第一章 誤差分析

1、第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn) 數(shù)值分析數(shù)值分析n n n 主講：謝靈紅n 電話(huà) 郵箱：第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn) 教材 數(shù)值方法，金一慶等編 浙江大學(xué) ,機(jī)械工業(yè)出版社。 實(shí)際上，只要有如下內(nèi)容：緒論與誤差緒論與誤差 、非非線(xiàn)性方程求解線(xiàn)性方程求解 、解線(xiàn)性方程組的直接法解線(xiàn)性方程組的直接法 、解線(xiàn)性方程組迭解線(xiàn)性方程組迭代法代法 、插值法插值法 、曲線(xiàn)擬合和函數(shù)逼近曲線(xiàn)擬合和函數(shù)逼近 、數(shù)值積分與微分?jǐn)?shù)值積分與微分 、常微分方程數(shù)值解常微分方程數(shù)值解 書(shū)都可作為教材。 第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn) 參考書(shū)1.數(shù)值方法數(shù)值方法，金一慶等編，金一慶等編 浙江大學(xué)

2、浙江大學(xué) ,機(jī)械工業(yè)出版機(jī)械工業(yè)出版社社,20002. 數(shù)值分析及其MATLAB實(shí)驗(yàn)，姜健飛等編 , 科學(xué)出版社,20043.數(shù)值分析，徐躍良編 , 西南交大出版社,20054. 計(jì)算方法，曹德欣等編, 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社,20015 數(shù)值分析方法，奚梅成等編 ,中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,20036數(shù)值分析(第三版)，顏慶津編北京航空航天大學(xué)出版社,2006 高等學(xué)校研究生教材。第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)考試要求：1、考試為題庫(kù)調(diào)題考試。2、期末成績(jī)?yōu)?0分以上及實(shí)驗(yàn)成績(jī)（上機(jī)）通過(guò)，該門(mén)課程才通過(guò)。第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)1.1數(shù)值分析課程介紹n隨著計(jì)算機(jī)和計(jì)算方法的飛速發(fā)展，幾乎所

3、有學(xué)科都走向定量化和精確化，從而產(chǎn)生了一系列計(jì)算性的學(xué)科分支，如計(jì)算物理、計(jì)算化學(xué)、計(jì)算生物學(xué)、計(jì)算地質(zhì)學(xué)、計(jì)算氣象學(xué)和計(jì)算材料學(xué)等，計(jì)算數(shù)學(xué)中的數(shù)值計(jì)算方法則是解決“計(jì)算”問(wèn)題的橋梁和工具。我們知道，計(jì)計(jì)算能力是計(jì)算工具和計(jì)算方法的效率的乘積算能力是計(jì)算工具和計(jì)算方法的效率的乘積，提高計(jì)算方法的效率與提高計(jì)算機(jī)硬件的效率同樣重要。科學(xué)計(jì)算已用到科學(xué)技術(shù)和社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域中。 第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)n 數(shù)值計(jì)算方法，是一種研究并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值近似數(shù)值計(jì)算方法，是一種研究并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值近似解方法，是在計(jì)算機(jī)上使用的解數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，簡(jiǎn)稱(chēng)計(jì)解方法，是在計(jì)算機(jī)上使用的解數(shù)學(xué)問(wèn)題的

4、方法，簡(jiǎn)稱(chēng)計(jì)算方法。算方法。 在科學(xué)研究和工程技術(shù)中都要用到各種計(jì)算方法。例如，在航天航空、地質(zhì)勘探、汽車(chē)制造、橋梁設(shè)計(jì)、天氣預(yù)報(bào)和漢字字樣設(shè)計(jì)中都有計(jì)算方法的蹤影。 數(shù)值分析既有數(shù)學(xué)類(lèi)課程中理論上的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，數(shù)值分析既有數(shù)學(xué)類(lèi)課程中理論上的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，又有實(shí)用性和實(shí)驗(yàn)性的技術(shù)特征，數(shù)值分析是一門(mén)理論性又有實(shí)用性和實(shí)驗(yàn)性的技術(shù)特征，數(shù)值分析是一門(mén)理論性和實(shí)踐性都很強(qiáng)的學(xué)科。和實(shí)踐性都很強(qiáng)的學(xué)科。在70年代，大多數(shù)學(xué)校僅在數(shù)學(xué)系的計(jì)算數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)和計(jì)算機(jī)系開(kāi)設(shè)計(jì)算方法這門(mén)課程。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展和普及，現(xiàn)在計(jì)算方法課程幾乎已成為所有理工科學(xué)生的必修課程。第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)

