全套更高更妙的物理競賽競賽功與能PPT課件

1、 利用圖象求功之方法適用于當(dāng)力對位移的關(guān)利用圖象求功之方法適用于當(dāng)力對位移的關(guān)系為線性時系為線性時;或在表示力對位移關(guān)系的或在表示力對位移關(guān)系的F-s示功圖示功圖中中F(s)圖線與圖線與s軸圍成的圖形軸圍成的圖形“面積面積”有公式可有公式可依時依時;因?yàn)樵谝驗(yàn)樵贔-s示功圖中，這種示功圖中，這種“面積面積”的物理的物理意義就是功的大小意義就是功的大小 方法方法 A AsF0 xW第1頁/共40頁 錘子打木樁，錘每次從同一高度落下，每次均有錘子打木樁，錘每次從同一高度落下，每次均有80%的的能量傳給木樁，且木樁所受阻力能量傳給木樁，且木樁所受阻力f與插入深度與插入深度x成正比，試求木樁每次打入的

2、深度成正比，試求木樁每次打入的深度比若第一次打擊使木樁插入了全長的比若第一次打擊使木樁插入了全長的1/3，全部插入須錘擊多少次？，全部插入須錘擊多少次？ 本題中的阻力本題中的阻力f為一與位移為一與位移x成正比的變力，即成正比的變力，即f=kx示功圖示功圖xF0 x1x2x3lW0W0W0圖中各陰影圖中各陰影“面積面積” 表示第表示第1、2、3次錘擊中，木樁克服阻次錘擊中，木樁克服阻力做的功，數(shù)值上等于錘傳給木力做的功，數(shù)值上等于錘傳給木樁的能量，設(shè)為樁的能量，設(shè)為W0 由圖由圖2222123000023nxxxxWWWnW : : : : : : : :123123nxxxxn : : : :

3、 : : : : 12312321nnxxxnx : : :- -: : : : : :1 1當(dāng)當(dāng)xn=l時，由時，由11nxxn : : :13lln 9n 次次第2頁/共40頁 某質(zhì)點(diǎn)受到某質(zhì)點(diǎn)受到F=6x2的力的作用，從的力的作用，從x=0處處移到移到x=2.0 m處，試求力處，試求力F做了多少功？做了多少功？ 本題中的變力力本題中的變力力F與位移與位移x成成F=6x2關(guān)系，關(guān)系，F(xiàn)-x圖線為拋物線圖線為拋物線示功圖示功圖24x/mF/N02W圖中圖中 “面積面積” 表示表示F力做的力做的功功“面積面積” 由阿基米德公式由阿基米德公式23S 弓弓底底高高由示功圖得由示功圖得F力做的功力做

4、的功12WSS 矩矩弓弓12224424J23 16 J J第3頁/共40頁 如圖所示，一質(zhì)量為如圖所示，一質(zhì)量為m，長為，長為l的柔軟繩索，一部分平直地放在的柔軟繩索，一部分平直地放在桌面上，另一部分跨過桌面邊緣的光滑定滑輪下垂，柔繩與桌面間的摩擦因數(shù)為桌面上，另一部分跨過桌面邊緣的光滑定滑輪下垂，柔繩與桌面間的摩擦因數(shù)為柔繩能由靜止開始下滑，求下垂部分長度至少多長？由這一位置開始運(yùn)動，柔繩能由靜止開始下滑，求下垂部分長度至少多長？由這一位置開始運(yùn)動，柔繩剛離開桌面時的速度多大？柔繩剛離開桌面時的速度多大？ 設(shè)柔繩恰由靜止開始下滑時下垂部分長度為設(shè)柔繩恰由靜止開始下滑時下垂部分長度為x0，則

5、由，則由 00mmxglxgll 0min1lx 柔繩恰由靜止開始下滑至以柔繩恰由靜止開始下滑至以v離開桌面，由動能定理離開桌面，由動能定理212GfWWmv 其中，重力功等于繩重力勢能減少其中，重力功等于繩重力勢能減少0022GxmlmWlgx gll 2202mg lxl 摩擦力為線性變力：摩擦力為線性變力：fmFxgl 示功圖示功圖xFf0l-x0 0mlxgl Wfx 202fmglxlW 222002g lxg lxvll 1vgl 第4頁/共40頁 一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，被固定中心排斥，斥力的大小，被固定中心排斥，斥力的大小F=mr，其中，其中r為質(zhì)點(diǎn)離開此中心的距離在開

6、始時，為質(zhì)點(diǎn)離開此中心的距離在開始時，r0=a，v=0，求質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過位移求質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過位移a時所達(dá)到的速度大小時所達(dá)到的速度大小 斥力為線性變化力！斥力為線性變化力！ ma 示功圖示功圖rF0aa2ma WF對示功圖求梯形陰影對示功圖求梯形陰影“面積面積” 232122Wm aamaa 對質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過位移對質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過位移a的過程，由動能定理的過程，由動能定理223122mamv 3va 第5頁/共40頁 跳水運(yùn)動員從高于水面跳水運(yùn)動員從高于水面H10 m的跳臺自由落下，運(yùn)動員的質(zhì)的跳臺自由落下，運(yùn)動員的質(zhì)量量m60 kg，其體形可等效為長度，其體形可等效為長度l1.0 m、直徑、直徑d0.30 m的圓柱體

