是經(jīng)過仔細(xì)推敲的，教材中的例題是經(jīng)過反復(fù)打磨的，習(xí)題仔細(xì)推敲的，教材中的例題是經(jīng)過反復(fù)打磨的，習(xí)題是經(jīng)過精挑細(xì)選的。是經(jīng)過精挑細(xì)選的。 內(nèi)容順序不應(yīng)隨意調(diào)整；例子不是不可以換，但換內(nèi)容順序不應(yīng)隨意調(diào)整；例子不是不可以換，但換的時(shí)候要想清楚理由。的時(shí)候要想清楚理由。例例 負(fù)數(shù)的引入負(fù)數(shù)的引入例例 一元一次方程的整體安排一元一次方程的整體安排例例 等腰三角形在軸對稱之后研究等腰三角形在軸對稱之后研究 關(guān)于核心概念關(guān)于核心概念 基礎(chǔ)性基礎(chǔ)性在相應(yīng)領(lǐng)域具有基礎(chǔ)地位，并能形成聯(lián)系通暢在相應(yīng)領(lǐng)域具有基礎(chǔ)地位，并

18、能形成聯(lián)系通暢的結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu) 發(fā)展性發(fā)展性具有自我生長的活力，容易在新情境中引發(fā)新具有自我生長的活力，容易在新情境中引發(fā)新思想和新方法思想和新方法 可行性可行性與學(xué)生的思維發(fā)展水平和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式保持一與學(xué)生的思維發(fā)展水平和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式保持一致，是可學(xué)、能學(xué)的致，是可學(xué)、能學(xué)的 例如：代數(shù)中的運(yùn)算律（分配律）就比因式分解的一些具例如：代數(shù)中的運(yùn)算律（分配律）就比因式分解的一些具體方法和技巧（十字相乘法）有更高的理論和實(shí)踐價(jià)值體方法和技巧（十字相乘法）有更高的理論和實(shí)踐價(jià)值三、重視核心概念的教學(xué)三、重視核心概念的教學(xué) 推廣推廣 類比類比 當(dāng)前內(nèi)容當(dāng)前內(nèi)容 聯(lián)系聯(lián)系 特殊化特殊化例例 有理數(shù)及其運(yùn)算有

19、理數(shù)及其運(yùn)算 在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，有理數(shù)及其運(yùn)算是一切運(yùn)在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，有理數(shù)及其運(yùn)算是一切運(yùn)算系統(tǒng)的基礎(chǔ)。將其他運(yùn)算的對象和數(shù)作類比，算系統(tǒng)的基礎(chǔ)。將其他運(yùn)算的對象和數(shù)作類比，可以使我們得到很多研究方法方面的啟示?？梢允刮覀兊玫胶芏嘌芯糠椒ǚ矫娴膯⑹?。 數(shù)數(shù)運(yùn)算（加、乘、指數(shù)運(yùn)算）和逆運(yùn)算運(yùn)算（加、乘、指數(shù)運(yùn)算）和逆運(yùn)算運(yùn)算律運(yùn)算律 大小關(guān)系大小關(guān)系 式式運(yùn)算（加、乘、指數(shù)運(yùn)算）和逆運(yùn)算運(yùn)算（加、乘、指數(shù)運(yùn)算）和逆運(yùn)算運(yùn)算律運(yùn)算律 大小關(guān)系大小關(guān)系 解代數(shù)方程解代數(shù)方程有系統(tǒng)地運(yùn)用運(yùn)算律（特別是分配律）去有系統(tǒng)地運(yùn)用運(yùn)算律（特別是分配律）去簡化所給的代數(shù)方程，并最終化歸為簡化所給的代數(shù)方程，并最

20、終化歸為x=a的形式。的形式。 向量向量運(yùn)算運(yùn)算運(yùn)算律運(yùn)算律向量法向量法 向量法實(shí)際上是利用向量表示空間基本元素，將空間的向量法實(shí)際上是利用向量表示空間基本元素，將空間的基本性質(zhì)和基本定理的轉(zhuǎn)化成為向量運(yùn)算律的系統(tǒng)運(yùn)用?；拘再|(zhì)和基本定理的轉(zhuǎn)化成為向量運(yùn)算律的系統(tǒng)運(yùn)用。 數(shù)式通性數(shù)式通性整式整式 數(shù)式通性數(shù)式通性分式分式 數(shù)式通性數(shù)式通性二次根式二次根式 加強(qiáng)概念教學(xué)加強(qiáng)概念教學(xué) 概念教學(xué)的核心概念教學(xué)的核心概括概括（同類事物的共同本質(zhì)特征）（同類事物的共同本質(zhì)特征） 概括是形成和掌握概念的前提；遷移的實(shí)質(zhì)就是概括；概概括是形成和掌握概念的前提；遷移的實(shí)質(zhì)就是概括；概括是一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ)；概

21、括能力是思維能力的基礎(chǔ)。括是一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ)；概括能力是思維能力的基礎(chǔ)。 “舉三反一舉三反一”與與“舉一反三舉一反三” 舉三反一舉三反一分化分化用典型、豐富的具體事例，分析、用典型、豐富的具體事例，分析、綜合、比較而概括出共同本質(zhì)屬性；綜合、比較而概括出共同本質(zhì)屬性； 舉一反三舉一反三類化類化把共同本質(zhì)屬性推廣到同類事物中；把共同本質(zhì)屬性推廣到同類事物中； 對具體例證進(jìn)行分化、類化是概念教學(xué)的重要步驟，教會對具體例證進(jìn)行分化、類化是概念教學(xué)的重要步驟，教會學(xué)生自己分析材料、比較屬性是教學(xué)的重要任務(wù)；發(fā)現(xiàn)關(guān)學(xué)生自己分析材料、比較屬性是教學(xué)的重要任務(wù)；發(fā)現(xiàn)關(guān)系的能力是很重要的。系的能力是很重要的

