誤差理論課件

1、第二章 誤差理論及應用本章主要內(nèi)容 誤差來源、概念與分類( ) 系統(tǒng)誤差 分類( ) 消除方法( ) 綜合( ) 隨機誤差 過失誤差第一節(jié) 誤差的來源與分類一、來源及基本概念一、來源及基本概念 誤差的來源：誤差的來源：測量方法、測量儀器、測試環(huán)境條件以及測試人員的技術(shù)水平等 誤差的概念：誤差的概念： 絕對誤差：測量值與真值之差。 相對誤差：測試系統(tǒng)測量值（即示值）的絕對誤差 與被測參量真值X0 的比值，稱之為測試系統(tǒng)測量（示值）的相對誤差 ，常用百分數(shù)表示 0 xXX%100%100000XXXXx*用相對誤差通常比其絕對誤差能更好地說明不同測量的精確程度，一般來說相對誤差值小，其測量精度就高

2、；相對誤差本身沒有量綱。誤差是絕對的誤差是絕對的 測量條件相同，測量結(jié)果不同，表明誤差存在 測量結(jié)果相同，但不能說明沒有誤差測量誤差分析的目的：測量誤差分析的目的：研究在測量中產(chǎn)生誤差的大小、性質(zhì)及產(chǎn)生的原因 ，以便對測量精度做出評價。二、測量誤差的分類 按產(chǎn)生誤差因素的出現(xiàn)規(guī)律以及它們對測量結(jié)果的影響程度分為：系統(tǒng)誤差、隨機誤差、過失誤差。系統(tǒng)誤差 1.定義 在相同條件下，多次重復測量同一被測參量時，其測量誤差的大小和符號保持不變；或在條件改變時，誤差按某一確定的規(guī)律變化，這種測量誤差稱為系統(tǒng)誤差。 2.系統(tǒng)誤差可控，結(jié)果可加以修正 正確的測量結(jié)果不應該包含系統(tǒng)誤差 3.產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原

3、因儀器不良，如零點未校準刻度不準;測試環(huán)境的變化，如外界濕度、溫度、壓力變化等;安裝不當;測試人員的習慣偏向，如讀數(shù)偏高;測量方法不當。隨機誤差 1.定義 在相同條件下多次重復測量同一被測參量時，測量誤差的大小與符號均無規(guī)律變化，這類誤差稱為隨機誤差。 2.隨機誤差是不可控的，不可排除的 隨機誤差必然存在于測量結(jié)果之中 3.隨機誤差完全服從統(tǒng)計規(guī)律 誤差的大小及正負符號的出現(xiàn)，完全由概率決定；誤差與測量的次數(shù)有關，隨著測量次數(shù)的增加，隨機誤差的算術(shù)平均值將逐漸接近于零。過失誤差 1.定義 一種顯然與事實不相符的誤差稱為過失誤差. 2.原因 測量者粗枝大葉、過度疲勞或操作不正確等引起的 3.過失

4、誤差無規(guī)則可尋，但可以避免的 包含過失誤差的測量結(jié)果是不可采用的精度精度： 測量結(jié)果與真值吻合程度測量結(jié)果與真值吻合程度定性概念定性概念測測量量精精度度舉舉例例不精密（隨機誤差大）不精密（隨機誤差大） 準確（系統(tǒng)誤差?。蚀_（系統(tǒng)誤差小） 精密（隨機誤差?。┚埽S機誤差?。┎粶蚀_（系統(tǒng)誤差大不準確（系統(tǒng)誤差大）不精密（隨機誤差大）不精密（隨機誤差大）不準確（系統(tǒng)誤差大）不準確（系統(tǒng)誤差大）精密（隨機誤差小）精密（隨機誤差?。蚀_（系統(tǒng)誤差?。蚀_（系統(tǒng)誤差?。y量精度測量精度精密度：精密度：( precision )表述表述：概念概念： 重復測量時，測量結(jié)果的分散性重復測量時，測量結(jié)果的分散

5、性準確度：準確度：表述表述：精確度精確度：( 正確度正確度)測量結(jié)果與真值的接近程度，系統(tǒng)誤差的影響程度測量結(jié)果與真值的接近程度，系統(tǒng)誤差的影響程度性質(zhì)性質(zhì)：隨機誤差的標準差隨機誤差的標準差 ( standard deviation )性質(zhì)性質(zhì)：系統(tǒng)誤差和隨機誤差綜合影響程度系統(tǒng)誤差和隨機誤差綜合影響程度平均值與真值的偏差平均值與真值的偏差 ( deviation )表述表述： 不確定度不確定度 ( uncertainty )工程表示工程表示：最大允許誤差相對于儀表測量范圍地百分數(shù)最大允許誤差相對于儀表測量范圍地百分數(shù)0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.5, 5.0 七級七級