7、，略去空的圓柱體，略去空氣阻力，運(yùn)動員入水后水的等效阻力氣阻力，運(yùn)動員入水后水的等效阻力F作用于圓柱體下端面，作用于圓柱體下端面，F(xiàn)量值隨入水深度量值隨入水深度y變化如圖，該曲線近似為橢圓的一部分，長軸和短軸分別與變化如圖，該曲線近似為橢圓的一部分，長軸和短軸分別與OY和和OF重合，為了重合，為了確保運(yùn)動員絕對安全，試計(jì)算水池中水的確保運(yùn)動員絕對安全，試計(jì)算水池中水的h至少應(yīng)等于多少？至少應(yīng)等于多少？ 5mg/2YF0h對全過程運(yùn)用動能定理對全過程運(yùn)用動能定理: : 00mg HhWW浮浮阻阻其中阻力功根據(jù)示功圖為四分之一個橢圓其中阻力功根據(jù)示功圖為四分之一個橢圓“面積面積” ” : :示功圖

8、示功圖W阻阻1542mgWh 阻阻入水過程中，浮力隨入水深度入水過程中，浮力隨入水深度y作線性變化作線性變化24dFgy 浮浮示功圖示功圖YF浮0l24gld 2124gl dWl 浮浮242dlWglhl 浮浮 215100428dmhlhmh 1603m161h 4.9 m 第6頁/共40頁 如果在某一位移區(qū)間，力隨位移變化的關(guān)系如果在某一位移區(qū)間，力隨位移變化的關(guān)系為為F=f(s) ，求該變力的功通常用微元法，即將，求該變力的功通常用微元法，即將位移區(qū)間分成位移區(qū)間分成n（n）個小區(qū)間）個小區(qū)間s/n，在每個，在每個小區(qū)間內(nèi)將力視為恒定，求其元功小區(qū)間內(nèi)將力視為恒定，求其元功Fi s/n

9、 ，由，由于功是標(biāo)量，具有于功是標(biāo)量，具有“可加性可加性”，那么總功等于，那么總功等于每個小區(qū)間內(nèi)元功之代數(shù)和的極限，即變力在每個小區(qū)間內(nèi)元功之代數(shù)和的極限，即變力在這段位移中所做的功為：這段位移中所做的功為： 方法方法 B B1limniniWW 在數(shù)學(xué)上，確定元功相當(dāng)于給出數(shù)列通項(xiàng)在數(shù)學(xué)上，確定元功相當(dāng)于給出數(shù)列通項(xiàng)式，求總功即求數(shù)列式，求總功即求數(shù)列n項(xiàng)和當(dāng)項(xiàng)和當(dāng)n時的極限時的極限 第7頁/共40頁 半徑等于半徑等于r的半球形水池，其中充滿了水，把池的半球形水池，其中充滿了水，把池內(nèi)的水完全吸盡，至少要做多少功？內(nèi)的水完全吸盡，至少要做多少功？ rri沿著容器的豎直直徑，我們將水池內(nèi)的水

10、均勻細(xì)分成沿著容器的豎直直徑，我們將水池內(nèi)的水均勻細(xì)分成n層，每一元層水的高度層，每一元層水的高度 rhn r1i2每一層水均可看作一個薄圓柱，水面下第每一層水均可看作一個薄圓柱，水面下第i層層水柱底面的半徑水柱底面的半徑這層水的質(zhì)量這層水的質(zhì)量22irrrin 22irrmrinn 將這層水吸出至少應(yīng)做的元功是將這層水吸出至少應(yīng)做的元功是 22irrrWrig innn 將池水吸盡至少要做的功是將池水吸盡至少要做的功是 34241limniniiiWWg rnn 433332411lim1 2 3123ng rnnnn 224241111lim24nn nnngrnn 41g4r 第8頁/共

11、40頁 一個質(zhì)量為一個質(zhì)量為m的機(jī)動小車，以恒定速度的機(jī)動小車，以恒定速度v在半徑在半徑為為R的豎直圓軌道繞的豎直圓軌道繞“死圈死圈”運(yùn)動已知動摩擦因數(shù)為運(yùn)動已知動摩擦因數(shù)為，問在小車，問在小車從最低點(diǎn)運(yùn)動到最高點(diǎn)過程中，摩擦力做了多少功？從最低點(diǎn)運(yùn)動到最高點(diǎn)過程中，摩擦力做了多少功？ 小車沿豎直圓內(nèi)軌勻速率運(yùn)動到最小車沿豎直圓內(nèi)軌勻速率運(yùn)動到最高點(diǎn)的過程中，由于軌道支持力是變力，高點(diǎn)的過程中，由于軌道支持力是變力，故而摩擦力為一隨位置變化的力！故而摩擦力為一隨位置變化的力！xyOAB當(dāng)小車運(yùn)動在當(dāng)小車運(yùn)動在A A處元圓弧段時處元圓弧段時 n mgNAA 2sinAAvNmgmR AAfN 2