5、 數(shù)值分析的計(jì)算對(duì)象是微積分，線(xiàn)性代數(shù)，常微數(shù)值分析的計(jì)算對(duì)象是微積分，線(xiàn)性代數(shù)，常微分方程中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。內(nèi)容包括：插值和擬合、分方程中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。內(nèi)容包括：插值和擬合、數(shù)值微分和數(shù)值積分、求解線(xiàn)性方程組的直接法數(shù)值微分和數(shù)值積分、求解線(xiàn)性方程組的直接法和迭代法、計(jì)算矩陣特征值和特征向量和常微分和迭代法、計(jì)算矩陣特征值和特征向量和常微分方程數(shù)值解等問(wèn)題。方程數(shù)值解等問(wèn)題。 數(shù)值分析的計(jì)算目標(biāo)是高等數(shù)學(xué)問(wèn)題的的數(shù)值數(shù)值分析的計(jì)算目標(biāo)是高等數(shù)學(xué)問(wèn)題的的數(shù)值解。解。 對(duì)一般理工科的學(xué)生，教學(xué)內(nèi)容側(cè)重方法的實(shí)用對(duì)一般理工科的學(xué)生，教學(xué)內(nèi)容側(cè)重方法的實(shí)用性和實(shí)驗(yàn)性部分；我們的宗旨既不以嚴(yán)謹(jǐn)理論為性和實(shí)驗(yàn)

6、性部分；我們的宗旨既不以嚴(yán)謹(jǐn)理論為主導(dǎo)，也不是全篇的數(shù)據(jù)的數(shù)值計(jì)算，而是兩者主導(dǎo)，也不是全篇的數(shù)據(jù)的數(shù)值計(jì)算，而是兩者兼顧，兼收方法的基本理論和實(shí)用性。兼顧，兼收方法的基本理論和實(shí)用性。第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)求精確解求精確解( (值值) )一般非常困難。例如：一般非常困難。例如： 1. 1. 方程組階數(shù)方程組階數(shù)n n很大，例如很大，例如n=20,n=20,計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度 1 1億次億次/ /秒秒, ,用不好的方法用不好的方法, ,大約需算大約需算3030多萬(wàn)年多萬(wàn)年; ; 好方法不到一分鐘。另外，有計(jì)算結(jié)果可靠性好方法不到一分鐘。另外，有計(jì)算結(jié)果可靠性 問(wèn)題。問(wèn)題。2.

7、 2. 特征值定義特征值定義)0(xxAx0 xAx 0)( xIA0| IA第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)3. 3. 形式復(fù)雜時(shí)求根和求積分很困難。形式復(fù)雜時(shí)求根和求積分很困難。 4.4.線(xiàn)性微分方程易解，線(xiàn)性微分方程易解， 如如 非線(xiàn)性方程難解，如非線(xiàn)性方程難解，如 )(xf12 yyy1)0()0( yy1sin2 yyyey 1)0()0( yy 希希 望：望： 求近似解，但方法簡(jiǎn)單可行，行之有效求近似解，但方法簡(jiǎn)單可行，行之有效 （計(jì)算量小，誤差小等）。以計(jì)算機(jī)為工（計(jì)算量小，誤差小等）。以計(jì)算機(jī)為工 具，易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。具，易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。計(jì)算機(jī)運(yùn)算計(jì)算機(jī)運(yùn)算: 只能進(jìn)行加，減