22、。概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié) 概念的引入概念的引入從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程或解決實(shí)際問從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程或解決實(shí)際問題的需要引入概念；題的需要引入概念； 概念的形成概念的形成提供提供典型豐富的具體例證，進(jìn)行屬性的分典型豐富的具體例證，進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，概括共同本質(zhì)特征得到本質(zhì)屬性；析、比較、綜合，概括共同本質(zhì)特征得到本質(zhì)屬性； 概念的明確與表示概念的明確與表示下定義，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述下定義，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述（文字的、符號的）；（文字的、符號的）； 概念的辨析概念的辨析以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義（恰當(dāng)使以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義（恰當(dāng)使用反例）；用反例）

23、； 概念的鞏固應(yīng)用概念的鞏固應(yīng)用用概念作判斷的具體事例，形成用概用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟；念作判斷的具體步驟； 概念的概念的“精致精致”納入概念系統(tǒng)，建立與相關(guān)概念的聯(lián)納入概念系統(tǒng)，建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。系。例例 反比例函數(shù)概念的教學(xué)反比例函數(shù)概念的教學(xué) 勻速運(yùn)動路程固定，速度與時(shí)間的關(guān)系；商品總價(jià)固定，勻速運(yùn)動路程固定，速度與時(shí)間的關(guān)系；商品總價(jià)固定，單價(jià)與商品數(shù)量的關(guān)系；長方形面積固定，長與寬的關(guān)單價(jià)與商品數(shù)量的關(guān)系；長方形面積固定，長與寬的關(guān)系；系； 讓學(xué)生概括共同本質(zhì)特征（函數(shù)關(guān)系，反比例關(guān)系）；讓學(xué)生概括共同本質(zhì)特征（函數(shù)關(guān)系，反比例關(guān)系）； 下定義下定義給

24、出反比例函數(shù)的文字和符號描述；給出反比例函數(shù)的文字和符號描述； 辨析：從反比例關(guān)系、函數(shù)兩方面辨析概念，注意反例的辨析：從反比例關(guān)系、函數(shù)兩方面辨析概念，注意反例的使用，如讓學(xué)生思考函數(shù)使用，如讓學(xué)生思考函數(shù)y=1/xy=1/x2 2是不是反比例函數(shù)；是不是反比例函數(shù)； 例題例題用概念作判斷的用概念作判斷的“操作步驟操作步驟”，強(qiáng)調(diào)，強(qiáng)調(diào)“自變量自變量x x與相應(yīng)的函數(shù)值與相應(yīng)的函數(shù)值y y是否成反比例關(guān)系是否成反比例關(guān)系”，可以用反例讓學(xué)，可以用反例讓學(xué)生分析，使學(xué)生進(jìn)一步明確生分析，使學(xué)生進(jìn)一步明確“求反比例函數(shù)求反比例函數(shù)”的含義；的含義； 通過與一般函數(shù)概念、正比例函數(shù)概念等比較，進(jìn)一

25、步明通過與一般函數(shù)概念、正比例函數(shù)概念等比較，進(jìn)一步明確反比例函數(shù)反映了確反比例函數(shù)反映了“一類事物一類事物”的變化規(guī)律，使學(xué)生逐的變化規(guī)律，使學(xué)生逐步學(xué)會用反比例函數(shù)刻畫事物的變化規(guī)律。步學(xué)會用反比例函數(shù)刻畫事物的變化規(guī)律。關(guān)于概念教學(xué)的一些要求關(guān)于概念教學(xué)的一些要求（1 1）采?。┎扇　皻w納式歸納式”進(jìn)行概念教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷概進(jìn)行概念教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷概 念的概括過程；念的概括過程；（2 2）正確、充分地提供概念的變式；）正確、充分地提供概念的變式；（3 3）適當(dāng)應(yīng)用反例；）適當(dāng)應(yīng)用反例；（4 4）在概念的系統(tǒng)中學(xué)習(xí)概念，建立概念的）在概念的系統(tǒng)中學(xué)習(xí)概念，建立概念的“多元多元 聯(lián)系表示聯(lián)系

26、表示”；（5 5）精心設(shè)計(jì)練習(xí)。）精心設(shè)計(jì)練習(xí)。四、重視思想方法的教學(xué)四、重視思想方法的教學(xué) 什么是數(shù)學(xué)思想方法？什么是數(shù)學(xué)思想方法？ 數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)認(rèn)識，是對具體的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)認(rèn)識，是對具體的數(shù)學(xué)概念、命題、規(guī)律方法等的認(rèn)識過程中提煉概括的基概念、命題、規(guī)律方法等的認(rèn)識過程中提煉概括的基本觀點(diǎn)和根本想法，對數(shù)學(xué)活動具有普遍的指導(dǎo)意義，本觀點(diǎn)和根本想法，對數(shù)學(xué)活動具有普遍的指導(dǎo)意義，是數(shù)學(xué)活動的指導(dǎo)思想。數(shù)學(xué)方法是指數(shù)學(xué)活動中所是數(shù)學(xué)活動的指導(dǎo)思想。數(shù)學(xué)方法是指數(shù)學(xué)活動中所采用的途徑、方式、手段、策略等。二者有很強(qiáng)的聯(lián)采用的途徑、方式、手段、策略等。二者有很強(qiáng)的聯(lián)

27、系性。通常，在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)活動的指導(dǎo)思想時(shí)稱數(shù)學(xué)思系性。通常，在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)活動的指導(dǎo)思想時(shí)稱數(shù)學(xué)思想，在強(qiáng)調(diào)具體操作過程時(shí)稱數(shù)學(xué)方法。想，在強(qiáng)調(diào)具體操作過程時(shí)稱數(shù)學(xué)方法。 數(shù)學(xué)思想方法的層次性數(shù)學(xué)思想方法的層次性 （1）解題術(shù)）解題術(shù)與某些特殊問題聯(lián)系在一起的方法，在與某些特殊問題聯(lián)系在一起的方法，在特定環(huán)境中發(fā)揮作用，具有較固定的操作程序。特定環(huán)境中發(fā)揮作用，具有較固定的操作程序。 求差法求差法 （2）解題通法）解題通法解決一類問題時(shí)可以采用的共同方法，解決一類問題時(shí)可以采用的共同方法，操作程序不是很具體，但適用范圍比較廣泛。操作程序不是很具體，但適用范圍比較廣泛。換元法換元法 配配方法方法 數(shù)學(xué)