12、sinAvmgR 摩擦力在摩擦力在A A處元功為處元功為2sinAAvRWm gRn 當(dāng)小車運(yùn)動在與當(dāng)小車運(yùn)動在與A A關(guān)于關(guān)于x軸對稱的軸對稱的B B處元圓弧段時處元圓弧段時 B A mgNBB 2sinBBvNmgmR n 續(xù)解續(xù)解iin 第9頁/共40頁BBfN 2sinBvmgR 摩擦力在摩擦力在B B處元功為處元功為2sinBBvRWmgRn 小車在關(guān)于水平直徑對稱的軌道兩元段上摩擦力元功之和為小車在關(guān)于水平直徑對稱的軌道兩元段上摩擦力元功之和為22iABvRWWWmRn 查閱查閱摩擦力在半圓周軌道上的總功摩擦力在半圓周軌道上的總功/2211lim2nniWmvn 2mv 計(jì)算水平直

13、徑以下段摩擦力的功：計(jì)算水平直徑以下段摩擦力的功： 2/21limsinnnivRWmgiRnn 下下續(xù)解續(xù)解2/2/211limsinnnniivRRmmgiRnnn第10頁/共40頁2/2/211limsinnnniivRRWmmgiRnnn下下2/21lims2innnimgRinnnmvn 2lim sinsin2sin22nnmvnmgRnnnnn sin1sinsin22sin2nnannnnS 三三角角 列列前前和和數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)22sinsin44limsin22nnnnnmgRnnnmvn 222sinsin44limsin222nnnmvnnnnmgRnn 22WmvmgR 下下

14、水平直徑以上段摩擦力的功：水平直徑以上段摩擦力的功： 22WmvmgR 上上第11頁/共40頁將板沿板長均分為將板沿板長均分為n（n）等份等份fiMFgn 將木板在水平地面上繞其一端轉(zhuǎn)動角將木板在水平地面上繞其一端轉(zhuǎn)動角，求所需，求所需要做的功木板長度為要做的功木板長度為L，質(zhì)量為，質(zhì)量為M，木板與地面之間的動摩擦因，木板與地面之間的動摩擦因數(shù)為數(shù)為 Lin元摩擦力做功的位移為元摩擦力做功的位移為1 2iiLxin 摩擦力對摩擦力對i段做的元功為段做的元功為iMg innWL 則對木板的功則對木板的功 1limnniMLWg inn 211limnniMgLin 211lim2nn nMgLn

15、 12MgL 各元段摩擦力為各元段摩擦力為ix第12頁/共40頁 從一個容器里向外抽空氣，直到壓強(qiáng)為從一個容器里向外抽空氣，直到壓強(qiáng)為p容器容器上有一小孔，用塞子塞著現(xiàn)把塞子拔掉，問空氣最初以多大速率上有一小孔，用塞子塞著現(xiàn)把塞子拔掉，問空氣最初以多大速率沖進(jìn)容器？設(shè)外界大氣壓強(qiáng)為沖進(jìn)容器？設(shè)外界大氣壓強(qiáng)為p0，大氣密度為，大氣密度為 pp0 xs 設(shè)小孔截面積為設(shè)小孔截面積為s，打開塞子，打開塞子后孔外側(cè)厚度為后孔外側(cè)厚度為 x的一薄層空氣的一薄層空氣在內(nèi)、外壓強(qiáng)差作用下沖入容器，在內(nèi)、外壓強(qiáng)差作用下沖入容器，獲得速度獲得速度v0，由動能定理由動能定理: : 2012PP SxSx v 00

16、2 pvp 第13頁/共40頁 這種求功方法依據(jù)功對能量變化的量度關(guān)系，這種求功方法依據(jù)功對能量變化的量度關(guān)系，只須了解初、未能量狀態(tài)，得到能量的增量便只須了解初、未能量狀態(tài)，得到能量的增量便是相應(yīng)的功量是相應(yīng)的功量 方法方法 C CWE 第14頁/共40頁 如圖所示如圖所示,一質(zhì)量分布均勻的粗繩長一質(zhì)量分布均勻的粗繩長2a，質(zhì)量為，質(zhì)量為2m，兩端懸于水平天花板上相距為兩端懸于水平天花板上相距為a的兩點(diǎn)而懸垂靜止，其重心位于的兩點(diǎn)而懸垂靜止，其重心位于天花板下方天花板下方b處處.現(xiàn)施一力于繩之最低點(diǎn)現(xiàn)施一力于繩之最低點(diǎn)C并將繩拉直至并將繩拉直至D點(diǎn)，求拉點(diǎn)，求拉力所做的功力所做的功 D3co

17、s3024aha 3224pEmg bhmg ba由幾何關(guān)系拉直后兩段繩的重心位置距天花由幾何關(guān)系拉直后兩段繩的重心位置距天花 重力勢能增加了重力勢能增加了 由功能原理，拉力功為由功能原理，拉力功為324pWmg baE 由于拉力做功，使繩之重心高度變化因而重力勢由于拉力做功，使繩之重心高度變化因而重力勢能變化，重力勢能的增量即為所求拉力功量能變化，重力勢能的增量即為所求拉力功量 Chh第15頁/共40頁 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的皮球，從高為的皮球，從高為h處自由下落（不計(jì)空氣處自由下落（不計(jì)空氣阻力），反彈起來的高度為原來的阻力），反彈起來的高度為原來的3/4，要皮球反彈回，要皮球反彈回h高處，