6、minmaxmaxxxA第二節(jié) 系統(tǒng)誤差一、系統(tǒng)誤差分類1.按誤差值變化規(guī)律誤差值變化規(guī)律分 誤差值恒定不變的又稱為定值系統(tǒng)誤差定值系統(tǒng)誤差。 誤差值變化的則稱為變值系統(tǒng)誤差變值系統(tǒng)誤差。 A.累進性系統(tǒng)誤差：指在整個測量過程中，誤差的 數(shù)值向一個方向變化。 B.周期性系統(tǒng)誤差：指在測量過程中，數(shù)值是按周 期性變化的。 C.按復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差：指誤差變化的規(guī)律 復雜，一般用表格、曲線或公式表示。2.按誤差產(chǎn)生的原因分 儀器誤差：由于測量儀器本身不完善或老化所產(chǎn)生的誤差。 安裝誤差：由于測量儀器安裝和使用不正確而產(chǎn)生的誤差。 環(huán)境誤差：由于測量儀器使用環(huán)境條件不符而引起的誤差。 方法誤差：

7、由于測量方法或計算方法不當，測量或計算理論本身不完善等原因產(chǎn)生的誤差。 操作誤差：也稱人為誤差，由于測量者先天缺陷或觀測位置不對或操作不當引起的誤差。 動態(tài)誤差：由于測量儀器的自振頻率、阻尼以及與被測迅變量之間的關系而產(chǎn)生的振幅和相位的誤差。二、消除系統(tǒng)誤差的方法1.交換低銷法 將測量中的某些條件相互交換，使產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因相互抵消。2.替代消除法 在一定的測量條件下，用一個精度較高的已知量，在測量系統(tǒng)中取代被測量，而使測量儀器的指示值保持不變，則被測量等與該已知量。3.預檢法 將測量儀器與較高精度的基準儀器對同一物理量進行多次重復測量，測量儀器讀數(shù)的平均值為L,基準儀器讀數(shù)的平均值為L0,

8、則= L- L0，看作是測量儀器對該物理量測量時的誤差。三、系統(tǒng)誤差的綜合1.代數(shù)綜合法 如果能估計出各系統(tǒng)誤差分量i的大小和符號： 絕對誤差： = 1+ 2+ n 相對誤差：=1+ 2+ n2.算術(shù)綜合法 如果能估計出各系統(tǒng)誤差分量i的大小,但不能確定符號： 絕對誤差： = （ |1|+| 2|+ |n|） 相對誤差：= （|1|+ |2|+| n|）3.幾何綜合法 如果能估計出各系統(tǒng)誤差分量i的大小,但不能確定符號： 但是誤差分量較多，易誤差估計過大 絕對誤差： = （12+ 22+ n2）1/2 相對誤差：= （12+ 22+ n2）1/2第三節(jié) 隨機誤差 分類 就測量個體而言，隨機誤差

9、是無規(guī)律可言的，但就整體而言隨機誤差遵循著一定的統(tǒng)計規(guī)律。 正態(tài)分布隨機誤差正態(tài)分布隨機誤差 非正態(tài)分布隨機誤差非正態(tài)分布隨機誤差：均勻分布隨機誤差和反正弦分布隨機誤差。 對隨機誤差所作的概率統(tǒng)計處理是完全排除了系統(tǒng)誤差的前提下進行的！一、隨機誤差正態(tài)分布 假定對某個被測參量進行等精度(各種測量因素相同)重復測量n次，其測量示值分別為 則各次測量的測量偏差即隨機誤差（假定已消除系統(tǒng)誤差）分別為12inXXXX，011XXx0XXxnn式中 真值。 把各次測量偏差作平面圖，其橫坐標表示為偏差幅值（有正負），縱坐標標為偏差出現(xiàn)的次數(shù)。0X122XXxniinn101lim222)(21)(axex