8、，乘，除等算術(shù)運(yùn)只能進(jìn)行加，減，乘，除等算術(shù)運(yùn) 算和一些邏輯運(yùn)算。算和一些邏輯運(yùn)算。計(jì)算方法：計(jì)算方法： 把求解數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為按一定次序只把求解數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為按一定次序只 進(jìn)行加，減，乘，除等基本運(yùn)算進(jìn)行加，減，乘，除等基本運(yùn)算 數(shù)值方法。數(shù)值方法。第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)1.2 1.2 誤差基礎(chǔ)知識(shí)誤差基礎(chǔ)知識(shí)一一 .誤差來(lái)源誤差來(lái)源 第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn) 半個(gè)世紀(jì)以來(lái)計(jì)算機(jī)還給我們這個(gè)世界的諸多煩惱中，半個(gè)世紀(jì)以來(lái)計(jì)算機(jī)還給我們這個(gè)世界的諸多煩惱中，誤差誤差問(wèn)題最為突出。小到銀行利率的錯(cuò)算，大到導(dǎo)彈的錯(cuò)問(wèn)題最為突出。小到銀行利率的錯(cuò)算，大到導(dǎo)彈的錯(cuò)誤發(fā)射，除了操作人員的疏忽

9、、機(jī)器的故障引起的過(guò)失誤誤發(fā)射，除了操作人員的疏忽、機(jī)器的故障引起的過(guò)失誤差外，計(jì)算機(jī)在處理數(shù)據(jù)過(guò)程中還存在差外，計(jì)算機(jī)在處理數(shù)據(jù)過(guò)程中還存在計(jì)算誤差計(jì)算誤差。這是計(jì)。這是計(jì)算機(jī)機(jī)器數(shù)系所引起的，這一數(shù)系的特點(diǎn)是算機(jī)機(jī)器數(shù)系所引起的，這一數(shù)系的特點(diǎn)是有限、離散、有限、離散、支離破碎支離破碎；這和數(shù)學(xué)上常用的實(shí)數(shù)系；這和數(shù)學(xué)上常用的實(shí)數(shù)系無(wú)限、稠密、連續(xù)無(wú)限、稠密、連續(xù)的的特點(diǎn)完全不同。機(jī)器數(shù)的表示方法通常采用浮點(diǎn)數(shù)形式，特點(diǎn)完全不同。機(jī)器數(shù)的表示方法通常采用浮點(diǎn)數(shù)形式，即：即：mnaaa10.021 數(shù)值計(jì)算方法就是數(shù)值計(jì)算方法就是“研究用于求得數(shù)學(xué)問(wèn)題近似解研究用于求得數(shù)學(xué)問(wèn)題近似解的方法和

10、過(guò)程的方法和過(guò)程”，由于算法的實(shí)現(xiàn)必須在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行，由于算法的實(shí)現(xiàn)必須在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行，雖然計(jì)算機(jī)是非常準(zhǔn)確且快捷的計(jì)算工具，雖然計(jì)算機(jī)是非常準(zhǔn)確且快捷的計(jì)算工具，但計(jì)算機(jī)并不但計(jì)算機(jī)并不是象一般人想象哪樣可以解決一切問(wèn)題而不出是象一般人想象哪樣可以解決一切問(wèn)題而不出差錯(cuò)差錯(cuò)。第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)其中其中 ，且，且 都是整數(shù)都是整數(shù)09中的任一個(gè)數(shù)。中的任一個(gè)數(shù)。 稱(chēng)為尾數(shù)，尾數(shù)的位數(shù)稱(chēng)為尾數(shù)，尾數(shù)的位數(shù)n是有限正整數(shù)；是有限正整數(shù)； 中的中的m稱(chēng)為階數(shù)，階數(shù)也是有界的數(shù)。所以，機(jī)器數(shù)中有稱(chēng)為階數(shù)，階數(shù)也是有界的數(shù)。所以，機(jī)器數(shù)中有最大的數(shù)，也有最小的數(shù)。用機(jī)器數(shù)表示實(shí)數(shù)時(shí)，很多情最