18、求高處，求每次拍球需對球做的功每次拍球需對球做的功 在球與地面接觸期間，地面對球的彈力對球做負(fù)功，在球與地面接觸期間，地面對球的彈力對球做負(fù)功，使球的動能減少地面對球的彈力功是變力功使球的動能減少地面對球的彈力功是變力功! !牛頓碰撞定律：牛頓碰撞定律：若兩球碰撞前速度依次為若兩球碰撞前速度依次為v10、v20，碰，碰撞后速度為撞后速度為v1、v2，則碰撞后兩者的分離速度，則碰撞后兩者的分離速度v2 v1與碰撞前兩者的接近速度與碰撞前兩者的接近速度v20 v10成正比，比值成正比，比值e稱恢稱恢復(fù)系數(shù)（或反彈系數(shù)），比值由兩者的質(zhì)料決定，即復(fù)系數(shù)（或反彈系數(shù)），比值由兩者的質(zhì)料決定，即2120

19、10vvevv 從從h高度自由下落再反彈高度自由下落再反彈的全過程的全過程,地面彈力功地面彈力功W1: 13144Wmghmghmgh 從從h高度拍下再反彈原高高度拍下再反彈原高的全過程的全過程,地面彈力功地面彈力功W2: 2WWmghmgWh 拍拍拍拍續(xù)解續(xù)解第16頁/共40頁從從h高下落未速度即與地接近速度高下落未速度即與地接近速度:212mghmv 自自接接近近由由2vgh 自自接接近近212Wmghmv 拍拍拍拍接接近近由由22Wghmv 拍拍拍拍接接近近從地面反彈的起跳速度即與地分離速度從地面反彈的起跳速度即與地分離速度:23142hmgmv 自自分分離離由由32ghv 自自分分離離

20、212mghmv 拍拍分分離離由由2vgh 拍拍分分離離同一球與同一地面碰撞同一球與同一地面碰撞,恢復(fù)系數(shù)相同恢復(fù)系數(shù)相同:vvvve 自自接接近近拍拍分分離離自自分分離離拍拍接接近近222322ghWghhhggm 拍拍13Wmgh 拍拍第17頁/共40頁 如圖所示，有兩個薄壁圓筒半徑為如圖所示，有兩個薄壁圓筒半徑為R的圓筒繞自己的軸以角的圓筒繞自己的軸以角速度速度轉(zhuǎn)動，而另一個圓筒靜止使兩圓筒相接觸并且它們的轉(zhuǎn)軸平行，過一會轉(zhuǎn)動，而另一個圓筒靜止使兩圓筒相接觸并且它們的轉(zhuǎn)軸平行，過一會兒，由于摩擦兩圓筒開始做無滑動的轉(zhuǎn)動問有多少機(jī)械能轉(zhuǎn)換成內(nèi)能？（兩圓兒，由于摩擦兩圓筒開始做無滑動的轉(zhuǎn)動問

21、有多少機(jī)械能轉(zhuǎn)換成內(nèi)能？（兩圓筒的質(zhì)量分別為筒的質(zhì)量分別為m1、m2） m1Rm21根據(jù)題意，一段時間內(nèi)根據(jù)題意，一段時間內(nèi)m1線速度從線速度從R 1R,而而m2線速度從線速度從0 2r= 1R 這種變化是因?yàn)閮烧唛g有大小這種變化是因?yàn)閮烧唛g有大小相等的一對力作用，這對力做功使相等的一對力作用，這對力做功使系統(tǒng)機(jī)械能系統(tǒng)機(jī)械能( (動能動能) )轉(zhuǎn)換成內(nèi)能轉(zhuǎn)換成內(nèi)能 ! !對系統(tǒng)對系統(tǒng),由動能定理由動能定理: 2211211122QmRmmR 又又,由牛頓第二、三定律由牛頓第二、三定律,一對力大小相等一對力大小相等: 11211122RRRFmFmtt 1112mmm 2212122mmRmm

22、 第18頁/共40頁 功是力的空間積累作用，能是對物體運(yùn)動的一種量功是力的空間積累作用，能是對物體運(yùn)動的一種量度功的作用效應(yīng)是使物體的能量狀態(tài)發(fā)生變化，做功度功的作用效應(yīng)是使物體的能量狀態(tài)發(fā)生變化，做功的過程就是物體能量轉(zhuǎn)化的過程，轉(zhuǎn)化了的能量都可以的過程就是物體能量轉(zhuǎn)化的過程，轉(zhuǎn)化了的能量都可以由做功的多少來量度，這是我們對功與能之間關(guān)系的基由做功的多少來量度，這是我們對功與能之間關(guān)系的基本認(rèn)識，是我們從能量角度解決運(yùn)動問題的依據(jù)本認(rèn)識，是我們從能量角度解決運(yùn)動問題的依據(jù) 功能關(guān)系基本認(rèn)識功能關(guān)系基本認(rèn)識 功能關(guān)系的具體認(rèn)識功能關(guān)系的具體認(rèn)識 功能對應(yīng)功能對應(yīng)規(guī)律規(guī)律借助功與能的具體對應(yīng)關(guān)系