10、f 大量實驗證明，上述隨機誤差整體上均具有下列統(tǒng)計特性統(tǒng)計特性：（1）有界性 即各個隨機誤差的絕對值（幅度）均不超過一定的界限；（2）單峰性 即絕對值（幅度）小的隨機誤差總要比絕對值（幅度）大的隨機誤差出現(xiàn)的概率大；（3）對稱性 （幅度）等值而符號相反的隨機誤差出現(xiàn)的概率接近相等；（4）抵償性 當?shù)染戎貜蜏y量次數(shù)時，所有測量值的隨機誤差的代數(shù)和為零，即:niinx10lim 所以，在等精度重復測量次數(shù)足夠大時，其算術(shù)平均值 就是其真值 較理想的替代值。 X0X1.1.正態(tài)分布正態(tài)分布 高斯于1795年提出連續(xù)型正態(tài)分布隨機變量 的概率密度函數(shù)表達式為： x 22221xxexxp式中 數(shù)學期

11、望值； 自然對數(shù)的底； 隨機變量的均方根差或稱標準偏差（簡稱標準差）； e x 21limniinxxn 2x隨機變量的方差，數(shù)學上通常用D表示； 隨機變量的個數(shù)。 n 從概率論可知， 是決定正態(tài)分布曲線的兩個特征參數(shù)。其中 影響隨機變量分布的集中位置，或稱正態(tài)分布的位置特征參數(shù)； 表征隨機變量的分散程度，故稱為正態(tài)分布的離散特征參數(shù)。圖1-1 對正態(tài)分布的影響示意圖 圖1-2 對正態(tài)分布的影響示意圖 和 在已經(jīng)消除系統(tǒng)誤差條件下的等精度重復測量中，當測量數(shù)據(jù)足夠多，其測量隨機誤差大都呈正態(tài)分布規(guī)律，因而完全可以參照高斯方程對測量隨機誤差進行比較分析。這時測量隨機誤差的正態(tài)分布概率密度函數(shù)為2

12、)(22)()(21)(xxexfx式中 隨機誤差變量，相當于高斯方程中的變量 ；這里 ，其中 為某個測量示值， 為真值； e自然對數(shù)的底； xx0XXxiiiX0X隨機誤差的標準偏差（簡稱標準差）； ,即隨機誤差的方差； nxnXXxniinniin12120limlim22x niinniinxnXXnx1212021lim1lim方差的量綱是測量數(shù)據(jù)量綱的平方，所以在測量結(jié)果的表示中不是很方便，因而工程上經(jīng)常不用方差而使用方差的正的算術(shù)平方根標準偏差（簡稱標準差）。2 2 測量數(shù)據(jù)的隨機誤差估計測量數(shù)據(jù)的隨機誤差估計（1 1）測量真值估計）測量真值估計 在實際工程測量中，測量次數(shù)n不可能

13、無窮大，而測量真值通常也不可能已知。因此，前面公式僅是一組不能實際使用的理論公式。根據(jù)對已消除系統(tǒng)誤差的有限等精度測量數(shù)據(jù)樣本 ，求取其算術(shù)平均值，即12inXXXX，11niiXXn 這里算術(shù)平均值 是被測參量真值 （或數(shù)學期望 ）的最佳估計值，也是實際測量中比較容易得到的真值近似值。這也被稱作算術(shù)平均值原理。 X0X（2 2）測量值的均方根誤差估計）測量值的均方根誤差估計 對已消除系統(tǒng)誤差的一組n個（n是有限值）等精度測量數(shù)據(jù) ，采用其算術(shù)平均值 近似代替測量真值 后，總會有偏差，但偏差估計有多大，而這個估計的偏差值又有多大把握（即概率），對此目前被廣泛使用的貝塞爾（Bessel）公式被認

14、為是解決上述問題工具。貝塞爾公式12inXXXX，X0X 2211nniiiiXXxdd式中 第 i 次測量值； 測量次數(shù)，這里為一有限值； 全部 次測量值的算術(shù)平均值，簡稱測量均值； 第 i 次測量的殘差； 標準偏差 的估計值，亦稱實驗標準偏差或重復性標準差； iXnXni x x表明n次測量殘差 并不是數(shù)n個獨立變量，而只有n-1個獨立變量。故式中自由度 ，而不是n。1dn d 自由度，這里 。自由度d反映被測參量個數(shù)t與測量次數(shù)n的關系，即 。從另一個角度，因為 1dndnt110nniiiiXX（3 3）算術(shù)平均值的標準差）算術(shù)平均值的標準差 12n， 嚴格地講，貝塞爾公式只有當 時，