11、大的數(shù)，也有最小的數(shù)。用機(jī)器數(shù)表示實(shí)數(shù)時(shí)，很多情況下都帶有誤差況下都帶有誤差 。01anaaa,21naaa21. 0m10 第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn) 100011001 . 0i例：計(jì)算： function s=f(m) s=0; for n=1:m s=s+0.1 end s=s-100運(yùn)行結(jié)果：運(yùn)行結(jié)果：s = -1.4069e-012反應(yīng)二進(jìn)制本質(zhì)反應(yīng)二進(jìn)制本質(zhì)第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn) 在在2400多年前，古希臘人提出了被稱(chēng)為幾何三多年前，古希臘人提出了被稱(chēng)為幾何三大問(wèn)題的古典難題。這說(shuō)明在歷史上，人類(lèi)就常大問(wèn)題的古典難題。這說(shuō)明在歷史上，人類(lèi)就常被誤差所困擾。下面問(wèn)題就是

12、三大難題之一。被誤差所困擾。下面問(wèn)題就是三大難題之一。 第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn) 例 題 解解 不妨設(shè)已知立方體體積為不妨設(shè)已知立方體體積為1。要作的立方體體積。要作的立方體體積為為2，則所求方立體高度應(yīng)該為，則所求方立體高度應(yīng)該為 ，用計(jì)算機(jī)計(jì)算，用計(jì)算機(jī)計(jì)算出出 ，（，（15位數(shù)）。盡管精確度相位數(shù)）。盡管精確度相當(dāng)高，但仍是近似值。下面的表當(dāng)高，但仍是近似值。下面的表1-1列出了對(duì)列出了對(duì)h取前有限位取前有限位數(shù)時(shí)，計(jì)算所得體積的誤差。數(shù)時(shí)，計(jì)算所得體積的誤差。 32h94872599210498.123例例1 立方倍積問(wèn)題。作一個(gè)立方體，使其體積立方倍積問(wèn)題。作一個(gè)立方體，使其體

13、積為已知立方體的二倍為已知立方體的二倍 。第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)例 1（續(xù)）位數(shù)位數(shù) 高度高度體積體積誤差誤差21.21.7282.720010-131.251.9531254.687510-241.2591.9956169794.383010-351.25991.9998997577991.002410-461.259921.999995000191494.999810-671.2599211.999999762390492.376110-781.2599211.999999762390492.377110-791.259921041.999999952878604.712110-8

14、表表1-1 立方倍積問(wèn)題的計(jì)算立方倍積問(wèn)題的計(jì)算 由上表可知，計(jì)算機(jī)機(jī)器數(shù)的有限位特點(diǎn)使這一問(wèn)題只由上表可知，計(jì)算機(jī)機(jī)器數(shù)的有限位特點(diǎn)使這一問(wèn)題只能在滿(mǎn)足一定的精度條件下解決，誤差是無(wú)法消除的。能在滿(mǎn)足一定的精度條件下解決，誤差是無(wú)法消除的。第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)1 誤差來(lái)源 （2）在給出的數(shù)學(xué)模型中往往涉及一些根據(jù)觀測(cè)得到）在給出的數(shù)學(xué)模型中往往涉及一些根據(jù)觀測(cè)得到的物理量，如電壓、電流、溫度、長(zhǎng)度等，而觀測(cè)難免不的物理量，如電壓、電流、溫度、長(zhǎng)度等，而觀測(cè)難免不帶誤差，這種誤差稱(chēng)為帶誤差，這種誤差稱(chēng)為觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差。 一個(gè)物理量的真實(shí)值和我們算出的值往往不相等，其一個(gè)物理量的真實(shí)

15、值和我們算出的值往往不相等，其差稱(chēng)為誤差。引起誤差的原因是多方面的。差稱(chēng)為誤差。引起誤差的原因是多方面的。（1）從實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，）從實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，對(duì)被描述的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行了抽象和簡(jiǎn)化，忽略了一些次對(duì)被描述的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行了抽象和簡(jiǎn)化，忽略了一些次要因素，這樣建立的數(shù)學(xué)模型雖然具有要因素，這樣建立的數(shù)學(xué)模型雖然具有“精確精確”、“完完美美”的外衣，其實(shí)只是客觀現(xiàn)象的一種近似。這種數(shù)學(xué)的外衣，其實(shí)只是客觀現(xiàn)象的一種近似。這種數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問(wèn)題之間出現(xiàn)的誤差稱(chēng)為模型與實(shí)際問(wèn)題之間出現(xiàn)的誤差稱(chēng)為模型誤差模型誤差。第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)方法誤差