23、，對運(yùn)借助功與能的具體對應(yīng)關(guān)系，對運(yùn)動的功的量度問題作出正確的操作動的功的量度問題作出正確的操作. .確定有哪些力對研究對象做了正功或負(fù)功，以代數(shù)確定有哪些力對研究對象做了正功或負(fù)功，以代數(shù)和的形式完成定理中等號左邊對合外力的功的表述；和的形式完成定理中等號左邊對合外力的功的表述；分析所研究過程的初、未兩狀態(tài)的動能，完分析所研究過程的初、未兩狀態(tài)的動能，完成等號右邊對動能變化的表述成等號右邊對動能變化的表述 ；選定研究的對象與過程選定研究的對象與過程; 示例示例第19頁/共40頁0ktkWEE 0gpgpgtWEE 0QpqpqtWEE 重力功量度重力勢能的變化：外力（可以是重力、彈力、摩擦力

24、、電場力、磁場力或其它可以是重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力或其它力力）做的總功量度動能的變化： 彈力功量度彈性勢能的變化： 動能定理動能定理引力功量度引力勢能的變化： 0GpGpGtWEE 0tWEE 非非非重力彈力功量度機(jī)械能的變化： 勢能定理勢能定理功能原理功能原理電場力功量度電勢能的變化： 0QpepetWEE （W非非可以是摩擦力功、電場力功、安培可以是摩擦力功、電場力功、安培力功或其它非重力、彈簧彈力的功力功或其它非重力、彈簧彈力的功） 返回返回第20頁/共40頁 如圖示，一水塔的蓄水箱底離地面的高度如圖示，一水塔的蓄水箱底離地面的高度H0=20 m，其橫斷面是半徑其橫斷面是半徑

25、R=2 m的圓儲水深的圓儲水深h=1 m，如果用裝在高，如果用裝在高H1=5 m處、截面積為處、截面積為2 cm2的水龍頭放水，問需要多久才能將水放完？的水龍頭放水，問需要多久才能將水放完？ 11nniiiiiQttSv 根據(jù)題意，水箱中的水從底部截面積為根據(jù)題意，水箱中的水從底部截面積為s的小孔流出，若流速為的小孔流出，若流速為vi，則時間，則時間ti內(nèi)的水內(nèi)的水流量流量Qi= vi ti S；總儲水全部流盡的時間應(yīng)；總儲水全部流盡的時間應(yīng)為為iQ2hRn iv2igh ih012hgHhHin 每層水放出時間的通項(xiàng)式為每層水放出時間的通項(xiàng)式為 2012R hnhgHhHiSn 2101li

26、m2nniR hnthg HhHiSn 全部水箱儲水放盡的總需時為全部水箱儲水放盡的總需時為小孔流小孔流速速續(xù)解續(xù)解1i2n第21頁/共40頁210111lim2nniR hnSghHhHin 21010111lim21nniR hnSg HhHhin HhH 12111lim1162nniinnSg 1111xxx 1111lim12162nniinnSg 21111lim12322nninnSg 12nn 11642Sg 465642 1020 33.6 10 s 示例示例第22頁/共40頁P(yáng)0+P水P0設(shè)小孔處一小片厚設(shè)小孔處一小片厚x、面積面積S的的液片液片, ,在內(nèi)外壓力之合力作用下

27、獲在內(nèi)外壓力之合力作用下獲得速度得速度v v而離開小孔，而離開小孔，由動能定由動能定理理: :212P SxSx v 水水水水PgH 水水水水2vgH P0 2012PP SxgH SxSx v 水水水水2012P PgHv 水水水水02P PvgH 水水返回返回PP+P水第23頁/共40頁 質(zhì)量為質(zhì)量為m的小球以某一初速度豎直上拋，若運(yùn)動中所的小球以某一初速度豎直上拋，若運(yùn)動中所受阻力受阻力Ff=kv2，最大阻力為重力的，最大阻力為重力的0.44倍，試求小球上升的最大高度倍，試求小球上升的最大高度H及落回拋出點(diǎn)時的速度及落回拋出點(diǎn)時的速度vt 本題通過元過程的動能定理本題通過元過程的動能定理

28、, ,用微元法求得終解用微元法求得終解! ! 本題研究過程中有重力功與阻力功本題研究過程中有重力功與阻力功, ,其中阻力功其中阻力功為耗散功為耗散功, ,且為一按指數(shù)規(guī)律變化的力且為一按指數(shù)規(guī)律變化的力! !1lim1xxex 取上升過程中的某一元過程：該過程小球上升了高度H/n(n )，速度從vi減少為vi+1，各元過程中的阻力可視為不變?yōu)?fiiFkv 2iiFmgkv 合外力根據(jù)動能定理，對該元過程有即 222112iiiHmgkvm vvn 對該式變形有 22122iiimgkvmgkvkHnmmgkv 21imgkv 22122iiivvHnmm gkv 21221iimgkvkHn