28、歸納法數(shù)學(xué)歸納法 （3）數(shù)學(xué)思想）數(shù)學(xué)思想對數(shù)學(xué)及其對象，對數(shù)學(xué)的概念、命對數(shù)學(xué)及其對象，對數(shù)學(xué)的概念、命題、法則、原理以及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性認(rèn)識，程序性弱，題、法則、原理以及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性認(rèn)識，程序性弱，功能性強(qiáng)。功能性強(qiáng)。分類思想分類思想 化歸思想化歸思想 函數(shù)思想函數(shù)思想 數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合 極極限思想限思想 統(tǒng)計(jì)思想統(tǒng)計(jì)思想 （4）數(shù)學(xué)觀念）數(shù)學(xué)觀念數(shù)學(xué)思想方法的最高境界，認(rèn)識客觀數(shù)學(xué)思想方法的最高境界，認(rèn)識客觀世界的哲學(xué)思想。世界的哲學(xué)思想。 例：二元一次方程組解法中的數(shù)學(xué)思想方法例：二元一次方程組解法中的數(shù)學(xué)思想方法 化歸化歸消元消元代入（加減）代入（加減）恒等變換（整體代換）恒等變

29、換（整體代換） 新課標(biāo)中的新課標(biāo)中的“基本思想基本思想” 獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知基礎(chǔ)知識、基識、基 本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)。本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)。 抽象：抽象：把與數(shù)學(xué)有關(guān)的知識引入數(shù)學(xué)內(nèi)部；把與數(shù)學(xué)有關(guān)的知識引入數(shù)學(xué)內(nèi)部； 推理：推理：促進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展；促進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展； 模型：模型：溝通數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁。溝通數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁。 例：一元二次方程中的基本思想例：一元二次方程中的基本思想 數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的層次性數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的層次性 滲透。滲透。在具體的數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中，融進(jìn)某些抽象的數(shù)學(xué)在具

30、體的數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中，融進(jìn)某些抽象的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生對這些思想方法有一些初步的感覺或直思想方法，使學(xué)生對這些思想方法有一些初步的感覺或直覺。例如，集合與對應(yīng)、公理化與結(jié)構(gòu)化、極限、算法與覺。例如，集合與對應(yīng)、公理化與結(jié)構(gòu)化、極限、算法與程序化的思想方法等。程序化的思想方法等。 介紹。介紹。把某些數(shù)學(xué)思想方法在適當(dāng)時(shí)候引進(jìn)到數(shù)學(xué)知識中，把某些數(shù)學(xué)思想方法在適當(dāng)時(shí)候引進(jìn)到數(shù)學(xué)知識中，使學(xué)生對這些思想方法由初步的理解，有一定的理性認(rèn)識。使學(xué)生對這些思想方法由初步的理解，有一定的理性認(rèn)識。例如，符號與變元表示、模型化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、例如，符號與變元表示、模型化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、概率統(tǒng)

31、計(jì)、分類、化歸的思想方法等。概率統(tǒng)計(jì)、分類、化歸的思想方法等。 突出。突出。在介紹的基礎(chǔ)上經(jīng)常性地予以強(qiáng)調(diào)，使學(xué)生能加以在介紹的基礎(chǔ)上經(jīng)常性地予以強(qiáng)調(diào)，使學(xué)生能加以運(yùn)用。初中數(shù)學(xué)教學(xué)中要突出的有數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、運(yùn)用。初中數(shù)學(xué)教學(xué)中要突出的有數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸的思想方法等?；瘹w的思想方法等。 加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué) 數(shù)學(xué)思想方法具有過程性的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)概念和原數(shù)學(xué)思想方法具有過程性的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)概念和原理的形成過程是進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的載體；理的形成過程是進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的載體；數(shù)學(xué)思想方法還具有活動性的特點(diǎn)，學(xué)生頭腦中數(shù)學(xué)思想方法還具有活動性的特點(diǎn)，學(xué)生頭

32、腦中的數(shù)學(xué)思想方法也是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中逐步形成的數(shù)學(xué)思想方法也是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中逐步形成的。這就的。這就要求我們精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，從問題的要求我們精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，從問題的提出、情景的創(chuàng)設(shè)，到教學(xué)方法的選擇，整個(gè)教提出、情景的創(chuàng)設(shè)，到教學(xué)方法的選擇，整個(gè)教學(xué)過程都要精心設(shè)計(jì)安排，有意識有目的地進(jìn)行學(xué)過程都要精心設(shè)計(jì)安排，有意識有目的地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。 1 1引入過程重視引入過程重視“先行組織者先行組織者”的使用，加強(qiáng)研究方法的的使用，加強(qiáng)研究方法的指導(dǎo)。指導(dǎo)。 例：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)例：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) 通常的做法：回顧正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并列出表格，

33、通常的做法：回顧正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并列出表格，列出解析式、形狀、位置、圖象趨勢、增減性等，接下來列出解析式、形狀、位置、圖象趨勢、增減性等，接下來類比這些內(nèi)容研究反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)。類比這些內(nèi)容研究反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)。 先行組織者策略：要研究反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，首先先行組織者策略：要研究反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，首先思考我們研究過哪些函數(shù)的圖象和性質(zhì)？是怎么研究的？思考我們研究過哪些函數(shù)的圖象和性質(zhì)？是怎么研究的？要研究那些問題？研究的方法是什么？要研究那些問題？研究的方法是什么？ 2 2設(shè)計(jì)好的問題，讓學(xué)生經(jīng)歷思想方法的形成過程。設(shè)計(jì)好的問題，讓學(xué)生經(jīng)歷思想方法的形成過程。