15、 、 才成立。如果對某一被測參量分別進行一系列有限的n次等精度測量，則它們的算術(shù)平均值 也是一個隨機變量，即每一有限次測量獲得的算術(shù)平均值 本身也具有一定的隨機性。這一點從算術(shù)平均值的特性上也不難理解，因為算術(shù)平均值是一系列測量值的數(shù)學期望 的估計值，不是真值。既然是估計值，就一定存在差值，而且這偏差值是隨機誤差。那么，如何評價算術(shù)平均值的隨機誤差(離散度)的大??？和其它隨機變量一樣，算術(shù)平均值也是用其方差或標準差來評價。我們先分析算術(shù)平均值的方差：n xx0XXXX22211niiXXXn22221111nniiiiXXnn因為各次測量均為等精度獨立測量，故有 222212nXXXX這樣 X

16、nXnnX222211算術(shù)平均值的標準差為 1XXn在實際工作中，測量次數(shù)n只能是一個有限值，為了不產(chǎn)生誤解，建議用算術(shù)平均值 標準差和方差的估計值 與 來代替上兩式中的 X2XXX2X(4)(4)（正態(tài)分布時）測量結(jié)果的置信度（正態(tài)分布時）測量結(jié)果的置信度 由上述可知，可用測量值 的算術(shù)平均值 作為數(shù)學期望 的估計值，即真值 的近似值。 其分布離散程度可用貝塞爾公式等方法求出的重復性標準差（標準偏差的估計值）來表征 iX0XX x測量值 與真值 （或數(shù)學期望 ）偏差 的置信區(qū)間取為 的若干倍，即：0Xxkx式中 k置信系數(shù)(或稱置信因子)，可看作是描述在某一個置信概率情況下，標準偏差 與誤差

17、限之間的一個系數(shù)。它的大小不但與概率有關，而且與概率分布有關。 對于正態(tài)分布，根據(jù)式正態(tài)分布概率密度函數(shù)，可得測量誤差落在某區(qū)間的概率表達式 kkxxdexpxx)()(2)(22)()(21式中 。為表示方便，這里令 則有：kx x 置信系數(shù)k值確定之后，則置信概率便可確定。由上式，當k分別選取1、2、3時，即測量誤差 分別落入正態(tài)分布置信區(qū)間 的概率值分別如下： x23、 0.6827ppd 220.9545ppd 330.9973ppd另外，當置信區(qū)間擴大到 時，則有為上述不同置信區(qū)間的概率分布示意圖。 至 1ppd為表達和計算方便，作積分變換，令 則有 z ddz 而從 的積分限 相應

18、得到 的積分限為 ，將上述關系代入式d,kkdzKK，2212zKKpKzKedz22022zKedzK 式中 稱為拉普拉斯函數(shù)，具體計算比較復雜。在實際工程應用中，可查前人已做好的拉普拉斯函數(shù)專用表格。K得工程上，通常把測量誤差絕對值大于的測量值作為壞值，而予以剔除（此剔除原則稱為拉伊達準則）；也就是說把測量誤差作為粗大誤差而予以剔除。當?shù)染葴y量次數(shù)n大于30次時，其測量誤差趨近于正態(tài)分布；因而可以用以上方法來估計測量誤差的大小和相應的置信概率。但工程上，為保證等精度測量條件和提高測量效率，一般測量次數(shù)僅為幾次到一二十次，此時因測量樣本小，其誤差已不符合正態(tài)分布，而成為“t分布”。33x定

19、性分析：就是對測量環(huán)境、測量條件、測量設備、測量步驟進行分析，看是否有某種外部條件或測量設備本身存在突變而瞬時破壞等精度測量條件的可能，測量操作是否有差錯或等精度測量過程中是否存在其它可能引發(fā)粗大誤差的因素；也可由同一操作者或另換有經(jīng)驗操作者再次重復進行前面的（等精度）測量，然后再將兩組測量數(shù)據(jù)進行分析比較，或再與由不同測量儀器在同等條件下獲得的結(jié)果進行對比；以分析該異常數(shù)據(jù)出現(xiàn)是否“異常”，進而判定該數(shù)據(jù)是否為粗大誤差。這種判斷屬于定性判斷，無嚴格的規(guī)則，應細致和謹慎實施。第四節(jié)第四節(jié) 過失誤差處理過失誤差處理定量判斷：就是以統(tǒng)計學原理和誤差理論相關專業(yè)知識為依據(jù)，對測量數(shù)據(jù)中的異常值的“異常程度”進行定量計算，以確定該異常值是否為應剔除的壞值。這里所謂的定量計算是相對上面的定性分析而言，它是建