29、mmgkv 續(xù)解續(xù)解21221iimgkvkHnmmgkv 第24頁/共40頁21221iimgkvkHnmmgkv 由由知知在各相同的上升高度在各相同的上升高度H/n微元中，合外微元中，合外力大小成等比數(shù)列遞減、因而動能的增力大小成等比數(shù)列遞減、因而動能的增量是成等比數(shù)列遞減的，其公比為量是成等比數(shù)列遞減的，其公比為則則21221nniimgkvkHnmmgkv 2221nmkHkHmkHnm 對上式兩邊取極限:222122limlim1nmkHnkHminnimgkvkHnmmgkv 0.44mg0211.44kHme ln1.442kHm 同理,對下落過程由 222112iiiHmgkv

30、m vvn 21221iimgkvkHnmmgkv 對此式兩邊取n次方當(dāng)n極限:續(xù)解續(xù)解222122limlim1nmkHnkHminnimgkvkHnmmgkv 02tkv6ln5mk 第25頁/共40頁22kHmtmgemgkv 2ln2tmmgHkmgkv 21.44tmgmgkv 0.441.44tmgvk 200.44vgkm 由題給條件056tvv 小球落回拋出點(diǎn)時的速度是拋出時速度的六分之五小球落回拋出點(diǎn)時的速度是拋出時速度的六分之五 查閱查閱第26頁/共40頁R 一質(zhì)點(diǎn)在光滑的固定半球面上距球心高度為一質(zhì)點(diǎn)在光滑的固定半球面上距球心高度為H的任意的任意點(diǎn)點(diǎn)P，在重力作用下由靜止

31、開始往下滑，從，在重力作用下由靜止開始往下滑，從Q點(diǎn)離開球面，求點(diǎn)離開球面，求PQ兩兩點(diǎn)的高度差點(diǎn)的高度差h 本題除重力外無非保守力的功本題除重力外無非保守力的功, ,機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒! ! 設(shè)球半徑為設(shè)球半徑為R RPQHmgv h 由機(jī)械能守恒:212mghmv Q點(diǎn)動力學(xué)方程為:2sinvmgmR 由幾何關(guān)系:sinHhR 3hH 2HRmghmgRR 若質(zhì)點(diǎn)從球頂部無初速滑下，則可沿球面滑下若質(zhì)點(diǎn)從球頂部無初速滑下，則可沿球面滑下R/3的高度，釋放高的高度，釋放高度度H越小，沿球面滑下的高度越短這是一個有趣又有用的模型越小，沿球面滑下的高度越短這是一個有趣又有用的模型 第27頁/共

32、40頁xy 如圖甲所示，把質(zhì)量均為如圖甲所示，把質(zhì)量均為m的兩個小鋼球用長為的兩個小鋼球用長為2L的線連接，的線連接，放在光滑的水平面上在線的中央放在光滑的水平面上在線的中央O作用一個恒定的拉力，其大小為作用一個恒定的拉力，其大小為F，其方向沿，其方向沿水平方向且與開始時連線的方向垂直，連線是非常柔軟且不會伸縮的，質(zhì)量可忽水平方向且與開始時連線的方向垂直，連線是非常柔軟且不會伸縮的，質(zhì)量可忽略不計(jì)試求：當(dāng)兩連線的張角為略不計(jì)試求：當(dāng)兩連線的張角為2時，如圖乙所示，在與力時，如圖乙所示，在與力垂直的方向上垂直的方向上鋼球所受的作用力是多少？鋼球第一次碰撞時，在與力鋼球所受的作用力是多少？鋼球第一

33、次碰撞時，在與力垂直的方向上，鋼球垂直的方向上，鋼球的對地速度為多少？經(jīng)過若干次碰撞，最后兩個鋼球一直處于接觸狀態(tài)下運(yùn)動，的對地速度為多少？經(jīng)過若干次碰撞，最后兩個鋼球一直處于接觸狀態(tài)下運(yùn)動，試求由于碰撞而失去的總能量為多少？試求由于碰撞而失去的總能量為多少？ OFO甲F乙在如示坐標(biāo)中分解力在如示坐標(biāo)中分解力F FF在與在與F F垂直方向上線對鋼球的力大小為垂直方向上線對鋼球的力大小為tan2yFF 設(shè)鋼球第一次碰撞時沿設(shè)鋼球第一次碰撞時沿F方向速度為方向速度為vx，垂直于垂直于F方向速度為方向速度為vy，設(shè)力，設(shè)力F的位移為的位移為x，由動能定理由動能定理 2222122xyxyFxm vv