34、例：二元一次方程組的解法例：二元一次方程組的解法 新問題是什么？學(xué)習(xí)過什么老問題？將新問題轉(zhuǎn)化為老問新問題是什么？學(xué)習(xí)過什么老問題？將新問題轉(zhuǎn)化為老問題就是化未知為已知、化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉、化題就是化未知為已知、化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉、化困難為容易的化歸思想。困難為容易的化歸思想。 怎樣將新問題轉(zhuǎn)化為老問題？這種怎樣將新問題轉(zhuǎn)化為老問題？這種“將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決化少、逐一解決”的思想就是消元思想。的思想就是消元思想。 怎樣消元？也就產(chǎn)生了代入與加減兩種消元的方法。怎樣消元？也就產(chǎn)生了代入與加減兩種消元的方法。 如何如何“代入代入”與與“加減加減”？需

35、要具體的代數(shù)的恒等變換的？需要具體的代數(shù)的恒等變換的方法。方法。 3 3發(fā)揮小結(jié)的作用，讓學(xué)生學(xué)習(xí)的思想方法也納入認(rèn)知發(fā)揮小結(jié)的作用，讓學(xué)生學(xué)習(xí)的思想方法也納入認(rèn)知系統(tǒng)。系統(tǒng)。 例：代入消元法的框圖例：代入消元法的框圖3. 3. 加強(qiáng)研究方法的引導(dǎo)，提高課堂教學(xué)的思想加強(qiáng)研究方法的引導(dǎo)，提高課堂教學(xué)的思想性。性。 不要把數(shù)學(xué)教學(xué)蛻化為不要把數(shù)學(xué)教學(xué)蛻化為“解題教學(xué)解題教學(xué)”，進(jìn)一步蛻化為，進(jìn)一步蛻化為 “ “刺激刺激反應(yīng)反應(yīng)”訓(xùn)練。訓(xùn)練。 提高思想性的做法提高思想性的做法加強(qiáng)加強(qiáng)“先行組織者先行組織者”的使用的使用, ,加強(qiáng)研究方法的指導(dǎo)加強(qiáng)研究方法的指導(dǎo). . 過程與結(jié)果并重，加強(qiáng)過程性過程

36、與結(jié)果并重，加強(qiáng)過程性沒有過程等于沒有沒有過程等于沒有思想。思想。例例 如和研究研究四邊形如和研究研究四邊形 研究的問題研究的問題 一般四邊形：組成元素、度量（內(nèi)角和等問題）；一般四邊形：組成元素、度量（內(nèi)角和等問題）； 特殊四邊形：從邊的特殊性和角的特殊性入手；特殊四邊形：從邊的特殊性和角的特殊性入手； 邊的特殊邊的特殊平行四邊形：性質(zhì)和判定；平行四邊形：性質(zhì)和判定；“性質(zhì)性質(zhì)”研研究的是在究的是在“平行四邊形平行四邊形”的條件下，它的組成元素有什么的條件下，它的組成元素有什么普遍規(guī)律，如邊的大小關(guān)系、內(nèi)角的關(guān)系、對角線的關(guān)系普遍規(guī)律，如邊的大小關(guān)系、內(nèi)角的關(guān)系、對角線的關(guān)系等；等；“判定判

37、定”研究的是具備什么條件的四邊形才是平行四研究的是具備什么條件的四邊形才是平行四邊形；其他度量問題；邊形；其他度量問題； 角的特殊角的特殊矩形，邊的特殊矩形，邊的特殊菱形，邊角都特菱形，邊角都特殊殊正方形，都要研究性質(zhì)和判定。正方形，都要研究性質(zhì)和判定。 研究的方法研究的方法 化歸為三角形、平行線等已有知識?；瘹w為三角形、平行線等已有知識。 特殊的平行四邊形的研究要注意特殊的三角形的知識：矩特殊的平行四邊形的研究要注意特殊的三角形的知識：矩形形直角三角形；菱形直角三角形；菱形等腰三角形。等腰三角形。例例 研究方法的聯(lián)系研究方法的聯(lián)系 函數(shù)性質(zhì)的討論函數(shù)性質(zhì)的討論 （正比例函數(shù)（正比例函數(shù)一次函

38、數(shù)一次函數(shù)反比例函數(shù)反比例函數(shù) 二次函數(shù)）二次函數(shù)） 研究內(nèi)容：自變量取值范圍、函數(shù)的圖象、研究內(nèi)容：自變量取值范圍、函數(shù)的圖象、 函數(shù)的增減性函數(shù)的增減性 研究方法：畫函數(shù)圖象，觀察歸納，數(shù)形結(jié)合等。研究方法：畫函數(shù)圖象，觀察歸納，數(shù)形結(jié)合等。 三步曲三步曲 相關(guān)的問題：圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、何時(shí)函數(shù)值大相關(guān)的問題：圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、何時(shí)函數(shù)值大 于零或小于零等。于零或小于零等。 對對”與圓有關(guān)的位置關(guān)系與圓有關(guān)的位置關(guān)系”的處理的處理 24.2.1 24.2.1 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 24.2.2 24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系直線和圓的位置關(guān)系 24.2.3 24.2.3