16、與舍入誤差（4）在計(jì)算中遇到的數(shù)據(jù)可能位數(shù)很多，也可能是無(wú)）在計(jì)算中遇到的數(shù)據(jù)可能位數(shù)很多，也可能是無(wú)窮小數(shù)，如，窮小數(shù)，如， ， 等，由于計(jì)算機(jī)數(shù)系是等，由于計(jì)算機(jī)數(shù)系是間斷間斷的且的且有界有界，即計(jì)算時(shí)只能對(duì)有限位數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，因，即計(jì)算時(shí)只能對(duì)有限位數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，因此必須進(jìn)行四舍五入，這樣產(chǎn)生的誤差稱(chēng)為此必須進(jìn)行四舍五入，這樣產(chǎn)生的誤差稱(chēng)為舍入誤差舍入誤差 。e,3/1 ,2（3）在計(jì)算中常常遇到只有通過(guò)無(wú)限過(guò)程才能得到的結(jié)）在計(jì)算中常常遇到只有通過(guò)無(wú)限過(guò)程才能得到的結(jié)果，但實(shí)際計(jì)算時(shí)，只能用有限過(guò)程來(lái)計(jì)算。如無(wú)窮級(jí)數(shù)果，但實(shí)際計(jì)算時(shí)，只能用有限過(guò)程來(lái)計(jì)算。如無(wú)窮級(jí)數(shù)求和，只能取前面有限項(xiàng)求

17、和來(lái)近似代替，于是產(chǎn)生了有求和，只能取前面有限項(xiàng)求和來(lái)近似代替，于是產(chǎn)生了有限過(guò)程代替無(wú)限過(guò)程的誤差，稱(chēng)為限過(guò)程代替無(wú)限過(guò)程的誤差，稱(chēng)為截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差，這是計(jì)，這是計(jì)算方法本身出現(xiàn)的誤差，所以也稱(chēng)算方法本身出現(xiàn)的誤差，所以也稱(chēng)方法誤差方法誤差，這種誤，這種誤差是需要特別重視的。差是需要特別重視的。第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn) 有時(shí)，帶有誤差的數(shù)據(jù)也被人們頻繁使用。例如，在某有時(shí)，帶有誤差的數(shù)據(jù)也被人們頻繁使用。例如，在某次人口普查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)我國(guó)某省的人口數(shù)為次人口普查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)我國(guó)某省的人口數(shù)為7123萬(wàn)，這就是萬(wàn)，這就是一個(gè)近似數(shù)，其舍入誤差不超過(guò)一個(gè)近似數(shù)，其舍入誤差不超過(guò)0.5萬(wàn)。萬(wàn)。

18、用用3.1415926來(lái)代替圓周率，其舍入誤差為來(lái)代替圓周率，其舍入誤差為 1415926. 3R舍入誤差753! 71! 51! 31sinxxxxx取取 ，作近似計(jì)算，則，作近似計(jì)算，則 為其截?cái)嗾`差。為其截?cái)嗾`差。 53! 51! 31xxxSSxR sin第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)條條 件件 問(wèn)問(wèn) 題題第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)遞 推 算 法 遞推算法是解決實(shí)際問(wèn)題中使用相當(dāng)普遍的一種算法，遞推算法是解決實(shí)際問(wèn)題中使用相當(dāng)普遍的一種算法，它的數(shù)學(xué)描述是帶初值的遞推關(guān)系式。它的數(shù)學(xué)描述是帶初值的遞推關(guān)系式。 例例2 小猴吃桃問(wèn)題。有一天小猴摘下了若干個(gè)桃子，當(dāng)小猴吃桃問(wèn)題。有一天