34、mvmv 在x方向上: 2222xvFmamxL 2xF xLvm yvFLm 達(dá)到終態(tài)時，兩球達(dá)到終態(tài)時，兩球vy=0=0，F(xiàn) F總位移總位移X，有，有 2122XFXmvE 22FFXmXLEm FEL yF第28頁/共40頁 軍訓(xùn)中，戰(zhàn)士距墻軍訓(xùn)中，戰(zhàn)士距墻S0以速度以速度v0起跳，如圖所示，再用腳蹬墻面起跳，如圖所示，再用腳蹬墻面一次使身體變?yōu)樨Q直向上的運(yùn)動以繼續(xù)升高，墻面與鞋底之間的靜摩擦因數(shù)為一次使身體變?yōu)樨Q直向上的運(yùn)動以繼續(xù)升高，墻面與鞋底之間的靜摩擦因數(shù)為求能使人體重心有最大總升高求能使人體重心有最大總升高Hmax的起跳角的起跳角 S0v0 設(shè)抵達(dá)墻時戰(zhàn)士速度為設(shè)抵達(dá)墻時戰(zhàn)士速

35、度為v，蹬墻后速，蹬墻后速度為度為v, ,各矢量間關(guān)系如示，各矢量間關(guān)系如示， vgt1tan v0v vv 從起跳至上升至最高從起跳至上升至最高H H處，由機(jī)械能守恒處，由機(jī)械能守恒: : 221012mghm vv2212mghmv 22202Hvvvg 22200cossinvvvgt 由矢量圖所示關(guān)系由矢量圖所示關(guān)系: : 00cossinvvvgt 00cosstv 其其中中 22001sincos22Hvgsg 222100111costan22vgsg 當(dāng)當(dāng)時時11tan 2200max12vHsg 第29頁/共40頁 質(zhì)量為質(zhì)量為M、長為、長為l的板放在冰面上，在板的一端坐著質(zhì)

36、量為的板放在冰面上，在板的一端坐著質(zhì)量為m的的小貓它要跳到板的另一端，問小貓對冰面的最小速度小貓它要跳到板的另一端，問小貓對冰面的最小速度v0min應(yīng)為多少？小貓為使跳應(yīng)為多少？小貓為使跳到板的另一端所消耗的能量最少，到板的另一端所消耗的能量最少， 問它的初速度問它的初速度v0應(yīng)該與水平面成多大角應(yīng)該與水平面成多大角？ 貓消耗能量貓消耗能量E，使貓及木板獲得初動能：使貓及木板獲得初動能： 2201122EmvMV耗耗起跳時間t內(nèi)m與M間水平方向相互作用力大小相等，故有0cosvVmMtt 0cosmVvM 貓從跳離板一端到落至板另一端歷時由豎直方向分運(yùn)動得 02sinvtg 這段時間內(nèi)貓對板的

37、位移應(yīng)滿足 0coslvV t 00cos2sinMmvvMg 202sincosMglvMm 2222cos2sincosmMglVMMm cottan2mglEMmMMm 耗耗利用基本不利用基本不等式性質(zhì)等式性質(zhì) ： 當(dāng)當(dāng)時時tanMmM min4mgMElMm 耗耗第30頁/共40頁 如圖所示，厚度不計(jì)的圓環(huán)套在粗細(xì)均勻、長度為如圖所示，厚度不計(jì)的圓環(huán)套在粗細(xì)均勻、長度為L的棒的上端，的棒的上端，兩者質(zhì)量均為兩者質(zhì)量均為m，圓環(huán)與棒間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，大小為一常數(shù)，圓環(huán)與棒間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，大小為一常數(shù)，為為kmg（k1）棒能沿光滑的豎直細(xì)桿）棒能沿光滑的豎直細(xì)

38、桿AB上下滑動，棒與地碰撞時觸地時間極上下滑動，棒與地碰撞時觸地時間極短，且無動能損失設(shè)棒從其下端距地高度為短，且無動能損失設(shè)棒從其下端距地高度為H處由靜止自由下落，與地經(jīng)處由靜止自由下落，與地經(jīng)n次碰次碰撞后圓環(huán)從棒上脫落分析棒第二次碰地以前的過程中，環(huán)與棒的運(yùn)動情況，求撞后圓環(huán)從棒上脫落分析棒第二次碰地以前的過程中，環(huán)與棒的運(yùn)動情況，求出棒與環(huán)剛達(dá)到相對靜止時，棒下端距地高度出棒與環(huán)剛達(dá)到相對靜止時，棒下端距地高度h；求出；求出n、k、L、H四個量應(yīng)滿四個量應(yīng)滿足的關(guān)系足的關(guān)系 由機(jī)械能守恒，棒第一次碰地以前速度由機(jī)械能守恒，棒第一次碰地以前速度ABLH2gH棒與地相碰后瞬時速度大小不變、

39、方向向上，棒與地相碰后瞬時速度大小不變、方向向上， 1kg 向向下下2gH 1kmg 加速度為加速度為環(huán)速度 2gH2gH環(huán)加速度 1kg 向向上上mgkmg棒與環(huán)相對初速度 2 2vgH 相相向向下下相對加速度 2akg 相相向向上上棒與環(huán)相對靜止時棒與環(huán)相對靜止時 2122vHxak相相相相相相位位移移對對歷歷時時 22vHtak g相相相相環(huán)與棒的共同速度 1122VgHkgHgtk從棒從地面向上到與環(huán)相對靜止的過程中，一對摩擦從棒從地面向上到與環(huán)相對靜止的過程中，一對摩擦力做負(fù)功，重力分別對環(huán)、棒做負(fù)功，力做負(fù)功，重力分別對環(huán)、棒做負(fù)功，由動能定理：由動能定理： 22111112222