39、圓和圓的位置關(guān)系圓和圓的位置關(guān)系 研究的對象研究的對象-兩個(gè)圖形間的位置關(guān)系兩個(gè)圖形間的位置關(guān)系 研究的方法研究的方法-將兩個(gè)圖形間的位置關(guān)系分類，從幾何、將兩個(gè)圖形間的位置關(guān)系分類，從幾何、代數(shù)兩方面分析特性代數(shù)兩方面分析特性 關(guān)注的問題關(guān)注的問題-（1 1）幾何特性（交點(diǎn)個(gè)數(shù)及區(qū)域分布）幾何特性（交點(diǎn)個(gè)數(shù)及區(qū)域分布） （2 2）代數(shù)特性（）代數(shù)特性（“兩圖形間的距離兩圖形間的距離”與半徑的比較）與半徑的比較） 數(shù)形結(jié)合兩方面討論數(shù)形結(jié)合兩方面討論 教學(xué)設(shè)計(jì)的基本線索教學(xué)設(shè)計(jì)的基本線索 內(nèi)容和內(nèi)容解析；內(nèi)容和內(nèi)容解析； 目標(biāo)和目標(biāo)解析；目標(biāo)和目標(biāo)解析； 教學(xué)問題診斷分析；教學(xué)問題診斷分析；

40、教學(xué)支持條件分析教學(xué)支持條件分析 教學(xué)過程設(shè)計(jì)；教學(xué)過程設(shè)計(jì)； 目標(biāo)檢測的設(shè)計(jì)。目標(biāo)檢測的設(shè)計(jì)。 五、基于概念核心、思想方法的教學(xué)設(shè)計(jì)五、基于概念核心、思想方法的教學(xué)設(shè)計(jì)1 1內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容和內(nèi)容解析 內(nèi)容：針對內(nèi)容：針對“核心概念核心概念”內(nèi)涵和外延的準(zhǔn)確表達(dá)；內(nèi)涵和外延的準(zhǔn)確表達(dá)； 內(nèi)容解析：內(nèi)容解析：重點(diǎn)是在揭示概念內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，說重點(diǎn)是在揭示概念內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，說明概念的核心之所在，并要對概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中明概念的核心之所在，并要對概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位進(jìn)行分析，其中隱含的思想方法要做出明的地位進(jìn)行分析，其中隱含的思想方法要做出明確表述。在此基礎(chǔ)上闡明教學(xué)重點(diǎn)。確表述。在此基礎(chǔ)上闡明教

41、學(xué)重點(diǎn)。 例例 “ “函數(shù)函數(shù)”概念的核心概念的核心 函數(shù)概念的發(fā)展歷史函數(shù)概念的發(fā)展歷史 函數(shù)的產(chǎn)生來自研究變量的需要。函數(shù)的產(chǎn)生來自研究變量的需要。 1717世紀(jì)，伽利略、笛卡爾等已注意到一個(gè)變量對另一個(gè)變世紀(jì)，伽利略、笛卡爾等已注意到一個(gè)變量對另一個(gè)變量的依賴關(guān)系。牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分時(shí)雖未給函數(shù)量的依賴關(guān)系。牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分時(shí)雖未給函數(shù)下明確的定義，但實(shí)際上已形成對變量之間的對應(yīng)關(guān)系的下明確的定義，但實(shí)際上已形成對變量之間的對應(yīng)關(guān)系的關(guān)注。關(guān)注。 1818世紀(jì)，函數(shù)被認(rèn)為是由變量世紀(jì)，函數(shù)被認(rèn)為是由變量x x和常量構(gòu)成的式子。約翰和常量構(gòu)成的式子。約翰 貝努利：貝努利：“由

42、任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量。由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量?！?” 歐拉這個(gè)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它按照含有的運(yùn)歐拉這個(gè)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它按照含有的運(yùn)算種類區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)。算種類區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)。 1919世紀(jì)，對函數(shù)的認(rèn)識發(fā)展到強(qiáng)調(diào)對應(yīng)關(guān)系。柯西：世紀(jì)，對函數(shù)的認(rèn)識發(fā)展到強(qiáng)調(diào)對應(yīng)關(guān)系。柯西：“在在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。自變量，其他各變數(shù)叫做

43、函數(shù)。”傅里葉發(fā)現(xiàn)函數(shù)也可以傅里葉發(fā)現(xiàn)函數(shù)也可以用曲線表示，也可以用式子表示，使對函數(shù)的認(rèn)識跳出式用曲線表示，也可以用式子表示，使對函數(shù)的認(rèn)識跳出式子的限制。當(dāng)集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，維布倫子的限制。當(dāng)集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，維布倫用用“集合集合”之間的之間的“對應(yīng)對應(yīng)”給出了近代函數(shù)定義，使得函給出了近代函數(shù)定義，使得函數(shù)概念具有三個(gè)要素即對應(yīng)關(guān)系、定義域及值域。數(shù)概念具有三個(gè)要素即對應(yīng)關(guān)系、定義域及值域。 2020世紀(jì)后，現(xiàn)代函數(shù)概念世紀(jì)后，現(xiàn)代函數(shù)概念“集合之間的映射集合之間的映射”方式定方式定義形成，即義形成，即“若存在若存在集合集合M到到N的一個(gè)映射的一個(gè)映射f，則稱

44、在集合，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f(x)，其中，其中x 是是M的任一元素，的任一元素，y是是x在在N中的像中的像?！?初中階段引入的函數(shù)概念，是從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)出發(fā)，強(qiáng)初中階段引入的函數(shù)概念，是從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)出發(fā)，強(qiáng)調(diào)的是對于函數(shù)概念的形式化的定義，用調(diào)的是對于函數(shù)概念的形式化的定義，用“變量變量”來描述來描述函數(shù)；到高中之后，再進(jìn)一步從集合、對應(yīng)的觀點(diǎn)，來刻函數(shù)；到高中之后，再進(jìn)一步從集合、對應(yīng)的觀點(diǎn)，來刻畫函數(shù)的概念畫函數(shù)的概念 初中階段的初中階段的函數(shù)定義為：在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)函數(shù)定義為：在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量變量x和和y，并且對于，