19、小猴摘下了若干個(gè)桃子，當(dāng)即吃掉了一半，還覺(jué)得不過(guò)癮，又多吃了一個(gè)。第二天接即吃掉了一半，還覺(jué)得不過(guò)癮，又多吃了一個(gè)。第二天接著吃了剩下的一半，又多吃了一個(gè)。以后每天都是吃掉尚著吃了剩下的一半，又多吃了一個(gè)。以后每天都是吃掉尚存的桃子的一半零一個(gè)。到第十天早上，小猴準(zhǔn)備吃桃子存的桃子的一半零一個(gè)。到第十天早上，小猴準(zhǔn)備吃桃子時(shí)，看到只剩下時(shí)，看到只剩下1個(gè)桃子了。問(wèn)小猴第一天共摘下了多少個(gè)桃子了。問(wèn)小猴第一天共摘下了多少個(gè)桃子？個(gè)桃子？ 解解 設(shè)第設(shè)第k天的桃子數(shù)為天的桃子數(shù)為pk，則桃子數(shù)目變化規(guī)律為，則桃子數(shù)目變化規(guī)律為1211kkpp第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)遞 推 算 法（續(xù) 1）

20、這是正向遞推的關(guān)系式，解之，可得逆向遞推關(guān)系式這是正向遞推的關(guān)系式，解之，可得逆向遞推關(guān)系式 )2 , 9 ,10(),1(21kppkk 由初值由初值 ，根據(jù)上式設(shè)計(jì)算循環(huán)算法計(jì)算，根據(jù)上式設(shè)計(jì)算循環(huán)算法計(jì)算出出 即第一天的桃子數(shù)為即第一天的桃子數(shù)為1534。 110p15341p 上例中僅涉及整數(shù)序列遞推，根據(jù)初值條件來(lái)選擇正上例中僅涉及整數(shù)序列遞推，根據(jù)初值條件來(lái)選擇正向遞推或逆向遞推使實(shí)際問(wèn)題得以解決。盡管正向遞推和向遞推或逆向遞推使實(shí)際問(wèn)題得以解決。盡管正向遞推和逆向遞推公式在數(shù)學(xué)上完全等價(jià)，卻導(dǎo)致兩種完全不同的逆向遞推公式在數(shù)學(xué)上完全等價(jià)，卻導(dǎo)致兩種完全不同的算法。對(duì)于實(shí)數(shù)序列的遞

21、推由于初始誤差的存在，可以一算法。對(duì)于實(shí)數(shù)序列的遞推由于初始誤差的存在，可以一種方向的遞推會(huì)使誤差擴(kuò)大，而另一方向的遞推會(huì)使得誤種方向的遞推會(huì)使誤差擴(kuò)大，而另一方向的遞推會(huì)使得誤差逐步減小。在設(shè)計(jì)（選用）算法時(shí)要用使初始誤差不增差逐步減小。在設(shè)計(jì)（選用）算法時(shí)要用使初始誤差不增長(zhǎng)的算法。長(zhǎng)的算法。第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)) 1( 51) 1( 61 ) 1( 6165 ,) 1( 5155 10101010nInndxxdxxxIndxxdxxxInnnnnnn所以有而556515161),1 ,0(nnnxxxxxx所以有由于遞 推 算 法（續(xù) 2）)11(20,2, 1 ,0510n

22、dxxxInn計(jì)算：1011011101015555ln6ln)5ln(5ndxxdxxxxIIxdxxxInnnnnoo)21(151nIInn第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)兩種算法的近似值。，依次計(jì)算），對(duì)按式（取2110, 2 , 1212 . 1ln56ln5ln6ln51IIndxxIo) 1(51) 1(6121*nnI?。?-2）kkIkI1511)31 () 1 , 2 , 1,(nnkonnIIII,121：的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下屏表、算法按算法，分別取112101222222. 0155115612118232155. 0*14*0II)21 (151nIInn第一章第一章 誤差誤

23、差返回前進(jìn)表1-1nIn（按算法（按算法1計(jì)算）計(jì)算）In（按算法（按算法2計(jì)算）計(jì)算）0.182321550.1823215510.088392250.0883922220.058038750.0580389230.043139580.0431387340.034302080.034303350.028489580.0284683560.024218750.0243249170.021763390.0212326080.016183050.0188369990.030195880.0169261710-0.050979410.01536914110.345806120.0140633912-