40、2kmg xmgh mg h xmVmgH 續(xù)解續(xù)解21hkHk 222221122222gHHHkmgmghmg hmmgHkkk 第31頁/共40頁 棒與環(huán)一起以棒與環(huán)一起以V1自由下自由下落落h至第二次落地至第二次落地時速度仍由機(jī)械能守時速度仍由機(jī)械能守恒恒 221222111222222kgHmVmgHmvvkk 此后棒與環(huán)相對滑動 222222222222gHHvxakkgk 相相則若在碰則若在碰n次后環(huán)脫離棒，次后環(huán)脫離棒，n、k、L、H四個量應(yīng)滿足的關(guān)系：四個量應(yīng)滿足的關(guān)系： 231231111111122nnHLHkkkkkkkk 111112nnnnnnkLkHkkkk 2i

41、ixHk 查閱查閱第32頁/共40頁 鋼球沿著光滑的長梯彈跳，在每一級臺階上僅跳一次，如圖所鋼球沿著光滑的長梯彈跳，在每一級臺階上僅跳一次，如圖所示每次與臺階碰撞時，球要損失示每次與臺階碰撞時，球要損失50的機(jī)械能試求小球拋出時的初速度的機(jī)械能試求小球拋出時的初速度v及其與豎直線的夾角及其與豎直線的夾角（梯子臺階的高度（梯子臺階的高度h10cm，寬，寬l20cm） lh 根據(jù)題意，第一次與平臺碰撞前后有 221150%22mvmv起起22vv 起起v v v落v起v v每次跳起到落到下一臺階的過程中,有 2212mghm vv落落起起221150%22mvmv落落起起v起v起22vgh 起起4

42、vgh m m/ /s s2 v落 由水平方向的勻速運(yùn)動得鋼球每一次飛行時間 sinltv 落落coscosvvgt落落起起21cos2hv tgt 起起22cos20gtv th 落落23tan4tan10代入數(shù)據(jù)整理后得11tan3 1tan 1 另另說明起跳速度說明起跳速度變?yōu)樗?，除變?yōu)樗剑撉蚵湓诠拯c(diǎn)鋼球落在拐點(diǎn)情況外，應(yīng)舍情況外，應(yīng)舍去此解去此解 第33頁/共40頁 取元功作微元，以功能原理為基本依據(jù)求取元功作微元，以功能原理為基本依據(jù)求得一類物理問題解答的方法，我們稱之為得一類物理問題解答的方法，我們稱之為“元元功法功法”. .這種解法所循基本原理是分析力學(xué)中這種解法所循基本

43、原理是分析力學(xué)中的的“虛功原理虛功原理”，由伯努利首先提出的用元，由伯努利首先提出的用元功法可以處理某些平衡問題，且頗為簡單功法可以處理某些平衡問題，且頗為簡單 元功法元功法 元功法處理平衡問題基本思路元功法處理平衡問題基本思路 取與原平衡狀態(tài)逼近的另一平衡狀態(tài)，從取與原平衡狀態(tài)逼近的另一平衡狀態(tài)，從而虛設(shè)一個元過程，此過程中所有元功之和為而虛設(shè)一個元過程，此過程中所有元功之和為零，以此為基本關(guān)系列出方程，通過極限處理，零，以此為基本關(guān)系列出方程，通過極限處理，求得終解求得終解第34頁/共40頁 如圖所示，質(zhì)量為如圖所示，質(zhì)量為m、長度為、長度為l的均勻柔軟粗繩，的均勻柔軟粗繩，穿過半徑穿過半

44、徑R的滑輪，繩的兩端吊在天花板上的兩個釘子上，兩鉤間的滑輪，繩的兩端吊在天花板上的兩個釘子上，兩鉤間距離為距離為2R，滑輪軸上掛一重物，重物與滑輪總質(zhì)量為，滑輪軸上掛一重物，重物與滑輪總質(zhì)量為M，且相互間，且相互間無摩擦，求繩上最低點(diǎn)無摩擦，求繩上最低點(diǎn)C處的張力處的張力 本題用元功法求解本題用元功法求解! !分析粗繩、滑輪和重物構(gòu)成的系統(tǒng)的受力情況分析粗繩、滑輪和重物構(gòu)成的系統(tǒng)的受力情況AOCRBTA(M+m)g 12ATmM g分析繩之一半的受力情況分析繩之一半的受力情況TC設(shè)想在設(shè)想在A處以力處以力TA將將ABC段繩豎直向上拉過一極小距離段繩豎直向上拉過一極小距離xAAWTx CCWTx 2mlRExgRl 由功能原理由功能原理 122cmlRmM gxTxxg Rl 2lR 22cMlmRglT x第35頁/共40頁aba b 如圖示，一輕三足支架每邊長度均為如圖示，一輕三足支架每邊長度均為l,每邊與豎直線成同一角度，每邊與豎直線成同一角度，三足置于一光滑水平面上三足置于一光滑水平面上,且恒成一正三角形，現(xiàn)用一繩圈套在三足支架的三足上且恒成