45、并且對于x的每一個(gè)確定的值，的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定都有唯一確定的值與它對應(yīng)，則稱的值與它對應(yīng)，則稱x為自變量，為自變量，y為為x的函數(shù)的函數(shù) 分析初中的定義中對函數(shù)概念內(nèi)涵的文字描述，可以發(fā)現(xiàn)，分析初中的定義中對函數(shù)概念內(nèi)涵的文字描述，可以發(fā)現(xiàn)，它強(qiáng)調(diào)了近代函數(shù)定義中的它強(qiáng)調(diào)了近代函數(shù)定義中的“對應(yīng)對應(yīng)”，并且明確了是，并且明確了是“單單值對應(yīng)值對應(yīng)”，這又是吸收了現(xiàn)代函數(shù)概念中對，這又是吸收了現(xiàn)代函數(shù)概念中對“映射映射”的要的要求求 ，但是沒有從，但是沒有從“集合集合”角度描述函數(shù)，因而未明確涉角度描述函數(shù)，因而未明確涉及定義域及值域及定義域及值域 初中數(shù)學(xué)中函數(shù)概念的核心，是函數(shù)

46、概念三要素初中數(shù)學(xué)中函數(shù)概念的核心，是函數(shù)概念三要素中的對應(yīng)關(guān)系，并且明確其為中的對應(yīng)關(guān)系，并且明確其為“單值對應(yīng)單值對應(yīng)”關(guān)系。關(guān)系。這包括兩個(gè)方面的含義：這包括兩個(gè)方面的含義： 第一，兩個(gè)變量是互相聯(lián)系的，一個(gè)變量變化時(shí)，第一，兩個(gè)變量是互相聯(lián)系的，一個(gè)變量變化時(shí)，另一個(gè)變量也發(fā)生變化；另一個(gè)變量也發(fā)生變化； 第二，函數(shù)與自變量之間是單值對應(yīng)關(guān)系，自變第二，函數(shù)與自變量之間是單值對應(yīng)關(guān)系，自變量的值確定后，函數(shù)的值是唯一確定的。量的值確定后，函數(shù)的值是唯一確定的。 函數(shù)是反映客觀世界變化規(guī)律的一種數(shù)學(xué)模型。函數(shù)是反映客觀世界變化規(guī)律的一種數(shù)學(xué)模型。例例 “ “三線八角三線八角”概念的核心概

47、念的核心 “兩條直線兩條直線”被被“第三條直線所截第三條直線所截”，得到八個(gè)，得到八個(gè)角。角。 對頂角、內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角，都是關(guān)于對頂角、內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角，都是關(guān)于一對角的位置關(guān)系；一對角的位置關(guān)系； 關(guān)鍵：根據(jù)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分類。關(guān)鍵：根據(jù)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分類。2 2目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)和目標(biāo)解析 目標(biāo)是教學(xué)目的的具體化，是教學(xué)活動每一階段所要實(shí)目標(biāo)是教學(xué)目的的具體化，是教學(xué)活動每一階段所要實(shí)現(xiàn)的教學(xué)結(jié)果，是衡量教學(xué)質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)?，F(xiàn)的教學(xué)結(jié)果，是衡量教學(xué)質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)。 目標(biāo)：用目標(biāo)：用“了解了解”“”“理解理解”“”“掌握掌握”以及相應(yīng)的行為動以及相應(yīng)的行為動詞詞“經(jīng)歷經(jīng)歷”“”“體驗(yàn)體

48、驗(yàn)”“”“探究探究”等表述目標(biāo)；闡明經(jīng)過教等表述目標(biāo)；闡明經(jīng)過教學(xué)，學(xué)生將有哪些變化，會做哪些以前不會做的事。學(xué)，學(xué)生將有哪些變化，會做哪些以前不會做的事。 目標(biāo)解析：對目標(biāo)解析：對“了解了解”“”“理解理解”“”“掌握掌握”以及以及“經(jīng)經(jīng)歷歷”“”“體驗(yàn)體驗(yàn)”“”“探究探究”的含義進(jìn)行解析，一般地，核心的含義進(jìn)行解析，一般地，核心概念的教學(xué)目標(biāo)都應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)分解。概念的教學(xué)目標(biāo)都應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)分解。 要強(qiáng)調(diào)把能力、態(tài)度等要強(qiáng)調(diào)把能力、態(tài)度等“隱性目標(biāo)隱性目標(biāo)”融合到知識、技能融合到知識、技能等等“顯性目標(biāo)顯性目標(biāo)”中，以避免空洞闡述中，以避免空洞闡述“隱性目標(biāo)隱性目標(biāo)”，使，使目標(biāo)對教學(xué)具有有效的

49、定向作用。目標(biāo)對教學(xué)具有有效的定向作用。 例例 “ “變量與函數(shù)變量與函數(shù)”的教學(xué)目標(biāo)的教學(xué)目標(biāo)目標(biāo)：目標(biāo)： 了解常量、變量、函數(shù)的概念了解常量、變量、函數(shù)的概念目標(biāo)解析：目標(biāo)解析： 結(jié)合具體實(shí)例，體會常量與變量的特征，能指出具體問題結(jié)合具體實(shí)例，體會常量與變量的特征，能指出具體問題中的常量、變量中的常量、變量 結(jié)合具體實(shí)例，理解具有函數(shù)關(guān)系的問題中兩個(gè)變量之間結(jié)合具體實(shí)例，理解具有函數(shù)關(guān)系的問題中兩個(gè)變量之間的單值對應(yīng)關(guān)系，能判斷兩個(gè)變量間是否具有函數(shù)關(guān)系，的單值對應(yīng)關(guān)系，能判斷兩個(gè)變量間是否具有函數(shù)關(guān)系，能舉出函數(shù)的實(shí)例。能舉出函數(shù)的實(shí)例。 結(jié)合函數(shù)概念的形成過程結(jié)合函數(shù)概念的形成過程,體