24、0.645697260.013016368.305409380.0118412714-41.455618310.01222222130 0*10I第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn) 說(shuō) 明1)1(51)1(610nInn1nnIIn0nI*14I0011. 090175121*0I*0I第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)的原因。來(lái)愈大并遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)替變換且絕對(duì)值愈中后面的計(jì)算值符號(hào)交表，這就是引起有事實(shí)上由式倍，的誤差是計(jì)算出的倍，因而由算法大計(jì)算一次，誤差就擴(kuò)經(jīng)算法的誤差即原始數(shù)據(jù)111)(lim)41 (5151*0nnhnnIIII)21 (151nIInn 說(shuō) 明（續(xù)1）II01501II1501

25、II5)(50011IIII) 14()5()(511nnnnnIIII第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)說(shuō)明（續(xù)2）kI1kI*1151kkkkIIII*051nnnoIIII*14I*0I1451第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)2 絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字的相對(duì)誤差。為的絕對(duì)誤差或誤差，為近似值分別稱(chēng)*xexerxxxxeexxer*xxe第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)誤差限的意義*xxx005.010210016.014.32，則若取142. 30005.0102100041.0142.33第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)相對(duì)誤差*xeer第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)相對(duì)誤差（續(xù)）*xex

26、erreee*x75*10410997925.21.0 x第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)2.2 有效數(shù)字 ,005. 0102100159265. 014. 32*1x1416. 3,00005. 0210000011. 0,1416. 3*24*2*2xxx而對(duì)第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)有效數(shù)字的定義位有效數(shù)字。時(shí)具有近似則稱(chēng)如果，中的一個(gè)數(shù)字，是的近似值，若表示記nxxxxaaaaaxxxnmimn*121*,1021)09 , 1 , 0(,10. 0*第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)54, 110211416.34*2nnmmx32, 1102114.32*1nnmmx第一章第一章

27、誤差誤差返回前進(jìn)有效數(shù)字定義的進(jìn)一步解釋1111*1111211021101021*10)1(*1010.0*nmnmrmmmnaaxxxnxaxaaaax位有效數(shù)字，則有若可得因?yàn)橛尚?shù)字。二位小數(shù)，只有二位有準(zhǔn)確到第雖然有三位小數(shù)，但只，所以即，第二位小數(shù)的半個(gè)單位絕對(duì)誤差限如位有效數(shù)字。有可知反之，由下式*2*1111005. 00005. 0)(1021005. 0,154. 01021) 1(21010) 1(*xxxxnxaaxxxnmnmr第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)11210an) 1(21011an第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)有效數(shù)字舉例第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)有效

28、數(shù)字舉例近似值。的具有四位有效數(shù)字的求052631578. 0191%01. 00001. 010101105214, 1102105263. 0191105263. 005263. 005263. 0052631578. 0191314411rnm而相對(duì)誤差即其絕對(duì)誤差可表示為解：第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)問(wèn)要取幾位有效數(shù)字？超過(guò)的近似值的相對(duì)誤差不反之，要使%,01. 0191。超過(guò)，則其相對(duì)誤差限就不有效數(shù)字為的近似值取四位因此，只要對(duì)由的這即要求出滿(mǎn)足：%01.005263.0191052631578.019143001.0lg1001.0100001.0%01.0105215%0

29、1.01021)1()1(1)1(1nnanannn第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)例例3 3 設(shè)設(shè) =0.0270=0.0270是某數(shù)是某數(shù) 經(jīng)經(jīng)“四舍五入四舍五入”所得，所得，求其有效數(shù)字求其有效數(shù)字. . *xx第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)解解: : 設(shè)設(shè) =0.0270=0.0270是某數(shù)是某數(shù) 經(jīng)經(jīng)“四舍五入四舍五入”所得，所得，則則 誤差誤差 不超過(guò)不超過(guò) 末位的半個(gè)單位，即：末位的半個(gè)單位，即： 又又 , ,故該不等式又可寫(xiě)為故該不等式又可寫(xiě)為 由有效數(shù)字定義可知由有效數(shù)字定義可知, , 有有3 3位有效數(shù)字，分別位有效數(shù)字，分別 是是2,72,7，0 0。*x*)(xe*x41