50、會變化與對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，體會變化與對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，感知現(xiàn)實(shí)世界中變量之間的相互聯(lián)系并不斷運(yùn)動變化；體感知現(xiàn)實(shí)世界中變量之間的相互聯(lián)系并不斷運(yùn)動變化；體會從具體的生活實(shí)例中抽象概括出數(shù)學(xué)知識的方法，會從具體的生活實(shí)例中抽象概括出數(shù)學(xué)知識的方法，例例 “ “三線八角三線八角”的教學(xué)目標(biāo)的教學(xué)目標(biāo)目標(biāo)：目標(biāo)： 識別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角（課標(biāo)）。識別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角（課標(biāo)）。目標(biāo)解析：目標(biāo)解析： 正確地分析圖形的結(jié)構(gòu)特征，從中找到正確地分析圖形的結(jié)構(gòu)特征，從中找到“兩條直線兩條直線”和和“第三條直線第三條直線”，確定角的關(guān)系（同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁，確定角的關(guān)系（同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角）。

51、內(nèi)角）。 以以“結(jié)構(gòu)特征結(jié)構(gòu)特征”為依據(jù)，對角進(jìn)行分類，確定角的特定關(guān)為依據(jù)，對角進(jìn)行分類，確定角的特定關(guān)系的思想方法。系的思想方法。3 3教學(xué)問題診斷分析教學(xué)問題診斷分析 教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)自己以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯關(guān)系教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)自己以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯關(guān)系以及思維發(fā)展理論，對本內(nèi)容在教與學(xué)中可能遇到的障礙以及思維發(fā)展理論，對本內(nèi)容在教與學(xué)中可能遇到的障礙進(jìn)行預(yù)測，并對出現(xiàn)障礙的原因進(jìn)行分析。在上述分析的進(jìn)行預(yù)測，并對出現(xiàn)障礙的原因進(jìn)行分析。在上述分析的基礎(chǔ)上指出教學(xué)難點(diǎn)?；A(chǔ)上指出教學(xué)難點(diǎn)。 可以從可以從認(rèn)知分析認(rèn)知分析入手，即分析學(xué)生已經(jīng)具備的認(rèn)知基礎(chǔ)入手，即分析學(xué)生已經(jīng)具

52、備的認(rèn)知基礎(chǔ)（包括知識、思想方法和思維發(fā)展基礎(chǔ)），對照教學(xué)目標(biāo)（包括知識、思想方法和思維發(fā)展基礎(chǔ)），對照教學(xué)目標(biāo)還需要具備哪些條件，通過已有基礎(chǔ)和目標(biāo)之間的差異比還需要具備哪些條件，通過已有基礎(chǔ)和目標(biāo)之間的差異比較，分析教學(xué)中可能出現(xiàn)的障礙。本欄目的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)做到較，分析教學(xué)中可能出現(xiàn)的障礙。本欄目的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)做到言之有物，以具體數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體進(jìn)行說明。言之有物，以具體數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體進(jìn)行說明。例例 “ “函數(shù)函數(shù)”中的難點(diǎn)分析中的難點(diǎn)分析 函數(shù)概念具有內(nèi)容的概括性、符號的抽象性、形式的多樣函數(shù)概念具有內(nèi)容的概括性、符號的抽象性、形式的多樣性等特點(diǎn)，初次接觸函數(shù)概念時(shí)會感到十分困難。性等特點(diǎn)，初次接

53、觸函數(shù)概念時(shí)會感到十分困難。 函數(shù)作為從數(shù)量角度反映變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，涉及到很函數(shù)作為從數(shù)量角度反映變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，涉及到很多復(fù)雜的層次和許多相關(guān)的上位概念，這將直接導(dǎo)致學(xué)生多復(fù)雜的層次和許多相關(guān)的上位概念，這將直接導(dǎo)致學(xué)生在概括函數(shù)概念時(shí)出現(xiàn)障礙。其中的層次主要有：（在概括函數(shù)概念時(shí)出現(xiàn)障礙。其中的層次主要有：（1 1）在一個(gè)在一個(gè)“變化變化”過程中；（過程中；（2 2）存在）存在“兩個(gè)兩個(gè)”變量；（變量；（3 3）這兩個(gè)變量具有一定的這兩個(gè)變量具有一定的“聯(lián)系聯(lián)系”；（；（4 4）一個(gè)變量的變化）一個(gè)變量的變化會引起另一個(gè)變量也會引起另一個(gè)變量也“隨之隨之”變化；（變化；（5 5）兩

54、個(gè)變量存在）兩個(gè)變量存在“單值對應(yīng)單值對應(yīng)”的關(guān)系。相關(guān)的上位概念主要有變量、對應(yīng)、的關(guān)系。相關(guān)的上位概念主要有變量、對應(yīng)、唯一、確定等。唯一、確定等。 學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前，接觸的基本上是常量數(shù)學(xué)的內(nèi)學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前，接觸的基本上是常量數(shù)學(xué)的內(nèi)容，是靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識。而函數(shù)研究的是變量與變量之間容，是靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識。而函數(shù)研究的是變量與變量之間的關(guān)系，其特征是變化的、發(fā)展的、處于兩個(gè)量的相互聯(lián)的關(guān)系，其特征是變化的、發(fā)展的、處于兩個(gè)量的相互聯(lián)系之中的。因此，了解函數(shù)的概念，需要學(xué)生的思維達(dá)到系之中的。因此，了解函數(shù)的概念，需要學(xué)生的思維達(dá)到辨證思維的形態(tài)。然而，此時(shí)學(xué)生的辨證思維水平還

55、不很辨證思維的形態(tài)。然而，此時(shí)學(xué)生的辨證思維水平還不很成熟，這個(gè)矛盾是函數(shù)概念學(xué)習(xí)中認(rèn)知障礙的根源。成熟，這個(gè)矛盾是函數(shù)概念學(xué)習(xí)中認(rèn)知障礙的根源。 教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)概念形成中的抽象與概括，對教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)概念形成中的抽象與概括，對“單值對應(yīng)單值對應(yīng)”的理解。的理解。例例 “ “三線八角三線八角”中的難點(diǎn)中的難點(diǎn) 學(xué)生初次接觸平面幾何關(guān)于位置關(guān)系、大小度量學(xué)生初次接觸平面幾何關(guān)于位置關(guān)系、大小度量的討論，除在思想方法上存在困難外，對于認(rèn)識的討論，除在思想方法上存在困難外，對于認(rèn)識幾何問題的一般程序也存在困難。復(fù)雜的圖形會幾何問題的一般程序也存在困難。復(fù)雜的圖形會使學(xué)生感到無從下手。使學(xué)生感到無從下

56、手。 教學(xué)難點(diǎn)：對圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的理解并正確地對角教學(xué)難點(diǎn)：對圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的理解并正確地對角分類；在具體（變式）圖形中正確找出有關(guān)的角。分類；在具體（變式）圖形中正確找出有關(guān)的角。 B和和BCE可以看成是直線可以看成是直線 ， 被直線被直線 所截得的所截得的 角；角；B和和BCD可以看成是直可以看成是直線線 ， 被直線被直線 所截得的所截得的 角。角。 B E A C D 兩個(gè)角的公共邊就是截線兩個(gè)角的公共邊就是截線4 4教學(xué)支持條件分析教學(xué)支持條件分析（根據(jù)需要）（根據(jù)需要） 為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)問題診斷分析和學(xué)為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)問題診斷分析和學(xué)習(xí)行為分析，分析應(yīng)當(dāng)采取哪些教學(xué)支

57、持條件，習(xí)行為分析，分析應(yīng)當(dāng)采取哪些教學(xué)支持條件，以幫助學(xué)生更有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，使他們更好以幫助學(xué)生更有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，使他們更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。當(dāng)前，可以適當(dāng)?shù)貍?cè)重于信息地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。當(dāng)前，可以適當(dāng)?shù)貍?cè)重于信息技術(shù)的使用，以構(gòu)建有利于學(xué)生建立概念的技術(shù)的使用，以構(gòu)建有利于學(xué)生建立概念的“多多元聯(lián)系表示元聯(lián)系表示”的教學(xué)情境。的教學(xué)情境。5 5教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)過程設(shè)計(jì) 強(qiáng)調(diào)教學(xué)過程的內(nèi)在邏輯線索；強(qiáng)調(diào)教學(xué)過程的內(nèi)在邏輯線索； 給出學(xué)生思考和操作的具體描述；突出核心概念的思給出學(xué)生思考和操作的具體描述；突出核心概念的思維建構(gòu)和技能操作過程，突出思想方法的領(lǐng)悟過程分維建構(gòu)和技能操作過程，突出

58、思想方法的領(lǐng)悟過程分析；析； 以以“問題串問題串”方式呈現(xiàn)為主，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真思考每一問題方式呈現(xiàn)為主，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真思考每一問題的設(shè)計(jì)意圖、師生活動預(yù)設(shè)，以及需要概括的概念要的設(shè)計(jì)意圖、師生活動預(yù)設(shè)，以及需要概括的概念要點(diǎn)、思想方法，需要進(jìn)行的技能訓(xùn)練，需要培養(yǎng)的能點(diǎn)、思想方法，需要進(jìn)行的技能訓(xùn)練，需要培養(yǎng)的能力，等；力，等； 根據(jù)內(nèi)容特點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)過程，如基于問題解決的設(shè)計(jì)，根據(jù)內(nèi)容特點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)過程，如基于問題解決的設(shè)計(jì)，講授式教學(xué)設(shè)計(jì)，自主探究式教學(xué)設(shè)計(jì)，合作交流式講授式教學(xué)設(shè)計(jì)，自主探究式教學(xué)設(shè)計(jì)，合作交流式教學(xué)設(shè)計(jì)，等。教學(xué)設(shè)計(jì)，等。 6 6目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)目標(biāo)檢測設(shè)計(jì) 習(xí)題、練習(xí)方式的檢測。要明確每

59、一個(gè)（組）習(xí)習(xí)題、練習(xí)方式的檢測。要明確每一個(gè)（組）習(xí)題或練習(xí)的設(shè)計(jì)。題或練習(xí)的設(shè)計(jì)。 注意防止一步到位，過早給綜合題、難題有害無注意防止一步到位，過早給綜合題、難題有害無益；打不好基礎(chǔ)就談不上發(fā)展。益；打不好基礎(chǔ)就談不上發(fā)展。例例 “ “變量與函數(shù)變量與函數(shù)”檢測題檢測題1 1在計(jì)算器上按照下面的程序進(jìn)行操作：在計(jì)算器上按照下面的程序進(jìn)行操作：填表：填表：顯示的數(shù)顯示的數(shù)y是輸入的數(shù)是輸入的數(shù)x的函數(shù)嗎？為什么？的函數(shù)嗎？為什么？ 2用用10cm長的繩子圍成長方形長的繩子圍成長方形 （1）若長方形一邊長為）若長方形一邊長為3cm，面積為多少？，面積為多少？ （2）若長方形的一邊長為）若長方形

60、的一邊長為xcm，面積為，面積為Scm2，試用含，試用含x的式子表示的式子表示S（3）S是是x的函數(shù)嗎？為什么？的函數(shù)嗎？為什么？輸入x（任意一個(gè)數(shù)）2+5=按鍵顯示y（計(jì)算結(jié)果）x12-40101y3 3下列曲線中，哪個(gè)表示下列曲線中，哪個(gè)表示y y是是x x的函數(shù)？為什么？的函數(shù)？為什么？評析：評析：通過三種形式（表格、解析式、圖象）來呈現(xiàn)問題，且問題的難通過三種形式（表格、解析式、圖象）來呈現(xiàn)問題，且問題的難度拾階而上，在突出本節(jié)課主體知識的同時(shí)，還為下一節(jié)課學(xué)習(xí)函數(shù)的度拾階而上，在突出本節(jié)課主體知識的同時(shí)，還為下一節(jié)課學(xué)習(xí)函數(shù)的三種表示形式埋下了伏筆三種表示形式埋下了伏筆商榷：商榷：練