30、021* xx)270. 0(10*1 x311021* xx*xx第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)例例4 4 = 32.93, = 32.89,= 32.93, = 32.89,求其有效數(shù)求其有效數(shù)字字. . x*x第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)解解: : = 32.93, = 32.89, = 32.93, = 32.89, 故故 有有3 3位有效數(shù)字，分別是位有效數(shù)字，分別是3,23,2，8 8。由于由于 中的數(shù)字中的數(shù)字9 9不是有效數(shù)字，故不是有效數(shù)字，故 不是有不是有效數(shù)。效數(shù)。 x1102105. 004. 0* xx321021* xx*x*x*x*x第一章第一章 誤差誤差返回前

31、進(jìn)例例1.3 1.3 為了使為了使 的近似值的相對(duì)誤差的近似值的相對(duì)誤差 0.1%，問(wèn)至少應(yīng)取幾位有，問(wèn)至少應(yīng)取幾位有效數(shù)字？效數(shù)字？ 101x1第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)3 基本運(yùn)算中的誤差估計(jì) niiinniiiinnnnxexxxxfxxxxxxfxxxdfxxxfxxxfyyye1211*2121*2*121*)(),()(),(),(),(),()(第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)基本運(yùn)算中的相對(duì)誤差)(),(),()(1)(ln)()(211211irniniininiirxexxxfxxxxxffxexfdfffdyyeye第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)具體誤差估計(jì)，所以有：由

32、于1,),(212121xfxfxxxxfy)()()()()()(22121211212121xexxxxexxxxxexexexxerrr)()() ()( )()(2121211221xexexxexexxexxxerrr)()()()()( 1)(212122211221xexexxexexxxexxxerrr)(21)()( 21)(xexexexxerr第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)更細(xì)的誤差估計(jì)分析1)()()(2121xexexxe)()()(2121xexexxerrr故有：)()()(2121xexexxerrr 10)(0) 1 (21221121，的絕對(duì)值及時(shí)，同號(hào)而當(dāng)

33、xxxxxxxx常大，即：個(gè)式子的誤差可能會(huì)非時(shí)，這兩，特別當(dāng)則上述結(jié)論可能不成立，可能大于及時(shí)，異號(hào)而當(dāng)01)(0)2(2121221121xxxxxxxxxx第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn))()(ln)(ln)(xnexndxdyexyrnrn，設(shè)第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)例例6 6：測(cè)得某桌面的長(zhǎng)測(cè)得某桌面的長(zhǎng)a a的近似值的近似值a a* *=120cm,=120cm,寬寬b b的的 近似值近似值b b* *=60cm=60cm。若已知。若已知|e(a|e(a* *)|0.2cm, )|0.2cm, |e(b |e(b* *)|0.1cm)|0.1cm。 試求近似面積試求近似面積s

34、 s* *=a=a* *b b* * 的絕對(duì)誤差限與相對(duì)誤差限。的絕對(duì)誤差限與相對(duì)誤差限。2241 . 01202 . 060|*)(|*|*)(|*|*)(|*)(*)(*)(*)*,(*)(*)*,(*)(cmbeaaebsebeaaebbebbasaeabasse 解解: : 面積面積s=ab,s=ab,在公式（在公式（1.51.5）中）中, ,將將 換為換為 s=ab, s=ab, 則則),(21xxfy 相對(duì)誤差限為相對(duì)誤差限為%33. 06012024|*)(|*)(| sseser第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn) 1.3 1.3 選用算法應(yīng)遵循的原則選用算法應(yīng)遵循的原則1.1.盡量簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少乘除運(yùn)算的次數(shù)盡量簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少乘除運(yùn)算的次數(shù). . 第一章第一章 誤差誤差返回前進(jìn)1.1.盡量簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少乘除運(yùn)算的次數(shù)盡量簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少乘除運(yùn)算的次數(shù). . 例如，計(jì)算多項(xiàng)式例如，計(jì)算多項(xiàng)式 通常運(yùn)算的乘法次數(shù)為通常運(yùn)算的乘法次數(shù)為 nn